Wir gehen aus vom euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden einander nicht.

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1 2 Ein wenig projektive Geometrie 2.1 Fernpunkte Projektive Einführung von Fernpunkten Wir gehen aus vom euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden einander nicht. Vereinbarung: Wir nehmen zu jeder Geraden einen Fernpunkt dazu (ein zusätzliches Element, das nicht zum euklidischen Raum gehört!) so dass gilt: Zwei verschiedene Geraden g, h haben denselben Fernpunkt : g h (pa) Damit (und mit den folgenden Vereinbarungen) wird der euklidische Raum abgeschlossen zum projektiv erweiterten oder projektiv abgeschlossenen euklidischen Raum.

2 Die euklidische Ebene wird abgeschlossen zur projektiv erweiterten oder projektiv abgeschlossenen euklidischen Ebene. Wir vereinbaren: Die Fernpunkte des Raumes bilden die Fernebene. Die Punkte, die nicht Fernpunkte sind, heißen eigentliche Punkte. Jede Ebene, die nicht Fernebene ist, heißt eigentliche Ebene. Die Fernpunkte jeder eigentlichen Ebene bilden die Ferngerade dieser Ebene. (Damit gilt: Jede eigentliche Ebene schneidet die Fernebene in einer Geraden.) Jede Gerade, die nicht Ferngerade ist, heißt eigentliche Gerade. Es gilt: Parallele eigentliche Ebenen haben dieselbe Ferngerade. Warum? (Damit gilt: Parallele eigentliche Ebenen schneiden einander in einer Geraden.)

3 (Es gilt auch: Nichtparallele eigentliche Ebenen schneiden einander in einer Geraden.) Insgesamt gilt: Satz: Je zwei (verschiedene) Ebenen im projektiv abgeschlossenen euklidischen Raum schneiden einander in einer Geraden. Es gilt auch Satz: Im projektiv abgeschlossenen euklidischen Raum schneidet jede Gerade g jede Ebene ε, die g nicht enthält, in genau einem Punkt S. S ist Fernpunkt g ε. Beweis: Selbständige Überlegung (aufschreiben!) In der projektiv abgeschlossenen euklidischen Ebene gilt: Je zwei nichtparallele eigentliche Geraden schneiden einander in einem eigentlichen Punkt.

4 Je zwei parallele eigentliche Geraden schneiden einander in einem Fernpunkt. Jede eigentliche Gerade schneidet die Ferngerade in einem Fernpunkt. Insgesamt gilt: Satz: Je zwei Geraden in der projektiv abgeschlossenen euklidischen Ebene schneiden einander in einem Punkt. Warum das Ganze? Sätze im projektiv abgeschlossenen Raum sind einfacher und kürzer als im euklidischen Raum. Es gibt weniger Ausnahmen (z.b. keine Parallelen). Beweise werden dadurch einfacher. (Weniger Fallunterscheidungen) Am Ende des Beweises muss man gegebenenfalls das Ergebnis euklidisch interpretieren.

5 2.1.2 Einfache Aussagen über den projektiv abgeschlossenen euklidischen Raum Satz: Zwei verschiedene Geraden g, h haben einen Schnittpunkt S g und h liegen in einer Ebene ε. Beweis: : g h = {S} 1. Fall: S Fernpunkt g h Beh. 2. Fall: S eigentlicher Punkt Beh. : g, h liegen in einer Ebene 1. Fall: g h = {S}, S eigentlicher Punkt Beh. 2. Fall: g h g, h schneiden einander in einem Fernpunkt Beh. Fertig! Oder haben wir etwas vergessen? Ja! g oder h oder beide können Ferngerade sein. Das ist noch zu untersuchen:

6 1. Fall: g Ferngerade und h eigentliche Gerade: Dann ist g Ferngerade einer eigentlichen Ebene ε. Dann ist h ε oder h nichtparallel ε. : g h = {S} Da S g ist S Fernpunkt. Da S ε Es gibt eine eigentliche Gerade h ε mit Fernpunkt S. Da S h h h h. Die Parallelebene ε zu ε durch h enthält h und hat dieselbe Ferngerade g wie ε. g, h ε Beh. : g, h liegen in einer Ebene ε g ist die Ferngerade von ε der Fernpunkt S von h liegt auf g Beh. 2. Fall: g, h sind beide Ferngeraden. Dann ist g Ferngerade einer eigentlichen Ebene α und h Ferngerade einer eigentlichen Ebene β. : g h = {S}. Man braucht nichts zu beweisen, weil g und h beide in der einen Fernebene liegen.

7 : g, h liegen in einer Ebene (schon erfüllt, da beide in der Fernebene liegen). Fall 2.1: α β Dann ist g = h. Das kann nach Vor. nicht sein. Fall 2.2: α nicht parallel zu β. Dann ist α β eine eigentliche Gerade k. Der Fernpunkt S von k liegt in α, also auf g und in β, also auf h. Beh. So ähnlich beweist man weitere Aussagen über den projektiv abgeschlossenen euklidischen Raum, z.b.: Satz: Drei Ebenen haben immer mindestens einen Punkt gemeinsam. Satz: Zu zwei windschiefen Geraden g, h (Geraden, die nicht in einer Ebene liegen) gibt es durch jeden gegebenen Punkt P / g h genau eine Treffgerade k (P k, k g, k h ). Satz: Zu einer Geraden g und einem Punkt P / g gibt es genau eine Ebene ε mit P ε und g ε.

8 Ist beim Beweis eine bestimmte Reihenfolge sinnvoll? Zentralprojektion einer Ebene auf eine dazu nicht parallele Ebene Tafelskizze Urbildebene ε ( Landschaft ) Bildebene π ( Leinwand ) Projektionszentrum Z ( Auge ) Urbildpunkt P P Bildpunkt Urbildgerade g g Bildgerade Bilder von Punkten in ε sind Punkte in π, speziell Bilder von Verschwindungspunkten in ε sind Fernpunkte in π Bilder von Geraden in ε sind Geraden in π, speziell Bild der Geraden der Verschwindungspunkte in ε ist die Ferngerade von π Geraden in ε, die einander in einem Verschwindungspunkt schneiden, haben parallele Bilder in π

9 Bilder paralleler Geraden in ε schneiden einander in einem Fluchtpunkt in π, dem Bild eines Fernpunktes Die Gerade der Fluchtpunkte in π, das Bild der Ferngeraden, ist der Horizont Anwendung: Vervollständigung der Perspektive eines Würfels mit karierten Seitenflächen Tafelskizze Frage: Kann man (pa) (siehe 2.1.1) erreichen oder nur wünschen? Konstruktion der Fernpunkte (Angabe eines Modells für die Fernpunkte) Ist g eine Gerade im euklidischen Raum, so bezeichne F g die Menge aller zu g parallelen Geraden, das Parallelenbündel von g.

10 Wir bezeichnen F g als Fernpunkt von g und setzen g := g {F g }. Damit ist F g g. (Ebenso: h := h {F h }.) Damit gilt: F g h F g = F h h F g g h. Damit ist (pa) erfüllt. (pa) führt nicht auf Widersprüche! Das Modell ist nicht besonders anschaulich, aber es zeigt die logische Widerspruchsfreiheit von (pa). Man kann sich vorstellen, dass der Fernpunkt auf der Geraden unendlich weit weg liegt. Aber Vorsicht: Jede Gerade hat nur einen Fernpunkt, nicht zwei! Es gibt auch andere Möglichkeiten, eine Ebene abzuschließen, zum Beispiel den konformen Abschluss (Gaußsche Zahlenebene) In R gibt es + und, in C nur.

11 2.2 Geometrie im projektiv abgeschlossenen euklidischen Raum P Zentralprojektion Geg.: Bildebene π, Projektionszentrum Z P 3 \ π, Abbildungsvorschrift P 3 \ {Z} π, X ZX π =: {X }. Tafelskizze Urbild Z Punkt Z Gerade nicht durch Z Gerade durch Z Ebene nicht durch Z Ebene durch Z Fernpunkt / π Fernpunkt π Bild kein Bild Punkt Gerade Punkt π Gerade eigentlicher Punkt gleich dem Urbild Ist Z ein Fernpunkt, so wird die Zentralprojektion zu einer Parallelprojektion. (Das ist ein Spezialfall, kein Entartungsfall!)

12 2.2.2 Kollineationen kollinear... auf einer Geraden liegend Eine Kollineation κ des P 3 ist eine bijektive Abbildung κ : P 3 P 3, die Geraden auf Geraden abbildet. Eine Kollineation κ des P 2 ist eine bijektive Abbildung κ : P 2 P 2, die Geraden auf Geraden abbildet. Beh.: κ Kollineation κ 1 Kollineation Bew.: g Gerade g = A B mit A g und B g κ 1 (g ) P 3 enthält mindestens die Punkte A := κ 1 (A ), B := κ 1 (B ). Die Verbindungsgerade AB =: g hat als Bild eine Gerade κ(g). Die Gerade κ(g) enthält κ(a) = A und κ(b) = B, ist also gleich g. Der Beweis gilt für Kollineationen des P 3 und des P 2 in gleicher Weise.

13 2.2.3 Kollineationen κ des P 3 mit Fixpunktebene γ und Fixpunkt Z / γ (Homologien) Geg.: Paar (X, X ), X / γ {Z}, X = κ(x) ZX \ (γ {Z} ) Ges.: Y := κ(y ) für Y / γ ZX Tafelskizze XY γ =: {S} ist Fixpunkt κ(xy ) = κ(xs) = X S Y X S ZY γ ist Fixpunkt ZY ist Fixgerade Y ZY Y X S ZY Ist dadurch eine Kollineation gegeben? Auf ZX \ {Z} γ muss die Abbildung noch definiert werden, z.b. mit der Geraden ZY.

14 κ ist tatsächlich eine Kollineation. Der Beweis ist nicht einfach und erfordert Fallunterscheidungen. Beim Beweis findet Verwendung: das projektive Axiom von Desargues. Frage: Was ist eine Homologie, bei der γ die Fernebene ist? Frage: Was sind Eigenschaften einer Homologie, bei der Z ein Fernpunkt ist? Frage: Was sind Eigenschaften einer Homologie, bei der Z der Fernpunkt eines Lotes von γ ist?

15 2.2.4 Harmonische Lage von vier Punkten auf einer Geraden Tafelskizze Geg.: ebenes Vierseit P QRS mit den Seiten p := P Q, q := QR, r := RS, s := SP Schnittpunkte der Gegenseiten p r =: {A}, q s =: {B} Schnittpunkte von AB mit den Diagonalen AB QS =: {C}, AB P R =: {D} Dann heißen die vier Punkte A, B, C, D (in dieser Reihenfolge) in harmonischer Lage. Satz: Sind A, B, C, D in harmonischer Lage, so auch A, B, D, C sowie B, A, C, D und B, A, D, C. Bew.: Vertauschen von P mit S und Q mit R ändert A und B nicht, vertauscht aber C und D. Vertauschen von Q mit S ändert C und D nicht, vertauscht aber A und B.