Exemplar für Prüfer/innen

Transkript

1 Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung 15 Angabe für Prüfer/innen

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

3 Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

4 Aufgabe 1 Kosten und Erlös Für ein Produkt sind die Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E bekannt. Die Funktionsgleichungen lauten: K(x) = 4 + 0,25 x E(x) = 1,25 x In der Kostenfunktion beschreibt x die Anzahl der produzierten Einheiten, in der Erlösfunktion beschreibt x die Anzahl der verkauften Einheiten. Aufgabenstellung: Zeichnen Sie beide Funktionsgraphen in das gegebene Koordinatensystem ein und bestimmen Sie den Schnittpunkt S grafisch! Geben Sie zudem die Koordinaten des Schnittpunktes S an! 8 K(x), E(x) Leitfrage: x Interpretieren Sie die Bedeutung des Schnittpunktes im gegebenen Kontext! Erklären Sie, wie sich die Lage des Schnittpunktes ändert, wenn die Fixkosten steigen und die variablen Stückkosten (= zusätzliche Kosten, die pro Stück für die Produktion anfallen) sowie der Verkaufspreis gleich bleiben! Erklären Sie, wie sich die Lage des Schnittpunkts ändert, wenn der Verkaufspreis steigt und die Kosten K(x) unverändert bleiben! Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

5 Lösung zur Aufgabe 1 Kosten und Erlös Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Der Schnittpunkt liegt bei (4 5). 8 K(x), E(x) S K E x Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die folgenden Kriterien erfüllt werden: Die Gerade für K muss durch den Punkt (0 4) und den Punkt (4 5) verlaufen. Die Gerade für E muss durch den Punkt (0 0) und den Punkt (4 5) verlaufen. Die Koordinaten des Schnittpunktes S müssen korrekt angegeben werden. Ungenauigkeiten von ± 1 mm sind zu tolerieren. Lösungserwartung zur Leitfrage: Mögliche Interpretationen: Der Schnittpunkt markiert den Break-even-Point (die Gewinnschwelle). Bei diesem Punkt sind Kosten und Erlös gleich, man macht keinen Gewinn und keinen Verlust. Bei Produktion und Verkauf von Stückzahlen, die höher liegen als dieser Punkt, macht man Gewinn. Darunter macht man Verlust. Mögliche Erklärungen zu den Verschiebungen: Eine Erhöhung der Fixkosten bewirkt in diesem Fall eine Verschiebung des Schnittpunktes nach rechts (und nach oben). Eine Erhöhung des Verkaufspreises verschiebt unter diesen Voraussetzungen den Schnittpunkt nach links (und nach unten). Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl eine (sinngemäß) korrekte Interpretation als auch (sinngemäß) korrekte Erklärungen angegeben werden. Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

6 Aufgabe 2 Lineare Funktion Gegeben ist eine lineare Funktion f mit den folgenden Eigenschaften: f(3) = 1 Wenn man das Argument x um 6 vergrößert, dann erhöht sich der Funktionswert f(x) um 2. Aufgabenstellung: Geben Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion f an und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Bestimmen Sie den Ausdruck g(x ) g(x ) 2 1 x 2 x 1 g(x) = k x + d mit k, d R! für eine lineare Funktion g mit der Funktionsgleichung Begründen Sie, warum für eine lineare Funktion der Wert dieses Ausdrucks vom Intervall [x 1 ; x 2 ] unabhängig ist! Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

7 Lösung zur Aufgabe 2 Lineare Funktion Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Mögliche Vorgehensweise: Aus 2 6 folgt k = 1 3. Der Punkt (3 1) muss die Gleichung f(x) = 1 3 x + d erfüllen. 1 = d d = 2 f(x) = 1 3 x 2 Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Funktionsgleichung angegeben und die Vorgehensweise schlüssig erläutert wird. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten. Lösungserwartung zur Leitfrage: g(x 2 ) g(x 1 ) x 2 x = k ist die Steigung des Graphen von g. Da es sich um eine lineare Funktion handelt, 1 ist die Steigung an jeder Stelle x gleich groß und der Wert des Ausdrucks daher von einem Intervall unabhängig. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Ausdruck g(x ) g(x ) 2 1 x 2 x 1 wird und eine (sinngemäß) korrekte Begründung angegeben wird. korrekt bestimmt Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

8 Aufgabe 3 Bevölkerungsentwicklung Gegeben sind zwei Gleichungen, die die Bevölkerungsentwicklung von zwei Städten X und Y beschreiben. x n gibt die Einwohnerzahl der Stadt X nach n Jahren an, y n gibt die Einwohnerzahl der Stadt Y nach n Jahren an (n N). x n + 1 x n = 0,035 x n y n + 1 y n = Aufgabenstellung: Interpretieren Sie die beiden Gleichungen und vergleichen Sie den Verlauf der Bevölkerungsentwicklung der beiden Städte! Leitfrage: Angenommen, die Bevölkerungsentwicklung einer Stadt Z wird durch die Gleichung z n + 1 z n = k z n mit k R beschrieben. Geben Sie an, welche der folgenden Werte (Bedingungen) für den Parameter k im gegebenen Kontext möglich sind, und interpretieren Sie diese Werte (Bedingungen) im Hinblick auf die Bevölkerungsentwicklung! 1 < k < 0 k = 0 0 < k < 1 Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

9 Lösung zur Aufgabe 3 Bevölkerungsentwicklung Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Die Einwohnerzahl der Stadt X nimmt jedes Jahr um 3,5 % der Einwohnerzahl des vorhergehenden Jahres zu. Die Einwohnerzahl der Stadt Y nimmt jedes Jahr um zu. Das Bevölkerungswachstum der Stadt X verläuft exponentiell, jenes der Stadt Y verläuft linear. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Gleichungen richtig interpretiert werden und der Verlauf (sinngemäß) richtig beschrieben wird. Beim Vergleich der beiden Wachstumsprozesse muss (sinngemäß) auf den konstanten prozentuellen Zuwachs (relativen Zuwachs) in der Stadt X und den konstanten absoluten Zuwachs in der Stadt Y hingewiesen werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Alle drei Fälle sind theoretisch möglich. Falls 1 < k < 0 ist, nimmt die Einwohnerzahl ab. Falls k = 0 ist, bleibt die Einwohnerzahl konstant. Falls 0 < k < 1 ist, nimmt die Einwohnerzahl zu. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle drei Fälle richtig interpretiert werden. Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

10 Aufgabe 4 Extrempunkte, Wendepunkte und Nullstellen Gegeben ist die Polynomfunktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 4 x x 2. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrema des Graphen von f und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Weisen Sie durch eine Berechnung nach, dass eine Polynomfunktion dritten Grades genau eine Wendestelle hat! Skizzieren Sie jeweils einen Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades, der genau eine Nullstelle hat, genau zwei Nullstellen hat, genau drei Nullstellen hat. Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13

11 Lösung zur Aufgabe 4 Extrempunkte, Wendepunkte und Nullstellen Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: f (x) = 12x 2 + 4x f (x) = 0 x 1 = 0 und x 2 = 1 3 f(0) = 0 und f ( 1 3) = 2 27 Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Koordinaten beider Extrema korrekt angegeben werden. Eine Unterscheidung, welche Art von Extremum vorliegt, ist dabei nicht notwendig. Die erläuterte Vorgehensweise muss schlüssig zur Berechnung passen. Lösungserwartung zur Leitfrage: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mit a 0 f (x) = 3ax 2 + 2bx + c f (x) = 6ax + 2b f (x) = 6a f (x) = 0 x W = 2b 6a = b 3a f ( 3a) b 0 Weiters müssen drei typische Graphen, wie gefordert, skizziert werden. f(x) f(x) f(x) x x N 1 N 2 N 3 x f N 1 N 1 N 2 f Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn folgende Punkte erfüllt werden: Ein (sinngemäß) korrekter Nachweis, wobei der Nachweis, dass es sich bei x W um eine Wendestelle handelt (durch z. B. f ( 3a) b 0), nicht angeführt werden muss. Die drei skizzierten Graphen müssen klar erkennbar Graphen von Polynomfunktionen dritten Grades sein, die jeweils die entsprechende Anzahl an Nullstellen aufweisen. Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

12 Aufgabe 5 Spielkarten Ein Kartenspiel besteht aus 48 Karten. Von jeder der vier Farben (Herz, Karo, Kreuz, Pik) gibt es 12 Karten. Ein Teil der Karten wird verdeckt an die Spieler ausgeteilt, wobei jeder Spieler vier Karten erhält. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler keine einzige Herz-Karte erhält, und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Ändert sich die Wahrscheinlichkeit, beim Austeilen von vier Karten keine einzige Herz-Karte zu er - halten, wenn das Kartenspiel aus weniger als 48 Karten aber aus gleich vielen von jeder Farbe besteht? Im Falle einer Veränderung beschreiben Sie diese und begründen Sie Ihre Antwort! Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

13 Lösung zur Aufgabe 5 Spielkarten Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: ,303 Mögliche Erklärung: Die Einzelwahrscheinlichkeiten (z. B. als relative Anteile bzw. durch den Ansatz günstige durch mögliche Fälle ) werden ermittelt und multipliziert ( und -Bedingung bzw. 1. Pfadregel). Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird und eine (sinngemäß) richtige Vorgehensweise erklärt wird. Toleranzintervall: [0,30; 0,31] Lösungserwartung zur Leitfrage: Bei weniger als 48 Karten nimmt die Wahrscheinlichkeit, beim Austeilen von vier Karten keine einzige Herz-Karte zu erhalten, ab. Mögliche Begründungen: durch Berechnung (anhand eines geeigneten Zahlenbeispiels) durch einen allgemeinen Ansatz Beispiel: Wenn das Kartenspiel aus 4n Karten besteht, so ist die Wahrscheinlichkeit, keine Herz- Karte zu erhalten: 3n 4n 3n 1 4n 1 3n 2 4n 2 3n 3 4n 3 Der erste Faktor beträgt immer 3, die anderen Faktoren sind umso kleiner, je kleiner n ist. 4 Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Antwort und eine (sinngemäß) korrekte Begründung angegeben werden. Kompensationsprüfung 15 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13