Fourieranalyse und Diskrete Cosinus Transformation (DCT)

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1 Fourieranalyse und Disrete Cosinus Transformation (DCT) Eine Ausarbeitung für den Physileistungsurs 12.2 Philipp Julian Münzel, Juni 2005 Mathematical analysis is as extensive as Nature herself Jean Baptiste Joseph Baron de Fourier, franz. Mathematier und Physier Inhalt: 1. Motivation und Einordnung 2. Fourieranalyse als Interpolationsproblem 3. Die Fourier Reihe 4. Berechnung der Fourieroeffizienten aus den Stützstellen mit Hilfe der Trapezregel 5. Auswertung der Fourierreihe an einer Stelle x 6. Auswertung der Fourieroeffizienten und Ihre Bedeutung 7. Die Begrenzung der Genauigeit durch das Sampletheorem 8. Anwendung der Fourieranalyse in der Informati 9. Quellen

2 1. Motivation und Einordnung Viele Vorgänge in Natur und Techni wiederholen sich periodisch. Es handelt sich dabei vielfach um omplexe Schwingungsvorgänge. Für die mathemtaische Analyse ist uns jedoch nur der Sonderfall der harmonischen Schwingung zugänglich, der sich mit Hilfe einer Sinusfuntion beschreiben lässt. J.B.J. Fourier zeigte aber, dass sich jede noch so omplizierte Schwingung als Summe von harmonischen Schwingungen ausdrücen lässt. Das heißt, jeder periodische Vorgang ist das Ergebnis einer Überlagerung von vielen harmonischen Einzelschwingungen. Ziel der Fourieranalyse ist es, die Gleichungen dieser Einzelschwingungen zu finden, um die Gleichung der Gesamtschwingung als Summe dieser Einzelschwingungen schreiben zu önnen. Besonders für die Austi, also die Beschreibung von Schallwellen und die sie verursachenden Schwingungen, wie etwa die Schwingung einer Geigensaite, ist die Fourieranalyse von Bedeutung, weil man mit ihr die für den Klang eines Instrumentes charateristische Verteilung der Obertöne sichtbar machen ann. Auch in der Informati hat die Fourieranalyse eine wichtige Bedeutung. Sie wird zur Speicherung von Audiodaten, zur Datenomprimierung und zur Bildompression eingesetzt. Das beannte Bildformat jpeg beruht auf der Fouriertransformation, ebenso wie das Audioomprimierungsverfahren mp3. 2. Fourieranalyse als Interpolationsproblem Sei [a,b ] R ein abgeschlossenes Intervall und f: [a,b ] R eine schwer auszuwertende stetige Funtion auf [a,b]. Weiterhin seien x 0,x 1 [a,b ] paarweise verschieden und y i =f x i i=0 1 n, dann heißen x 0 Stützstellen und y 0,...,y n Stützwerte. Gegeben sind also n+1 Paare von Werten, die etwa durch Messung oder Abtastung der zu betrachtenden Funtion f aufgenommen worden sind. Man wählt nun die einfacher auszuwertende Funtion f n x so, dass f n x i =f x i i=0 1 n. Dann nennt man die Funtion f n Interpolante zu den Stützstellen x 0. Sie stimmt an den Stützstellen mit der schwer auszuwertenden Funtion f überein. Man approximiert (interpoliert) nun die richtigen Werte der schwierigen Funtion zwischen den Stützstellen durch die einfach zu berechnenden Werte von f n. 3. Die Fourier Reihe Jede periodische Funtion ann mit einer Fourier Reihe dargestellt werden. Der Einfachheit halber wollen wir im Folgenden nur Funtionen von Schwingungen betrachten, die mit periodisch sind, d.h. f x+ =f x,x R. Dann ann f immer als unendliche Reihe der Form a f 0 x = 2 a cos x +b sin x =1 geschrieben werden. Diese Darstellung nennt man Fourier Reihe.

3 Weiterhin stellt die endliche Reihe a n f n 0 x = 2 =1 a cos x +b sin x eine Approximation an f dar. Eine solche endliche Reihe nennt man auch trigonometrisches Polynom. Hierbei ist f x =f n x +O 1, d.h. je größer n, desto besser die Approximation der n omplizierten Schwingung durch die einfach auszuwertende endliche Reihe. Die Fourieroeffizienten a und b, =1 1 n beschreiben, wie sich die Funtion aus bestimmten Frequenzanteilen zusammensetzt, d.h. welche Amplitude die Schwingungen haben, aus denen die Funtion zusammengesetzt ist. Dabei bezeichnet die Wellenzahl, das heißt ist die Frequenz der Schwingung mit der Amplitude a und die dazugehörige Periode. Der Koeffizient a 0 ist der einzige nichtperiodische Anteil und beschreibt die Versetzung der Funtion in y Richtung. 4. Berechnung der Fourier Koeffizienten aus den Stützstellen mit Hilfe der Trapezregel Die Fourieroeffizienten lassen sich berechnen mittels a f x cos x dx =0,1,...,n b f x sin x dx =1,2,...,n Da wir den Term für f(x) nicht ennen (er ist meist gar nicht geschlossen anzugeben) önnen wir sein bestimmtes Integral nur mit Hilfe numerischer Integration bestimmen. Als Approximation an dieses Integral wollen wir die Trapezregel verwenden. Wir integrieren f(x) also so, als wäre sie zwischen den Stützstellen stücweise linear. Diese Fläche önnen wir elementargeometrisch bestimmen. Sinnvollerweise nehmen wir für die Stützstellen natürlich genau die Stützstellen, an denen wir die Funtion abgetastet haben. Tasten wir die Funtion N mal ab und das der Einfachheit halber im Intervall [,], so sind unsere Stützstellen x 0 =,x j = + N j,x =. Zu diesen Stützstellen berechnen sich die n Fourieroeffizienten mithilfe der Trapezregel approximativ so: a f x cos x dx 1 N 1 2 f cos +f x 1 cos x 1...+f x N 1 cos x N f cos N 1 = 2 N j=0 und analog f x j cos + N j +O 1 N 3 weil f =f cos =cos

4 N 1 b 2 N j=0 f x j sin + N j Fassen wir zusammen, was wir gerade gemacht haben: Wir haben aus den disreten Werten y j,j= 0 1 N die Koeffizienten a, =0 1 nund b, =1 1 n gewonnen, die uns die Gewichtung der Schwingung mit der Frequenz angeben. Diese Gewinnung der Koeffizienten aus den disreten Messwerten nennt man für omplexe Stützwerte disrete Fouriertransformation (DFT). In unserem Fall haben wir nur reelle Stützwerte, daher vereinfacht sich diese Transformation zur disreten Cosinustransformation (DCT). 5. Auswertung der Fourierreihe an einer Stelle x Setzt man die Koeffizienten a,b in die Formel der endlichen Fourierreihe ein, so erhält man an den Stützstellen wieder die Stützwerte (das bezeichnet man als invers disrete Fouriertransformation oder IDFT) und an von den Stützstellen verschiedenen Stellen Näherungswerte, die die betrachtete Schwingung beschreiben. Diesen Vorgang, eine Schwingung durch die Auswertung der Fourierreihe zu beschreiben, nennt man Fouriersynthese. 6. Auswertung der Fourieroeffizienten und Ihre Bedeutung Trägt man die Beträge der Fourieroeffizienten a,b über ihre zugehörige Frequenz in einem Diagramm auf, so gibt der Ausschlag bei einer bestimmten Frequenz an, wie star der Anteil dieser Frequenz an der Schwingung ist. Dies ist besonders interessant, wenn die abgetastete Schwingung der Ton eines Musiinstrumentes ist. Dann gibt uns dieses Diagramm nämlich das Spetrum der Grund und Obertöne dieses Instruments an. Man erennt, dass ein großer Ausschlag bei der Grundfrequenz des Tones und weitere leinere Ausschläge bei bestimmten ganzzahligen Vielfachen dieses Grundtones sind. Diese Vielfachen des Grundtones sind die sogeannten Obertöne. Die Reihe der Frequenzen der zu einem Ton gehörenden Obertöne, die sogenannte Obertonreihe ist für jedes Musiinstrument charateristisch und die anschauliche Erlärung dafür, warum ein Ton aus einer Flöte so offensichtlich anders lingt als der gleiche Ton aus einer Geige. Zusammenfassung: Trägt man die Beträge der Fourieroeffizienten über ihre Frequenz auf, so erhält man das für jedes Instrument charateristische Spetrum seiner Obertöne. 7. Die Begrenzung der Genauigeit durch das Sampletheorem Das Abtast oder Sampletheorem sagt aus, dass die Originalfuntion f(t), deren Frequenzspetrum im Frequenzband 0 Hz bis B Hz liegt, durch ihre Ordinaten an äquidistanten Punten eindeutig bestimmt ist, sofern diese Punte nicht weiter als 1 2 B Seunden voneinander

5 entfernt sind. Um aus den abgetasteten Stützwerten das ursprüngliche Signal reproduzieren zu önnen, muss die Abtastrate mindestens doppelt so groß sein wie die der abgetasteten Schwingung. Hat das abzutastende Signal beispielsweise eine Frequenz von 500 Hz, dann muss die Abtastrate über 1 MHz betragen. Zusammengefasst heißt das: Wenn die Distanz unserer Stützstellen Δ= N beträgt, önnen wir 1 mit der Cosinustransfomration nur Frequenzanteile bestimmen, die nicht größer als 2 Δ sind, das heißt deren Periode nicht ürzer ist als 2 Δ. Diese maximal beobachtbare Frequenz heißt Nyquist Frequenz und ist bestimmt durch die Feinheit der Disretisierung, das heißt durch die Anzahl der Messungen pro Zeit. 8. Anwendungen der Fourieranalyse in der Informati Zur Aufnahme, Verabeitung und Speicherung von Audiodaten am Computer wird die Cosinus Tranformation benutzt. Der A/D Wandler der Soundarte tastet das von einem Mirofon ommende Signal ab. Dieses Signal ann entweder unomprimiert als Wave Datei gespeichert werden, welche die tatsächliche Elongation über der Zeit speichert, oder man wendet ein Komprimierungsverfahren wie Mp3 oder Ogg/Vorbis an. Diesen Verfahren liegt unter anderem die modifizierte Cosinustransformation zu Grunde, so dass nur noch Koeffizienten quantisiert ( herömmlich omprimiert) und gespeichert werden. Insbesondere werden Frequenzanteile abgeschnitten, die oberhalb der Nyquistfrequenz liegen, ebenso solche, die das menschliche Ohr nicht wahrnehmen ann. Auch bei der Bildverarbeitung wird die Cosinustransformation benutzt. Beim beannten JPEG Verfahren werden Bilddaten zunächst in das YUV Farbmodell umgewandelt, welches statt Rot Grün und Blauanteilen Helligeit, Farbton und Sättigung speichert (welches dem menschlichen Sehen näher ommt). Dann wird das Bild in 8x8Pixel große Blöce zerlegt und auf jeden dieser Blöce eine zweidimensionale DCT angewendet. Die Frequenzwerte werden dann quantisiert und oberhalb der Nyquistfrequenz liegende Frequenzanteile abgeschnitten. Schließlich arbeiten auch Filter wie Schärfungs und Störfilter mit der Fouriertransformation. 9. Quellen 1. Thomas Hucle, Stefan Schneider, Numeri für Informatier, Julius Springer Verlag 2. Josef Stoer, Numerische Mathemati, Julius Springer Verlag 3. Rudolf Rothe, Höhere Mathemati II, B.G. Teubner Verlag 4.