Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie

Transkript

1 Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie Caroline Geisler April 18, 2018

2 Elektrische Ersatzschaltkreise und Messmethoden Wiederholung: Membranpotential Exkursion in die Physik: Elektrische Schaltkreise Elektrische Ersatzschaltkreise für Membranen Elekrophysiologische Ableitungen

3 Der Ionische Membran-Strom (Kandel&Schwarz&Jessell)

4 Im Gleichgewicht gilt: Nernst-Potential: Donnans Regel: V m = RT zf ln[c] out [C] in [ [A +m ] 1/m ] out = [A +m ] in [ [B n ] out [B n ] in ] 1/n Goldmann-Gleichung: V m = RT ( F ln PK [K + ] out + P Na [Na + ] out + P Cl [Cl ) ] in P K [K + ] in + P Na [Na + ] in + P Cl [Cl ] out

5 Ein paar Zahlen: Ruhepotential eines Neurons: V rest 70mV Maximum des Aktionspotentials: V max +50mV Amplitude eines synaptischen Potentials: V syn 1mV Durchmesser des Somas einer Pyramidenzelle: ca. 20µm Vergleich: Eine AAA Batterie hat 1,5 V

6 Elektrische Beschreibung eines Ionenkanals Wie kann der Strom durch einen Ionenkanal/die Membran beschrieben werden? Wie kann man Strom und Spannung messen? (Kandel&Schwarz&Jessell)

7 Exkursion I: Ohms Gesetz Ohms Gesetz der Spannung: I Spannung = Widerstand x Strom V g V = R I oder, mit dem Leitwert g=1/r, I = g V Einheiten: Spannung V = [Volt] Strom I = [Ampere] Leitwert g = [Siemens]

8 Exkursion II: Die Kapazität der Membran Kapazität eines Kondensators: C = Q/V [Farad = Coulomb/Volt] C Fläche/Abstand Es fließt ein Scheinstrom wenn sich die Spannung ändert. I = dq dt = C dv dt = d (C V) dt Typischer Wert für Membran: 1 µf/cm 2

9 Exkursion III: Kirchhoffs Gesetze I 3 I 1 I 2 Knoten-Regel: I = 0 = I 1 + I 3 I 2 I 4 I 4 I 1 g 1 g 2 I 2 g 3 I 3 Maschen-Regel: V = (I/g)=0 V = 0= I 1 /g 1 + I 2 /g 2 + I 3 /g 3 I 4 /g 4 I 4 g 4

10 Der Strom durch einen Ionenkanal V g E (Kandel&Schwarz&Jessell) Maschen-Regel mit Stromquelle: E ist Nernstpotential für Ion K +. V K = E K + I K /g K I K = g K (V K E K )

11 Ersatzschaltkreis eines Stücks Membran V m C g K E K g Na E Na g Cl E Cl Der Ersatzschaltkreis für ein Stück Membran ist ein lineares ohmsches Netzwerk mit parallel geschaltetem Kondensator: (Beispiel für Ionen K +, Na +, Cl ) I C + I Na + I K + I Cl = 0 C dv dt = I Na I K I Cl C dv dt = g Na (V E Na ) g K (V E K ) g Cl (V E Cl )

12 Das Ruhepotential Stationäre Lösung der DGL: C dv dt = g Na (V E Na ) g K (V E K ) g Cl (V E Cl )=0 V (g Na + g K + g Cl )=g Na E Na + g K E K + g Cl E Cl V rest = g NaE Na + g K E K + g Cl E Cl g Na + g K + g Cl Beispiel: Das Ruhepotential einer typischen Pyramidenzelle V rest 70mV

13 Ein Ersatz für den Ersatzschaltkreis V m C g K E K g Na E Na g Cl E Cl C g E I = g Na (V E Na )+g K (V E K )+g Cl (V E Cl ) = (g Na + g K + g Cl )V (g Na E Na + g K E K + g Cl E Cl ) = g(v V rest )=gv gv rest = g V g g NaE Na + g K E K + g Cl E Cl g Na + g K + g Cl I g=g Na + g K + g Cl

14 Eigenschaften der Membran Linearität: Der nicht-kapazitären Teil des Stromkreises kann durch eine Stromquelle und einen Widerstand ersetzt werden: C g E Das Gleichgewichtspotential: I E m = g K +E K ++ g Na +E Na ++ g ClE Cl g K ++ g Na ++ g Cl Der effektive Leitwert der Membran: g m = g K ++ g Na ++ g Cl

15 Fundamentale Membrangleichung C dv dt = g ion(v E ion ) I

16 Die Zeitkonstante der Membran Wie schnell kann die Membran Veränderungen folgen? C dv dt = g(v E) dv dt = g (V E) C Typische Zahlen für ein Neuron: g=0.1 ms/cm 2, C=1µF/cm 2 g C = 0.1mS µf = S F = A V V C = = 0.1 ms Zeitkonstante der Membran: τ = 10 ms A As

17 (... die Zeitkonstante der Membran) V V 0 dv t (V E) = 1 dt τ t 0 ( ) V E ln = t V 0 E τ V(t)=(V 0 E)e t/τ + E -55 voltage [mv] time [ms]

18 Nicht-Linearität der Leitfähigkeit Generell: Leitfähigkeit der Membran ist nicht linear. 10 g=g(t,v) time [ms] Voltage [mv] Die Zeitkonstante der Membran hängt vom Membranpotential ab. Beispiel Interneuron-Modell

19 Der Ersatzschaltkreis mit synaptischem Strom Der postsynaptische Strom: I syn = g syn (t)(v E syn ) Die Leitfähigkeit g syn (t) ist zeitabhängig und kann z.b. durch eine Alpha-Funktion beschrieben werden: (t t 0 ) g syn (t)=g 0 e (t t 0)/τ τ Der Ersatzschaltkreis: C dv dt = g ion(v E ion ) g syn (t)(v E syn )

20 Postsynaptische Potentiale (PSP) 0.4 g(t) time [ms] Die Alpha-Funktion: (t t 0 ) g syn (t)=g 0 e (t t 0)/τ τ Exzitatorische postsynaptische Potentiale, hervorgerufen durch synaptischen Strom: I syn = g syn (t)(v E syn ) E syn = 0 mv für exzitatorische E syn = 75 mv für inhibitorische Synapse

21 Messmethoden I: Intrazelluläre Ableitung (Kandel&Schwarz&Jessell) Intracelluläre Ableitung mit Mikropipetten aus Glas, gefüllt mit Salzlösung

22 Messmethoden I: Intrazelluläre Stimulation Depolarisierung Hyperpolarisierung (Kandel&Schwarz&Jessell)

23 Das Strom-Spannungs-Verhältnis I = g V (Kandel&Schwarz&Jessell)

24 Nichtlineares Strom-Spannungs-Verhältnis ohmisch rektifizierend Ohmscher Ionenkanal: lineare I-V-Kurve Rektifizierender Ionenkanal: nicht-lineare I-V-Kurve (Kandel&Schwarz&Jessell)

25 Beispiel: Messung von Aktionspotentialen Das Aktionspotential einer kortikalen Pyramidenzelle (Köndgen et al, 2006)

26 Messmethoden II: Voltage-Clamp-Messung Rückkopplung hält die Spannung konstant Messung von Membran-Strömen Entwickelt von Kenneth Cole in den 40er Jahren (Kandel&Schwarz&Jessell)

27 Beispiel: Messung von K + - und Na + -Strömen Eine kleine Depolarisation zeigt: kleiner kapazitärer Strom am Anfang und Ende kleiner konstanter Strom Eine große Depolarisation zeigt: großer kapazitärer Strom am Anfang und Ende großer konstanter Strom nichtlinearer ionischer Strom (Kandel&Schwarz&Jessell)

28 (... Beispiel: Messung von K + - und Na + -Strömen) (Kandel&Schwarz&Jessell) Identifikation einzelner Ströme: Messung des K + -Stroms: Blockierung der Na + -Kanäle mit TTX Messung des Na + -Stroms: Blockierung der K + -Kanäle mit TEA Substraktion der kapazitiven und konstanten Ströme Leitfähigkeit = Strom/Spannung

29 Die Leitfähigkeit g k (V,t) Die K + -Leitfähigkeit steigt bis zu konstantem Wert abhängig von V. Depolarization verstärtk g K +: Aktivierung. Wenn V wieder zurück geht: g K + relaxiert schneller: Deaktivierung. Mathematisches Modell: g K + = ḡ K +n 4 dn dt = α n(1 n) β n n dn dt = n n τ n

30 Die Leitfähigkeit g Na (V,t) Na + -Leitfähigkeit steigt und fällt (transient!): Aktive Inaktivierung. Inaktivierungsvariable h: Aktivierungsvariable m: Mathematisches Modell: dh dt = α h(1 h) β h h dm dt = α m (1 m) β m m g Na + = ḡ Na +m 3 h

31 Gleichungssystem für neuronale Dynamik C dv dt dm dt dh dt dn dt = ḡ Na +m 3 h(v E Na +) ḡ K +n 4 (V E K +) ḡ L (V E L ) I e (t) = α m (V)(1 m) β m (V)m = α h (V)(1 h) β h (V)h = α n (V)(1 n) β n (V)n

32 Das ist wichtig: Ersatzschaltkreis für Membran Synaptischer Strom Voltage-Clamp Messmethode Zeit- und spannungsabhängige Leitfähigkeit der Ionenkanäle