IV Beweise in der Mathematik

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1 Propädeutikum September 018

2 Mathematische Texte enthalten verschiedene Bezeichnungen der Sinneinheiten. Bezeichnungen in mathematischen Texten Axiome elementare Grundaussagen; werden nicht bewiesen Denitionen führen neue Begrie ein; enthalten keine Aussagen daher werden sie nicht bewiesen Sätze formulieren Aussagen; müssen bewiesen werden, je nach Wichtigkeit: Theorem, Satz, Lemma (Hilfssatz), Korollar (Folgerung), usw. Beweise Herleitung der gewonnen Aussagen Bemerkungen Zwischentexte mit Erläuterungen, Motivierung, etc. Beispiele Illustration neuer Aussagen/Begrie

3 In der Mathematik gibt es vier grundlegende Beweisverfahren: Beweisverfahren : Aus einer bekannten Aussage wird eine andere Aussage durch logische Schlüsse hergeleitet. : Es wird angenommen, die Aussage sei falsch. Unter Benutzung bekannter Aussagen und korrekter logischer Schlüsse wird daraus ein Widerspruch. Also muss die ursprüngliche Aussage wahr sein. : Bei einer Aussage werden alle möglichen Fälle diskutiert und nur die wahren Aussagen führen zum Ergebnis. Dies sind meist mehrere direkte und indirekte Beweise. : Beweis, um Gültigkeit für alle natürlichen (oder ganzen) Zahlen zu zeigen.

4 Beispiel 1 direkter Beweis Sei n N gerade, dann ist auch n gerade. Beweis: n ist gerade, d. h. n = m mit m N n = ( m) = 4m Weil ein Teiler von 4m ist, ist 4m = n gerade. Beispiel direkter Beweis Sei n N ungerade, dann ist auch n ungerade. Beweis: n ist ungerade, d. h. n = m 1 mit m N n = ( m 1) = 4m 4 m + 1 = 4 (m m) +1 }{{} ist gerade }{{} ist ungerade

5 Beispiel 3 direkter Beweis Seien a, b R +, dann gilt: a b a + b Beweis: Für alle nichtnegativen reellen Zahlen gilt: 0 ( a b ) 0 a a b + b a b a + b a b a + b

6 Beispiel indirekter Beweis Seien a, b R +, dann gilt: a b a + b Beweis: Angenommen es gibt nichtnegative Zahlen a 0, b 0, für die gilt: a0 b 0 > a 0 b 0 > a + b ( a 0 ) + ( b 0 ) 0 > ( a 0 ) + ( b 0 ) a 0 b 0 0 > ( a 0 b 0 ) Also ist die Annahme falsch und somit die Aussage wahr.

7 Standardbeispiel für indirekte Beweise ist irrational Beweis: Annahme: ist rational, also p, q N : = p q Weiterhin seien p und q teilerfremd (vollständig gekürzter Bruch) = p q () = p q q q = p p ist gerade, also p = m, m N q = 4m q = m q ist gerade q ist gerade p und q sollen teilerfremd sein. p und q haben den gleichen Teiler ist irrational.

8 Erinnerung: Betragsdenition Der Betrag einer reellen Zahl x ist deniert durch: { x, x < 0, x := x, x 0. Beispiel Fallunterscheidung: Betragseigenschaft 1 Sei c > 0, x R und x < c, dann gilt c < x < c Beweis: Fall 1 x 0: x < c ist in diesem Fall das gleiche, wie x < c. Abschätzung: c < 0 x folgt trivialerweise. Fall x < 0: x < c ist in diesem Fall das gleiche, wie x < c. Durch Multiplikation mit 1 erhält man: x > c c < x < 0 < c. Insgesamt folgt also c < x < c.

9 Aufgaben aus der VL Beweisen Sie die folgenden Aussagen: 1 Addiert man drei aufeinander folgende ganze Zahlen, ist das Ergebnis durch 3 teilbar. Es gibt unendlich viele Primzahlen. 3 x, y R : 1 x 0 x y = x y 3 x y = y x (Nutzen Sie die Aussage 3..) 4 x + y x + y (Dreiecksungleichung)

10 Prinzip der vollständigen Induktion Eine Aussage ist für jede natürliche Zahl k richtig, wenn sie: 1. für den Startwert z.b. k = 1 richtig ist. (Induktionsanfang) (manchmal auch k = 0 oder k = ). aus der Korrektheit der Aussage für eine beliebige Zahl n N, die Korrektheit für ihren Nachfolger n + 1 schlieÿen kann. (symbolisch: n (n + 1))

11 n 3 + n ist durch 3 teilbar n N (IA): Da = 3 gilt die Beh. für n = 1. (IV): Sei ñ N so, dass: ñ 3 + ñ durch 3 teilbar ist. (IB): ñ (ñ + 1) : (ñ + 1) 3 + (ñ + 1) ist durch 3 teilbar (IS): (ñ + 1) 3 + (ñ + 1) = ñ ñ + 3 ñ ñ + (K) = ñ 3 + ñ }{{} nach (IV) durch 3 teilbar + 3 ñ + 3 ñ + 3 }{{} =3 (ñ +ñ+1) also durch 3 teilbar

12 n Gauÿsche Summe k = k=1 n (n + 1) n N (IA): Da 1 k=1 k = 1 = 1 (IV): Sei ñ N so, dass: gilt die Behauptung für n = 1. ñ k = k=1 ñ+1 (IB): ñ (ñ + 1) : k = ñ+1 (IS): k = k=1 ñ k=1 k=1 k + (ñ + 1) (IV) = ñ (ñ + 1) (ñ + 1) (ñ + ) ñ (ñ + 1) gilt. + (ñ + 1) = ñ + ñ + ñ + = ñ + 3ñ + = (ñ + 1) (ñ + )

13 n k=0 q k = 1 qn+1 1 q n N 0 ; q R 0 (IA): Da q k = q 0 = 1 = 1 q0+1 gilt die Beh. für n = 0. 1 q k=0 ñ (IV): Sei ñ N so, dass: q k = 1 qñ+1 gilt. 1 q k=0 k=0 ñ+1 (IB): ñ (ñ + 1) : q k = 1 qñ+ 1 q ñ+1 (IS): q k = k=0 ñ k=0 = 1 qñ+1 1 q q k (IV) + qñ+1 = 1 qñ q qñ+1 + qñ+1 qñ+ 1 q = 1 qñ+ 1 q

14 Aufgaben aus der VL Zeigen Sie durch vollständige Induktion folgende Aussagen: n 1 (k 1) = n 3 k=1 n k = k=1 n (n + 1) (n + 1) 6 n k 3 = n (n + 1) 4 k=1 4 n + n ist gerade 5 4n 3 n ist durch 3 teilbar 6 5 n + 7 ist durch 4 teilbar 7 n N, n 10 : n > n 3

15 bei Ungleichungen n N, n 5 : n > n (IA): Da 5 = 3 > 5 = 5 ist, gilt die Behauptung für n = 5. (IV): Sei ñ N so, dass: ñ > ñ gilt. (IB): ñ (ñ + 1) : ñ+1 > (ñ + 1) = ñ + ñ + 1 (IS): ñ+1 = ñ (IV) > ñ? > ñ + ñ + 1 Es entsteht eine neue Aussage, die gezeigt werden muss... Zu zeigen ist: n > n + n + 1 n > n + 1

16 bei Ungleichungen, Fortsetzung n N, n 3 : n > n + 1 (IA): Da 9 = 3 > 7 = ist, gilt die Behauptung für n = 3. (IV): Sei ñ N so, dass: ñ > ñ + 1 gilt. (IB): ñ (ñ + 1) : (ñ + 1) > (ñ + 1) + 1 = ñ + 3 (IS): (ñ + 1) = ñ + ñ + 1 (IV) > ñ ñ + 1 = 4 ñ + Es gilt 4 ñ + > ñ + 3 ñ > 1. Daher ist (IS): (ñ + 1) (IV) > 4 ñ + > ñ + 3 = (ñ + 1) + 1 Damit ist auch die vorherige Induktion bewiesen, da nun die Ungleichung (die noch mit einem? versehen war) gezeigt wurde.

17 Manche Aussagen kann man durch ein Gegenbeispiel widerlegen. Beispiel a, b, c, n N : a n + b n c n Hier kann schnell durch Gegenbeispiele gezeigt werden, dass die Aussage so nicht stimmen kann. Beispiel: = 5 1 oder = 5 Also muss die Aussage anders formuliert sein. Pierre de Fermat ( ) Groÿer Fermatscher Satz (zwischen 1637 und 1643), bewiesen 1994 a, b, c, n N, n > : a n + b n c n

18 Aufgaben in der VL Finden Sie bei den folgenden Aussagen Gegenbeispiele, die zeigen, dass sie falsch sind. 1 n N : n + n + 41 ist eine Primzahl Für die Funktion f (x) = 3 x gilt: f (x 1 x ) = f (x 1 ) + f (x ) mit x 1, x R 3 x, y, z R : x + y = z 4 a, b R : (a + b) = a + b

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