Musterlösung Übung 6

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1 Musterlösung Übung 6 Hörsaalübung: Abgabe: max. 27 P. Aufgabe. Heißleiter 5 P. Ein NTC-Temperaturfühler soll im medizinischen Bereich eingesetzt werden (Temperaturbereich 36 C bis 45 C). Die Temperaturabhängigkeit des Fühlers wird durch folgende Gleichung beschrieben: R T = R T0 exp[b ( T )] T 0 mit R T0 = 0 kω bei T 0 = 273 K und B = 4052 K. Der Temperaturfühler ist in der Brückenschaltung aus Abbildung eingebaut (U 0 = 0 V). U 0 R R U D R R T Abbildung : Brückenschaltung mit NTC-Temperaturfühler. a) P. Dimensionieren Sie die Widerstände so, da die Brücke bei 36 C abgeglichen ist! weiter auf der nächsten Seite / 0

2 b) 3 P. Zeigen Sie, dass für die Empfindlichkeit des Systems gilt: S = B R R T T 2 (R + R T ) 2 U 0 c) P. Berechnen Sie die Empfindlichkeit bei T = 36 C! Wie hängt die Empfindlichkeit von der Temperatur ab? Lösung. 5 P. a) Die Abgleichbedingung liefert: R R = R R T (36 C) R = R T(36 C) R T (36 C) =0 kω exp[4052 K ( 273 K + 36 K )],77 kω 273 K b) Die Spannung der Brückendiagonale errechnet sich zu: U D = ( R 2R R T ) U R + R 0 T = ( 2 R T R + R T ) U 0 = R R T 2 (R + R T ) U 0 Empfindlichkeit ist definiert als Änderung der Ausgangsgröße pro Änderung der Eingangsgröße. Also hier: S = U D T = T ( 2 R T(T ) R + R T (T ) ) U 0 = T ( 2 + R ) U 0 R T (T ) = T ( + R T T (T ) ) = R T (R T(T )) ( + R 2 R T (T ) ) U 0 = R T R T(T ) (R T (T )) 2 ( + R 2 R T (T ) ) U 0 = R B T 2 R T(T ) ( R T (T )) (R T (T )) 2 2 (R T (T ) + R) 2 U 0 = B R R T(T ) T 2 (R + R T (T )) 2 U 0 2 / 0

3 c) Bei 36 C gilt nach a) R T = R und damit: S(36 C) = B R2 (2T R) 2 U 0 = 4052 K (770 kω) 2 mv 0 V 06 2 (273 K + 36 K) (770 kω) 2 K Die Empfindlichkeit ist also temperaturabhängig und sinkt mit steigender Temperatur. Aufgabe 2. Thermopile 3 P. Ein Thermopile-Sensor auf Siliziumbasis soll zur berührungslosen Temperaturmessung im Pkw eingesetzt werden. Das so gewonnene Signal kann z.b. zur Steuerung der Klimaanlage verwendet werden. Der Sensor erfasst einen Raumwinkel von 0. µm 54,74 mm 2 mm Abbildung 2: Bemaßte Draufsicht und Querschnitt eines Thermopile-Sensors. a) b) 2 P. Welche Strahlungsleistung empfängt der Sensor von einer m entfernten Person bei einer Umgebungstemperatur von 20 C? P. Zum Vergleich: Welche Strahlungsleistung würde bei direkter Sonneneinstrahlung (000 kw h pro Jahr und m 2 ) auf die Empfängerfläche treffen? weiter auf der nächsten Seite 3 / 0

4 c) 2 P. Geben Sie den Zusammenhang zwischen Temperaturdifferenz ΔT Wärmestrom Φ d) thermischem Widerstand R th an. Gehen Sie dafür vom elektrischen Fall aus und überlegen Sie, welche elektrischen Größen äquivalent zu den thermodynamischen Größen sind. Wie berechnet sich R th aus der spezifischen Wärmeleitfähigkeit λ spez? 4 P. Schätzen Sie die Temperaturerhöhung der Sensorfläche für die Fälle in a) und b) ab. Hierfür wird die gesamte Membran als idealer Wärmeleiter und der Rahmen als ideale Wärmesenke angenommen. Es soll also nur die über den schrägen Übergangsbereich zwischen Rahmen und Membran (in der Abbildung gelb) abfließende Wärme betrachtet werden; die Wärmeleitung der Thermoschenkel, der Rahmenecken und der Luft können vernachlässigt werden. Die Wärmeleitfähigkeit des Rahmens (Silizium) beträgt λ spez = 50 W m K. Hinweis: Um den Gesamtwiderstand des Übergangsbereichs auszurechnen müssen Sie ein Integral der Form a x+c dx = a ln (a x + c) lösen. e) f) P. Zeigen Sie rechnerisch, dass es gerechtfertigt war, in d) die Wärmeleitung über die Luft (λ spez = 26,20 mw m K ) zu vernachlässigen. Nehmen Sie für die Länge 0,50 mm an. Hinweis: Die Membran hat eine Ober- und Unterseite.,5 P. Welche Signalspannung erhält man mit 60 Thermopaaren aus Bi/Sb auf der Membran? g),5 P. Warum muss zusätzlich die Umgebungstemperatur erfasst werden? Wie wird dies sinnvoll in das Sensorelement integriert, d.h. welche Art Sensor wird wo angebracht? Lösung 2. 3 P. a) Laut Vorlesung gilt: A S : sichtbare Strahlerfläche; Φ = σ A S A E π a 2 (TS 4 T E 4 ) 4 / 0

5 A E = mm 2 ; a: Abstand = m; T E : Temperatur des Sensors (293 K) Die Membran wird punktförmig angenommen. a φ d Da der Sensor einen Winkel von 0 erfasst, ist die Fläche (ein Kreis mit Radius d/2), die er von einer m entfernten Person gemäß der Skizze sieht: A S = π d2 4 = π (2a tan φ 2 )2 4 = 0,024 m 2 Für die Person ergibt sich ein Strahlungsfluss von Φ Mensch = 808 nw. b) Für die Sonne ergibt sich eine Bestrahlungsstärke von und damit E = 06 W h m h 4 W m 2 Φ Sonne = E 0 6 m 2 also mehr als 40 Mal so viel wie für einen Menschen. c) Temperaturdifferenz ΔT Spannung U = 4 µw 5 / 0

6 Wärmefluss/Strahlungsfluss Φ Strom I thermischer Widerstand R th Widerstand R Damit ist der gesuchte Zusammenhang: ΔT = Φ R th Die Formel für den thermischen Widerstand ergibt sich aus einfachen Überlegungen, analog zum elektrischen Strom bzw. Widerstand. je größer die Leitfähigkeit, desto geringer der Widerstand: R th /λ spez je länger der Weg, desto größer der Widerstand: R th l je größer die Querschnittsfläche, desto geringer der Widerstand: R th /A R th = λ spez l A P. d) Um die Fläche in Abhängigkeit des Wegs auszudrücken wird der tan φ verwendet. Mit φ = 54,74. h(l) = l tan φ mit tan 54,74 = 2 Damit ergibt sich für die Querschnittsfläche A(l) Breite (Dicke Membran + h(l)) A(l) = mm ( µm + l 2) 6 / 0

7 Für den thermischen Widerstand gilt: R th = dl 4 λ spez A(l) 0,50 mm = 4 λ spez 0 mm mm ( µm + l dl 2) = 4 λ spez mm 2 ( ln ( µm + 2 0,50 mm) ln ( µm)) = 4 λ spez mm 2 ln ( µm + 2 0,50 mm ) µm 4 50 W m K mm 2 6,56 = 7,73 K W Nach c) ist dann ΔT Mensch = Φ Mensch R th = W 7,73 K W = 6,25 µk ΔT Sonne = Φ Sonne R th = W 7,73 K W = 88 µk e) Die Wärme der Membran wird über die Vorder- und Rückseite an der Luft abgegeben, die Gesamtfläche ist also: Für dasselbe l wie in d) ergibt sich A = 2 mm 2 R th = λ spez l A = 9,54 03 K W Der Widerstand der Luft ist also mehr als zwei Größenordnungen größer als der des Rahmens und kann daher für eine erste Abschätzung vernachlässigt werden. 7 / 0

8 f) Laut Vorlesung gilt U th = n αδt U th,mensch = µv K ΔT Mensch = 37,50 nv U th,sonne = µv K ΔT Sonne = 5,28 µv g) Wie oben gezeigt ist der Netto-Strahlungsfluss von der Temperatur von Sender und Empfänger abhängig. Da der Sensor dann den Strahlungsfluss linear in die Signalspannung umsetzt, wirkt sich also die Sensortemperatur auf die Anzeige aus. Wäre der Sensor ebenfalls 37 C warm, würde er bei Messung des Menschen 0 V liefern, wäre der Sensor heißer, dann würde die Signalspannung sogar negativ werden. Man integriert auf dem Sensorchiprahmen einen zusätzlichen Temperatursensor, der ein absolutes Temperatursignal liefert. Dies könnte z.b. ein Metallschicht Temperatursensor sein, da sich dieser in der gleichen Technologie herstellen lässt wie die restlichen Strukturen. Ein Thermoelement auf dem Rahmen geht natürlich nicht, da man damit ohne Referenz keine absolute Temperatur messen kann. P. Aufgabe 3. Bolometer 9 P. Zur Verfügung steht ein Bolometer (A Membran = 6, m 2, S Membran = 55,0 0 3 K W ) mit einem an die Membran angekoppelten Pt00-Widerstand. Mit diesem Bolometer soll die Temperatur einer a = 5 m entfernten Heizplatte mit einem Durchmesser von D P latte = m erfasst werden. Die Umgebungstemperatur ist 20 C. a) P. Erklären Sie allgemein die Funktionsweise eines Bolometers! b) 3,5 P. Um welchen Wert ändert sich der Pt00, wenn die Umgebungstemperatur bei ausgeschalteter Heizplatte um C steigt? Welcher scheinbaren Temperatur der Heizplatte entspricht das (Angabe in C)? Hinweis: Sie können eine lineare Kennlinie für den Pt00 annehmen. weiter auf der nächsten Seite 8 / 0

9 c) P. Ergänzen Sie das Bolometer und verschalten Sie es in einer Messbrücke, so dass das Ausgangssignal unabhängig von der Umgebungstemperatur und den Grundwerten der Brückenwiderstände wird! d) 2,5 P. Berechnen Sie das Ausgangssignal der Brücke für eine 200 C heiße Platte, wenn die Brücke (U 0 = 5 V) bei Umgebungstemperatur abgeglichen ist. e) P. Welche anderen Strahlungssensoren (mindestens zwei) kennen Sie? Lösung 3. 9 P. a) Wie bei den meisten Strahlungssensoren wird bei Bolometern die einfallende Strahlung zunächst durch eine Absorbermembran in eine Temperaturänderung umgewandelt. Diese Temperaturänderung führt zu einer Änderung des angekoppelten elektrischen Widerstandes, die dann elektrisch ausgelesen werden kann. P. b) Mit der Umgebungstemperatur steigt auch die Temperatur der Membran und damit die des Widerstandes. Das entspricht einer Änderung des Pt00 um: ΔR P t00 = R 0 A P t K = 0,39 Ω Um die scheinbare Temperatur der Heizplatte zu errechnen, wird zunächst über die Empfindlichkeit der Strahlungsfluss errechnet, der die Membran um C erwärmen würde: ΔT = S Membran Φ Φ K = K 55,0 0 3 K W Damit kann dann die scheinbare Temperatur errechnet werden: Φ = σ A Sender A Empfanger πa 2 = 8,0 0 6 W P. (TSender 4 T Empf 4 anger ) T Sender = Φ 4 σ πa 2 + TEmpf 4 anger A Sender A Empfanger = 546 K = T Sender 273 C = 273 C c) Damit das Ausgangssignal unabhängig von der Umgebungstemperatur wird, muss ein weiterer Pt00 auf dem Chiprahmen angebracht werden, der dort die Umgebungstemperatur misst. Die beiden Pt00 werden dann in einem Zweig einer Messbrücke verschaltet, in dem anderen befinden sich zwei gleich große Widerstände (Abbildung 3). P. 9 / 0

10 U 0 Pt00 (Membran) R 3 U d Pt00 (Rahmen) R 4 Abbildung 3: Wheatstone-Brücke zur Kompensation der Umgebungstemperatur in einem Bolometer. d) Die auf der Membran auftreffende Leistung kann mit der üblichen Formel berechent werden: Φ = σ A Sender A Empfanger πa 2 (TSender 4 T Empf 4 anger ) = 9, W Das führt zu einer Temperaturüberhöhung der Membran um: ΔT Membran = S Membran Φ = 52, K Es handelt sich um eine Viertelbrücke. Daraus ergibt sich eine Diagonalspannung von: U D = 4 U 0 ΔR R 0 = 4 U 0 A P t ΔT Membran ( + A P t ) T Umgebung = 27, V e) Andere Strahlungssensoren sind der Thermopile und der pyroelektrische Strahlungssensor. P. 0 / 0