Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI

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1 Seite Seite Abitur G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge gegeben. Die Eckpunkte G ( ) und D ( ) legen eine Raumdiagonale fest. Teilaufgabe e ( BE) Die Ebene F schneidet den Würfel W in einem regulären Sechseck. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene F mit der x - und der x -Koordinatenachse und bestätigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke [G G ] auf F liegt. Zeichnen Sie alle sechs Schnittpunkte der Ebene F mit Kanten des Würfels sowie den Rand der sechseckigen Schnittfigur ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt des betrachteten Sechsecks. Teilaufgabe f (4 BE) Alle Ebenen parallel zu F werden durch Gleichungen der Form x x + x = a mit a R beschrieben. Geben Sie an, welche Arten von Figuren als Schnitt einer solchen Ebene mit dem Würfel W auftreten. Geben Sie die Menge aller Werte von a an, für die die Schnittfigur ein Sechseck ist. Teilaufgabe a (5 BE) Bestimmen Sie in Koordinatenform eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte D, G und D verläuft, und zeichnen Sie die Schnittfigur der Ebene E mit dem Würfel W ein. [mögliches Ergebnis: E : x x + x = ] Teilaufgabe b (4 BE) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide, die E vom Würfel W abschneidet. Wieviel Prozent des Würfelvolumens nimmt die Pyramide ein? Teilaufgabe c (4 BE) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene E gegen die Grundfläche G G G G 4. Geben Sie drei Eckpunkte des Würfels W an, die eine Ebene so festlegen, dass sie mit der Grundfläche einen 45 -Winkel einschließt. Teilaufgabe d ( BE) Zeigen Sie, dass die Ebene F mit der Gleichung F : x x + x = parallel zu E mit Abstand ist. Abitur Bayern Geometrie VI

2 Seite Seite 4 Lösung Teilaufgabe a (5 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge gegeben. Die Eckpunkte G ( ) und D ( ) legen eine Raumdiagonale fest. D ( ), G ( ), D ( ) Bestimmen Sie in Koordinatenform eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte D, G und D verläuft, und zeichnen Sie die Schnittfigur der Ebene E mit dem Würfel W ein. [mögliches Ergebnis: E : x x + x = ] Lösung zu Teilaufgabe a Ebene aus drei Punkte Richtungsvektoren der Ebene E bestimmen: G D = D G = = G D = D G = = G sei der Aufpunkt der Ebene. Ebenengleichung in Normalenform (hier auch Koordinatenform genannt) Normalenvektor n E G D G D = der Ebene E aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen: Abitur Bayern Geometrie VI

3 Seite 5 Seite Erläuterung: Vektorprodukt Erläuterung: Normalenform einer Ebene Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b zweier Vektoren a und b ist ein Vektor n, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: a a b = a = a In diesem Fall ist: = = Normalenvektor vereinfachen: Erläuterung: Vereinfachen b b b a b a b a b a b a b a b ( ) = Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. [ X E N ] : P n E = Hier: E N : X = Kann auch geschrieben werden: X = E N : X = E N : x x + x = Skizze Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt. Hier wird der Normalenvektor durch - geteilt. Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich. n E = = Normalenform E N der Ebene E: Abitur Bayern Geometrie VI

4 Seite 7 Seite 8 Teilaufgabe b (4 BE) V W = = Berechnen Sie das Volumen der Pyramide, die E vom Würfel W abschneidet. Wieviel Prozent des Würfelvolumens nimmt die Pyramide ein? Lösung zu Teilaufgabe b Volumen einer Pyramide Verhältnis der Volumnia: V P y r = V W =, 7 Die Pyramide nimmt ca. 7% des Würfelvolumens ein Teilaufgabe c (4 BE) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene E gegen die Grundfläche G G G G 4. Geben Sie drei Eckpunkte des Würfels W an, die eine Ebene so festlegen, dass sie mit der Grundfläche einen 45 -Winkel einschließt. Lösung zu Teilaufgabe c Winkel zwischen zwei Ebenen E : x x + x = D ( ), D ( ), D ( ), G ( ) D D D ist die Grundfläche G der Pyramide [G D ] = ist die Höhe h der Pyramide Grundfläche G G G G 4 liegt in der x x -Ebene G : x = n E = ist Normalenvektor der Ebene E. n G = ist Normalenvektor der Ebene G. Länge der Normalenvektoren bestimmen: Volumen der Pyramide bestimmen: V P y r = G h = = Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern Volumen des Würfels W : Abitur Bayern Geometrie VI

5 Seite 9 Seite Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a n E = n G = Neigungswinkel α bestimmen: = a + a + a = + ( ) + = Erläuterung: Winkel zwischen zwei Ebenen Erläuterung: Skalarprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren cos α = Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren a und b a b = a b cos ( a, b ) } {{ } α folgt für den Winkel α zwischen den beiden Vektoren: a b cos α = a b (Formel zur Winkelberechnung zwischen Vektoren) n E n G n E n G = α = cos ( ) 54, 7 = Lagebeziehung von Ebenen Der Winkel α zwischen zwei Ebenen E und G ist gleich dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren n E und n G. α = (E, G) = ( n E, n G ) Zum Beispiel: Abitur Bayern Geometrie VI

6 Seite Seite Die Punkte D, D 4 und G legen eine Ebene fest, die mit der Grundfläche einen 45 - Winkel einschließt. F H N F : (x x + x ) = Abstand bestimmen: Teilaufgabe d ( BE) Zeigen Sie, dass die Ebene F mit der Gleichung F : x x + x = parallel zu E mit Abstand ist. Lösung zu Teilaufgabe d Lagebeziehung von Ebenen E : x x + x = F : x x + x = E und F sind parallel, da sie den gleichen Normalenvektor n = besitzen. Abstand paralleler Ebenen D ( ) E Hesse-Normalenform F H N F der Ebene F bilden: Erläuterung: Hesse-Normalenform der Ebene Die Hesse-Normalenform E H N F einer Ebene E entsteht durch Teilung der Normalenform E N der Ebene E mit dem Betrag des Normalenvektors. E N : X n E d = Erläuterung: Abstand paralleler Ebenen Um den Abstand paralleler Ebenen zu ermitteln, wählt man einen beliebigen Punkt einer Ebene und berechnet den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Ebene. Hier wird D als Punkt von E gewählt. d(e, F ) = d(d, F ) Erläuterung: Abstand Punkt - Ebene Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes S in die Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E (zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene. X E H N F ne d : = n E S ne d d(s, E) = n E d ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus n E und dem Ortsvektor des Aufpunkts von E. = ( + ) = und dem Ortsvektor des Auf- X E H N F ne d : = n E d ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus n E punkts von E. = = In Teilaufgabe c ist der Betrag des Normalenvektors bereits bestimmt worden: n E = n F = E und F sind parallel und haben den Abstand. Abitur Bayern Geometrie VI

7 Seite Seite 4 Teilaufgabe e ( BE) Lage eines Punktes Die Ebene F schneidet den Würfel W in einem regulären Sechseck. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene F mit der x - und der x -Koordinatenachse und bestätigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke [G G ] auf F liegt. Zeichnen Sie alle sechs Schnittpunkte der Ebene F mit Kanten des Würfels sowie den Rand der sechseckigen Schnittfigur ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt des betrachteten Sechsecks. Lösung zu Teilaufgabe e Spurpunkte einer Ebene F : x x + x = x -Koordinatenachse: x -Koordinatenachse: X = λ X = λ Erläuterung: Spurpunkte einer Ebene Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen nennt man Spurpunkte. Um sie zu bestimmen, setzt man die Gleichung der Koordinatenachse in die Normalenform (Koordinatenform) der Ebenen ein, löst nach dem Parameter λ auf und setzt diesen Wert in die Geradengleichung ein. G ( ), G ( ) Mittelpunkt M der Strecke [G G ] bestimmen: M = [ G + ] G = Zeigen, dass M ( ) F : F : x x + x = M in F einsetzen: + = wahre Aussage + Der Punkt F liegt auf der Ebene F Skizze = Spurpunkt mit der x -Koordinatenachse: λ + = λ = S = Die Ebene F schneidet die x -Achse im Punkt S ( ). Spurpunkt mit der x -Koordinatenachse: + λ = λ = S = Die Ebene F schneidet die x -Achse im Punkt S ( ). Flächeninhalt eines regulären Sechsecks Abitur Bayern Geometrie VI

8 Seite 5 Seite A = a (a c o s ( )) = }{{} = 9 h Flächeninhalt des Sechsecks bestimmen: A e c k = A = 9 = 7 Das Sechseck hat einen Flächeninhalt von 7 FE (Flächeneinheiten) Erläuterung: Reguläres Sechseck Die Ebene F schneidet den Würfel in einen regulären Sechseck. Ein reguläres Sechseck hat gleich lange Seiten und gleich große Winkel. Das reguläre Sechseck lässt sich in gleichseitige Dreieckecke aufteilen. Teilaufgabe f (4 BE) Alle Ebenen parallel zu F werden durch Gleichungen der Form x x + x = a mit a R beschrieben. Geben Sie an, welche Arten von Figuren als Schnitt einer solchen Ebene mit dem Würfel W auftreten. Geben Sie die Menge aller Werte von a an, für die die Schnittfigur ein Sechseck ist. Lösung zu Teilaufgabe f Seitenlänge a des Sechsecks bestimmen: a = [S S ] = S S = S S = = Schnitt Ebene - Würfel x x + x = a, a R (Ebenenschar) Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a = a + a + a = = ( ) + = 8 = Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a bestimmen: Abitur Bayern Geometrie VI

9 Seite 7 Erläuterung: Schnitt Ebene - Würfel Die Ebenen aus der Schar x x + x = a, a R schneiden den Würfel W für verschiedene Werte von a. In Teilaufgabe a) wurde gezeigt, dass der Schnitt zwischen der Ebene (a = ) und dem Würfel W ein (gleichseitiges) Dreieck ist. In Teilaufgabe e) wurde gezeigt, dass der Schnitt zwischen der Ebene (a = ) und dem Würfel W ein Sechseck ist. E F Es bleibt also zu erwähnen, dass die Ebenen den Würfel auch in nur einem Punkt schneiden können. Als Schnittfiguren treten Punkt, (gleichseitiges) Dreieck und Sechseck. Überlegung: Für a = ist die Schnittfigur ein Dreieck (Teilaufgabe a). Für a = ist die Schnittfigur ein Sechseck (Teilaufgabe e). Alle Ebenen aus der Schar sind parallel (Teilaufgabe d). Für a < ist der Schnitt ein Sechseck. Für welches a < ist der Schnitt kein Sechseck mehr? Das ist der Fall wenn die Ebene durch den Punkt D 4 geht. D 4 in Ebenenschar einsetzen: + = a a = Für a ]; [ schneiden die Ebenen den Würfel in einem Sechseck Abitur Bayern Geometrie VI