DuE-Tutorien 17 und 18
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1 DuE-Tutorien 17 und 18 Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery TUTORIENWOCHE 3 AM KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Heute Hammingcode Gesetze der Schaltalgebra Boolesche Funktionen DNF und KNF Übungsaufgaben Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 2/22
3 Hammingcode Fehlerkorrigierender linearer Blockcode, d.h. Abbildung von Datenwörtern fester Länge auf Codewörter (anderer) fester Länge Summe zweier Codewörter ist wieder ein Codewort Alle folgenden Folien: Hammingcode-Konstruktion der Vorlesung (Hamming-Abstand 3) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 3/22
4 Eigenschaften Hamming-Distanz ist drei Ein-Bit-Fehler können erkannt und korrigiert werden Zwei-Bit-Fehler können nur erkannt werden Problem: Erkennung Wie viele Bitfehler liegen vor? Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 4/22
5 Konstruktion Codewortbits werden beginnend mit Eins gezählt Die Prüfbits stehen an den Zweierpotenzen-Stellen Die Zahl k der Prüfbits hängt von der Zahl m der Datenbits ab Es muss gelten: 2 k k + m + 1 Prüfbit prüft die Stellen mit der Nummer, die jeweilige Zweierpotenz enthalten Beispiel: Prüfbit 2 prüft Codewortbits 3, 6, 7, 10, 11,... Kein Prüfbit prüft ein anderes Prüfbit (Zweierpotenzen!) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 5/22
6 Konstruktion Codewortbits werden beginnend mit Eins gezählt Die Prüfbits stehen an den Zweierpotenzen-Stellen Die Zahl k der Prüfbits hängt von der Zahl m der Datenbits ab Es muss gelten: 2 k k + m + 1 Prüfbit prüft die Stellen mit der Nummer, die jeweilige Zweierpotenz enthalten Beispiel: Prüfbit 2 prüft Codewortbits 3, 6, 7, 10, 11,... Kein Prüfbit prüft ein anderes Prüfbit (Zweierpotenzen!) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 5/22
7 Konstruktion Codewortbits werden beginnend mit Eins gezählt Die Prüfbits stehen an den Zweierpotenzen-Stellen Die Zahl k der Prüfbits hängt von der Zahl m der Datenbits ab Es muss gelten: 2 k k + m + 1 Prüfbit prüft die Stellen mit der Nummer, die jeweilige Zweierpotenz enthalten Beispiel: Prüfbit 2 prüft Codewortbits 3, 6, 7, 10, 11,... Kein Prüfbit prüft ein anderes Prüfbit (Zweierpotenzen!) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 5/22
8 Codierung und Decodierung Codierung: Man berechnet die Prüfbits durch Antivalenz (XOR) zwischen entsprechenden Datenbits Decodierung: Man berechnet für jedes Prüfbit die Antivalenz aller anderer Datenbits zusammen mit dem entsprechenden Prüfbits Alle Werte sind 0 Kein Ein-/Zwei-Bit-Fehler Mindestens ein Wert 0 Falls Ein-Bit-Fehler vorliegt, liefern die Werte als Binärzahl die Stelle des Fehlers Trick für Antivalenz: Zahl der Einsen zählen (gerade Zahl 0) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 6/22
9 Codierung und Decodierung Codierung: Man berechnet die Prüfbits durch Antivalenz (XOR) zwischen entsprechenden Datenbits Decodierung: Man berechnet für jedes Prüfbit die Antivalenz aller anderer Datenbits zusammen mit dem entsprechenden Prüfbits Alle Werte sind 0 Kein Ein-/Zwei-Bit-Fehler Mindestens ein Wert 0 Falls Ein-Bit-Fehler vorliegt, liefern die Werte als Binärzahl die Stelle des Fehlers Trick für Antivalenz: Zahl der Einsen zählen (gerade Zahl 0) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 6/22
10 Codierung und Decodierung Codierung: Man berechnet die Prüfbits durch Antivalenz (XOR) zwischen entsprechenden Datenbits Decodierung: Man berechnet für jedes Prüfbit die Antivalenz aller anderer Datenbits zusammen mit dem entsprechenden Prüfbits Alle Werte sind 0 Kein Ein-/Zwei-Bit-Fehler Mindestens ein Wert 0 Falls Ein-Bit-Fehler vorliegt, liefern die Werte als Binärzahl die Stelle des Fehlers Trick für Antivalenz: Zahl der Einsen zählen (gerade Zahl 0) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 6/22
11 Boolesche Algebra Menge V mit zwei zweistelligen abgeschlossenen Operationen, für die die vier Huntingtonschen Axiome gelten: 1 Kommutativgesetze: a b = b a a b = b a 2 Distributivgesetze: a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) 3 Neutrale Elemente: e, n V a e = a a n = a 4 Inverse Element: a V : a V a a = n a a = e Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 7/22
12 Boolesche Algebra Menge V mit zwei zweistelligen abgeschlossenen Operationen, für die die vier Huntingtonschen Axiome gelten: 1 Kommutativgesetze: a b = b a a b = b a 2 Distributivgesetze: a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) 3 Neutrale Elemente: e, n V a e = a a n = a 4 Inverse Element: a V : a V a a = n a a = e Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 7/22
13 Boolesche Algebra Menge V mit zwei zweistelligen abgeschlossenen Operationen, für die die vier Huntingtonschen Axiome gelten: 1 Kommutativgesetze: a b = b a a b = b a 2 Distributivgesetze: a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) 3 Neutrale Elemente: e, n V a e = a a n = a 4 Inverse Element: a V : a V a a = n a a = e Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 7/22
14 Boolesche Algebra Menge V mit zwei zweistelligen abgeschlossenen Operationen, für die die vier Huntingtonschen Axiome gelten: 1 Kommutativgesetze: a b = b a a b = b a 2 Distributivgesetze: a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) 3 Neutrale Elemente: e, n V a e = a a n = a 4 Inverse Element: a V : a V a a = n a a = e Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 7/22
15 Boolesche Algebra Menge V mit zwei zweistelligen abgeschlossenen Operationen, für die die vier Huntingtonschen Axiome gelten: 1 Kommutativgesetze: a b = b a a b = b a 2 Distributivgesetze: a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) 3 Neutrale Elemente: e, n V a e = a a n = a 4 Inverse Element: a V : a V a a = n a a = e Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 7/22
16 Schaltalgebra Bestimmte boolesche Algebra mit V = {0, 1} und den Operationen Disjunktion ( ) und Konjunktion (, auch ) Wahrheitswert eines Ausdrucks ergibt sich durch Angabe einer Variablenbelegung Tautologie: Ausdruck, der für alle möglichen Belegungen wahr ist Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 8/22
17 Gesetze der Schaltalgebra Assoziativgesetze: a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c Idempotenzgesetze: a a = a a a = a Absorptionsgesetze: a (a b) = a a (a b) = a De Morgansche Gesetze: a b = a b a b = a b Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 9/22
18 Gesetze der Schaltalgebra Assoziativgesetze: a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c Idempotenzgesetze: a a = a a a = a Absorptionsgesetze: a (a b) = a a (a b) = a De Morgansche Gesetze: a b = a b a b = a b Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 9/22
19 Gesetze der Schaltalgebra Assoziativgesetze: a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c Idempotenzgesetze: a a = a a a = a Absorptionsgesetze: a (a b) = a a (a b) = a De Morgansche Gesetze: a b = a b a b = a b Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 9/22
20 Gesetze der Schaltalgebra Assoziativgesetze: a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c Idempotenzgesetze: a a = a a a = a Absorptionsgesetze: a (a b) = a a (a b) = a De Morgansche Gesetze: a b = a b a b = a b Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 9/22
21 Darstellung als Funktionstabelle Idee: Eine boolesche Funktion ist durch ihren Funktionswert unter allen möglichen Variablenbelegungen charakterisiert Angabe als Tabelle mit 2 n Zeilen bei n verschiedenen Variablen Wichtige Funktionen mit zwei Parametern: Disjunktion Konjunktion Implikation Äquivalenz Antivalenz (XOR) Funktionstabellen für diese Funktionen? Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 10/22
22 Darstellung als Funktionstabelle Idee: Eine boolesche Funktion ist durch ihren Funktionswert unter allen möglichen Variablenbelegungen charakterisiert Angabe als Tabelle mit 2 n Zeilen bei n verschiedenen Variablen Wichtige Funktionen mit zwei Parametern: Disjunktion Konjunktion Implikation Äquivalenz Antivalenz (XOR) Funktionstabellen für diese Funktionen? Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 10/22
23 Darstellung in Operatorensystemen Darstellung als algebraischer Ausdruck Immer möglich, wenn das Operatorensystem vollständig ist ( jede boolesche Funktion ist darstellbar) Beispiele für vollständige Operatorensysteme: Disjunktion und Negation Konjunktion und Negation NAND NOR Beweis der Vollständigkeit: Alle Operatoren eines vollständigen Operatorensystems im Operatorensystem darstellen Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 11/22
24 Darstellung in Operatorensystemen Darstellung als algebraischer Ausdruck Immer möglich, wenn das Operatorensystem vollständig ist ( jede boolesche Funktion ist darstellbar) Beispiele für vollständige Operatorensysteme: Disjunktion und Negation Konjunktion und Negation NAND NOR Beweis der Vollständigkeit: Alle Operatoren eines vollständigen Operatorensystems im Operatorensystem darstellen Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 11/22
25 Darstellung in Operatorensystemen Darstellung als algebraischer Ausdruck Immer möglich, wenn das Operatorensystem vollständig ist ( jede boolesche Funktion ist darstellbar) Beispiele für vollständige Operatorensysteme: Disjunktion und Negation Konjunktion und Negation NAND NOR Beweis der Vollständigkeit: Alle Operatoren eines vollständigen Operatorensystems im Operatorensystem darstellen Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 11/22
26 Definitionen Literal: Nicht-negierte oder negierte boolesche Variable Produktterm: Konjunktion von Literalen, z.b. a b Sumterm: Disjunktion von Literalen, z.b. a b c Implikant (von f): Ein Produktterm, der f impliziert Implikat (von f): Ein Sumterm, der von f impliziert wird Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 12/22
27 Definitionen Literal: Nicht-negierte oder negierte boolesche Variable Produktterm: Konjunktion von Literalen, z.b. a b Sumterm: Disjunktion von Literalen, z.b. a b c Implikant (von f): Ein Produktterm, der f impliziert Implikat (von f): Ein Sumterm, der von f impliziert wird Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 12/22
28 Definitionen Literal: Nicht-negierte oder negierte boolesche Variable Produktterm: Konjunktion von Literalen, z.b. a b Sumterm: Disjunktion von Literalen, z.b. a b c Implikant (von f): Ein Produktterm, der f impliziert Implikat (von f): Ein Sumterm, der von f impliziert wird Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 12/22
29 Definitionen Literal: Nicht-negierte oder negierte boolesche Variable Produktterm: Konjunktion von Literalen, z.b. a b Sumterm: Disjunktion von Literalen, z.b. a b c Implikant (von f): Ein Produktterm, der f impliziert Implikat (von f): Ein Sumterm, der von f impliziert wird Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 12/22
30 Definitionen Literal: Nicht-negierte oder negierte boolesche Variable Produktterm: Konjunktion von Literalen, z.b. a b Sumterm: Disjunktion von Literalen, z.b. a b c Implikant (von f): Ein Produktterm, der f impliziert Implikat (von f): Ein Sumterm, der von f impliziert wird Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 12/22
31 Min- und Maxterme Minterm (von f): Implikant, der jede Variable genau einmal enthält Eins-Zeilen der Funktionstabelle Maxterm (von f): Implikat, der jede Variable genau einmal enthält Null-Zeilen der Funktionstabelle (mit negierten Variablen) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 13/22
32 Min- und Maxterme Minterm (von f): Implikant, der jede Variable genau einmal enthält Eins-Zeilen der Funktionstabelle Maxterm (von f): Implikat, der jede Variable genau einmal enthält Null-Zeilen der Funktionstabelle (mit negierten Variablen) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 13/22
33 Normalformen Disjunktive Normalform (DNF): Disjunktion aller Minterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion aller Maxterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Eigenschaften der Normalformen: Sie sind eindeutig (bis auf Umordnung) Jede Funktion kann durch algebraische Umformungen in die Normalformen gebracht werden Min- und Maxterme kann man direkt an der Funktionstabelle ablesen, also auch die Normalformen Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 14/22
34 Normalformen Disjunktive Normalform (DNF): Disjunktion aller Minterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion aller Maxterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Eigenschaften der Normalformen: Sie sind eindeutig (bis auf Umordnung) Jede Funktion kann durch algebraische Umformungen in die Normalformen gebracht werden Min- und Maxterme kann man direkt an der Funktionstabelle ablesen, also auch die Normalformen Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 14/22
35 Normalformen Disjunktive Normalform (DNF): Disjunktion aller Minterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion aller Maxterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Eigenschaften der Normalformen: Sie sind eindeutig (bis auf Umordnung) Jede Funktion kann durch algebraische Umformungen in die Normalformen gebracht werden Min- und Maxterme kann man direkt an der Funktionstabelle ablesen, also auch die Normalformen Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 14/22
36 Normalformen Disjunktive Normalform (DNF): Disjunktion aller Minterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion aller Maxterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Eigenschaften der Normalformen: Sie sind eindeutig (bis auf Umordnung) Jede Funktion kann durch algebraische Umformungen in die Normalformen gebracht werden Min- und Maxterme kann man direkt an der Funktionstabelle ablesen, also auch die Normalformen Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 14/22
37 Normalformen Disjunktive Normalform (DNF): Disjunktion aller Minterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion aller Maxterme von f, wobei keiner doppelt vorkommen darf Eigenschaften der Normalformen: Sie sind eindeutig (bis auf Umordnung) Jede Funktion kann durch algebraische Umformungen in die Normalformen gebracht werden Min- und Maxterme kann man direkt an der Funktionstabelle ablesen, also auch die Normalformen Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 14/22
38 Beispiel Funktion: Antivalenz (XOR) Funktionstabelle: x y x y Maxterm: x y Minterm: x y Minterm: x y Maxterm: x y DNF: (x y) (x y) KNF: (x y) (x y) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 15/22
39 Beispiel Funktion: Antivalenz (XOR) Funktionstabelle: x y x y Maxterm: x y Minterm: x y Minterm: x y Maxterm: x y DNF: (x y) (x y) KNF: (x y) (x y) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 15/22
40 Beispiel Funktion: Antivalenz (XOR) Funktionstabelle: x y x y Maxterm: x y Minterm: x y Minterm: x y Maxterm: x y DNF: (x y) (x y) KNF: (x y) (x y) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 15/22
41 Übungsaufgabe 1.1 Vereinfachen Sie die folgenden booleschen Ausdrücke so weit wie möglich: 1 (a (b (a b))) 2 (a b) b (b a) 3 abc abc abc abc 4 x xyz yzx qx qx xy Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 16/22
42 Übungsaufgabe 1.1 Vereinfachen Sie die folgenden booleschen Ausdrücke so weit wie möglich: 1 (a (b (a b))) 2 (a b) b (b a) 3 abc abc abc abc 4 x xyz yzx qx qx xy Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 16/22
43 Übungsaufgabe 1.1 Vereinfachen Sie die folgenden booleschen Ausdrücke so weit wie möglich: 1 (a (b (a b))) 2 (a b) b (b a) 3 abc abc abc abc 4 x xyz yzx qx qx xy Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 16/22
44 Übungsaufgabe 1.1 Vereinfachen Sie die folgenden booleschen Ausdrücke so weit wie möglich: 1 (a (b (a b))) 2 (a b) b (b a) 3 abc abc abc abc 4 x xyz yzx qx qx xy Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 16/22
45 Übungsaufgabe 1.2 Untersuchen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstabelle, ob die folgenden Aussagen A 1 und A 2 äquivalent sind: A 1 : (((a b) c) b) c) A 2 : b c Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 17/22
46 Übungsaufgabe 1.3 Welches Gesetz des Schaltalgebra gestattet die folgende Umformung? [(a b) b] [(a b) c] = (a b) (b c) Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 18/22
47 Übungsaufgabe 2 Gegeben sei die boolesche Funktion f (c, b, a) = MINt(1, 2, 3, 6, 7) 1 Stellen Sie die Funktionstabelle der Funktionen f (c, b, a) und f (c, b, a) auf. 2 Geben Sie die konjunktive Normalform (KNF) der Funktionen f und f an. 3 Geben Sie die disjunktive Normalform (DNF) von f an. 4 Vereinfachen Sie die Ausdrücke der DNF und KNF von f mit Hilfe der Regeln der booleschen Algebra. Die resultierenden Ausdrücke sollen so wenig Literale wie möglich enthalten. Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 19/22
48 Übungsaufgabe 2 Gegeben sei die boolesche Funktion f (c, b, a) = MINt(1, 2, 3, 6, 7) 1 Stellen Sie die Funktionstabelle der Funktionen f (c, b, a) und f (c, b, a) auf. 2 Geben Sie die konjunktive Normalform (KNF) der Funktionen f und f an. 3 Geben Sie die disjunktive Normalform (DNF) von f an. 4 Vereinfachen Sie die Ausdrücke der DNF und KNF von f mit Hilfe der Regeln der booleschen Algebra. Die resultierenden Ausdrücke sollen so wenig Literale wie möglich enthalten. Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 19/22
49 Übungsaufgabe 2 Gegeben sei die boolesche Funktion f (c, b, a) = MINt(1, 2, 3, 6, 7) 1 Stellen Sie die Funktionstabelle der Funktionen f (c, b, a) und f (c, b, a) auf. 2 Geben Sie die konjunktive Normalform (KNF) der Funktionen f und f an. 3 Geben Sie die disjunktive Normalform (DNF) von f an. 4 Vereinfachen Sie die Ausdrücke der DNF und KNF von f mit Hilfe der Regeln der booleschen Algebra. Die resultierenden Ausdrücke sollen so wenig Literale wie möglich enthalten. Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 19/22
50 Übungsaufgabe 2 Gegeben sei die boolesche Funktion f (c, b, a) = MINt(1, 2, 3, 6, 7) 1 Stellen Sie die Funktionstabelle der Funktionen f (c, b, a) und f (c, b, a) auf. 2 Geben Sie die konjunktive Normalform (KNF) der Funktionen f und f an. 3 Geben Sie die disjunktive Normalform (DNF) von f an. 4 Vereinfachen Sie die Ausdrücke der DNF und KNF von f mit Hilfe der Regeln der booleschen Algebra. Die resultierenden Ausdrücke sollen so wenig Literale wie möglich enthalten. Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 19/22
51 Übungsaufgabe 3 Gegeben sei die Schaltfunktion f (w, x, y, z): f (w, x, y, z) = y(xz z) wx(y yz) xyz Bestimmen Sie die konjunktive Normalform (KNF) und die disjunktive Normalform (DNF) von f. Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 20/22
52 Übungsaufgabe 4 Gegeben sei die boolesche Funktion y = f (d, c, b, a) = dca dcb dca dcb 1 Vereinfachen Sie den Ausdruck der obigen Funktion. 2 Stellen Sie die Funktionstabelle der Funktion y auf. 3 Geben Sie sowohl die disjunktive Normalform (DNF) als auch die konjunktive Normalform (KNF) von y an. Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 21/22
53 Übungsaufgabe 4 Gegeben sei die boolesche Funktion y = f (d, c, b, a) = dca dcb dca dcb 1 Vereinfachen Sie den Ausdruck der obigen Funktion. 2 Stellen Sie die Funktionstabelle der Funktion y auf. 3 Geben Sie sowohl die disjunktive Normalform (DNF) als auch die konjunktive Normalform (KNF) von y an. Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 21/22
54 Übungsaufgabe 4 Gegeben sei die boolesche Funktion y = f (d, c, b, a) = dca dcb dca dcb 1 Vereinfachen Sie den Ausdruck der obigen Funktion. 2 Stellen Sie die Funktionstabelle der Funktion y auf. 3 Geben Sie sowohl die disjunktive Normalform (DNF) als auch die konjunktive Normalform (KNF) von y an. Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 21/22
55 Fertig! Quelle: Christian A. Mandery DuE-Tutorien 17 und 18 22/22
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