Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände

Transkript

1 Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände Axel Tobias Ein besonderer Dank geht an Ingo Treunowski, der die Übertragung meines Manuskriptes in L A TEX durchgeführt hat tob skript komplex.tex.

2 INHALTSVEZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis Komplexe Zahlen 3. Definition der komplexen Zahlen echenregeln Geometrische Darstellung Der Betrag komplexer Zahlen Winkel Wechselstromwiderstände und komplexe Zahlen 5 2. Allgemeines Parallelschaltung von zwei Kondensatoren eihenschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand Parallelschaltung - etwas ausführlicher Parallelschaltung von Spule mit ohmschem Widerstand und Kondensator

3 KOMPLEXE ZAHLEN 3 Komplexe Zahlen. Definition der komplexen Zahlen Zahlen der Form a + ib mit a, b und i 2 heißen komplexe Zahlen C. Offenbar ist i /, jedoch ist i C i 0+ i..2 echenregeln Alle bekannten echenregeln gelten auch in C ; zu beachten ist nur egel.. Addition: 3 4i i 9 + 3i 2. Subtraktion: 3 + 4i 6 7i 3 + i 3. Multiplikation: 8 + 3i 4 2i 32 6i + 2i 6i i i 4. Division: 2 + 3i 4 + 5i 2 + 3i4 5i 8 0i + 2i 5i i 4 + 5i4 5i 6 25i i 5. Potenzen von i : i 2 ; i 3 i ; i Kehrwert von i : Wegen i i i i.3 Geometrische Darstellung i i i gilt die Gleichung i 2 Ist die Zahl a + ib C gegeben, so heißt a der ealteil, b der Imaginärteil der komplexen Zahl. Da komplexe Zahlen durch die Angabe von 2 reellen Zahlen eindeutig bestimmt sind, lassen sie sich in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene geometrisch darstellen. Die Zahl 2 + 3i entspricht also dem Vektor von 0 0 nach 2 3 im normalen Koordinatensystem.

4 KOMPLEXE ZAHLEN 4 Abbildung : Die komplexe Zahlenebene.4 Der Betrag komplexer Zahlen Nach dem Satz des Pythagoras gilt vergleiche Abb. : a + bi a 2 + b 2 3 Also zum Beispiel 2 + 3i i Winkel Für die Zahl 2 + 3i gilt vergleiche Abb. tan ϕ 3 2. Allgemein gilt daher: tan ϕ Imaginärteil ealteil 4

5 2 WECHSELSTOMWIDESTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN 5 2 Wechselstromwiderstände und komplexe Zahlen 2. Allgemeines Abbildung 2: Wechselstromwiderstände und Phasenverschiebung Ohmscher Widerstand Ω reelle Zahl Ω Induktiver Widerstand L i L Kapazitiver Widerstand C i i C Trick: Durch i bzw. i wird also sofort die Phasenverschiebung zwischen Ut und It an C bzw. L bezüglich berücksichtigt Abb. 2. In der komplexen Schreibweise gelten jetzt die üblichen Gesetze zur Addition von Widerständen: eihenschaltung: Parallelschaltung: Beachte, daß bei der letzten Gleichung die Division von komplexen Zahlen vorliegt und keine Division von Vektoren. Diese gibt es im allgemeinen nicht.

6 2 WECHSELSTOMWIDESTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN Parallelschaltung von zwei Kondensatoren ges Setzt man nun + i + 2 i i 2 iωc + C 2 i ωc + C 2 ω 2 C + C 2 ωc + C 2 ωc + C 2, so folgt C ges C + C 2. ges 2.3 eihenschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand Ω + C + L + i i + i ges 2 + tan ϕ

7 2 WECHSELSTOMWIDESTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand + + Ω L C + i + i i + i + i ges tan ϕ 2.5 Parallelschaltung - etwas ausführlicher Vergleiche 2.4: + i + i + i i i i i 2 + Daraus erhält man mit den Gleichungen 3 und 4 von Seite 4 ges

8 2 WECHSELSTOMWIDESTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN 8 ges 2 + tan ϕ 2.6 Parallelschaltung von Spule mit ohmschem Widerstand und Kondensator Ω + L + i 2 i i 2 + i + i + L C + i Der Nenner wird durch Erweitern zur 3. binomischen Formel reell gemacht. L C i i 2 + L C i L C i 2 L C ges ges 2 + i L C ealteil 2 + Imaginärteil 2 Nenner 2 i i

9 2 WECHSELSTOMWIDESTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN 9 Der Zähler unter der Wurzel berechnet sich zu 2 L 2 C L2 2 2 L 2 C L L2 C L2 C 2 ω 2 2 L ω 2 L 2 ω 2 2 L ω 2 L ω 2 L 2 Zähler und Nenner lassen sich durch 2 + kürzen, so daß man ges 2 + ω 2 L erhält. Die Berechnung von tan ϕ erfolgt wie in den oben vorgeführten Beispielen.