Vorlesung 14 FORTSETZUNG: LÖSER FÜR LAPLACE-GLEICHUNGSSYSTEME

Transkript

1 Vorlesung 4 FORTSETZUNG: LÖSER FÜR LAPLACE-GLEICHUNGSSYSTEME 49

2 Wdh.: Bedingung an optimalen Fluss! Wdh.: Stromfluss f ij zwischen Knoten i und j: (v i v j )w ij! Also: f ij / w ij = v i - v j bzw. f opt = R - B v opt! KPL-Lemma: Ein balancierender/zulässiger Fluss f ist optimal gdw. f T Rc = 0 für alle Zirkulationen c.! Beweis: Folgt aus Kirchhoffs Potentialgesetz! Wie finden wir nun geeignete Zyklen? 420

3 Wdh.: Baumzyklen als Widerstände! Jeder Baumzyklus C e kann als langer Widerstand angesehen werden.! Gesamtwiderstand von C e : e 2 Ce r e! Potentialunterschied, der von f induziert wird: e 2 Ce f(e)r e! Das KPL-Lemma bedeutet dann: f ist optimal gdw. der Potentialunterschied über alle diese Zyklen 0 ist. 42

4 Beispiel! Def.: Für e 2 E \ T und Fluss f sind der Widerstand von C e, R e, und das flussinduzierte Potential über C e, c e (f):! R e := e 2 Ce r e = c e T R c e! n = 6, m = 8! Rot: Spannbaumkanten 2 3! c e (f) := e 2 Ce r e f(e) = f T R c e! Aufgabe: Sei f derart, dass eine Flusseinheit von nach 4 geschickt wird. Geben Sie die jeweiligen Werte R e und c e (f) für das Beispiel an!

5 Wdh.: Algorithmische Idee! Ziel: Berechnen für Lv = d einen ε-approximativen elektrischen Fluss in der Zeit O(m log 2 n log log n log ε - n)! Berechne Spannbaum mit niedriger Streckung! Berechne initialen zulässigen Fluss! Iterative Zyklenaktualisierungen: Berechne neuen zulässigen Fluss, der die Energie senkt! Ziehe dafür Nichtbaumkante zufällig mit Wkt. R e /r e! Teste, ob Zyklus das KPL-Lemma erfüllt; falls nicht, dann Fluss auf Zyklus geeignet aktualisieren! Rückgabe von Fluss und zugeh. Potentialen (auch bauminduzierte Spannungen genannt) 423

6 Beispiel! n = 6, m = 8! Rot: Spannbaumkanten 2 3! Def.: Die Streckung einer Kante e, st(e), und die Gesamtstreckung eines Baums T, st(t), sind definiert als:! st(e) :=...! st(t) := e 2 E st(e) 4 5 6! Def. (Baumkonditionszahl): t(t) :=...! Aufgabe: Geben Sie die jeweiligen Werte für das Beispiel an! 424

7 Bauminduzierte Spannungen! Definition: Für einen Fluss f und einen beliebigen (aber festen) Knoten s, definieren wir die bauminduzierten Spannungen v durch: v(a) := e 2 P(a, s) f(e)r e 8 a 2 V! P (a,s) : Eindeutiger Pfad im Baum T von a nach s! Fluss wie eben (Quelle s =, Senke t = 4)! Aufgabe: Geben Sie die jeweiligen bauminduzierten Spannungen für das Beispiel an!

8 Pseudocode von SIMPLESOLVER! Eingabe: G = (V, E, r), Bedarfsvektor d, Toleranz ε! Ausgabe: ε-approximativer elektr. Fluss f und zugeh. Potentialvektor v! T := Spannbaum von G mit niedriger Streckung! f 0 := eindeutiger Fluss auf T mit B T f 0 = d! p e := /t(t) * R e / r e für alle Nichtbaumkanten! K := (siehe Tafel)! for i = to K do! Wähle eine zufällige Nichtbaumkante e i gemäß p! // Addiere Vielfaches von c e zum Fluss, so dass Zyklus KPL-Lemma erfüllt! f i := f i- - c e (f) / R e * c e! return f K und zugeh. Potentialvektor v K 426

9 Eigenschaften des Algorithmus SIMPLESOLVER! Theorem 3.2: Garantie: Siehe Tafel!! Theorem 4.: Konvergenz: Siehe Tafel!! Lemma: Jede Iteration verringert die Energie des aktuellen Flusses im EW um den Bruchteil (-/t) von der Energiedistanz zum optimalen Wert.! Lemma: Jede Iteration von SimpleSolver lässt sich so implementieren, dass sie O(log n) Zeit benötigt.! Beweis: Bei Interesse siehe Paper, benötigt Baum-DS 427

10 Konvergenz: Hilfsresultate Energieverbesserung pro Iteration! Lemma 4.2 (Energieverbesserung pro Iteration): Siehe Tafel!! Aufgabe: Nachrechnen!! Lemma 4.3 (Zyklusaktualisierung): Siehe Tafel!! Beweis: Folgt direkt aus Lemma 4.2.! Aussage: Energiesenkung einer Zyklusaktualisierung = Energie eines Widerstands mit Widerstandswert R e und Potentialabfall c e (f). 428

11 Beispiel für Zyklusaktualisierung! Algorithmus wähle in Iteration Kante (,5)! Rot: Spannbaumkanten! Zyklus: (, 2, 4, 5, )! R e = 4 2 3! Aufgabe: Berechnen Sie das flussinduzierte Potential des Zyklus und den neuen Fluss! /2 2 3 /2 /2 4 /

12 Konvergenz: Hilfsresultate Distanz von optimaler Lösung! Lemma 4.4 (Baumlücke): Siehe Tafel!! Beweis: Bei Interesse siehe Paper!! Lemma 4.5 (Erwarteter Fortschritt): Siehe Tafel!! Beweis:! In Iteration i wird Nichtbaumkante e i mit Wkt. pe gezogen! Energieabfall dadurch nach Lemma 4.3: Siehe Tafel!! Einsetzen in bedingte Erwartungswerte: Siehe Tafel!! Def. von pe und Lemma 4.4 => Ergebnis! Lemma 4.6 (Konvergenzrate): Siehe Tafel!! Beweis: Siehe Tafel! 430

13 Laufzeitanalyse! Lemma 6. (Initiale Energie): Siehe Tafel! /2 2 3 /2! Lemma 6.2 (Güte der bauminduzierten Spannungen): Siehe Tafel! /2 4 /2 5 6! Aufgabe: Berechnen Sie den Fortschritt (Energiedifferenz) zwischen Iteration 0 und Iteration! 43

14 Beweis der Garantie und der Laufzeit! Beweis von Theorem 3.2 (Garantie):! Benutzen Thm. 4., Def. von K und Lemma 6.! Siehe Tafel!! Beweis der Laufzeit:! Verwenden Baum T mit st(t) = O(m log n log log n) in der Zeit O(m log n log log n) => t = O(m log n log log n)! f 0 wird in Zeit O(n) berechnet! R e für alle Kanten: Tarjans LCA in O(m) oder eigene DS in O(m log n)! Initialisierung der DS: O(n log n)! Pro Iteration: O(log n) für Zyklusaktualisierung! Zahl der Iterationen: O(m log n log(n² - ) log log n) 432

15 Fazit! Erster einfacher Laplace-Löser mit beweisbarer LZ O(m)! CG superlinear! Multigrid nicht stringent beweisbar für allgemeine Fälle! Ausnutzung der Dualität von bauminduzierten Spannungen und elektrischen Flüssen! Schnellerer Algorithmus existiert:! Benutzt den einfachen! Ist aufwändiger zu analysieren! Laufzeit: O(m log 2 n log(² - ) log log n)! Anstelle von O(log(n² - )) nun O(log(² - ))! Literatur: Kelner et al.: A Simple, Combinatorial Algorithm for Solving SDD Systems in Nearly-Linear Time. STOC