Seminar Gewöhnliche Dierentialgleichungen

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1 Seminar Gewöhnliche Dierentialgleichungen Dynamische Systeme II Valentin Jonas Einleitung In dem letzten Kapitel "Dynamische Systeme I" ging es vor allem um in t glatte, autonome, dynamische Systeme und was man über ihre Lösungen aussagen kann. In dem Kapitel "Dynamische Systeme II" wollen wir uns kurz mit nicht-autonomen Systemen befassen und anschlieÿend die Annäherung von Lösungen mit Hilfe der Variationsgleichung betrachten. Zudem werden wir die Existenz der räumlichen Ableitungen des Flusses nachweisen. 2 Nicht-autonome Systeme 2.1 Nicht-autonome Systeme Zunächst wollen wir kurz nicht-autonome Dierentialgleichungen betrachten, um später mit deren Hilfe die Glattheit von autonomen Flüssen in X zu beweisen. Sei O R R n eine oene Menge und sei F : O R n aus C 1 in X und stetig in t. Sei (t, X ) O. Dann ist die Lösung der nicht-autonomen Dierentialgleichung X (t) = F (t, X), X(t ) = X eine dierenzierbare Funktion X(t) in R n für t in einem Intervall J, sodass 1. t J mit X(t ) = X und 2. (t, X(t)) O und X (t) = F (t, X(t)) für alle t J. Der Fundamentalsatz für nicht-autonome Dierentialgleichungen lautet wie folgt. Satz 2.1. Existenz und Eindeutigkeit Sei O R R n oen und F : O R n aus C 1 in X und stetig in t. Wenn (t, X ) O, dann existiert ein oenes Intervall J und eine eindeutige Lösung X, sodass t J: X = F (t, X) und X(t ) = X gilt. Der Beweis dieses Satzes ist analog zu dem Beweis für autonome Systeme (siehe dynamische Systeme I). 1

2 2.2 Systeme mit Matrizen Korollar 2.2. Sei A(t) eine stetige Familie von n n Matrizen und (t, X ) J R n. Dann hat das Startwertproblem X = A(t)X, X(t ) = X eine eindeutige Lösung für t J. Beispiel 2.3. Man betrachte die lineare, nicht-autonome Dierentialgleichung ersten Grades: x = a(t)x. Die eindeutige Lösung mit x() = x ist durch ( ) x(t) = x exp a(s)ds gegeben, was durch Ableiten leicht veriziert wird. Wir benötigen dabei nicht Dierenzierbarkeit von a(t), sondern nur Stetigkeit. (Bem: Es gilt das Linearitäts-Prinzip, das heiÿt aus Y = A(t)Y und Z = A(t)Z folgt α, β R : (αy + βz) = A(t)(αY + βz).) 2.3 Lipschitz-Stetigkeit Denition 2.4. Sei O R R n oen und F : O R n. Wir nennen F (t, X) Lipschitz-stetig in X, wenn eine Konstante K R existiert, sodass (t, X 1 ), (t, X 2 ) O : F (t, X 1 ) F (t, X 2 ) K X 1 X 2. Mit Hilfe der Lipschitz-Stetigkeit können wir nun folgenden Satz aufstellen: Satz 2.5. Abschätzung von Lösungen Sei O R R n oen mit (, X ) O. Seien die Funktionen F, G : O R n aus C 1 in X und stetig in t. Es gelte (t, X) O : F (t, X) G(t, X) < ɛ. (2.1) Sei K eine Lipschitz-Konstante in X für F (t, X). Falls X(t) und Y (t) die Gleichungen X = F (t, X) und Y = G(t, Y ) auf einem Zeitintervall J lösen und X() = X = Y () gilt, dann folgt t J : X(t) Y (t) ɛ (exp(k t ) 1). K Beweis. Es gilt für t J: Daraus folgt: X(t) Y (t) X(t) Y (t) = (X (s) Y (s))ds = (F (s, X(s)) F (s, Y (s))) ds + (F (s, X(s)) G(s, Y (s)))ds (F (s, Y (s)) G(s, Y (s))) ds 2

3 Mit Lipschitz-Stetigkeit und (2.1) erhalten wir X(t) Y (t) Sei u(t) := X(t) Y (t). Dann gilt K X(s) Y (s) ds + ( u(t) K u(s) + ɛ ) ds K u(t) + ɛ K ɛ ( K + K u(s) + ɛ ) ds. K Aus der Gronwall'schen Ungleichung folgt: u(t) + ɛ K ɛ exp(k t ) K ɛ ds. X(t) Y (t) ɛ K exp(k t ) ɛ K 3 Die Variationsgleichung In diesem Kapitel werden wir wieder autonome nicht-lineare Dierentialgleichungen betrachten. Die Variationsgleichung wird uns dabei helfen, Lösungen für ein System X = F (X) anhand einer bekannten Lösung zu approximieren. 3.1 Die Variationsgleichung Wir werden zunächst festlegen, was eine Variationsgleichung ist. Anschlieÿend werden wir ein Beispiel sehen und einen Satz beweisen. Wir betrachten also das autonome, nicht-lineare System X = F (X). Sei X(t) eine Lösung dieses Systems für t J = [α, β]. Wir wählen ein festes t J und setzen X(t ) = X. Für alle t J sei A(t) = DF X(t), die Jacobimatrix von F im Punkt X(t) R n. Da F aus C 1 ist, ist A(t) eine stetige Familie von n n Matrizen. Wir betrachten die nicht-autonome lineare Gleichung U = A(t)U. Diese Gleichung nennt man V ariationsgleichung entlang der Lösung X(t). Wir wissen aus Korollar 2.2, dass diese eine eindeutige Lösung hat, die für t J und für jeden Startwert U(t ) = U deniert ist. Wir können nun mit der Funktion t X(t) + U(t) eine Lösung Y (t) des Systems X = F (X) mit dem Startwert Y (t ) = X +U annähern (dabei nehmen wir an, dass U hinreichend klein ist). 3

4 Proposition 3.1. Man betrachte das System X = F (X), wobei F aus C 1 ist. Angenommen 1. X(t) löst X = F (X) für t [α, β] und erfüllt X(t ) = X 2. U(t) löst die Variationsgleichung entlang X(t) und erfüllt U(t ) = U 3. Y (t) löst X = F (X) und erfüllt Y (t ) = X + U Dann gilt gleichmäÿig in t. Daraus folgt ɛ > δ > : U δ: Y (t) (X(t) + U(t)) lim =. U U Y (t) (X(t) + U(t)) ɛ U für alle t [α, β]. Also wird t X(t) + U(t) für U eine immer bessere Approximation von Y (t). Da U(t) linear in U ist, benutzt man diese Annäherung. Beispiel 3.2. Man betrachte das nicht-lineare Dierentialgleichungssystem x = x + y 2 y = y. Oensichtlich löst X(t) (, ) das System. Wir berechnen nun die Jacobimatrix DF in X(t): ( ) d x dx F = d ( ) ( ) x + y 2 1 = y dx y ( ) d x dy F = d ( ) ( ) ( ) x + y 2 2y = = y dy y 1 1 ( ) 1 DF = 1 Die Variationsgleichung wird also gegeben durch U = DF (U) = ( ) 1 U, 1 was ein autonomes, lineares System ist. Wir haben also ein nicht-lineares System auf ein lineares, autonomes System reduziert und erhalten als Lösungen des Systems ( x e U(t) = t ) y e t. Proposition 3.1 garantiert, dass die Lösung des nicht-linearen Systems durch den Punkt (x, y ) auf dem Intervall [ τ, τ] gegen U(t) konvergiert, wenn (x, y ). 4

5 An dieser Stelle sei gesagt, dass diese Ergebnisse allgemein für nicht-lineare Systeme von Dierentialgleichungen gelten, da wir für jedes System X = F (X) mit einem Gleichgewichtspunkt X eine Variationsgleichung entlang X berechnen können. DF X ist eine konstante Matrix A und die Variationsgleichung U = AU somit ein autonomes, lineares System, welches wir linearisiertes System von X = F (X) in X nennen. Wir wissen auÿerdem, dass der Fluss des linearisierten Systems exp(ta)u ist, also gilt nach Proposition 3.1, dass in der Nähe eines Gleichgewichtspunkts eines nicht-linearen Systems das Phasenportrait dem des linearisierten Systems in X entspricht. Angenommen wir kennen die Lösung X(t), können wir nun mit Hilfe der Proposition 3.1 dφ berechnen. Satz 3.3. Sei X = F (X) ein Dierentialgleichungssystem wobei F aus C 1 ist. Sei X(t) deniert für t [α, β] eine Lösung des Systems mit X() = X und sei U(t, U ) die Lösung der Variationsgleichung entlang X(t), für die U(, U ) = U gilt. Dann folgt Dφ t (X )U = U(t, U ), das heiÿt, dass dφ angewandt auf U durch Lösen der entsprechenden Variationsgleichung durch U gegeben ist. Beweis. Mit Proposition 3.1 gilt für alle t [α, β] φ t (X + hu ) φ t (X ) U(t, hu ) Dφ t (X )U = lim = lim = U(t, U ). h h h h Also existiert die räumliche Ableitung. Beispiel 3.4. Um diese Ideen zu verdeutlichen, betrachten wir die Dierentialgleichung ersten Grades x = x 2. Eine einfache Integration zeigt, dass mit x() = x die Gleichung löst. Es folgt: x(t) = x x t 1 dφ dx (t, x ) = 1 (x t 1) 2 Wir erhalten zudem die Variationsgleichung für x(t) durch u = 2x(t)u = 2x x t 1 u. Die Lösung dieser Gleichung mit u() = u ist wie benötigt ( ) 1 2 u(t) = u. x t 1 5

6 3.2 Glattheit des Flusses Wir betrachten wieder (vergl. 3.1) eine autonome Dierentialgleichung X = F (X) mit der Variationsgleichung U = A(t)U entlang von X(t). Wir haben mit Satz 3.3 schon gezeigt, dass der Fluss φ(t, X) = φ t (X) auch in X ableitbar ist und den Wert dφ ermittelt. Es bleibt noch zu zeigen, dass dφ stetig ist. Wir betrachten alle Lösungen deniert für t J, wobei J abgeschlossen um ist. Ist U klein, so ist die Funktion t X(t) + U(t) eine gute Annäherung für eine Lösung Y (t) des Systems X = F (X) mit Y () = X + U. Sei also U(t, ξ) eine Lösung der Variationsgleichung mit U(, ξ) = ξ und ξ R n. Sei zudem X + ξ O und sei Y (t, ξ) eine Lösung des ursprünglichen Systems mit Y () = X + ξ. Proposition 3.5. Sei J ein abgeschlossenes Intervall um. Sei X(t) deniert auf J. Dann konvergiert gegen für alle t J. Y (t, ξ) X(t) U(t, ξ) lim ξ ξ Beweis. Folgende Integralgleichungen werden von X(t), Y (t, ξ) und U(t, ξ) erfüllt: Daraus folgt direkt: X(t) = X + Y (t, ξ) = X + ξ + U(t, ξ) = ξ + F (X(s))ds F (Y (s, ξ))ds DF X(s) (U(s, ξ))ds Y (t, ξ) X(t) U(t, ξ) F (Y (s, ξ)) F (X(s)) DF X(s) (U(s, ξ)) ds. Mit Hilfe der Taylor-Approximation von F in einem Punkt Z erhalten wir wobei F (Y ) = F (Z) + DF Z (Y Z) + R(Z, Y Z), R(Z, Y Z) lim =. Y Z Y Z Wir setzen Y = Y (s, ξ), Z = X(s) und erhalten Y (t, ξ) X(t) U(t, ξ) F (X(s)) + DF X(s) (Y (s, ξ) X(s)) + R(X(s), Y (s, ξ) X(s)) F (X(s)) DF X(s) (U(s, ξ)) ds. 6

7 Mit der Dreiecksungleichung und der Linearität von DF X(s) erhalten wir Y (t, ξ) X(t) U(t, ξ) DF X(s) (Y (s, ξ) X(s) U(s, ξ)) ds Wir denieren die linke Seite der Ungleichung als g(t) und setzen Also erhalten wir g(t) N + N := max ( DF X(s) s J). g(s)ds + Man wähle nun ɛ > und δ >, sodass R(X(s), Y (s, ξ) X(s)) ds. R(X(s), Y (s, ξ) X(s)) ds. R(X(s), Y (s, ξ) X(s)) ɛ Y (s, ξ) X(s), wobei Y (s, ξ) X(s) δ für s J gilt. Es existieren nun Konstanten K und δ 1 >, sodass Y (s, ξ) X(s) ξ exp(ks) δ für ξ δ 1 und s J. Sei ξ δ 1, dann gilt für t J sodass g(t) N g(t) N g(s)ds + ɛ ξ e Ks ds, g(s)ds + Cɛ ξ für eine Konstante C, die abhängig von der Gröÿe von K und der Länge von J gewählt wird. Wir wenden nun die Gronwall'sche Ungleichung an und erhalten g(t) Cɛe Nt ξ für t J und ξ δ 1. Da ɛ als beliebige positive Zahl gewählt wurde, folgt g(t) ξ für t J, was die Proposition beweist. Mit Hilfe dieser Proposition sind wir nun in der Lage zu beweisen, dass Flüsse glatt, also aus C 1 sind. Satz 3.6. Glattheit von Flüssen Der Fluss φ(t, X) des autonomen Systems X = F (X) ist eine C 1 -Funktion in X. Also existieren dφ dφ dt und, welche stetig in t und X sind. 7

8 Beweis. Oenbar ist dφ(t,x) dt = F (φ t (X)) stetig (wie wir aus "Dynamische Systeme I"wissen). Die Existenz und der Wert von dφ folgt aus Satz 3.3. Zu zeigen ist also noch die Stetigkeit von dφ(t,x ) in X. Seien also X und X Startwerte der Lösungen X t (X ) und X t ( X ) von X = F (X) mit X X δ. Man erhält die zugehörigen Jacobimatrizen Wir denieren Es folgt A(t) = DF (X t (X )) Ã(t) = DF (X t ( X )). G(t, Y ) = A(t)Y G(t, Y ) = Ã(t)Y. G(t, Y ) G(t, Y ) = (DF (X t (X )) DF (X t ( X )))Y ɛ Y Cɛ für ein ɛ > und (t, Y ) beschränkt, da X X δ. Nun können wir Satz 2.5 anwenden und erhalten U X (t) U X (t) ɛ K (exp(k t ) 1) C ɛ für eine Konstante C. Damit ist die Stetigkeit von dφ(t,x ) dierenzierbar in t und in X. bewiesen, und φ(t, X) ist stetig Wir gehen abschlieÿend noch kurz auf Gleichgewichtspunkte in Flüssen ein. Wir wählen X e, sodass φ t (X e ) X e. Sei A = DF Xe, dann erhalten wir d dt (Dφ t(x e )) = ADφ t (X e ) mit Dφ (X e ) = I. Die Lösung dieser Gleichung ergibt sich (vergl. Matrizenexponential) durch Dφ t (X e ) = exp ta, also ist der Fluss in der Umgebung eines Gleichgewichtspunktes annähernd linear. 8