Rechengesetze und ihre Anwendungen. a + b = b + a. Assoziativgesetz ( Verbindungsgesetz ) a + ( b + c ) Distributivgesetz ( Verteilungsgesetz )
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- Franz Kolbe
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1 Rechengesetze und ihre Anwendungen Es gibt 3 verschiedene Gesetze, die in der Mathematik angewandt werden. Es sind : Kommutativgesetz ( Vertauschungsgesetz ) a + b = b + a Assoziativgesetz ( Verbindungsgesetz ) a + ( b + c ) Distributivgesetz ( Verteilungsgesetz ) a ( b + c ) = a b + a c oder a ( b - c ) = a b - a c Für alle Buchstaben a, b oder c dürfen sämtliche rationale Zahlen eingesetzt werden. Beispiele: a = (-1) ; b = (+2) ; c = (-7) a + b = b + a (-1) + (+2) = (+2) + (-1) = (+1) a + ( b + c ) (-1) + ((+2) + (-7)) = (-1) + (-5) = (-6) ((-1) + (+2)) + (-7) = (+1) + (-7) = (-6) Beide Ergebnisse sind gleich, also darf so geklammert werden a ( b + c ) = a b + a c (-1) ((+2) + (-7)) = (-1) (-5) = (+5) (-1) (+2) + (-1) (-7) = (-2) + (+7) = (+5) Beide Ergebnisse sind gleich, also darf so gerechnet werden. 14
2 Rechengesetze und ihre Anwendungen II Beispiel: (-76) + (+27) + (-34) = [ (-76) + (-34) ] + (+27) = (-110) + (+27) = (-83) 1. a) (-83) b) (-63) c) (-10) d) (+17) e) 0 f) (+39,3) 2. a) ( +20) b) ( -20) c) ( -52) d) ( -50) e) ( -2) f) ( -24,5) 16
3 Textaufgaben 1. Addiere zur Summe der Zahlen 19,8 und (-24,3) die Summe der Zahlen (-34,2) und 14,9. [19,8 + (-24,3)] + [(-34,2) + 14,9] = (-4,5) + (-19,3) = (- 23,8) 2. Addiere zur Summe der Zahlen (-43,6) und 3,6 die Differenz der Zahlen 54,6 und (-6,7). [ (-43,6) + 3,6 ] + [54,6 - (-6,7) ] = (-40) + 61,3 = (+21,3) 3. Subtrahiere von der Summe aus (-463) und 538 die Differenz der Zahlen 79 und 413. [ ( - 463) ] - [ ] = 75 - (-334) = Subtrahiere von der Summe aus (-38) und 62 die Differenz der Zahlen 17 und (-23). [ (-38) + 62 ] - [ 17 - (-23) ] = = (-16) 5. Subtrahiere von der Differenz der Zahlen (-3,76) und 2,58 die Summe aus (-2,1) und 0,4. [ (-3,76) - 2,58 ] - [ (-2,1) + 0,4 ] = (-6,34) + 1,7 = (-4,64) 19
4 Subtraktion 1. a) (-24,5) b) (-2) c) (+2) d) (-0,2 ) e) (+2) f) (-9) 20
5 Rechengesetze Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) In einer Summe darf man die Summanden vertauschen. Dabei ändert sich der Wert der Summe nicht. Denke dir Zahlen anstelle von a und b. Stets gilt: a + b = b + a Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) In einer Summe aus mehreren Summanden darf man beliebig Klammern setzen. Dabei ändert sich der Wert der Summe nicht Denke dir Zahlen anstelle von a, b und c. Stets gilt: a + (b + c) = (a + b) + c Rechne möglichst geschickt: 1. (+16) + (-25) + (+34) = (+16) + (+34) + (-25) = 50 + (-25) = (+47) + (-38) + (-22) = (+47) + (-38) + (-22) = 47 + ( -60) = (-13) 3. (-15) + (+74) + (-55) = (-15) + (-55) + (+74) = (-70) + (+74) = 4 4. (-167) + (-33) + (+150) = (-167) + (-33) + (+150) = (-200) + (+150) = (-50) 5. (+1,6) + (-2,5) + (+3,4) = (+1,6) + (+3,4) + (-2,5) = 5-2,5 = 2,5 6. (-16) + (+25) + (-34) = (-16) + (-34) + (+25) = (-50) + 25 = ( -25) 7. (+9,9) + (-4,7) + (-5,3) = (+9,9) + (-4,7) + (-5,3) = (+9,9) + (-10) = (-0,1) 8. (+67) + (-119) + (+33) = (+67) + (+33) + (-119) = (-119) = (-19) 9. (+44) + (-37) + (+26) + (-63) = (+44) + (+26) + (-37) + (-63) = 70 +(-100) = (-30) 10. (-79) + (+65) + (+15) + (-41) = (-79)+ (-41) + (+65) + (+15) = (-120) + 80 = (-40) 21
6 Textaufgaben 1. Aufgabe: Addiere zur Summe der Zahlen (-147) und 341 die Summe der Zahlen 401 und (-321). Aufgabe: (-147) + (+341) + (+407) + (-321) = = Aufgabe: Subtrahiere von der Differenz der Zahlen 256 und (-87) die Differenz der Zahlen (-215) und (-145). Aufgabe: (+256) - ( -87) - (-215) - (-145) = (-70) = = Aufgabe: Subtrahiere von der Summe der Zahlen (-234) und (-564) die Summe der Zahlen 45,6 und 2,88. Aufgabe: (-234) + (-564) - 45,6 + 2,88 = (-798) - 48,48 = (-846,48) 4. Aufgabe: Addiere zur Differenz der Zahlen (+345) und (-256) die Differenz der Zahlen 5,67 und (-4,56). Aufgabe: (+345) - (-256) + 5,67 - (-4,56) = ,23 = 611,23 22
7 Textaufgaben 1. Aufgabe: Subtrahiere von (-0,72) die Differenz der Zahlen 91 und (-27). Aufgabe: (-0,72) (-27) = (-0,72) = ( -118,72) 2. Aufgabe: Addiere zur Summe der Zahlen 0,55 und (-48) die Differenz der Zahlen (-4,4) und 3,9. Aufgabe: 0,55 + (-48) + (-4,4) - 3,9 = (-47,45) + (-8,3) = ( -55,75) 3. Aufgabe: Subtrahiere die Summe der Zahlen 62,6 und 4,69 von (-200,0). Aufgabe: (-200) - 62,6 + 4,69 = (-200) - 67,29 = (-267,29) 4. Aufgabe: Subtrahiere die Differenz der Zahlen 0,345 und (-0,256) von der Differenz der Zahlen 567 und 256. Aufgabe: ,345 - (0,256) = 311-0,089 = 310,911 23
8 Punkte und Figuren im Koordinatenkreuz Zeichne ein Koordinatenkreuz und trage folgende Punkte ein. bedeutet, dass die Punkte verbunden werden müssen. A( 1 / -4) B( 1 / -1) C ( 0 / 0) D( 2 / -4) E( 2 / 2) F ( 0 / 7) G( 3 / -2) H( 4 / -2) I ( 4 / 1) K( 3 / 1) G( 3 / -2) L( 5 / -2) M( 6 / -2) N ( 6 / 1) 0( 5 / 1) L ( 5 /-2) P( 7 / -2) Q( 8 / -2) R ( 8 / 1) S( 7 / 1) P ( 7 / 2) D( 2 / -4) T( 9 / -4) U ( 9 / 2) V( 8 / 3) W ( 1,5 / 3) Spiegele diese Figur an der y-achse und gib alle Koordinaten der Punkte A, B, usw. an. Diese Figur ergibt eine Kirche. Die Punkte sind: A ( -1 / -4) B (-1 / -1) C ( 0 / 0) D (-2 / -4) E (- 2 / 2) F ( 0 / 7) G ( -3 / -2) H ( -4 / -2) I ( -4 / 1) K ( -3 / 1) G ( -3 / -2) L ( -5 / -2) M (- 6 / -2) N (- 6 / 1) 0 (- 5 / 1) L (- 5 /-2) P (- 7 / -2) Q (- 8 / -2) R (- 8 / 1) S ( -7 / 1) P ( -7 / 2) D (- 2 / -4) T ( -9 / -4) U ( -9 / 2) V (- 8 / 3) W ( -1,5 / 3) 25
9 Spiegelung im Koordinatenkreuz Zeichne ein Koordinatenkreuz und darin die Punkte U ( -5/ -1 ), V ( 3 / -5 ), W ( 0 / -1 ), X ( -3/ 3 ) und Y ( -4 / -1 ). Verbinde die Punkte nacheinander zu einem Vieleck. Spiegele die Figur hintereinander zuerst an der y-achse, danach an der x-achse. Nenne alle Bildpunkte U`, U``, usw. Die Punkte der Spiegelung an der y-achse sind: U ( 5/ -1 ), V (- 3 / -5 ), W ( 0 / -1 ), X ( 3/ 3 ) und Y ( 4 / -1 ). Die Punkte der Spiegelung an der x-achse sind: U ( 5/ 1 ), V (- 3 / 5 ), W ( 0 / 1 ), X ( 3/- 3 ) und Y ( 4 / 1 ). 26
10 Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Rechengesetze In einem Produkt darf man die Faktoren vertauschen. Dabei ändert sich der Wert des Produktes nicht. Denke dir Zahlen anstelle von a und b. Stets gilt: a b = b a Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) In einem Produkt aus mehreren Faktoren darf man beliebig Klammern setzen. Dabei ändert sich der Wert des Produktes nicht Denke dir Zahlen anstelle von a, b und c. Stets gilt: a (b c) = (a b) c Rechne möglichst geschickt: 1. (+16) (-25) (+34) = ((+16) (-25)) (+34) = (-400) 34 = (-13600) 2. (+40) (-38) (-25)= ((+40) (-25)) (-38) = (-1000) (-38) = (-15) (+24) (-12) = ((-15) (-12)) (+24) = = (-10) (-33) (+150) = ((-10) (+150)) (-33) = (-1500) (-33) = (+1,6) (-2,5) (+0,4) = ((+1,6) (-2,5)) (+0,4) = (-4) (+0,4) = (-1,6) 6. (-16) (+25) (-4) = ((-16) (+25)) (-4) = (-400) (-4) = (+9,5) (-2,0) (-5,1) = ((+9,5) (-2,0)) (-5,1) = (-19) (-5,1) = 96,9 8. (+2) (-119) (+3) = ((+2) (-119)) (+3) = (-238) (+3) = (-714) 9. (+45) (-37) (+20) (-40) = ((+45) (+20)) ((-37) (-40)) = = (-10) (+25) (+45) (-40) = ((-10) (+45)) ( (+25) (-40)) = (-450) (-1000) =
11 Textaufgaben 1. Aufgabe: Multipliziere das Produkt der Zahlen (-17) und 31 mit dem Quotienten der Zahlen 642 und (-321). Aufgabe: ((-17) 31) (642 : (-321)) = (-527) (-2) = Aufgabe: Dividiere das Produkt der Zahlen 256 und (-27) durch den Quotienten der Zahlen (-725) und (-145). Aufgabe: (256 (-27)) : ((-725) : (-145)) = (-6912) : 5 = (-1382,40) 3. Aufgabe: Dividiere den Quotienten der Zahlen (-568) und (-8) durch das Produkt der Zahlen 30,5 und 2. Aufgabe: ((-568) : (-8)) : (30,5 2) 10 = 71 : 61 = Aufgabe: Multipliziere die Zahl (+345) mit dem Quotienten der Zahlen 5,67 und (-0,03). Aufgabe: (+345) ( 5,67 : (-0,03)) = (+345) (-189) = (-65205) 31
12 Schwierige Textaufgaben 1. Aufgabe: Subtrahiere von (-0,72) den Quotienten der Zahlen 81 und (-0,27). Aufgabe: (-0,72) - (81 : (-0,27)) = (-0,72) = 299,28 2. Aufgabe: Addiere zum Produkt der Zahlen 0,55 und (-48) die Differenz der Zahlen (-4,4) und 3,9. Aufgabe: (0,55 (-48)) + ((-4,4) - 3,9) = (-26,4) + (-8,3) = (-34,7) 3. Aufgabe: Subtrahiere den Quotienten der Zahlen 19,5 und 15 von (-200,0). Aufgabe: (-200,0) - (19,5: 15) = (-200,0) - 1,3 = (-201,3) 4. Aufgabe: Subtrahiere das Produkt der Zahlen 0,345 und (-0,256) von der Differenz der Zahlen 56,7 und 2,56. Aufgabe: (56,7-2,56) - ( 0,345 (-0,256)) = 54,14 - (-0,08832) = 54,
13 Klammern und rechnen Es gilt: Klammern vor Potenzen vor Punktrechnung vor Strichrechnung Rechne aus: (1) (-26) (-130) : : 9 + (-66) 4 2 (-5) = (-5200) + (-10) = (-2575) (2) (-26) (-130) : : 9 + (-66) 4 2 (-5) = (-5200) + (-10) - (5 +(-264)) 2 (-5) = (-5210) = (-7800) (3) (-26) (-130) : : 9 + (-66) 4 2 (-5) = (-5330) : = (-410) = 2225 (4) 81 + (-34) (-167) = 47 (-20) = (-940) (5) 34 + (-154) : (-3) (-8) = (-120) : 24 = (-5) (6) 35 - (-15) 61 + (-56) = 50 5 = 250 (7) (0,05-2) (-45) = (-1,95) 300 = (-585) (8) 23 + (-3) - (-7) + 9 = 20-2 = 18
14 Für Könner (Bruchrechnung) 1. Aufgabe: Rechne aus. Beachte alle Regeln. a) : = = = b) : = = = = Aufgabe: a) : ( : ---- ) = = b) : ( ) : (- --- ) = = c) ( ) : ---- : ( ) : ( ) = =
(13+ 46) 4= (51+ 19) 6= (13+ 22) 6= (53+ 3) 5= Summe der Ergebnisse: 3 530 Summe der Ergebnisse: 3 259
Klammerrechnung Lösungen 1. Löse die Aufgaben wie im Beispiel. (+ 38) = 90 = 360 (9+ 31) 3= 60 3= 180 (3+ 36) 6= 70 6= 0 (63+ 17) 3= 80 3= 0 (19+ 1) 6= 0 6= 0 (7+ 16) 9= 90 9= 810 (36+ ) 8= 80 8= 60 (8+
Mehr(53+ 3) 5 = = Summe der Ergebnisse: 3.530 Summe der Ergebnisse: 3.259
Klammerrechnung 1. Löse die Aufgaben wie im Beispiel. (+ 38) = 90 = 360 (9+ 31) 3 = = (3+ 36) 6 = = (63+ 17) 3 = = (19+ 1) 6 = = (7+ 16) 9 = = (36+ ) 8 = = (8+ 7) 8 = = (3+ 8) 3 = = (13+ 6) = = (8+ 76)
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