4. Torsion. Sie werden z. B. bei Antriebswellen verwendet, die zur Übertragung von Drehmomenten eingesetzt werden

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Gudrun Kaufman
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1 4. Torsion Die Belastung eines Balkens durch ein Moment um die x- Achse wird als Torsion bezeichnet. Das Torsionsmoment Mx resultiert aus einer über den Querschnitt verteilten Schubspannung. Für Kreis- und Kreisringquerschnitte kann die Verteilung der Schubspannung einfach ermittelt werden. Im Folgenden werden kreiszylindrische Wellen mit konstantem oder nur schwach veränderlichem Radius betrachtet. Sie werden z. B. bei Antriebswellen verwendet, die zur Übertragung von Drehmomenten eingesetzt werden. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

2 4. Torsion Beispiel: Antriebsstrang Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

3 4. Torsion 4.1 Spannungsermittlung 4.2 Beispiele 4.3 Zulässige Spannung Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

ändern. Es tritt keine Verschiebung in x-richtung auf.

4 4.1 Spannungsermittlung Kinematik: Die Querschnitte drehen sich um die x-achse, ohne dabei ihre Form zu ändern. Es tritt keine Verschiebung in x-richtung auf. A B A' B' M x x Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

5 4.1 Spannungsermittlung Scherung: Der Querschnitt an der Stelle x verdreht sich um den Winkel θ. Der Querschnitt an der Stelle x + dx verdreht sich um den Winkel θ + dθ. Aus der Zeichnung kann abgelesen werden: γ dx=r d θ P' P θ γ dx Q' dθ Q r x Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

6 4.1 Spannungsermittlung Daraus folgt für die Scherung: γ=r d θ dx Die Ableitung dθ/dx wird als Verdrillung bezeichnet. Schubspannung: Mit dem Materialgesetz folgt für die Schubspannung: τ=g γ=g r d θ dx τ τ Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

7 4.1 Spannungsermittlung Das resultierende Moment der Schubspannung ist gleich dem Torsionsmoment: M x = A r τ da=g d θ dx A r 2 da Mit dem Torsionsträgheitsmoment R r τ I T = A r 2 da y da gilt: M x =G I T d θ dx z Die Größe GI T wird als Torsionssteifigkeit bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

8 4.1 Spannungsermittlung Mit d θ dx = M x G I T folgt für die Schubspannung: τ= M x I T r Die maximale Schubspannung tritt für r = R auf: τ max = M x I T R= M x W T mit W T = I T R Dabei ist W T das Torsionswiderstandsmoment. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

9 4.1 Spannungsermittlung Verdrehung: Der Winkel, um den sich zwei Querschnitte an den Stellen x A und x B gegeneinander verdrehen, berechnet sich zu x Δ θ=θ B θ = B A x A x d θ dx dx= B x A M x G I T dx Bei konstantem Torsionsmoment und konstanter Torsionssteifigkeit gilt: θ B θ A = M x L AB G I T mit L AB =x B x A Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

10 4.1 Spannungsermittlung Torsionsträgheitsmoment: Kreisquerschnitt: R da=2 π r dr I T = A W T = 1 2 π R3 R r 2 da=2 π 0 Kreisringquerschnitt: r 3 dr= 1 2 π R4 r R a da I T = 1 2 π ( R a 4 R i4 ), W T = 1 2 π R a ( R a 4 R i4 ) R i Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

11 4.1 Spannungsermittlung Beim Kreis und beim Kreisring stimmt das Torsionsträgheitsmoment mit dem polaren Flächenträgheitsmoment überein. Das polare Flächenträgheitsmoment ist ein geometrischer Kennwert des Querschnitts. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

12 4.1 Spannungsermittlung Allgemeine Querschnitte: Bei einem allgemeinen Querschnitt stimmt das Torsionsträgheitsmoment nicht mit dem polaren Flächenträgheitsmoment überein. Zusätzlich tritt eine Verschiebung in x-richtung auf, die als Verwölbung bezeichnet wird. Die Formeln für die Schubspannung und die Verdrillung gelten weiterhin. Torsionsträgheitsmoment und Torsionswiderstandsmoment sind jedoch komplizierter zu berechnen. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

13 4.2 Beispiele Konische Welle Die abgebildete konische Antriebswelle mit Kreisquerschnitt wird durch das Antriebsmoment M x belastet. M x 2r 0 r 0 A B x C D M x Gegeben: L 3L L Abmessungen L und r0 Gesucht: Schubmodul G Antriebsmoment Mx Maximale Schubspannung Verdrehungen relativ zu Querschnitt A Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

14 4.2 Beispiele Das Torsionsmoment ist in jedem Querschnitt gleich und hat den Wert M x. Größte Schubspannung: Die größte Schubspannung tritt im Abschnitt CD auf. Mit dem Torsionswiderstandsmoment W CD T = 1 2 π r 3 0 gilt: τ max = M x W =2 M x CD 3 T π r 0 Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

15 4.2 Beispiele Verdrehungen: Torsionsträgheitsmomente: I AB T = 1 2 π (2 r 0 ) 4 =8 π r 4 0, I CD T = 1 2 π r 4 0 I BC T ( x)= 1 2 π ( 2 r 0 r )4 0 3 L ( x L ) = π r 4 ( x ) 4 L Querschnitt B: θ B = M x L G I T AB = M x L 8 π r 0 4 G Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

16 4.2 Beispiele Querschnitt C: x C θ C =θ B + x B Querschnitt D: 4 L d θ dx dx=θ B+ 4 L =θ B M x π r 0 4 G L L M x G I T BC ( x) dx dx (7 x /L ) 4=θ B M x π r 0 4 G [ L 3 = M x L 8 π r 4 0 G M x L ( 1 π r 4 0 G ) (2 3) 3 θ D =θ C + M L x G I = M L ( x 15 CD T π r 4 0 G 8 +2 ) = x=4 L (7 x /L ) 3 ]x=l M x L = M x L π r 0 4 G ( ) =15 8 M x L π r 0 4 G π r 0 4 G Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

17 4.2 Beispiele Radsatz Die beiden Räder A und C sind durch Hohlwellen mit der starren Antriebsscheibe B verbunden. Gegeben: Abmessungen L1 < L 2 und D Antriebsmoment MB Zulässige Spannung τ zul A B M B C L 1 L 2 Gesucht: Verhältnis IT1 /I T2 so, dass beide Räder das gleiche Moment übertragen Innendurchmesser d1 und d 2 D Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

18 4.2 Beispiele Momentengleichgewicht: M x =0 : 2 M A + M B =0 M A = 1 2 M B M A A B M B C x L 1 L 2 M A Torsionsmoment: Abschnitt AB (Gleichgewicht für linke Teilachse): M x 1 =M A Abschnitt BC (Gleichgewicht für rechte Teilachse): M x 2 = M A Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

19 4.2 Beispiele Verträglichkeitsbedingung: Es tritt keine Verdrehung von Rad C relativ zu Rad A auf: 0= M x 1 L 1 + M x 2 L 2 = M ( L A 1 L ) 2 G I T 1 G I T 2 G I T 1 I I T 1 = L 1 T 2 I T 2 L 2 Innendurchmesser: Die größere Schubspannung tritt im Abschnitt AB auf: τ zul M A = M B W T 1 2 D π 16 D 4 d 1 4 = 8 π M B D D 4 d 1 4 τ zul ( D 4 d 14 ) π 8 M B D d 1 4 D 4 π 8 M B D τ zul Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

20 4.2 Beispiele L Aus 1 = I T 1 = D 4 4 d 1 folgt L 2 I T 2 D 4 4 d 2 L 1 L 2 (D 4 d 24 )=D 4 d 1 4 und daraus: d 4 2 =D 4 L 2 (D 4 d L 14 )= L +( 2 d 4 1 L 1 L ) L D 4 1 d 2 = 4 L 2 L 1 d 1 4 +( 1 L ) 2 L D 4 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

21 4.3 Zulässige Spannung Duktile Werkstoffe: Bei duktilen Werkstoffen kann Fließen oder Bruch auftreten. Mit dem Torsionsmoment M xf bei Fließbeginn und dem Torsionsmoment M xb bei Bruch wird eine Torsionsfließgrenze und eine Torsionsfestigkeit definiert: Torsionsfließgrenze: τ tf = M xf W T = 1 2 R e Torsionsfestigkeit: τ tb = M xb W T Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

22 4.3 Zulässige Spannung Spröde Werkstoffe: Bei spröden Werkstoffen kann nur Versagen durch Bruch auftreten. Die Torsionsfestigkeit τ tb entspricht der Zugfestigkeit R m. Sicherheit und zulässige Spannung: Gegen Fließen: S F = τ tf τ, τ zul = τ tf S F Gegen Bruch: S B = τ tb τ, τ zul = τ tb S B Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

23 4.3 Zulässige Spannung Anhaltswerte für die Sicherheit bei Torsionsbeanspruchung: Werkstoffart Versagensart Sicherheit duktil Fließen 1,2-2,0 Bruch 2,0-4,0 spröde Bruch 4,0-9,0 Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM

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Biegung 2. Biegung Wie die Normalkraft resultiert auch das Biegemoment aus einer Normalspannung. Das Koordinatensystem des Balkens wird so gewählt, dass die Flächenschwerpunkte der Querschnitte auf der x-achse