Grundlagen der Technischen Informatik. 3. Übung

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1 Grundlagen der Technischen Informatik 3. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

2 3. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Zahlendarstellungen Zahlendarstellungen Zahlenkonversion Zahlensysteme Bin- und Hex Arithmetik Zahlenbereiche

3 3. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Beschreiben Sie den allgemeinen Aufbau einer Zahl N in einem polyadischen Zahlensystem. N = d n-1 * R n d 1 * R 1 + d 0 * R 0 R: Basis R i : Wertigkeit d i : Ziffer der Stelle i Z: 0,, R-1

4 3. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Welche ist die größte mit n Bits darstellbare Dezimalzahl? 2 n - 1

5 3. Übungsblatt Aufgabe 1 c) Geben Sie den Wertebereich einer m Bit breiten Zahl R = r m-1 r m-2 r 1 r 0 in (I) Vorzeichen / Betrags-, (II) Einser- und (III) Zweierkomplementdarstellung an und nennen Sie die Formel für die Berechnung des Zahlenwertes. Darstellung Wertebereich Zahlenwert I [-2 n-1 + 1, 2 n-1-1] II [-2 n-1 + 1, 2 n-1-1] III [-2 n-1, 2 n-1-1] d dn 1 ( 1) n 2 i 0 d i 2 n 2 n 1 i ( d 2 ) d 2 n 1 n 1 i i 0 n 2 n 1 i 2 ) 2 1 i i 0 ( d n d i

6 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplement dar. (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung: 1. Umwandeln der Dezimalzahl in Binärzahl 2. Dezimalzahl < 0: Voranstellen einer 1 3. Dezimalzahl > 0: Voranstellen einer 0

7 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplement dar. (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung: 2 10 = 2 1 = (0) = 2 6 = (0) = = (0) = = (0) => = (1) = 2 5 = (0) => = (1)

8 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplement dar. (II) 1er-Komplement: 1. Umwandeln der Dezimalzahl in Binärzahl 2. Führende 0 an den Beginn der Binärzahl 3. Falls Dezimalzahl < 0 invertieren der Bits der Binärzahl

9 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplement dar. (II) 1er-Komplement: 2 10 = 2 1 = = 2 6 = = = = = => = = 2 5 = => =

10 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplement dar. (III) 2er-Komplement: 1. Dezimalzahl > 0: 2er-Komplement = 1er-Komplement 2. Dezimalzahl < 0: 2er-Komplement = 1er-Komplement + 1

11 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplement dar. (III) 2er-Komplement: 2 10 = 2 1 = = 2 6 = = = = = => = => = = 2 5 = => = => =

12 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplement dar. Dezimal Vorzeichen/Betrag 1er-Komplement 2er-Komplement 2 (0) (0) (0) (1) (1)

13 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (I) Hexadezimal 1. Erweitern der Binärzahlen auf 4er-Blöcken 2. Zusammenfassen der 4er-Blöcke

14 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (I) Hexadezimal 10 2 = = = = = = 3F = = = = FF = = FE 16

15 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (II) Oktalzahl 1. Erweitern der Binärzahlen auf 3er-Blöcken 2. Zusammenfassen der 3-Blöcke

16 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (II) Oktalzahl 10 2 = = = = = = = = = = = = 376 8

17 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (III) BCD-Zahl 1. Umwandeln der Binärzahlen in Dezimalzahlen 2. Umwandeln der Dezimalziffern zu 4er-Blöcken

18 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (III) BCD-Zahl 10 2 = 2 1 = 2 10 = (0010) BCD = = = ( ) BCD = = = ( ) BCD = 2 6 = = ( ) BCD = = = = ( ) BCD = = = = ( ) BCD

19 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. Binär Hexadezimal Oktal BCD F FF FE

20 3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) Konvertieren Sie die folgende Hexadezimalzahl mit sukzessiver Division unter ausschließlicher Verwendung der angegebenen Zahlensysteme ins Binär- bzw. Ternärsystem: (A03) 16 = (?) 2 (A03) 16 = (?) 3 Anmerkungen: I. Konvertierung von großem auf kleines Zahlensystem: sukzessive Division II. Konvertierung von kleinem auf großes Zahlensystem: Horner-Schema oder sukzessive Division bei sukzessiver Division: Umwandlung der großen Basis in kleines Zahlensystem

21 3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) (A03) 16 = (?) 2 A03 : 2 = A : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = A : 2 = A0 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 0A + 0 (A03) 16 = ( ) 2

22 3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) (A03) 16 = (?) 3 A03 : 3 = : 3 = 11C C : 3 = 5E + 2 5E : 3 = 1F + 1 1F : 3 = 0A + 1 A : 3 = : 3 = : 3 = (A03) 16 = ( ) 3

23 3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) Konvertieren Sie die folgende Binärzahl unter ausschließlicher Verwendung der angegebenen Zahlensysteme ins Oktal- bzw. Ternärsystem: ( ) 2 = (?) 8 ( ) 2 = (?) 3 Horner-Schema: von links nach rechts

24 3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) ( ) 2 = (?) 8 1 * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = = = 347 8

25 3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) ( ) 2 = (?) 3 1 * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = = =

26 3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) ( ) 2 = (?) : 11 2 = R : 11 2 = R : 11 2 = R : 11 2 = 10 2 R : 11 2 = 0 2 R =

27 3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234, ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 8 Bits. 234 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = =

28 3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234, ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 8 Bits. 0, * 2 = 0, , * 2 = 1, , * 2 = 1, , * 2 = 0, , * 2 = 1, , * 2 = 1, , * 2 = 0, , * 2 = 1, , ,

29 3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234, ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 8 Bits. 234, ,

30 3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: a) Addition im Dualsystem: =

31 3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: b) Multiplikation im Dualsystem: * * * =

32 3. Übungsblatt Aufgabe 5 c) Subtraktion im Dualsystem: Minuend Subtrahend Subtrahend (B-1) Subtrahend (B-2) Minuend = Übertrag = => Ergebnis positiv =

33 3. Übungsblatt Aufgabe 5 c) Subtraktion im Dualsystem: Minuend Subtrahend Subtrahend (B-1) Subtrahend (B-2) Minuend = Übertrag = => Ergebnis negativ Ergebnis im Betrag

34 3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: d) Addition im Hexadezimalsystem: B674FC DA9D4B2 16 B F C D A 9 D 4 B E 4 1 E D 0 C 4 B674FC DA9D4B2 16 = E41ED0C4 16

35 3. Übungsblatt Aufgabe 6 In einem Prozessor ist die Verarbeitungswortbreite beschränkt und somit auch der im Prozessor darstellbare Zahlenbereich. Was bedeutet dies, wenn eine Zahl in einem Prozessor einmal positiv ganzzahlig und einmal als vorzeichenbehaftete Zahl in 2er-Komplementdarstellung interpretiert werden? Im Beispiel können vorzeichenlose Zahlen nur von und vorzeichenbehaftete Zahlen in 2-er Komplementdarstellung nur von dargestellt werden. Der Programmierer hat sich beim Verlassen dieser Zahlenbereiche selbst um die richtige Weiterverarbeitung zu kümmern.

36 3. Übungsblatt Aufgabe 6 Wiederholen Sie die Subtraktionsaufgaben von Aufgabe 5c) und erweitern Sie dieses mal nicht die Operanden mit führenden Nullen. Worin liegt der Unterschied? Minuend Subtrahend Subtrahend (B-1) Subtrahend (B-2) Minuend = Übertrag = => Ergebnis positiv

37 3. Übungsblatt Aufgabe 6 Wiederholen Sie die Subtraktionsaufgaben von Aufgabe 5c) und erweitern Sie dieses mal nicht die Operanden mit führenden Nullen. Worin liegt der Unterschied? Minuend Subtrahend Subtrahend (B-1) Subtrahend (B-2) Minuend = Übertrag = => Ergebnis negativ Ergebnis im Betrag

38 3. Übungsblatt Aufgabe 6 Wiederholen Sie die Subtraktionsaufgaben von Aufgabe 5c) und erweitern Sie dieses mal nicht die Operanden mit führenden Nullen. Worin liegt der Unterschied? Bei diesen Rechnungen gibt es keinen Unterschied, da der darstellbare Zahlenbereich in beiden Fällen ausreicht. 5c.1) c.2) Mit 2 8 Bits = 256 sind alle Zahlen darstellbar.

39 3. Übungsblatt Danke für die Aufmerksamkeit