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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 16. April 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 1

2 ii) empirische Quantile Ordnen der Datenreihe x 1, x 2,..., x n ergibt geordnete Datenreihe (geordnete Stichprobe, Variationsreihe) x min := x (1) x (2)... x (n 1) x (n) =: x max empirisches α-quantil (0 < α < 1): Zahlenwert x α, so dass α 100% der Werte in der Variationsreihe links davon liegen: falls nα keine ganze Zahl ist, k ist dann die auf nα folgende ganze Zahl x α = falls nα =: k eine ganze Zahl ist PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 2

3 empirischer Median, empirische Quartile empirischer Median: empirisches 0.5-Quantil, (mittlerer Wert der geordneten Stichprobe) x = x med := x 0.5 = falls n ungerade falls n gerade unteres empirisches Quartil (unterer Viertelwert): oberes empirisches Quartil (oberer Viertelwert): Bemerkung: Der arithmetische Mittelwert x Ausreißern, der Median x weniger. ist empfindlich gegenüber PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 3

4 iii) empirischer Modalwert, Modus x mod Wert mit der größten Häufigkeit in der Stichprobe hängt bei klassierten Daten stark von der gewählten Klasseneinteilung ab Modalklasse im Allgemeinen gilt auch verwendbar bei zum Beispiel Partei mit den meisten Stimmen bei einer Wahl PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 4

5 Streumaße (für metrisch skalierte Daten) Spannweite: Quartilsabstand (Viertelweite): empirische Varianz (Stichprobenstreuung): ( s 2 = 1 n n ) (x i x) 2 = 1 xi 2 nx 2 n 1 n 1 i=1 empirische Standardabweichung: Variationskoeffizient: v = s 100% (falls x > 0) x keine phys. Einheit, für kleine Werte x nicht sehr aussagekräftig Ausreißergrenzen: A u = V u 1.5d Q A o = V o + 1.5d Q (sogenannte innere Zäune; äußere Zäune bei ±3d) i=1 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 5

6 d) Box-Plot I aussagekräftige graphische Darstellung der Fünfer-Charakteristik, bestehend aus Median x, den empirischen Quartilen (Viertelwerten) V u, V o und den Ausreißergrenzen A u, A o die untere Begrenzungslinie wird dabei bestimmt durch den kleinsten Wert, der A u ist, (= x min falls x min A u ) während die obere Begrenzungslinie durch den größten Wert, der A o ist, definiert wird (= x max falls x max A o ) Ausreißer (Datenwerte außerhalb der Ausreißergrenzen) werden extra durch Punkte angegeben PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 6

7 Box-Plot II Box-and-Whisker Plot Punkte Fach 1: Bilanzierung 5: Produktion und Beschaffung 2: Wirtschaftsinformatik 6: Investition und Finanzierung 3: Organisation 7: Anlagenwirtschaft 4: Marketing PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 7

8 Konzentrationsmaße I für Merkmale Konzentrationsmaße messen die Gleichmäßigkeit der Aufteilung der Merkmalssumme auf die Merkmalsträger z.b.: Wie teilt sich ein Markt auf die Anbieter auf (Marktkonzentration)? Konzentriert sich der Gesamtumsatz auf wenige Firmen, oder haben alle Firmen ungefähr den gleichen Anteil? typische Merkmale, für die Konzentrationen bestimmt werden Merkmal Jahreseinkommen Jahresumsatz Einwohnerzahl Merkmalsträger Unternehmen PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 8

9 Konzentrationsmaße II Extremfälle: Merkmalssumme ist gleichmäßig auf alle Merkmalsträger verteilt ein Element trägt die gesamte Merkmalssumme, die anderen gehen leer aus Beispiel Betrieb tats. Marktanteil Marktant. bei Gleichvert. 1 x 1 = 5% 20 % 2 x 2 = 25% 20 % 3 x 3 = 10% 20 % 4 x 4 = 20% 20 % 5 x 5 = 40% 20 % PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 9

10 Konzentrationsmaße III: Lorenzkurve graphische Darstellung durch Lorenzkurve n Merkmalsträger (5 Betriebe) geordnete Merkmalswerte x (1) = 5 x (2) = 10 x (3) = 20 x (4) = 25 x (5) = 40 berechnen u i = i n und v i = außerdem (u 0, v 0 ) = (0, 0) im Beispiel i j=1 x (j) n j=1 x (j) für i = 1,..., n (u 0, v 0 ) = (0.0, 0.00) (u 1, v 1 ) = (0.2, 0.05) (u 2, v 2 ) = (0.4, 0.15) (u 3, v 3 ) = (0.6, 0.35) (u 4, v 4 ) = (0.8, 0.60) (u 5, v 5 ) = (1.0, 1.00) PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 10

11 Konzentrationsmaße III: Lorenzkurven Wie wirkt sich eine Fusion der Betriebe 2 und 5 aus, wie eine Fusion der Betriebe 1 und 3? blau: Ausgangsdaten rot: Fusion Betriebe 2 und 5 grün: Fusion Betriebe 1 und 3 schwarz: Diagonale (Gleichverteilung) PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 11

12 Lorenzsches Konzentrationsmaß (Gini-Koeffizient) zahlenmäßige Kenngröße für Konzentration G = 2 mal Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve G = 1 1 n n (v i + v i 1 ) i=1 { 0 bei Gleichverteilung G = wenn gesamte Masse in einem von n Punkten n 1 n normierter Gini-Koeffizient: im Beispiel: Ausgangsdaten: G = ( ) = 0.34 Fusion Betriebe 2 und 5: G = ( ) = Fusion Betriebe 1 und 3: G = ( ) = 0.20 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 12

13 Modifikation bei klassierten positiven Merkmalen m Klassen mit relativen Häufigkeiten h i und Merkmalssummen pro Klasse M i, i = 1,..., m Punkte der Lorenzkurve definiert durch u i = i h j, v i = j=1 i M j j=1, m M j j=1 i = 1,..., m Gini-Koeffizient: m G = 1 h i (v i + v i 1 ) i=1 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 13

14 Beispiel: Verteilung der landwirtschaftlichen Nutzfläche i Fläche in ha H i h i M i u i v i 1 < 5 ha ha ha ha > 50 ha hier G = PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 14

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