Mathematische Methode. in der Physi k. 2. Auflage

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1 Christian B. Lang Norbert Pucke r Mathematische Methode n in der Physi k 2. Auflage

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3 Einleitung xix 1 Unendliche Reihen Folgen und Reihen Achill und die Schildkröte Rechnen mit Grenzwerten Anwendungen von unendlichen Reihen Konvergenz und Divergenz Konvergenztests für Reihen Potenzreihen Einfache Wege zur Potenzreihe Konvergenz und Genauigkeit Anwendungen Was war da noch? Funktionenreihen Divergente Reihen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 42 2 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene Komplexe Reihen Funktionen komplexer Variablen Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen Wurzeln Andere Umkehrfunktionen Riemannsche Blätter Schnittstruktur einiger Funktionen Anwendungen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 72

4 3 Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Determinanten Lösung eines linearen Gleichungssystems Matrizen Lineare Algebra der Matrizen Die inverse Matrix Lösung durch Matrixinversion Weiteres Zubehör Lineare Abhängigkeit Rang einer Matrix Vektoren und ihre Algebra Vektoren Vektoralgebra Analytische Geometrie Das Eigenwertproblem Quadratische Formen Funktionen von Matrizen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Differenzialrechnung Die lineare Näherung Funktionen mehrerer Variablen Verschiedene Methoden der Differenziation Kettenregel und Produktregel Implizite Differenziation Extremwertaufgaben Nebenbedingungen Elimination Lagrangesche Multiplikatoren Randpunkte Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Integralrechnung Das Integral Die Stammfunktion Lebesgue-Integral Integrationstechnik Einfache Regeln 184

5 5.2.2 Transformation der Variablen Partielle Integration Systematische Verfahren Integration entlang einer Kurve Uneigentliche Integrale Differenziation von Integralen Mehrdimensionale Integrale Variablentransformation Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Gewöhnliche Differenzialgleichungen Allgemeines Einleitung Klassifikation Gewöhnliche DGen 1. Ordnung Existenz und Eindeutigkeit Lineare DGen 1. Ordnung Nichtlineare DGen 1. Ordnung Numerische Integration Gewöhnliche DGen höherer Ordnung Allgemeines Konstante Koeffizienten Inhomogene lineare DGen mit konstanten Koeffizienten Nichtkonstante Koeffizienten Systeme von DGen Formulierung und linearer Fall Stabilitätsanalyse und dynamische Systeme Zum Abschluss Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Grundlagen der Vektoranalysis Differenziation von Vektoren Bogenlänge, Krümmung und Torsion Linien- und Oberflächenintegrale Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Bedeutung der Divergenz Bedeutung der Rotation Aufgaben, Lösungen, Literatur 304

6 7.6.1 Aufgaben Lösungen Literatur Basissysteme krummliniger Koordinaten Gebräuchliche Koordinatensysteme Bestimmung von Vektorkomponenten Bogen-, Flächen- und Volumenelement Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Integralsätze Der Gaußsche Integralsatz Der Greensche Satz in der Ebene Der Integralsatz von Stokes Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Elemente der Tensorrechnung Definition eines Tensors Rechenregel für Tensoren Beispiele für Tensoren Der E-Tensor Der Trägheitstensor Differenzialoperationen und Tensoren Drehung um eine Achse Ko- und kontravariante Darstellung Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Ein wenig Differenzialformen Äußere Formen Äußere Ableitung Integralsätze Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 378

7 12 Funktionenräume Vektorräume Rückblick : Vektoren im R Lineare Räume Metrik, Norm, Skalarprodukt Metrik Norm Skalarprodukt Basis eines Vektorraums Orthonormale Basis Komponentendarstellung Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Fourierreihe Motivation und Definition Konvergenzkriterien Tipps und Beispiele Komplexe Form der Fourierreihe Fourier-Kosinus- und Fourier-Sinus-Reihe Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Integraltransformationen Einleitung Die Laplace-Transformation Die Fouriertransformation Faltung Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Funktionale und Variationsrechnung Funktionale Variationsrechnung Distributionen und die Diracsche Deltafunktion Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur 454

8 16 Operatoren und Eigenwerte Einleitung Das Eigenwertproblem in der linearenalgebra Lineare Operatoren in Vektorräumen Eigenschaften Darstellungen Das Eigenwertproblem für Operatoren Die Differenzialgleichung als Eigenwertproblem Schwingungsgleichung Legendresche Differenzialgleichung Sturm-Liouville-Problem Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Spezielle Differenzialgleichungen Die Legendresche Differenzialgleichung Kugelflächenfunktionen Die Besselsche Differenzialgleichung Die Hermitesche Differenzialgleichung Die Laguerresche Differenzialgleichung Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Partielle Differenzialgleichungen Übersicht Elliptischer Typ Parabolischer Typ Hyperbolischer Typ Lösungsmethoden : Numerische Verfahren Analytische exakte" Verfahren Integraldarstellung Integraltransformation Greensche Funktion Separation der Variablen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Funktionentheorie Analytische Funktionen 531

9 Stetigkeit Differenzierbarkeit Potenzreihen Komplexe Integration Linienintegral Integralsatz von Cauchy Integralformel von Cauchy Laurentreihe Residuensatz Schnitte Anwendungen Integrale Fouriertransformation Dispersionsrelationen Hauptwertintegrale Konforme Abbildungen Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Literatur Gruppen Symmetrien und Gruppen Zweierlei Klassen Konjugationsklassen Nebenklassen Einige Untergruppen Einige wichtige Gruppen Darstellung Kontinuierliche Gruppen Darstellung und Parameter Generatoren und Lie-Algebra Anwendungen in der Physik Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Weiterführende Literatur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Zufall und Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen Erwartungswerte und Momente Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung 626

10 Poisson-Verteilung Gleichverteilung Normalverteilung Exponentialverteilung Histogramme Funktionen von Zufallsvariablen Fehlerfortpflanzung Mehrere Zufallsvariablen Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte Funktionen von mehreren Zufallsvariablen Zentraler Grenzwertsatz Autokorrelation Analyse von Daten und Fehlern Schätzung der Parameter einer Verteilung Andere Verfahren Fit, mach mit! Hypothesentest Aufgaben, Lösungen, Literatur Aufgaben Lösungen Weiterführende Literatur 66 6 A Abkürzungen und Anmerkungen 667 B Zoologie elementarer Funktionen 675 B.1 Polynome und rationale Funktionen 67 8 B.2 Exponentialfunktion und Logarithmus 68 0 B.3 Trigonometrische Funktionen 68 3 C Programmbeispiele 68 9 Literaturverzeichnis 69 1 Index 697