Homomorphismen. Defnition: Σ und Γ seien zwei endliche Alphabete, und h sei eine Abbildung h : Σ Γ. Wir definieren die folgenden Sprachen:

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1 Homomorphismen Σ und Γ seien zwei endliche Alphabete, und h sei eine Abbildung h : Σ Γ. Wir definieren die folgenden Sprachen: h(l) := {h(u) : u L} Γ, für jede Sprache L Σ, h 1 (M) := {u Σ : h(u) M} Σ, für jede Sprache M Γ. Für jedes w Γ sei h 1 (w) := h 1 ({w}) = {u Σ : h(u) = w}. Defnition: Eine Abbildung h : Σ Γ heißt Homomorphismus, wenn für alle Worte u, v Σ gilt: h(uv) = h(u) h(v). Beachte: Ein Homomorphismus h ist vollständig festgelegt durch die Abbildung a h(a), für alle a Σ. Es gilt: h(ε) = ε und h(a 1 a n) = h(a 1 ) h(a n), für alle n N >0 und a 1,..., a n Σ. Abschlusseigenschaften 90 / 124

2 Beispiele Sei Σ := {0, 1, 2} und Γ := {a, b}. (a) Sei h : Σ Γ der durch h(0) := a, h(1) := b, h(2) := b festgelegte Homomorphismus. Dann ist h(0012) = aabb, und allgemein ist h(0 n 12 n 1 ) = a n b n für alle n 1. Somit ist h({0 n 12 n 1 : n 1}) = {a n b n : n 1}. (b) Sei g : Σ Σ der durch g(0) := 0, g(1) := 10, g(2) := 0 festgelegte Homomorphismus. Dann ist g(021) = 0010, und g 1 (0010) = {021, 001, 221, 201} = {0, 2} 2 {1}. Außerdem ist g 1 (0 n 10 n ) = {0, 2} n {1}{0, 2} n 1 und g 1 ({0 n 10 n : n 1}) {0} {1}{2} = {0 n 12 n 1 : n 1}. Abschlusseigenschaften 91 / 124

3 Homomorphismen und Abschlusseigenschaften regulärer Sprachen Satz: Seien Σ und Γ zwei endliche Alphabete und sei h : Σ Γ ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) Falls L Σ regulär, so ist auch h(l) regulär. (b) Falls M Γ regulär, so ist auch h 1 (M) regulär. Die Klasse aller regulären Sprache ist also abgeschlossen unter Homomorphismen und unter inversen Homomorphismen. Beweis: Skizze: siehe Tafel. Details: Übung. Abschlusseigenschaften 92 / 124

4 Anwendungsbeispiele Nutze Abschlusseigenschaften der Klasse aller regulären Sprachen, um die Nicht-Regularität bestimmter Sprachen nachzuweisen. Beispiel: Keine der folgenden Sprachen ist regulär: (a) L := {a m b n c m+n : m, n N}, (b) L := {a, b} {c k a n b n : k, n 0}, (c) L := {0 n 12 n 1 : n 1}, (d) L := {0 n 10 n : n 1}. Beweis: siehe Tafel! Abschlusseigenschaften 93 / 124

5 Weitere Abschlusseigenschaften In den Übungen haben wir bereits einige weitere Abschlusseigenschaften der regulären Sprachen gesehen: Satz: L, L 1, L 2 Σ seien reguläre Sprachen; w Σ sei ein Wort. Dann sind auch die folgenden Sprachen regulär: (a) w 1 L := {v Σ : wv L} (Linksquotient von L bzgl. w) (b) L 1 L 2 (Shuffle-Produkt von L 1 und L 2 (c) L R := {w R : w L} (Rückwärtslesen von L) Dabei ist u v := {u 1 v 1 u nv n : n N, u = u 1 u n, v = v 1 v n, u i, v i Σ }, L 1 L 2 := u v u L 1,v L 2 w R := a n a 1, falls w = a 1 a n mit a i Σ, n 0. Abschlusseigenschaften 94 / 124

6 Zusammenfassung Die Klasse der regulären Sprachen ist abgeschlossen unter Komplementbildung L regulär = L := Σ \ L regulär Vereinigung und Durchschnitt L 1, L 2 regulär = L 1 L 2 und L 1 L 2 regulär Konkatenation L 1, L 2 regulär = L 1 L 2 regulär Kleene-Stern L regulär = L regulär Homomorphismen und inversen Homomorphismen L regulär, h Homomorphismus = h(l) und h 1 (L) regulär Rückwärtslesen L regulär = L R regulär Shuffle-Produkt L 1, L 2 regulär = L 1 L 2 regulär Linksquotienten L regulär, w Σ = w 1 L regulär Abschlusseigenschaften 95 / 124

7 Entscheidungsprobleme Entscheidungsprobleme 96 / 124

8 Welche Fragen über endliche Automaten sind effizient beantwortbar? A sei ein DFA oder NFA. Ist L(A)? Sei q 0 der Anfangszustand von A und sei F die Menge der akzeptierenden Zustände. L(A) ist genau dann nicht-leer, wenn es einen Weg von q 0 zu einem Zustand in F gibt. Wende Tiefensuche auf q 0 an: L(A) ist nicht-leer, wenn Tiefensuche einen akzeptierenden Zustand findet. Die Laufzeit ist proportional zur Anzahl der Kanten im Zustandsdiagramm, also in O( Σ Q ) für DFAs und in O( Σ Q 2 ) für NFAs. Entscheidungsprobleme 97 / 124

9 Welche Fragen lassen sich effizient beantworten? D, D 1, D 2 seien deterministische Automaten Die folgenden Fragen lassen sich effizient beantworten (in Zeit O( Σ Q ) bzw. O( Σ Q 1 Q 2 )): (a) Ist L(D) = Σ? (b) Ist L(D 1 ) = L(D 2 )? (c) Ist L(D 1 ) L(D 2 )? (d) Ist L(D) endlich? (Universalität) (Äquivalenz) ( Containment ) (Endlichkeit) Beweis: Übungsaufgabe! Idee: Nutze jeweils aus, dass die Frage effizient beantwortet werden kann. Ist L(D)? Die obigen Fragen (a) (c) sind für NFAs extrem schwierig: Man kann zeigen, dass sie PSPACE-vollständig sind (also wahrscheinlich noch schwerer als NP-vollständige Probleme). Entscheidungsprobleme 98 / 124

10 Das Wortproblem für NFAs Für einen NFA A und ein Wort w entscheide, ob A die Eingabe w akzeptiert. Wie schwierig ist das Wortproblem? Nicht ganz so einfach wie für DFAs, aber die Menge δ(q 0, w) der von q 0 aus erreichbaren Zustände lässt sich effizient berechnen: Zeit O( w Q 2 ) reicht aus! Algorithmus: Übungsaufgabe! Akzeptiere genau dann, wenn δ(q 0, w) F. Entscheidungsprobleme 99 / 124

11 Sehr schwierige Entscheidungsfragen für DFAs und NFAs (1) Das Interpolationsproblem für DFAs: Für gegebene Teilmengen P, N Σ und einen Schwellenwert k 1, gibt es einen DFA mit höchstens k Zuständen, der alle Worte in P akzeptiert und alle Worte in N verwirft? Dieses Problem ist NP-vollständig. (Hier ohne Beweis) (2) Das Minimierungsproblem für NFAs: Gegeben zwei NFAs A und B, entscheide, ob B ein zu A äquivalenter NFA mit minimaler Zustandszahl ist. Dieses Problem ist PSPACE-vollständig. (Hier ohne Beweis) Es ist sogar schwierig, die minimale Zustandszahl approximativ zu bestimmen. Was ist da los? Bereits die Frage Ist L(N) Σ? ist extrem schwer (nämlich PSPACE-vollständig) und gehört daher wahrscheinlich nicht einmal zur Klasse NP. Worte in Σ \ L(N) sind unter Umständen sehr lang. Entscheidungsprobleme 100 / 124

12 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke 101 / 124

13 Reguläre Ausdrücke Die Menge der regulären Ausdrücke über einem endlichen Alphabet Σ wird rekursiv wie folgt definiert: Basisregel: Die Ausdrücke, ɛ und a für a Σ sind regulär. Die Ausdrücke beschreiben die leere Sprache (L( ) = ), die Sprache des leeren Wortes (L(ε) = {ε}) und die Sprache des einbuchstabigen Wortes a (L(a) = {a}). Rekursive Regeln: Sind R und S reguläre Ausdrücke, dann auch (R S), (R S) und R. beschreibt die Vereinigung und wird manchmal auch mit + bezeichnet (L((R S)) = L(R) L(S)), die Konkatenation und wird manchmal auch mit bezeichnet (L((R S)) = L(R) L(S)), und beschreibt die Kleene-Hülle (L(R ) = L(R) ). Reguläre Ausdrücke 102 / 124

14 Abkürzende Schreibweise Zur vereinfachten Schreibweise und besseren Lesbarkeit vereinbaren wir folgende Konventionen: Den Punkt bei der Konkatenation darf man weglassen. (Schreibe (RS) statt (R S)) Bei Ketten gleichartiger Operationen darf man die Klammern weglassen. (Schreibe (R 1 R 2 R 3 ) statt ((R 1 R 2 ) R 3 ), und (R 1 R 2 R 3 ) statt ((R 1 R 2 )R 3 )) Äußere Klammern, die einen regulären Ausdruck umschließen, dürfen weggelassen werden. Zur besseren Lesbarkeit dürfen zusätzliche Klammern eingefügt werden. Bei fehlenden Klammern gelten folgende Präzedenzregeln : bindet stärker als ; bindet stärker als. Beispiel: a bbc ist eine verkürzte Schreibweise für den regulären Ausdruck (a ((b b) c )). Die von ihm beschriebene Sprache ist L(a bbc ) = {a} ({bb} {c} ). Reguläre Ausdrücke 103 / 124

15 Beispiele für reguläre Ausdrücke (1) L 1 = { w {a, b} w beginnt und endet mit dem Buchstaben a } wird beschreiben durch den regulären Ausdruck a a (a b) a. (2) Sei P {a, b}. Die Sprache aller Worte in {a, b} mit Teilwort P, wird beschrieben durch den regulären Ausdruck (a b) P (a b). (3) Der reguläre Ausdruck b (b ab ab ) beschreibt die Sprache L 3 = { w {a, b} w enthält eine gerade Anzahl von a s }. Reguläre Ausdrücke 104 / 124

16 Reguläre Ausdrücke definieren reguläre Sprachen Satz: Sei Σ ein endliches Alphabet. Jeder reguläre Ausdruck R über Σ beschreibt eine reguläre Sprache L(R). Beweis: Per Induktion über den Aufbau der regulären Ausdrücke. Induktionsanfang: Betrachte die gemäß Basisregeln gebildeten regulären Ausdrücke., ɛ, und a, für a Σ sind reguläre Ausdrücke, die die Sprachen L( ) =, L(ɛ) = {ε} und L(a) = {a} beschreiben. Man kann leicht DFAs konstruieren, die diese Sprachen akzeptieren. Induktionsschritt: Betrachte die gemäß rekursiven Regeln gebildeten regulären Ausdrücke. Seien R und S reguläre Ausdrücke, die gemäß Induktionsannahme reguläre Sprachen L(R) und L(S) beschreiben. Wir wissen bereits, dass die Klasse der regulären Sprachen abgeschlossen ist unter Vereinigung, Konkatenation und Kleene-Stern. Daher sind auch die folgenden Sprachen regulär: L(R) L(S) = L((R S)), L(R) L(S) = L((R S)), L(R) = L(R ). Somit beschreiben auch die regulären Ausdrücke (R S), (R S) und R reguläre Sprachen. Reguläre Ausdrücke 105 / 124

17 Beispiel: Regulärer Ausdruck = ɛ-nfa Gegeben sei der reguläre Ausdruck R := Aufgabe: Konstruiere einen ɛ-nfa A mit L(A) = L(R). Systematisches Vorgehen entlang des Beweises, dass reguläre Ausdrücke reguläre Sprachen definieren: (1) Zerlege R in Teilausdrücke: R 0 := 0 R 1 := 1 R 2 := 1 = R 1 R 3 := 01 = R 0 R 2 R 4 := 01 1 = R 3 R 1 = R (2) Konstruiere, für jedes i {0,..., 4}, einen ɛ-nfa A i mit L(A i ) = L(R i ). Dann ist A := A 4 der gesuchte Automat. Rest: Siehe Tafel! Reguläre Ausdrücke 106 / 124

18 Zwischenstand Jeder reguläre Ausdruck definiert also eine reguläre Sprache. Und umgekehrt, gibt es zu jeder regulären Sprache auch einen regulären Ausdruck? Reguläre Ausdrücke 107 / 124

19 Reguläre Sprachen haben reguläre Ausdrücke (1/3) Satz: Sei Σ ein endliches Alphabet. Zu jeder regulären Sprache L Σ gibt es einen regulären Ausdruck R über Σ, der die Sprache L beschreibt. Beweis: Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein vollständiger DFA, der L akzeptiert. Es gelte Q = {1,..., n}. Idee: Benutze dynamische Programmierung, um reguläre Ausdrücke R k p,q zu konstruieren, die die Mengen L k p,q beschreiben, wobei L k p,q := { w Σ : δ(p, w) = q, und alle Zwischenzustände für alle p, q Q und alle k {0, 1,..., n}. liegen in der Menge {1,..., k} }, Es gilt: L = q F L n q 0,q. Für F = {q 1,..., q s} wird L daher durch den regulären Ausdruck (R n q 0,q 1 R n q 0,q s ) beschrieben. Reguläre Ausdrücke 108 / 124

20 Reguläre Sprachen haben reguläre Ausdrücke (2/3) Rekursiv für k {0, 1, 2,..., n} konstruieren wir nun reguläre Ausdrücke L k p,q für alle p, q Q. Reguläre Ausdrücke für L 0 p,q, für alle p, q Q: L 0 p,q ist die Menge aller Worte, die Zustand q von Zustand p aus ohne Zwischenzustände erreichen. Also: Falls p q, so ist L 0 p,q = {a Σ : δ(p, a) = q} Falls p = q, so ist L 0 p,q = {ε} {a Σ : δ(p, a) = q} Also ist L 0 p,q eine endliche Menge von Buchstaben bzw. dem leeren Wort. Sie wird daher von einem regulären Ausdruck R 0 p,q beschrieben (durch das Symbol oder durch Verknüpfen der Buchstaben bzw. des leeren Wortes mit dem -Operator). Als nächstes konstruieren wir für jedes k 1 reguläre Ausdrücke für die Mengen L k p,q, wobei wir annehmen, dass wir reguläre Ausdrücke für L k 1 r,s schon kennen (für alle p, q, r, s Q). Reguläre Ausdrücke 109 / 124

21 Reguläre Sprachen haben reguläre Ausdrücke (3/3) Reguläre Ausdrücke für L k p,q: L k p,q ist die Menge aller Worte w, die Zustand q von Zustand p aus mit Zwischenzuständen aus der Menge {1,..., k} erreichen. Entweder benötigt ein Wort w nur Zwischenzustände in der Menge {1,..., k 1}, d.h. es liegt in L k 1 p,q, oder Zustand k ist Zwischenzustand. Dann führt die Berechnung von p nach k, pendelt zwischen k und k und erreicht dann q von Zustand k aus. Wie oft kann Zustand k angenommen werden? Keine Ahnung! Macht aber nichts, denn ( ) L k p,q = L k 1 p,q L k p,k L k 1 L k 1 k,k k,q. Daher wird L k p,q durch den folgenden regulären Ausdruck beschrieben: ( ) Rp,q k := Rp,q k 1 R k 1 p,k R k 1 k,k R k 1 k,q. Reguläre Ausdrücke 110 / 124

22 Beispiel: vollständiger DFA = regulärer Ausdruck Gegeben sei der vollständige DFA A siehe Tafel Aufgabe: Konstruiere einen regulären Ausdruck R mit L(R) = L(A). Systematisches Vorgehen entlang des Beweises, dass reguläre Sprachen von regulären Ausdrücken beschrieben werden: Konstruiere die regulären Ausdrücke R k p,q für k {0, 1, 2} und alle p, q {1, 2, 3}, konstruiere dann R 3 1,2 und R3 1,3 und setze R := R3 1,2 R3 1,3. Rest: Siehe Tafel (bzw. [Hopcroft Ullman, Example 2.12]). Reguläre Ausdrücke 111 / 124