Für jede reelle Zahl ist eine Funktion mit 2 gegeben.

Transkript

1 Aufgabe A1.1 Der Graph der Funktion mit 0,3 2,8 8,3 7,6 6 beschreibt modellhaft für 0 3,8 das Profil eines Geländequerschnitts (siehe Abbildung). Die positive -Achse weist nach Osten und gibt die Höhe über dem Meeresspiegel an (eine Längeneinheit entspricht 100 Meter). Eine Brücke führt in West-Ost-Richtung auf einer konstanten Höhe von 500 Meter über dem Meeresspiegel über das Tal. a) Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt des Profils. Bestimmen Sie die Stelle, an der das Gelände am steilsten ist. Bestimmen Sie die Länge der Brücke. Ermitteln Sie die durchschnittliche Steigung des Geländeprofils zwischen dem östlichen Ende der Brücke und dem höchsten Punkt des Profils. b) An einem Punkt der Brücke, der im Modell die Koordinaten 1 5 hat, wird ein 30 Meter langes Seil befestigt, das senkrecht nach unten hängt. Das untere Ende des Seils soll zu jedem Punkt des Geländeprofils einen Mindestabstand von 15 Meter haben. Untersuchen Sie, ob dieser Mindestabstand eingehalten wird. c) Eine Drohne steigt vertikal von einer Position auf, die durch den Punkt 2,52,5 dargestellt wird. Die Drohne verfügt über eine Kamera. Ermitteln Sie, ab welcher Höhe über dem Gelände die Kamera den Ort auf der Brücke erfassen kann, der durch den Punkt 1 5 dargestellt wird. d) Bei der Schneeschmelze füllt sich das Tal mit Wasser. Dabei entsteht ein See, der im Querschnitt 30 Meter breit ist. Berechnen Sie die durchschnittliche Tiefe der Querschnittsfläche des Sees. Aufgabe A1.2 Für jede reelle Zahl ist eine Funktion mit 2 gegeben. a) Bestimmen Sie die Nullstelle von. b) Zeigen Sie, dass! eine Stammfunktion von ist. Der Graph von schließt mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimmen Sie ihren Inhalt exakt.

2 Aufgabe A2.1 Ein Klimaforscher beschreibt die Entwicklung der globalen Durchschnittstemperatur modellhaft durch die Funktion mit " 2,8,$% 0,03" 11,1; 0 " 200. Dabei gibt " die Zeit in Jahren seit Beginn des Jahres 1900 und " die globale Durchschnittstemperatur in Grad Celsius an. Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben anhand dieses Modells. a) Geben Sie die globale Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 1900 an. Geben Sie die niedrigste globale Durchschnittstemperatur seit 1900 an. In welchem Jahr wird die globale Durchschnittstemperatur 16 * überschreiten? Ermitteln Sie die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres Bestimmen Sie den Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im durch die Modellierung beschriebenen Zeitraum. b) Formulieren Sie eine Fragestellung im Sachzusammenhang, die auf die Gleichung " 10 " 0,5 führt. Nachdem die globale Durchschnittstemperatur ihren niedrigsten Wert erreicht hat, steigt sie immer weiter an. Zeigen Sie, dass dieser Anstieg immer schneller verläuft. c) Es werden Klimaschutzmaßnahmen geplant. Greifen diese zum Zeitpunkt ", so bleibt die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur konstant bei dem Wert, der durch das Modell des Klimaforschers für " vorausgesagt wird. Bestimmen Sie den späteren Zeitpunkt ", zu dem die Maßnahmen greifen müssen, damit die globale Durchschnittstemperatur 15,7 * bis zum Beginn des Jahres 2050 nicht überschritten wird. d) Infolge alternativer Klimaschutzmaßnahmen kann der Verlauf der globalen Durchschnittstemperatur ab Beginn des Jahres 2020 durch beschränktes Wachstum modelliert werden. Der Graph der zugehörigen Funktion + schließt sich dabei ohne Knick an den Graphen der Funktion an. Außerdem stellt sich nach diesem neuen Modell langfristig eine globale Durchschnittstemperatur von 16,8 * ein. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von +. Aufgabe A2.2 Für jedes, - 0 ist eine Funktion. mit., 4, gegeben. a) Begründen Sie, dass der Graph von. achsensymmetrisch zur 0-Achse ist. Zeigen Sie, dass die Nullstellen der Funktion. unabhängig von, sind. b) Sowohl der Graph der Funktion + mit sin 78 9 als auch der Graph von. schließen für 0 2 eine Fläche mit der -Achse ein. Bestimmen Sie, so, dass beide Flächen den gleichen Inhalt haben.

3 Hinweis: Da ab dem Prüfungsjahr 2019 die Verwendung eines GTR in BW nicht mehr zugelassen ist, wurde versucht, die Aufgaben von 2018 so weit es geht, mit einem ab 2019 zugelassenen WTR zu lösen. In den Fällen, in denen eine WTR-Lösung nicht möglich ist, wird speziell darauf verwiesen und die Lösung selbst findet sich als GTR- Lösung. Lösung A1.1 Lösungslogik a) Höhenunterschied Zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt : Bestimmung des Hoch- und Tiefpunktes von über die erste Ableitung. Der Höhen-unterschied errechnet sich dann aus. Stelle des steilsten Geländes: Steilste Stellen befinden sich in den Wendepunkten, die im Intervall 03,8 ermittelt werden müssen. Aus der Graphik ist nicht ersichtlich, ob etwa die Steigung in 0 steiler ist, als die des Wendepunktes. Beide Stellen sind also zu prüfen. Länge der Brücke: Die Länge der Brücke ist die Stecke zwischen den beiden Punkten und (siehe Graphik). Wir erhalten diese Punkte als Schnittpunkte der Funktionen und 5. Durchschnittliche Steigung des Geländeprofils: Die durchschnittliche Steigung ist die Steigung der Sekante durch den Punkt und den Hochpunkt von. b) Es geht hier um den kleinsten Abstand zwischen dem Ende des Seils und dem Geländeprofil, also dem Abstand zwischen einem bekannten Punkt und einem unbekannten Punkt. Abstand zwischen zwei Punkten mit dem Satz des Pythagoras. c) Höhe, ab der eine Drohne den Punkt 1 5 erfassen kann: Die nebenstehende Graphik verdeutlicht die Situation. Wir müssen eine Tangente legen von einem Punkt aus (1 5) an die Kurve. Der -Wert dieser Tangente für 2,5 entspricht dann der Höhe, ab der die Drohne den Punkt erfassen kann.

4 d) Durchschnittliche Tiefe der Querschnittsfläche des Sees: Die nebenstehende Graphik verdeutlicht die Situation. Wir wissen nicht, bei welcher -Koordinate das linke Ufer des Sees sich befindet, wir wissen jedoch, dass das rechte Ufer des Sees sich bei der -Koordinate 30 befindet. Die beiden Punkte und befinden sich jedoch in gleicher Höhe, sodass 30 gelten muss. Die Tiefe des Sees nun wird durch die Funktion h im Intervall 0,3 ausgedrückt. Klausuraufschrieb a) Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt : 0,3! 2,8 " 8,3 7,66 0,12 " 8,4 16,67,6 0 ( 0,65; 2,55 0,65 3,85; 2,55 6,85 2,550,653 Der Höhenunterschied beträgt 300 Meter. Stelle des steilsten Geländes: 0,36 16,816,6 0 1,42 07,6; 1,42 2,47 Das Gelände ist bei 0 am steilsten. Länge der Brücke: 5 0,3! 2,8 " 8,3 7,665 0,3! 2,8 " 8,3 7,610 ( 0,16; 1,36 entsprechend Intervall 03,8 ( 1,360,161,20 Die Länge der Brücke beträgt 120 Meter. Durchschnittliche Steigung des Geländeprofils: +,- /,001/(,"2 2,3010 (,30 1,555,.,001(,"2 (,(4 (,(4 Die durchschnittliche Steigung des Geländes beträgt etwa 1,56.

5 b) Einhaltung des Sicherheitsabstandes: Aufhängepunkt Seil: 1 5; Seilende bei 1 4,7 (Seil ist 30 + lang). Punkt der Kurve ist 5. Abstandsbestimmung mit dem Satz des Pythagoras: 67 ( ( 81 4, ,70,3! 2,8 " 8,3 7, ,3! 2,8 " 8,3 7,61,3 Von dieser Funktion ist der tiefste Punkt zu ermitteln (Tiefpunkt). Dies ist mit dem WTR nicht möglich, sodass hier auf den GTR zurückgegriffen werden muss. 6 9:; 0,22 für 1,2 Prüfung der Randwerte: 601,64; 63,83,04 Somit ist 61,20,22 ein absolutes Minimum. Der Sicherheitsabstand von 15 + wird eingehalten. c) Höhe, ab welcher eine Drohne den Punkt 1 5 erfassen kann: Tangente durch 1 5 an den Graphen von, der Berührpunkt sei : < = 5 = 1 = 150 0,12 " 8,4 16,67,610,3! 2,8 " 8,3 7,660 Auch diese Gleichung lässt sich nicht mehr mit dem WTR lösen. (Hinweis des Verfassers: Man könnte die Gleichung durchaus auch mit dem WTR lösen, wenn, ja wenn das Eingabefeld unter Table: F2: Edit function lang genug wäre.) ( 2,07; 3,86 Wegen Aufgabenstellung 03,8 ist ( 2,07 die einzige Lösung. Tangentengleichung (GTR): <1,413,58 Die Drohne steigt bei 2,5 auf. Der Schnittpunkt der Tangente mit der Parallelen zur -Achse bestimmt die Mindesthöhe, ab der die Drohne den Punkt 1 5 erfassen kann. <2,51,41 2,53,587,105 <2,52,57,116,840,27 Ab einer Höhe von 27 + über dem Abflugpunkt kann die Drohne den Punkt 1 5 erfassen. d) Durchschnittliche Tiefe der Querschnittsfläche des Sees: Der linke Uferpunkt sei?, der rechte Uferpunkt??, dann gilt (gemäß Aufgabenstellung):? 0,3 Hinweis: Auch diese Gleichung lässt sich nur mit dem GTR lösen.

6 A 0,51; B 2,40; A 3,64 Die einzige sinnvolle Lösung im Sachzusammenhang ist A 0,51. A 3,93 Funktion für Tiefe des Sees: h3,93 für 0,510,81 Mittlere Tiefe des Sees: ( h D,3( 3,93 6 0,052,3(1,0(,0( Die durchschnittliche Tiefe des Sees beträgt ca. 5,2 Meter. Lösung A1.2 Lösungslogik a) Nullstellen von E : Wir setzen E 0 und lösen die Gleichung nach auf. b) Wir bilden EF und davon die erste Ableitung EF und vergleichen die Ableitung mit E. Exakte Fläche unter : Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit der -Achse sowie die Nullstelle von und berechnen das Integral von unterer Grenze bis oberer Grenze von! (Es ist keine Stammfunktion von zu bilden, da: 1. mit! eine Stammfunktion von gegeben ist und 2. Das Thema partielle Integration nicht zum Lehrumfang der Gymnasien in BW gehört). Klausuraufschrieb E G H. 2 H. a) E 0 G H. 2 H. 0 H. G20 G20 Satz vom Nullprodukt E b) EF G2 H. 2 H. EF H. G22 Wenn eine Stammfunktion von sein soll, so muss gelten: EF E EF H. G222 H. Produktregel EF H. G2 H. 2 H. 2 H. EF G H. 2 H. E q.e.d. Exakte Fläche unter : 2 H. 2 H. 02; 1 ( D 6J! K ( J4 H. 2 H. K ( 4H2H402H4 2H4

7 Lösung A2.1 Lösungslogik a) Globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900: Wir berechnen 0. Niedrigste globale Durchschnittstemperator: Wir berechnen <, setzen und lösen die Gleichung nach Null auf. Globale Durchschnittstemperator größer 16 M: Wir bilden < 16 und lösen die Gleichung nach < auf. Momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 2000: Wir berechnen 100. Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im beschriebenen Zeitraum: Wir berechnen das Integral von < im Intervall J0;100K und dividieren das Ergebnis durch 100. b) Fragestellung zu <10<0,5: Siehe Klausuraufschrieb Anstieg immer schneller nach Erreichen des Tiefpunktes: Nachdem wir in Aufgabenteil a) den Zeitpunkt der tiefsten globalen Durchschnittstemperatur ermittelt haben, müssen wir nun nachweisen, dass < für alle streng monoton steigt. c) Spätester Zeitpunkt zur Maßnahmeneinleitung für konstante momentane Änderungsrate: Ist die momentane Änderungsrate ab einem Zeitpunkt < konstant, muss das Schaubild ab < tangential weiter verlaufen. Gesucht ist also die Tangente an < im Berührpunkt < < wobei ein Punkt dieser Tangente die Koordinaten ,7 haben muss. Gesucht ist also die Tangente von einem bekannten Punkt aus an eine Kurve. d) Aufgabenstellung zum beschränkten Wachstum N<OP H 1EQ (<0 im Jahr 2020) mit einer Schranke O16,8 und der Vorbedingung eines knickfreien Übergangs im Jahre 2020, somit N und PO120.

8 Klausuraufschrieb <2,8H,3Q 0,03<11,1; 0<200 a) Globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900: 02,8H,3 0,03 011,12,811,113,9 Die globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900 betrug 13,9 M. Niedrigste globale Durchschnittstemperator: <0,008 2,8H,3Q 0,03 <0: 0,008 2,8H,3Q 0,030 0,008 2,8H,3Q 0,03 :0,0224 H,3Q 1,3393 ST 0,008<ln 1,3393 :0,008 <36,517 36,517 13,75 Die niedrigste globale Durchschnittstemperatur betrug etwa 13,75 M im Verlaufe des Jahres Globale Durchschnittstemperator größer 16 M: < 16 2,8H,3Q 0,03<11,116 2,8H,3Q 0,03<4,90 < 152,3 Im Verlaufe des Jahres 2052 wird die globale Durchschnittstemperatur von 16 M überschritten. Momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 2000: 1000,0024 H,3 ( 0,030,0024 H,3 0,03 0,023 Die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 2000 betrug etwa 0,023 M/XPhY. Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur: + ( D < 6< ( Z,3 [\,\\]^,3 0,015< 11,1<_ + ( J350H,3Q 0,015< 11,1<K 15,02 Der Mittelwert beträgt ca. 15,02 M. b) Fragestellung zu <10<0,5: In welchem Zeitraum von 10 Jahren nimmt die globale Durchschnittstemperatur um 0,5 M zu. Anstieg immer schneller nach Erreichen des Tiefpunktes: < streng monoton steigend für alle <@36,517? Dies ist der Fall, wenn == <@0 <0,00018H,3Q Wegen == <@0 für 0<200, ist < monoton steigend. Da < die Steigung von < ist, ist auch < monoton steigend, d.h., der Anstieg der globalen Durchschnittstemperatur wird immer schneller.

9 c) Spätester Zeitpunkt für konstante momentane Änderungsrate: Zeitpunkt der Wirksamkeit einer konstanten Änderungsrate sei ,7. Berührpunkt an Kurve sei, dann gilt: < = Punkt-Steigungsform 15,7 = 150 Punktprobe mit = 15015,70 0,0224H,3`0, ,8H,3Q 0,0311,115,70 3,36H,3`0,0224 H,3`4,50,032,8H,3Q 0,034,60 6,16H,3`0,0224 H,3`9,10 ( 122,36; 174,08 Wegen 150 ist ( die einzige sinnvolle Lösung. Um im Jahre 2050 eine konstante globale Durchschnittstemperatur von 15,7 M zu erreichen, müssen entsprechende Maßnahmen spätestens im Jahr 2022 eingeleitet werden. d) Beschränktes Wachstum: N<OP H 1EQ ; < in Jahren O16,8; 120N120; = 120N ,8 = 120 0,029 N <P GH 1EQ N 120P G H 1(E 120N120 (1) 14,816,8P H 1(E 16,8; 1 (1) 2P H 1(E :H 1(E (1) P [ aab\b = 120N 120 (2) 0,029P G H 1(E P 2 (2) 0,029 [ aab\b G H1(E 2G (2) G0,01425 G 1 (1) 2P H 1(,(!0 P H 1(,d( (1) P [ aa,ea11,058 Die Funktionsgleichung lautet N<16,811,06 H 1,(!0Q ; 120<200.

10 Lösung A2.2 Lösungslogik a) Begründung Achsensymmetrie: Siehe Klausuraufschrieb. Nullstelen von f : Wir setzen f 0 und lösen die Gleichung nach auf. b) P für gleiche Flächen unter f und N: Wir berechnen die Fläche unter dem Graphen von N im Intervall 02. Wir setzen das Ergebnis gleich mit der Fläche unter dem Graphen von f im gleichen Intervall und lösen die Gleichung nach P auf. Klausuraufschrieb a) Begründung Achsensymmetrie: Die gegebene Funktionsgleichung ist die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades. Diese Funktionsgleichung besitzt nur geradzahlige Potenzen von, ist somit achsensymmetrisch. Nullstelen von f : P! 4P 0 :P! (, 0; " 2;! 2 Alle Nullstellen von f sind unabhängig von P. b) P für gleiche Flächen unter f und N: g D " (0 h sinkl m 6Z " (0 h nopkl m _ l 2! (0 cosh2! (0 cos02! /s g /s D P! 4P 2! (0 P(3 (0 P (3 2! 2 (0 2! (3 (0 (0 Z 2! 6Z f 0 0! " P" _ " 0 P" (0 nopkl m_ " P0142F(2 (0 P 2! (0 P