Material U.2.1 Ein Ford Transit Kleintransporter ist innen 2458 mm lang. Ein DIN A4 Blatt Papier gibt es in unterschiedlichen Ausführungen. Es gibt es

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1 Material U.2.1 Methoden Kompetenzen Inhalt Technologie Aufgabe 1: Unterschriften sammeln gegen ein neues Gesetz Erst vor kurzem, am 25. April 2006, hat die spanische Opposition dem Kongress Unterschriften gegen ein neues Gesetz vorgelegt, das von der Regierung unterstützt wurde. Alle Zeitungen in Spanien veröffentlichten Fotos der großen Kisten und der 10 Kleinlastwagen, die für den Transport der Unterschriften zum Kongress nötig waren. Glaubst du, es steckte eine politische Absicht hinter diesem Aufgebot oder waren all diese Kisten wirklich notwendig, um die Unterschriften zu befördern? Unterricht 14 UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.1 Seite 1

2 Material U.2.1 Ein Ford Transit Kleintransporter ist innen 2458 mm lang. Ein DIN A4 Blatt Papier gibt es in unterschiedlichen Ausführungen. Es gibt es in 70, 80 oder 90 Gramm pro Quadratmeter. Ein Ford Transit Kleintransporter ist innen 1338 mm hoch. 16 DIN A4 Blätter nehmen eine Fläche von einem Quadratmeter ein. Die Hintertür eines Ford Transit Kleintransporters befindet sich 1566 mm über der Straße. Zwischen 2005 und 2006 stiegen die Verkaufszahlen der Ford Transit Kleintransporter um fast 20%. Ein Ries besteht aus 500 Blätter Papier. (Ein Ries ist die Größe, zu der Papier im Handel in der Regel abgepackt wird) Das maximale Ladegewicht eines Ford Transit Kleintransporters ist 1000 kg. 5 Ries Papier werden in Kisten verkauft, die 305 auf 220 auf 300 mm groß sind. Ein Ford Transit Kleintransporter wiegt 3300 kg. Auf jedem Blatt Papier gibt es 25 Unterschriften. Ein Ford Transit Kleintransporter ist innen 1719 mm breit. Ein DIN A4 Blatt Papier ist 297 mm lang. Es wurde auf beiden Seiten der Blätter unterschrieben. Ein DIN A4 Blatt Papier ist 210 mm breit. UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.1 Seite 2

3 Material U.2.2a Eine Reise nach Entfernung (km) Luftlinie mit dem Auto Athen Madrid London Kopenhagen Tours Reims Bordeaux Wie weit liegen Paris und Madrid auseinander, wenn du mit dem Auto fährst? Schaue in einem Atlas nach! Wie groß ist die Entfernung, wenn du die Luftlinie betrachtest? Kannst du die Luftlinie abschätzen, wenn du die Entfernung für das Auto kennst und umgekehrt? UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.2a Seite 1

4 Material U.2.2b Eine Reise Eine Reise Wie weit liegen die beiden Städte auseinander? Wenn du mit dem Auto fährst? Auf kürzestem Wege (Luftlinie)? Wenn du einen Streckenabschnitt kennst, kannst du dann auch die anderen abschätzen? nach Entfernung (km) Luftlinie mit dem Auto Berlin Rom Budapest Straßburg Le Mans Calais Unterricht Kompetenzen Material U.2.2b Seite 1

5 Material U.2.3 Unterrichtsmethoden für die Entwicklung von Modellierungskompetenzen bzw. Teilkompetenzen im Modellieren Hier finden Sie einige Methoden, die Sie in Betracht ziehen können, wenn Sie Fähigkeiten in bestimmten Modellierungsteilkompetenzen entwickeln möchten. Modellbildung Wählen Sie ein Problem aus, bei dem die Modellbildung relativ einfach ist. Stellen Sie das Problem vor und diskutieren Sie es im Plenum, wobei Sie die Hauptpunkte besonders hervorheben. Jeder Schüler sollte erst für sich selbst ein Modell aufzustellen und dieses dann mit einem Partner besprechen. Anschließend werden die Vorschläge dann mit der ganzen Klasse diskutiert ( Ich-Du-Wir -Methode). Wenn nicht sofort geeignete Vorschläge gemacht werden, können aber auch die Fehler helfen, ein besseres Modell zu finden. Vielleicht ist auch eine erneute Phase der Partnerarbeit nötig. Letztlich entscheidet die ganze Klasse, mit welchem Modell gearbeitet wird. Interpretation Für diesen Schritt eignen sich besonders Aufgaben, die eine Interpretation von gegebenen Daten erfordern. Lösungen zu Aufgaben, bei welchen die Ergebnisse falsch interpretiert wurden, werden den Schülern gezeigt, die sie dann beurteilen (vielleicht können Sie Arbeiten Ihrer eigenen Schüler verwenden). Nachdem in Gruppen Ergebnisse gefunden wurden, werden diese zusammen im Plenum interpretiert. Validierung Für diesen Schritt eignen sich besonders Aufgaben, die sich hauptsächlich auf die Validierung von gegebenen Modellen beziehen. Lösungen zu Aufgaben, bei welchen die Ergebnisse falsch validiert wurden, werden den Schülern gezeigt, die sie dann beurteilen (vielleicht können Sie Arbeiten Ihrer eigenen Schüler verwenden). Nach dem in Gruppen Ergebnisse gefunden wurden, werden diese zusammen im Plenum validiert. Argumentieren Verwenden Sie eine Aufgabe, bei der es verschiedene Vorgehensweisen gibt. Es muss also besprochen werden, wie vorgegangen wird. UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.3 Seite 1

6 Material U.2.3 Einzelne Schülergruppen präsentieren ihre Lösungen einer Aufgabe: Diese werden dann von den Mitschülern kritisch hinterfragt, wobei die Schüler ihre Vorgehensweise begründen müssen. Der Lehrer stellt den Schülern Fragen zu ihren Lösungen und fordert sie immer auch auf, ihre Arbeit zu begründen ( Warum fragen). UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.3 Seite 2

7 Material U.2.4 Modellierungsschema Reale Welt Mathematik Reale Welt Mathematische Modell bilden Welt beobachten Problem formulieren Analyse validieren interpretieren vorhersagen Problem in der realen Welt vereinfachen validieren Reales Modell mathematis ieren Mathematis c hes Modell Mathematis ches Arbeiten REAL ITÄT Lös ung interpretieren interpretieren MATHEMATIK Mathematis c he Lös ung UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.4 Seite 1

8 Material U.2.4 Problem in der realen Welt Mathematisches Problem Reale Lösung Mathematische Lösung Reale Welt Mathematische Welt Problem in der realen Welt vereinfachen Modell des Problems mathematisch arbeiten Was bedeutet die mathematische Lösung in der Realität? Macht sie Sinn? Mathematische Lösung des Problems UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.4 Seite 2

9 Material U.2.5 Unterrichtsmethoden für die Entwicklung von Metakognition über Modellieren Metakognition heißt über das eigene Denken nachzudenken und das eigene Denken zu steuern. Es beinhaltet diagnostische Kenntnisse über das eigene Denken; kritisches Nachdenken über die Aufgaben und strategische Kenntnisse über das Problemlösen; Planen, genaues Prüfen und Beurteilen, das auch die Beobachtung des eigenen Vorgehens miteinschließt; die Motivation und Willenskraft, Metakognition zu verwenden. (Sjuts 2003, S. 18) Im Folgenden finden Sie Vorschläge zu Methoden, die Sie verwenden können, wenn Sie Ihre Schüler bei der Entwicklung meta-kognitiver Fähigkeiten im mathematischen Modellieren unterstützen möchten. Einführen von Metakognition zu Modellieren In der Sekundarstufe Hier ein möglicher Aufbau einer Unterrichtseinheit, in der Meta-Kenntnisse zu Modellieren eingeführt werden sollen. 1. Die Schüler arbeiten an ca. 3 Modellierungsaufgaben (eventuell in mehreren Stunden). 2. Nachdem sie an den Aufgaben gearbeitet haben, denken sie darüber nach (beispielsweise erst in den Gruppen und dann im Plenum). Dabei berücksichtigen sie auch folgende Fragestellungen: a. Wie unterscheiden sich diese Aufgaben von normalen Mathematikaufgaben? b. Wie müssen wir vorgehen, damit wir zu einer Lösung kommen? Welche Schritte sind notwendig? 3. Nachdem der Prozess von den Schülern beschrieben wurde, zum Beispiel mit Hilfe eines Diagramms, kann der Lehrer mehr Einzelheiten des wichtigen Konzeptes erklären. UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.5 Seite 1

10 Material U.2.5 In der Primarstufe Hier ein möglicher Aufbau einer Unterrichtseinheit, in der Meta-Kenntnisse zu Modellieren eingeführt werden sollen. Lassen Sie Ihre Schüler an einer einfachen Modellierungsaufgabe arbeiten und besprechen Sie die Lösung. Dann können Sie mit den Schülern die Aufgabe auf einer Metaebene besprechen. Jüngere Schüler sind vielleicht noch nicht von Anfang an in der Lage, Modellierungsaufgaben (realitätsbezogene Aufgaben) mit normalen Aufgaben zu vergleichen. Dennoch können Fragen wie unten zu einem ersten Nachdenken führen. Mögliche Fragestellungen: Was hast du / habt ihr heute gelernt? Was war heute schwierig? Was ist euch heute leicht gefallen? Versuche, die Lösung deines Tischnachbarn zu erklären! Inwieweit stimmt deine / eure Lösung mit der der anderen überein? Welche Unterschiede gibt es? Was würdest du / was würdet ihr an deiner / eurer Lösung ändern, damit sie besser wird? Warum? Durch diese Reflexionen wird darauf aufmerksam gemacht, dass es mehrere Schritte gibt, die ausgeführt werden müssen. Sie können auch fragen, ob es einfach / schwierig war, das Problem zu verstehen, den Text zu lesen, den Text zu verstehen, nützliche Annahmen zu machen, Werte zu schätzen, ein Diagramm zu zeichnen, eine Tabelle zu erstellen, Berechnungen durchzuführen, die Antworten zu interpretieren. Über einige dieser Punkte kann erst nachgedacht werden, wenn einige Modellierungsaufgaben bearbeitet wurden. Anschließend können dann vielleicht auch Modellierungsaufgaben mit normalen Mathematikaufgaben verglichen werden. UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.5 Seite 2

11 Material U.2.5 Vertiefung der Metakenntnisse zu mathematischem Modellieren In der Sekundarstufe Vorschläge: Nachdem eine Modellierungsaufgabe bearbeitet wurde, sollen die Schüler das, was sie bisher getan haben, in Bezug zu den einzelnen Schritten des Modellierungsprozesses setzen (so wie die Teilnehmer es im Modul Modellieren gemacht haben). Besprechen Sie Modellierungsaufgaben auf einer Meta-Ebene, indem Sie die charakteristischen Merkmale des Modellierungsprozesses hervorheben (beispielsweise die subjektiven Entscheidungen, die getroffen werden müssen oder die Möglichkeit, dass ein erstes Modell nicht gleich zu einer Lösung führt und dass deshalb ein weiteres Modell entwickelt werden muss etc.). In der Primarstufe Vorschläge: Die Schüler sollen in einem Brief an einen Freund erklären, was sie heute im Mathematikunterricht gelernt haben. Die Schüler sollen in einem Tagebuch festhalten, wie man eine realitätsbezogene Aufgabe (Modellierungsaufgabe) lösen kann und weshalb ihre Lösung die beste ist. Rollenspiel: Die Schüler sollen einen Freund anrufen und ihm erzählen, was sie heute im Mathematikunterricht durchgenommen haben oder was sie über das Lösen von Modellierungsaufgaben gelernt haben. Die Schüler sollen ein Bild über den Problemlöseprozess malen. Geben Sie den Schülern Wortkarten: Das Problem verstehen Den Text lesen Den Text verstehen Nützliche Annahmen machen Werte schätzen Ein Diagramm zeichnen Eine Tabelle erstellen Berechnungen durchführen Die Antworten interpretieren Die Schüler sollen diese nun in zwei Stapel einteilen einer mit den Punkten, die einfach waren und einer mit den Punkten, die schwierig waren. Besprechen Sie anschließend auf der Grundlage der Kartensortierung mit ihnen den gesamten Modellierungsprozess. UNTERRICHT Kompetenzen Material U.2.5 Seite 3