4.5 Wechselstromkreise

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1 4.5 Wechselstromkreise Wechselstrom in vielen Punkten praktischer: ransformatoren Elektromotoren Frequenz als Referenz... Prinzip der Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung: V: Wechselstromgenerator 9

2 Φ mag = B A = B A cosθ ( ) Φ mag = B A cos ω t + δ Induktionsspannung: (A ist die Fläche der Leiterschleife) θ = ω t + δ ind (d Startwinkel) π ω = πf = d = Φ mag Kreisfrequenz dt ( ) ( t ) =+ B A ω sin ω t + δ = sin ω + δ 3

3 Wechselspannung, Wechselstrom echnische Wechselspannung in 35 V ; f = 5 Hz Beachte: ist nicht der Effektivwert eff = 3 V (siehe kommenden Abschnitt) I = It ( ) = I sin ω t+ ϕ R ( ) Beachte: Strom und Spannung können relativ zueinander in der Phase verschoben sein! 3

4 Zeitliche Mittelungsmöglicheiten glicheiten () ) Einfacher zeitlicher Mittelwert = tdt ( ) dt = Die gleichgroßen positiven und negativen Beiträge heben sich auf. 3

5 Zeitliche Mittelungsmöglicheiten glicheiten () ) Gleichrichtwert Alle negativen Anteile werden zuerst positiv gerichtet und erst dann wird gemittelt. = / t ( ) dt / = ( ) sin ω t dt = dt cos( ωt) ω = π =

6 Zeitliche Mittelungsmöglicheiten glicheiten (3) 3) Effektivwert Der Effektivwert eines Wechselstroms erzeugt in einem Ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Wärmeleistung wie ein Gleichstrom mit I = I eff P I I R t dt ( ) = = = mit = eff = R dt eff = = = sin ( ω t) dt / 34

7 Zeitliche Mittelungsmöglicheiten glicheiten (4) 3) Effektivwert (Fortsetzung) Ergebnis: eff = V 35 V eff = 3 V Analog: I I eff = I eff = I. 77 I 35

8 Widerstände im Wechselstromkreis () Im Wechselstromkreis schwingen und I i.allg. nicht gleichphasig. Je nach Bedeutung der relativen Phasen zwischen Strom und Spannung unterscheiden wir drei Kategorien von Widerständen: () Wirkwiderstand: Im Wirkwiderstand wird die elektrische Energie vollständig in nichtelektrische Energie (Wärme) umgewandelt. Da Stromrichtung hierbei keine Rolle spielt, gelten für den Wirkwiderstand im Wechselstromkreis die Gesetze des Gleichstromkreises: t t eff RΩ = () It = sinω = = () I sinωt I I Strom und Spannung sind in Phase. eff 36

9 Widerstände im Wechselstromkreis () () Induktiver Blindwiderstand: Betrache Spule mit Induktivität L und vernachlässigbarem Ohmschen Widerstand R Ω (t) Beim Anlegen einer Gleichspannung würde es also zum Kurzschluss kommen. Beim Anlegen einer Wechselspannung entsteht durch die Selbstinduktionsspannung ein induktiver Widerstand: L di L = = L di ( sin ω t ) = L I ω cosω t dt dt = L I + ω sin ωt π Folgerungen: Spannung eilt dem Strom um 9 voraus. L,max = ω L I eff = RL = ω L = ω L I I eff eff eff 37

10 Widerstände im Wechselstromkreis (3) () Induktiver Blindwiderstand (Fortsetzung): Wie groß ist die Wirkleistung des induktiven Widerstands? M.a.W.: Wieviel Energie wird in Wärme umgewandelt? P L = t () It () dt= I Induktive Wirkleistung ist Null! sinωt cosω t dt = 38

11 Widerstände im Wechselstromkreis (4) (3) Kapazitiver Blindwiderstand Betrache Kondensator mit Kapazität C Anlegen einer Gleichspannung Ladestrom, bis I = ; D.h.: Zu Beginn zeigt der Kondensator einen endlichen Widerstand, der langsam auf ansteigt. Wechselspannung ständige mladung, d.h. ständiger Strom Es scheint, als habe der Kondensator einen endlichen Widerstand It () dq() t dct ( ()) C d () = = = t = C d sinω t dt dt dt dt = ω C cos ωt (t) = ω C ω + π sin t 39

12 Widerstände im Wechselstromkreis (5) (3) Kapazitiver Blindwiderstand (Fortsetzung) Folgerungen: t ( ) = sin t ω It ( ) = ω C sin ωt+ π Strom eilt der Spannung um 9 voraus. (t) I eff eff = ω C = ω C = R C R C = ω C Kapazitive Wirkleistung ist Null, da auch hier keine elektrische Energie in Wärme umgewandelt wird. 4

13 Frequenzverhalten von Spulen und Kondensatoren R L = ω L für w d.h. hohe Frequenzen werden blockiert für w d.h. lässt Gleichstrom ungehindert hindurch R C = ω C für w d.h. lässt Höchstfrequenzen ungehindert hindurch für w d.h. blockiert Gleichstrom 4

14 Widerstände im Wechselstromkreis (6) (4) Scheinwiderstand (Impedanz): Sei nun der Ohmsche Widerstand der Spule nicht vernachlässigt (in der Realität ist das immer so): L Ω R L R L R Ω I(t) I(t) Ersatzschaltbild Spannungsabfall an R Ω ist phasengleich mit dem Strom I(t) Spannungsabfall an R L eilt dem gemeinsamen Strom I(t) um 9 voraus, damit auch dem Spannungsabfall an R Ω. 4

15 Widerstände im Wechselstromkreis (7) (4) Scheinwiderstand (Fortsetzung): Veranschaulichung von Strom und Spannung im Zeigerdiagramm: L R L Ges Ω R Ω I(t) L =I w L j Ges Ω =I R Ω I(t) Beide Spannungen addieren sich in jedem Augenblick 43

16 Widerstände im Wechselstromkreis (8) (4) Scheinwiderstand (Fortsetzung): L =I w L j Ges Ω =I R Ω I(t) L R L Ges I(t) Ω R Ω Beide Spannungen addieren sich in jedem Augenblick ( ) + ( ) = Ω, + L, = I R I ωl Ω I eff = = R Ω + ω L = Z I eff = I R + ω L Ω Quotient Z ist konstant und gleich dem Scheinwiderstand (Impedanz) der Spule mit dem Ohmschen Widerstand R Ω 44

17 Widerstände im Wechselstromkreis (9) (4) Scheinwiderstand (Fortsetzung): L =I w L j Ges Ω =I R Ω I(t) L R L Ges I(t) Ω R Ω Phasenverschiebung j zwischen Strom und Spannung:, tanϕ = L I ω L ω L = = Ω, I R R Ω Ω 45

18 Widerstände im Wechselstromkreis () (4) Scheinwiderstand - allg. Serienschaltung: L =I w L L Ges Ω C Ω =I R Ω I(t) R L R Ω C =I/w C j Ges I(t) Scheinwiderstand (Impedanz): Z = R + L Ω ω ωc Wirkwiderstand Blindwiderstand Phasenverschiebung zwischen Ges und I: tanϕ = ωl ωc R Ω 46

19 Widerstände im Wechselstromkreis () (4) Scheinwiderstand - allg. Parallelschaltung: I L hinkt nach I C eilt voraus I Ω gleichphasig j (t) IGes ( ) ( ) Ges Ω C L IGes = IΩ + IC IL I = I + I I I Ω I L I C = + ωc R ωl Ω Jetzt ist die Spannung an allen Bauelementen gleich! Y = Scheinleitwert = /Z 47

20 Widerstände im Wechselstromkreis () (4) Scheinwiderstand - allg. Parallelschaltung: I L hinkt nach I C eilt voraus I Ω gleichphasig j (t) IGes Jetzt ist die Spannung an allen Bauelementen gleich! Phasenschiebung zwischen der Gesamtstromstärke I und : ωc IC IL tanϕ = = ωl = R I Ω ωc Ω ωl R Ω V: Phasenschiebung 48

21 Zusammenfassung & Resonanz Reihenschaltung von R, L, C: Scheinwiderstand: Phasenverschiebung: Z = R + L ωl Ω ω ωc tanϕ = ωc R Parallelschaltung von R, L, C: Ω Y Scheinleitwert: = = C Z R + ω ωl Ω Phasenverschiebung: tanϕ = R ω Ω C ωl Scheinwiderstand (Impedanz) und Scheinleitwert jeweils minimal für ω L r = ω = ω C r r LC 49

22 Resonanz Reihenresonanz Z: Scheinwiderstand wird minimal, I =/Z I wird maximal bei Resonanz, und hängt dann nur noch von R Ω ab Hohe eilspannungen an L,C (heben sich nach außen gegenseitig auf) Parallelresonanz Y: Scheinleitwert minimal I = Y I wird minimal bei Resonanz, und hängt dann nur noch von R Ω ab Hohe eilsströme an L,C Gefahr für Bauelemente, Maximale Leistung wird umgesetzt 5

23 Resonanzversuch w klein L & L3 leuchten w groß L & L3 leuchten V: Resonanz/Sperrkreis w=w r L3 aus, L und L leuchten gleich hell (Sperrkreis) Schaltung wirkt als Filter, d.h.: Der Durchgang von Störfrequenzen wird gesperrt 5

24 Resonanz - Ein Beispiel L = H C = µf R = 5 Ω = V Res.-Frequenz: ω r = = LC 6 s- = 77 s - = π f f = s Res.-Stromstärke: I r = = Z = V R 5 Ω = A r (maximal) Einzelspannungen im Resonanzfall: Ir A Cr, = = ω C 77 6 Ω = 88 V! Lr, = Ir ω L = 77 V = 88 V Ω, r = Ir R= 5 = V! 5

25 Leistung im Wechselstromkreis - Blindleistung, Scheinleistung, Leistungsfaktor - Gleichstromkreis: P= I Nur in einem Ohmschen Widerstand wird elektrische Energie in Wärme umgesetzt Wirkwiderstand Momentanleistung im Wechselstromkreis: a) Ohmscher Widerstand: Pt () = t () It () P = sinωt I sinωt dt I = sin ωt dt = I = eff Ieff Strom und Spannung gleichphasig 53

26 Leistung im Wechselstromkreis () Momentanleistung im Wechselstromkreis: b) Kapazitiver Widerstand: Pt () = t () It () P(t)dt =, d.h.: keine Wirkleistung Strom eilt der Spannung 9 voraus c) Induktiver Widerstand: P(t)dt =, d.h.: keine Wirkleistung Ideale Spule und Kondensator verbrauchen keine Wirkleistung Strom hinkt der Spannung 9 nach 54

27 Leistung im Wechselstromkreis (3) Ideale Spulen und Kondensatoren verbrauchen also keine elektrische Leistung, trotzdem können wir im Wechselstromkreis einen endlichen Strom messen... Definiere daher: Blindleistung eines reinen kapazitiven oder induktiven Widerstands: Q = I Blindleistung tritt nach außen nicht in Erscheinung, Energie pendelt zwischen Kondensator, bzw. Spule und der Spannungsquelle hin und her 55

28 Leistung im Wechselstromkreis (4) Betrachte nun Kombination aus d) Wirk- und Blindwiderstand: I Blind j I I Wirk I Wirk =I cosj I Blind =I sin j Wirk- und Blindstromstärke P () t = () t I () t = t () It () cosϕ Wirk Wirk Integration wie auf S. 5 (Leistung eines Wirkwiderstands) liefert analog: PWirk = eff Ieff cosϕ Wirkleistung für beliebige Wechselstromkreise 56

29 Leistung im Wechselstromkreis (5) P = I cosϕ eff eff λ = cosϕ = eff P I eff heißt Leistungsfaktor = : rein Ohmscher Widerstand = : rein kapazitiver oder induktiver Widerstand Am Haushaltsstromzähler bezahlen wir: W = I cosϕ t elek eff eff d.h. nur die wirklich erbrachte Leistung. Dennoch ist auch die Ermittlung der Blindleistung Q= eff I eff sinj wichtig. Blindleistung sollte möglichst klein sein, um das Stromnetz nicht unnötig zu belasten. 57

30 Leistung im Wechselstromkreis (6) Bsp: Ein Elektromotor mit großen Magnetfeldwicklungen führt leicht zu einem Leistungsfaktor cosj =.6. Die Leistungsaufnahme betrage 8 Watt. I PWirk = eff Ieff cosϕ eff = eff PWirk 8 W = cos ϕ 3 V. 6 = 6 Ein besserer Motor mit gleicher Leistungsaufnahme habe einen Leistungsfaktor cosj =.8. Wie groß ist der Strom jetzt? PWirk 8 W Ieff ' = = = A cos ϕ 3 V. 8 eff Dieser Motor belastet das Netz also um 5% weniger! A 58

31 Leistung im Wechselstromkreis (6) Wie kann man die Beschaltung des Elektromotors modifizieren, um die Blindleistung zu reduzieren, d.h. den Leistungsfaktor zu erhöhen? Bei dem Elektromotor handelt es sich (elektrotechnisch gesehen) im wesentlichen um eine Spule mit einer Induktivität L und einem (seriellen) Ohmschen Widerstand R Ω Motor: L + R Motor: L + R Phasenschiebung zwischen I und um so größer, je größer L Parallelschaltung von Kapazität C reduziert die Phasenschiebung und verbessert den Leistungsfaktor 59

32 ransformator Windungszahl der Primärspule: N Windungszahl der Sekundärspule: N ~ V: ransformator ~ + ind Primärspule: I = = R Ω N R ~ Ω φ I R = N φ Ω ~ Sei R Ω : ~ = N φ Der gleiche magnetische Fluss durchsetzt die Sekundärspule: = N φ ( - wenn gleichsinnig gewickelt) ~ ~ ~ = bzw.: N N ~ ~ N = I N I Damit ist die Primärseitig aufgenommene Wirkleistung der sekundärseitig abgegebenen. (P sek /P prim für gute ransf.) 6

33 Dreiphasenwechselstrom Zweckmäßig zur Übertragung großer elektrischer Leistungen und für größere Motoren (P >.5 kw) R Prinzip der Erzeugung: 3 Spulenpaare je um versetzt S max gleich für alle drei Phasen 3 i() t = Wenn Belastung für alle drei Phasen gleich i= 3 Ii() t = i= 4 6

34 Durch geschickte Verkettung müssen für den Stromtransport nicht 3 Leitungspaare mit 6 Drähten verwirklicht werden: Dreieckschaltung Knotenregel an jedem Punkt: I R = I - I ; I S = I - I 3 ; I = I 3 - I Ströme jeweils um phasenverschoben: Leitungsstromstärke: I R = I S = I = 3 I Strang Leiterspannung: RS = S = R = Strang I I 6 I I R = 3 I Also nur drei Leitungen nötig! 6

35 Sternschaltung Leitungsstromstärke: I R = I S = I = I Strang Wie groß ist z.b. die Spannung zwischen & S? S 6 Mittelpunktsleiter MP ( Nullleiter ) führt bei gleicher Belastung der drei Phasen R,S, keinen Strom. S S = 3 S Leiterspannung: RS = S = R = 3 Strang 63

36 Öffentliches Stromnetz Öffentliches Stromnetz = Sternschaltung (4-Leiter System) Anlaufen des Motors: Strangspannungen: = R = S = 3 V (effektiv) Jeweils: ein Strang gegen Nulleiter (Steckdosen-Schaltung) Werden höhere Spannungen benötig, z.b. für einen starken E-Motor verwende Leiterspannungen RS, oder S, oder R, jeweils 3 V 3 4 V Stern-Dreieck-Schaltung für Drehstrommotoren : jeweils MP gegen Strang an die 3 Spulen des Motors; je 3 V Betrieb des Motors: jeweils Leiterspannungen... je 4 V 64