53 Die Parsevalsche Gleichung

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1 53 Die Parsevalsche Gleichung 53 Die Parsevalsche Gleichung Skalarprodukte auf Räumen quadratintegrierbarer Funktionen. a) Die Orthogonalitätsrelationen (5.5) legen die Interpretation des Ausdrucks π f,g := f(x)g(x)dx () als Skalarprodukt nahe. Dieser liefert in der Tat ein Skalarprodukt auf C[ π, π], aber nur ein Halbskalarprodukt auf dem Raum R[ π, π] der Riemann-integrierbaren Funktionen. b) Auf L [ π,π] lässt sich () nicht definieren, wegen fg(x) f(x) + g(x) jedoch auf dem Raum L [ π,π] := {f M([ π,π],c) π f(x) dx < } () der quadratintegrierbaren Funktionen auf [ π, π]. Man erhält ein Halbskalarprodukt auf diesem Raum mit f,f = 0 f(x) = 0 fast überall. (3) c) Analog zu 47.5 erhält man durch Identifikation fast überall gleicher Funktionen den Raum L ([ π,π]) := L ([ π,π]) / N([ π,π]), (4) auf dem () ein Skalarprodukt definiert. d) Analog kann man für jede meßbare Menge A M(R n ) den Raum L (A) der quadratintegrierbaren Funktionen auf A definieren. 53. Skalarprodukte und Hilberträume. a) Es sei, ein Halbskalarprodukt auf einem Vektorraum E. Für x,y E gilt dann die binomische Formel x+y,x+y = x,x +Re x,y + y,y. (5) b) Weiter hat man die Schwarzsche Ungleichung c) Durch x,y x,x y,y, x,y E. (6) x := x,x (7) wird eine Halbnorm auf E definiert, die im Fall eines Skalarprodukts natürlich eine Norm ist. Das Halbskalarprodukt () definiert auf L [ π,π] die Halbnorm f = ( π f(x) dx ) /, (8) die die Konvergenz im quadratischen Mittel beschreibt. d) Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt, der unter der Norm (7) vollständig ist. Hilberträume sind z. B. eine Grundstruktur der Quantenmechanik. e) Für A M(R n ) sind die Räume L (A) und L (A) vollständig; L (A) ist also ein Hilbertraum. Dies lässt sich mit Hilfe der Konvergenzsätze der Integrationstheorie zeigen, vgl. etwa [A3], Satz 7.7 oder [GFA], Satz A.3.4.

2 5 VIII. Fourier - Reihen Die folgenden Argumente verwenden die Vollständigkeit von L [ π,π] nicht, da wir diese nicht bewiesen haben. Weitergehende Ausführungen im Rahmen von Hilberträumen findet man in [A3], Abschnitt 3 oder [GFA], Kapitel Definition. Es sei E ein Vektorraum mit Halbskalarprodukt. a) Für M E wird durch M := {x E x,a = 0 für alle a M} das Orthogonalkomplement von M definiert. b) Zwei Mengen M,N E heißen orthogonal, falls M N ist, falls also x,y = 0 für alle x M und y N gilt; man schreibt dann M N. c) Es sei Z eine (endliche oder unendliche) Indexmenge. Eine Menge {v k } k Z E von Vektoren heißt Orthonormalsystem, falls stets v k = und v k,v l = 0 für k l gilt. Für einpunktige Mengen schreibt man x N statt {x} N Beispiele und Bemerkungen. a) Aufgrund von (5.5) bilden die Funktionen {e ikx } k Z ein Orthonormalsystem in L [ π,π]. Die Halbskalarprodukte f,e ikx = f(k) = π f(x)e ikx dx (9) sind gerade die Fourier-Koeffizienten von f L [ π,π]; daher werden auch für ein allgemeines Orthonormalsystem {v k } k Z in E die Zahlen x(k) := x,v k Fourier- Koeffizienten von x E bezüglich {v k } k Z genannt. b) Wegen (5) gilt der Satz des Pythagoras x+y = x + y für x y. (0) Für ein endliches Orthonormalsystem {v,...,v m } in E und α k K ergibt sich induktiv daraus m α k v k = m α k. () Somit ist ein Orthonormalsystem {v,...,v m } linear unabhängig, also eine Basis von F := [v,...,v m ], und das Halbskalarprodukt ist definit auf F. Das Orthonormalsystem {v,...,v m } heißt dann Orthonormalbasis von F Satz. Es seien E ein Vektorraum mit Halbskalarprodukt, {v,...,v m } ein Orthonormalsystem in E und F = [v,...,v m ]. a) Zu x E gibt es genau einen Vektor Px F mit der Eigenschaft x Px F. Dieser ist gegeben durch Px := P F x := m x(k)v k = m x,v k v k. ()

3 53 Die Parsevalsche Gleichung 53 b) Unter allen Vektoren y F wird der Abstand x y genau für y = Px minimal. Insbesondere gilt x Px = d F (x) x y für alle y F. c) Die Abbildung P : E F, P(x) := Px, ist linear mit P = und P(x) = x für x F. Beweis. a) Es sei Px F durch () definiert. Für k =,...,m ist dann x Px,v k = x,v k m x,v k v k,v k = x,v k m x,v k δ kk = 0, und es folgt x Px F. Ist umgekehrt y = m α k v k F mit x y F, so gilt also y = Px. 0 = x y,v k = x,v k y,v k = x,v k α k für k =,...,m, b) Für y F gilt auch z := y Px F. Nach (0) folgt x y = x Px z = x Px + z, (3) und dies ist genau für z = 0, wegen () also für z = 0 minimal. c) Die Linearität von P folgt sofort aus (), und y := 0 in (3) liefert Px x. Nach b) gilt Px = x für x F und daher P =. Die in () definierte lineare Abbildung P : E F heißt orthogonale Projektion von E auf F ; nach Satz 53.5b) liefert P(x) die eindeutig bestimmte bestmögliche Approximation in F an den Vektor x E Satz (Besselsche Ungleichung). Es seien E ein Vektorraum mit Halbskalarprodukt und {v k } k Z ein Orthonormalsystem in E. Dann gilt x(k) x für alle x E. (4) Beweis. Für m N sei F m := [v k k m] und P = P Fm. Wegen x P(x) F m gilt x = x P(x) + P(x) nach Pythagoras, und wegen () und () folgt 0 x m x(k)v k = x m x(k) (5) für alle m N. Dies impliziert (4). Die wichtige Frage nach Gleichheit in (4) beantwortet

4 54 VIII. Fourier - Reihen 53.7 Satz. Es seien E ein Vektorraum mit Halbskalarprodukt, {v k } k Z ein Orthonormalsystem in E und F := [v k ] k Z. Für einen Vektor x E sind äquivalent: (a) x F, (b) x = (c) x = x(k)v k, d.h. x n x(k)v k 0 für n, x(k) (Parsevalsche Gleichung). Beweis. (b) (c) folgt sofort aus (5), (b) (a) ist klar. (a) (b) : Für n N sei F n := [v k k n]. Zu x F und ε > 0 gibt es m N und y = m α k v k F mit x y < ε. Für n m ist dann y F n, und aus Satz 53.5b) folgt x n x(k)v k = x P Fn (x) x y < ε für n m. Ein Orthonormalsystem {v k } k Z in E heißt Orthonormalbasis von E, falls der Raum F = [v k ] k Z in E dicht ist. Für Orthonormalbasen {v k } k Z von E gelten also die Aussagen (b) und (c) von Satz 53.7 für alle x E Dichtheitsaussagen. a) Das Orthonormalsystem {e ikx } k Z ist eine Orthonormalbasis von L [ π,π]; dazu benötigt man die Dichtheit des Raums der trigonometrischen Polynome T := [e ikx ] k Z in L [ π,π]. b)nachdemsatzvonfejér5.8ist T dicht inc (R) bezüglich sup, erstrecht also bezüglich. Weiter sieht man leicht, dass C (R) bezüglich in C := C[ π,π] dicht ist. Für die Dichtheit von C in L [ π,π] bzw. im Hilbertraum L [ π,π] sei auf [A3] oder den Anhang von [GFA] verwiesen. c) Man sieht leicht, dass eine beschränkte Funktion f mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen in C und somit auch in T liegt. d) Für eine beschränkte Funktion f : [ π,π] C gilt σ n (f) sup f sup für alle n N aufgrund von (5.7). Ist nun f in fast allen Punkten stetig (dies bedeutet genau die Riemann-Integrierbarkeit von f, vgl. 47.4c)), so gilt σ n (f;x) f(x) fast überall nach dem Satz von Fejér, und es folgt π σ n(f;x) f(x) dx 0 für n nach dem Satz über majorisierte Konvergenz wegen σ n (f;x) f(x) 4 f sup für alle n N und x [ π,π]. Somit gilt f T. Nun können wir das Hauptergebnis des Abschnitts formulieren: 53.9 Theorem. DieFunktionen{e ikx } k Z bildeneine OrthonormalbasisvonL [ π,π]. Für f L [ π,π] konvergiert also die Fourier-Reihe im quadratischen Mittel gegen f, d.h. es gilt f n f(k)e ikx 0 für n, (6)

5 53 Die Parsevalsche Gleichung 55 und man hat die Parsevalsche Gleichung f(k) = f = π f(x) dx. (7) 53.0 Bemerkung. MitdenKoeffizienten a k, b k derreellenfourier-entwicklung von f L [ π,π] (vgl. (5.) (5.4)) gilt die Parsevalsche Gleichung in der Form a 0 + a k + b k = π π f(x) dx. (8) 53. Beispiel. Die Funktion f L [0,] mit f(x) := ist ungerade. Daher gilt a k = 0, und man hat { π x, 0 < x < 0, x = 0, b k = π 0 Folglich gilt f(x) = π x sinkxdx = k. sinkx k im Sinne der L -Konvergenz, und die Parsevalsche Gleichung liefert die Eulersche Formel = ( ) π x dx = π k π 0 6. (9) 53. Satz. Für f C (R) C (R) gilt f(k) < ; (0) insbesondere konvergiert die Fourier-Reihe von f absolut und gleichmäßig gegen f. Beweis. Partielle Integration liefert f(k) = ik f (k), () da sich die ausintegrierten Terme wegen der Periodizität wegheben. Aus der Schwarzschen Ungleichung im R n und der Besselschen Ungleichung folgt weiter n k = f(k) = n f n k (k) ( k = k = für alle n N. Wegen e ikx = ist dann ) / n ( k k = k Z f (k) ) / π 3 f f(k)e ikx absolut und gleichmäßig konvergent. Wegen Bemerkung 5.9 b) muß die Summe der Reihe mit f übereinstimmen; dies folgt auch aus (6), da die L -Halbnorm auf C[ π,π] definit ist. Satz 53. gilt auch für periodische Funktionen, die nur stückweise C sind, vgl. dazu 38.5 und 56.. Eine wesentliche Verschärfung dieser Aussage findet man in [GFA], Satz 6.3 und Folgerungen. Für Resultate zur punktweisen Konvergenz von Fourier-Reihen sei auf [A], Abschnitt 40* verwiesen.