Statistik II. Regressionsrechnung+ Regressionsanalyse. Statistik II

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1 Statistik II Regressionsrechnung+ Regressionsanalyse Statistik II

2 Regressionsrechnung Nichtlineare Ansätze In einigen Situation könnte man einen nichtlinearen Zusammenhang vermuten. Bekannte Transformation der abhängigen oder der unabhängigen Variable Polynomiale Spezifikation Statistik II

3 Logarithmische Ansätze: Loglinearer Ansatz In manchen Fällen könnte die richtige Wahl eines Exponenten, z.b. der Parameter b:, geeignet sein, die Daten besser zu erklären. Durch Logarithmieren bringen wir das obige Modell in die Klasse der linearen Modelle: Der Achsenabschnitt ist also log(a) und der Steigungsparameter ist b. Statistik II

4 In diesem Modell bestimmt der Wert des Exponenten b nicht nur die Steigung. Statistik II

5 Halblogarithmischer Ansatz In manchen Fällen könnte auch ein exponentielle Modellierung die Daten gut erklären: Hier erhalten wir durch Logarithmieren: Statistik II

6 Quadratische Ansätze: In manchen Fällen scheint es ein Minimum oder ein Maximum im Zusammenhang zwischen X und Y zu geben. Aus diesem Grund sollte dann auch der funktionale Zusammenhang entsprechend gewählt werden. Quadratische Funktionen sind daher eine geeignete Wahl: X fließt also über zwei Variablen ein: Deshalb gibt es also auch drei Parameter: Statistik II

7 Das Vorzeichen des Parameters bestimmt, ob die Funktion ein Minimum oder ein Maximum hat. Alle Abbildungen aus Schira Kap. 4.4 Statistik II

8 Mehrfachregression Die quadratische Spezifikation ist im Prinzip eine Regression mit zwei Variablen, die aber nur auf X basiert. Sie ist damit ein Spezialfall der Mehrfachregression. Die Koeffizienten geben die Steigung in und in und an. Es können natürlich auch noch mehr Variablen berücksichtigt werden: Statistik II

9 Regressionsanalyse Bisher: Regressionsrechnung als Instrument der deskriptiven Statistik Es werden keine Kausalzusammenhänge überprüft Die Regressionsgleichungen basieren nicht auf einem Modell Keine Stochastische Modellierung und Parametertests Beschreibende Interpretation; Verdachtsmomente für Zusammenhang Die Regressionsanalyse ist ein Instrument der schließenden Statistik erlaubt die Untersuchung fachwissenschaftlicher Zusammenhänge bzw. wissenschaftlicher Modelle und Hypothesen -> Ökonometrie Statistik II

10 Die Regressionsanalyse basiert auf einer umfassenden statistischen Modellierung liefert Schätzergebnisse, deren statistische Eigenschaften (Verteilungen etc.) bekannt sind. Damit lassen sich Hypothesen untermauern bzw. beweisen. mit mehreren Variablen lässt auch höher dimensionale Untersuchungen zu. Es können also komplizierte Zusammenhänge systematisch analysiert werden, die kaum/nicht visuell darstellbar sind. ist trotz ihrer Komplexität mathematisch recht einfach und lässt sich schnell mit Computern durchführen. Statistik II

11 Linearer Modellansatz Um den ökonomischen Zusammenhang zwischen Variablen zu messen, muss man zuerst ihre Beziehung spezifizieren. Ein allgemeiner Fall wäre: wobei die Parameter in der Regel unbekannt sind und geschätzt werden müssen. Die ökonomische Theorie schlägt eine bestimmte funktionale Form für die Funktion f vor und stellt Hypothesen über die Werte von auf, die mit Hilfe der Regressionsanalyse untersucht werden sollen. Der lineare Modellansatz betrachtet nur den Spezialfall, dass f linear ist, d.h. im Fall von einem X. Statistik II

12 Die Einfachregression Nur eine Variable X. Die Modellgleichung lautet: Y ist die endogene Variable x ist die exogene Variable oder Regressor ist der Stör- oder Fehlerterm a und b sind die Modellparameter oder Koeffizienten, die unbekannt sind sind später die geschätzten Koeffizienten Statistik II

13 Wir beobachten eine Stichrobe, die Realisationen der Zufallsvariablen Y darstellen. x sei hier nicht die Realisation einer Zufallsvariablen. Für die Beobachtungen i gilt: wobei eine nicht beobachtete Realisation von ist und a und b unbekannt sind. Es werden jedoch Annahmen an die Verteilung von gestellt, damit man a und b konsistent oder erwartungstreu schätzen kann. Über die Verteilung von wird auch etwas über die Verteilung von Y bekannt. Statistik II

14 In der Regressionsrechnung bekommen wir immer eine mittlere Gerade. Hier haben wir jedoch ein Schätzproblem mit unbekannten Fehlertermen, d.h. die Schätzung von a oder b kann gut oder schlecht sein. Was stellen die Störterme dar? Sie sind die wesentliche stochastische Komponente des Modells. Die Eigenschaften der Störterme haben einen starken Einfluss auf die Eigenschaften der Schätzung der Modellparameter. Warum werden sie überhaupt in das Modell aufgenommen? Hierfür gibt es mehrere intuitive Begründungen: Vielleicht gibt es weitere wichtige Variablen, die einen Einfluss auf Y haben, die wir aber nicht beobachten Vielleicht messen wir Y nicht exakt, sondern nur fehlerhaft Vielleicht stimmt unsere Theorie, die wir überprüfen wollen, nur ungefähr. Häufig verhalten sich Menschen zufällig, d.h. ihr Verhalten kann nur approximativ beschrieben werden. Statistik II