Studienschwerpunkt Numerische Mathematik

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1 Studienschwerpunkt Numerische Mathematik Ralf Hiptmair Seminar for Applied Mathematics, ETH Zürich Wahlfachvorstellung SS 25 R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 / 3

2 Vorlesungsangebot Stochastic Computing Multilevel Solvers Multiscale FEM Computational Finance Image Processing Inverse Problems Krylov Methods Numerical Conservation Laws Computational Electromagnetics SS: Numerical Methods for Hyperbolic Evolution Equations WS: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic PDE Funktionalanalysis Variationsrechnung PDE Analysis Analysis lineare Algebra Numerische Methoden Stochastik R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 2 / 3

3 Z Numerik elliptischer und parabolischer PDEs Randwertproblem: div(a(x) grad u) = f in + b(x)u = auf. u n d, Randwertprobleme & Eigenwertprobleme & Anfangswertprobleme X Y.5 X Z Y Variationsformulierungen Galerkin-Diskretisierung Finite-Elemente Methoden A priori Konvergenztheorie A posteriori Fehlerschätzung Spezielle Randwertprobleme Zeitschrittverfahren Übungen: - - Implementierung und numerische Experimente in MATLAB R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 3 / 3

4 Numerik hyperbolischer Probleme Erhaltungsgleichung: t u + d F j (u) = in [a, b] [, T ]. j= x j Fluidmechanik, Verkehrsmodelle, Lawinenmodelle, etc. u(t,x) t Übungen:.2.5 x.5 Finite Volumen Methoden Konvergenztheorie (D) Hochauflösende Methoden DG-Methoden Anwendung: Flachwassergleichungen Anwendung: Gasdynamik Implementierung und numerische Experimente in MATLAB R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 4 / 3

5 Stochastische Berechnungen Stochastische Dgl.: dx t = b(t, X t )dt + σ (t, X t )dw t Elektrotechnik, Finanzmathematik, Materialwissenschaft, etc. Zeitschrittverfahren für stochastische Differentialgleichungen (Vorlesung Prof. A. Prohl: Numerik stochastischer Differentialgleichungen) Monte-Carlo-Verfahren hochdimensionale Quadratur und Randwertprobleme (Dr. W. Petersen) Randwertprobleme mit stochastischen Daten und/oder Koeffizienten deterministische hochdimensionale FE-Methoden (Prof. C. Schwab) R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 5 / 3

6 Multilevel Iterationsverfahren Effiziente Löser für (diskrete) elliptische Randwertprobleme: Mehrgitterverfahren Waveletmethoden Multilewel Vorkonditionierung Gebietszerlegungsverfahren Finite-Elemente-Methoden Vorlesung Prof. R. Hiptmair: Multigrid Methods R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 6 / 3

7 Multiskalen Finite-Elemente-Methoden div(a(x, x ɛ ) grad u ɛ) = f in 2. Homogenisierung Hochdimensionale Randwertprobleme Galerkin-Diskretisierung Dünne Gitter Vorlesung Prof. C. Schwab FEM for Multiscale Problems R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 7 / 3

8 Numerik in der Finanzmathematik BS-PDE (!) für Optionspreisberechnung: 2 u + σ s2 t s 2 + (σ2 2 r)s s =. Freie Randwertprobleme Finite-Elemente Diskretisierung Waveletmethoden Vorlesung Prof. C. Schwab: Computational Methods for Quantitative Finance (ETHZ-UNIZ Master Programm) (Programmierpraxis in MATLAB) R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 8 / 3

9 Mathematische Bildverarbeitung Rekonstruktion Entrauschung Segmentierung Minimierung von Funktionalen PDE-Methoden J(ϕ) = grad ϕ 2 + ϕ g 2 d Vorlesung Prof. A. Prohl Mathematische Bildverarbeitung R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 9 / 3

10 Inverse Probleme Identical absorbing Identifikationsprobleme spheres Reconstruction Inverse Streuprobleme Impedanztomographie u k 2 u =. Regularisierungstechniken Finite-Elemente-Methoden Randintegralmethoden Sample & Probe-Methoden z 2 z 3 z 3 Vorlesung Prof. R. Hiptmair Inverse Problems z z z 2 R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 / 3

11 Krylov-Unterraum-Methoden = Iterative Gleichungslöser π = ρ () := ϕ A µ () ; for l = to L do { µ (l) := µ (l ) + π l ρ (l ) π l A π l π l ; ρ (l) = ρ (l ) π l ρ (l ) π l A π l A π l ; π l+ = ρ (l) π l ρ (l) π l A ρ l π l ; } Numerik elliptischer PDE Mehrgittverfahren Konstruktion von Krylov-Unterraum-Methoden Konvergenztheorie Vorkonditionierung Implementierung Vorlesung Prof. M. Gutknecht Iterative Methods for Large Sparse Matrices R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 / 3

12 Numerik multidimensionaler Transportprobleme Magnetohydrodynamik Euler-Gleichungen t ρ ρv ρv + ρvv T + p. ρe (ρe + p)v Finite-Volumen-Methoden Flux-Corrected Transport Reaktionsterme Shock Capturing Vorlesung Prof. R. Jeltsch Multidimensional Conservation Laws R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 2 / 3

13 Elektromagnetische Feldberechnung curl E = iωµh, curl H = iωd + j. Finite-Elemente Methoden Randelementtechniken Absorbierende Randbedingungen Wellenausbreitung Vorlesung Prof. R. Hiptmair Computational Electromagnetism R.Hiptmair (SAM, ETH Zürich) Numerische Mathematik SS 25 3 / 3