Physik 1 für Ingenieure

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1 Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: Übungsblätter und Lösungen: Januar 2002 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Lorentz-Transformation Das Punktereignis P soll im gestrichenen Koordinatensystem (B) sowie im ungestrichenen Koordinatensystem (A) ausgemessen werden. Jede Längeneinheit von B bringt A um 1/ p 1 v 2 /c 2 ihrer Einheiten nach rechts und (Steigung tan α = v/c ist) um (v/c)/ p 1 v 2 /c 2 in der,,zeitachse ct nach oben. Jede,,Zeiteinheit p auf der ct -Achse bringt A um 1/ 1 v 2 /c 2,,Zeiteinheiten auf der ct-achse nach oben und (Steigung p tan α = v/c ist) um (v/c)/ 1 v 2 /c 2 nach rechts. Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Lorentz-Transformation II x = ct = x + vc ct 1 p 1 v2 /c 2 v c x + ct 1 p 1 v2 /c 2 (1) Wir rechnen nun nicht mehr mit ct sondern mit der Zeit t direkt und erhalten die Lorentz-Transformation. x = x +vt t = vx /c 2 +t (2) 1 v 2 /c 1 v 2 2 /c 2 Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Lorentz-Transformation II Matrixformulierung ( x ct ) = 1 1 v2 /c 2 ( 1 v/c v/c 1 ) ( x ct ) (3) Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Lorentz-Transformation IV Wir wissen, dass tan α = v/c ist. Weiter ist tan 2 α = sin 2 α/ cos 2 α = 1 cos 2 α / cos 2 α, dann cos 2 α 1 + tan 2 α = 1 und damit 1/ p 1 + v 2 /c 2 = cos α und sin α = tan α cos α = (v/c)/ p 1 + v 2 /c 2. In einem gedrehten Koordinatensystem wäre x = x cos α + y sin α y = x sin α + y cos α (4) Rotation ähnlich Lorentz-Transformation Vorzeichen unter den Wurzeln beim Cosinus und beim Sinus stimmen nicht Lorentz-Transformation: Orts- und die Zeitachse in gegenläufiger Richtung verdreht Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Lorentz-Transformation V Diese Diskrepanz kann aufgelöst werden, wenn man nicht ct als Zeitachse verwendet, sondern ict, wobei i = 1 die imaginäre Einheit ist. In einem Raum mit den Koordinaten (x; y; z; ict) ist die Lorentz-Transformation nichts anderes als eine Rotation des Koordinatensystems. Wenn wir, analog zum klassischen dreidimensionalen Raum (r = p x 2 + y 2 + z 2 ) q x 2 + y 2 + z 2 + (ict) 2 = p x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 definieren, ha- den Abstand r = ben wir eine, vom jeweiligen Koordinatensystem unabhängige Definition des Abstandes. Dieser sogenannte Viererabstand ist unabhängig vom Koordinatensystem, sofern die einzelnen Koordinatensysteme mit der Lorentz-Transformation ineinander übergeführt werden können. Ein Punktereignis wird in dieser Sprache mit einem Vierervektor beschrieben. Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Vergleich der Lorentz-Transformation mit der Galilei-Transformation Grösse Galilei-Transformation Lorentz-Transformation klassische Physik relativistische Physik Ortskoordinaten x; y; z x; y; z Zeitkoordinaten t ict Länge x = x + vt x = x +vt 1 v 2 /c 2 Zeit t = t t = vx /c 2 +t 1 v 2 /c 2 Abstand r = x 2 + y 2 + z 2 r = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems Bewegungsgleichung a = d2 x dt 2 = k m x (6) k: Federkonstante N/m F = kx (5) F = kx = ma = m d2 x dt 2 Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung. d 2 x dt 2 + k m x = 0 (7) Die Bewegung ist periodisch mit der Frequenz ν = 1/T, wobei T die Schwingungsdauer ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems II Frequenzen werden in Hertz Hz = 1/s gemessen. Die Kreisfrequenz ω hängt über ω = 2πν mit der Frequenz ν zusammen. Die Kreisfrequenz hat die gleiche Einheit, darf aber nicht mit der Frequenz verwechselt werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems III Die Lösung der Gleichung (7) ist x = A cos (ωt + δ) (8) A ist die Amplitude der Schwingung ω die Kreisfrequenz δ die Phase Die Phase ist nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt (Eigenschaft der Winkelfunktionen). Die Position beim Nulldurchgang ist x(0) = A cos δ. Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems IV Ist die Beschleunigung eines Gegenstandes proportional zu seiner Auslenkung und dieser entgegengesetzt, so führt der Gegenstand eine einfache harmonische Schwingung durch. Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems V Die Geschwindigkeit der Masse v = dx dt = Aω sin (ωt + δ) (9) Die Geschwindigkeit bei t = 0 ist v(0) = Aω sin δ. Da von den drei die Schwingung bestimmenden Grössen zwei, A und ω unbekannt sind, reicht die Kenntnis der Position zur Zeit t = 0 und der Geschwindigkeit zu dieser gleichen Zeit aus, um die Schwingungsform zu bestimmen. Beschleunigung a = d2 x dt 2 = Aω2 cos (ωt + δ) (10) Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems VI Mit Gleichung (6) kann man schreiben k k a = x = A cos (ωt + δ) Aω 2 cos (ωt + δ) (11) m m ω 2 = k m r ν = 1 k 2π m r m T = 2π k (12) (13) Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Amplitude ab (lineares System). Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einer Schwingung Da die Funktionen sin ωt und cos ωt beide die Schwingungsgleichung (7) erfüllen, kann geschlossen werden, dass eine harmonische Schwingung die Projektion einer Kreisbewegung ist. Nach der Definition des Cosinus ist die Projektion des umlaufenden Radius A auf die x-achse gerade der Cosinus. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen Potentielle Energie einer um die Länge x ausgelenkten Feder Kinetische Energie Beide Energien hängen von der Zeit ab. Die Erhaltung der mechanischen Energie fordert Am Umkehrpunkt, bei der maximalen Auslenkung x(t) = A ist die Geschwindigkeit v(t) = 0. Also ist bei einem harmonischen Oszillator E pot (t) = 1 2 kx2 (t) E kin (t) = 1 2 mv2 (t) E ges (t) = const = E kin (t) + E pot (t) = 1 2 mv2 (t) kx2 (t) die Gesamtenergie. E ges = 1 2 ka2 (14) Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen II Lösung x(t) = A cos (ωt + δ) und dx(t) dt = Aω sin (ωt + δ) jeweils ein, erhalten wir E pot (t) = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + δ) E kin (t) = 1 2 ma2 ω 2 sin 2 (ωt + δ) = 1 2 ka2 sin 2 (ωt + δ)(15) wobei wir ω 2 = k/m verwendet haben. Die Gesamtenergie ist E ges (t) = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + δ) ka2 sin 2 (ωt + δ) = 1 2 ka2 h sin 2 (ωt + δ) + cos 2 (ωt + δ) = 1 2 ka2 (16) unabhängig von t. Der Energiegehalt eines harmonischen Oszillators pendelt zwischen zwei Energiereservoirs, hier der kinetischen und der potentiellen Energie, hin und her. i Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen III Immer dann, wenn in einem System zwei Energiereservoirs gekoppelt sind und Energie zwischen ihnen ausgetauscht wird, ist das System ein Oszillator. Beispiele: Kinetische und potentielle Energie beim Pendel oder beim Feder-Masse-System Energie im elektrischen und im magnetischen Feld (Schwingkreis) Energie im elektrischen Feld und im Gravitationsfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen IV Die kinetische und die potentielle Energie können mit dem Winkel der momentanen Phase Θ = ωt + δ wie folgt geschrieben werden: E pot (t) = E ges cos 2 Θ = E ges 1 2 E kin (t) = E ges sin 2 Θ = E ges 1 2 Damit ist auch sofort klar, dass die Mittelwerte (1 + cos 2Θ) (1 cos 2Θ) (17) E pot = E kin = 1 2 E ges (18) sind. Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 Schwingendes System im Schwerefeld Ruhelage 0 = kx 0 + mg x 0 = mg k (20) Bewegungsgleichung m d2 x dt 2 = kx + mg (19) Berechnung bekannt, wenn wir die Koordinate x = x x 0 verwenden. Da die beiden Koordinatensysteme x und x sich nur um eine Konstante unterscheiden, sind die ersten Ableitungen dx dt = dx dt und die zweiten Ableitungen d2 x dt 2 = d2 x dt 2 gleich. Deshalb wird Gleichung (19) m d2 x dt 2 = k x + x 0 +mg = kx kx 0 +mg = kx da kx 0 = mg ist. (21) Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 Schwingendes System im Schwerefeld II Lösung x (t) = A cos (ωt + δ) (22) Die potentielle Energie bezogen auf die neue Gleichgewichtslage x 0 ist E pot,f = 1 2 k x + x kx2 0 = 1 2 kx 2 + kx x 0 = 1 2 kx 2 + mgx (23) da kx 0 = mg ist. Zusätzlich gibt es die potentielle Energie der Gravitation E pot,g = mgx bezogen auf die Ruhelage. Die gesamte potentielle Energie ist die Summe aus den potentiellen Energien der Feder und der Gravitation. E pot = E pot,f + E pot,g = 1 2 kx 2 + mgx mgx = 1 2 kx 2 (24) Diese potentielle Energie ist unabhängig von g, wenn wir von der jeweiligen Ruhelage aus rechnen. Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 Mathematisches Pendel im Schwerefeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 20