Nützliches Hilfsmittel (um Schreiberei zu reduzieren): 'Erweiterte Matrix': Gauß- Verfahren

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1 L5.4 Inverse einer Matrix Ausgangsfrage: Wie löst man ein lineares Gleichungsystem (LSG)? Betrachte n lineare Gleichungen für n Unbekannte: Ziel: durch geeignete Umformungen bringe man das LSG in folgende Form - Vertauschen von Zeilen - Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl - Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen (1 auf der 'Diagonalen', 0 überall sonst): Dann folgt sofort: Nützliches Hilfsmittel (um Schreiberei zu reduzieren): 'Erweiterte Matrix': Start: Ziel: Gauß- Verfahren Beispiel: finde Lösung des Systems: Zeile: Erweiterte Matrix: Ratschlag: Falls Brüche auftauchen, Zeile mit Hauptnenner durchmultiplizieren!

2 Lösung: Check durch einsetzen: konsistent mit z1 Falls das Gauss-Verfahren eine Zeile der Form liefert, hat das LSG keine Lösung. Falls das Gauss-Verfahren eine "Nullzeile" der Form liefert, kann eine der Variablen frei gewählt werden. Setze diese Variable gleich einem Parameter, z.b.. Lösung ist dann eine "Parameterschar". (bei m Nullzeilen, sind m der Variablen frei wählbar, m unabhängige Parameter.) Betrachte nun analoges Gleichungsystem, aber mit anderem Vektor rechts, Um es zu lösen, müssten wir Gauß-Verfahren wiederholen. Umständlich! Es geht aber auch kompakter, mittels Matrix-Notation: Kompakte Notation für (a.1): Schreibe Matrix- Notation (1): (quadratisch) Angenommen, es gibt eine 'inverse Matrix' zu A, mit: dann: Gesuchte Lösung: (funktioniert für alle!)

3 Eine quadratische Matrix heisst 'invertierbar', wenn eine 'inverse Matrix' existiert, mit und wobei = Einheitsmatrix. (1) impliziert (2): Assoziativität [Analog: (2) impliziert (1).] Kriterien für Invertierbarkeit: später... Beispiel: 2x2-Rotationsmatrix Rotation: Rotationsmatrix: [laut (i.5) sind Spalten v. R die Abbilder v. ] Inverse v. R = Rotation um : Check: Übrigens:

4 Beispiel: Allgemeine 2x2-Matrix Sei dann Inverse existiert nur falls Check: Eigenschaften der Inversen 1) Check: 2) Check: Warnung: wie auch in Bestimmung der Inversen: Rückführung auf Lösung v. n linearen Gleichungsystemen 1) Sei und n Spaltenvektoren, mit Komponenten: k-te Stelle Für jeden Wert von j = 1,..., n liefert (6) ein anderes LGS (wegen anderem ), zu lösen für den Spaltenvektor [(x.6) hat dieselbe Form wie (w.5)] [spielt die Rolle von b in (L5y.1)] Die aus diesen Spaltenvektoren gebildete Matrix (2) ist dann die gesuchte Inverse,

5 Die n Gl.systeme der Form (h.7) lassen sich gleichzeitig lösen, mit Gauß-Verfahren: Gauß- Verfahren Beispiel (vergleiche Seite 10): Zeile: Erweiterte Matrix: Check:

6 L5.5 Allgemeine lineare Abbildungen und Matrizen und seien zwei -Vektorräume, mit Dimension bzw. und Basisvektoren: Die Wirkung einer linearen Abbildung auf Basis sei: wir betrachten v-basisvektor j; seine Komponente in Richtung von w-basisvektor i ist: Bild eines v-basisvektors entwickelt in w-basis Wie lautet nun Wirkung von A auf einen beliebigen Vektor? Beispiel: Laut Skizze: Können wir hieraus die Wirkung v. F auf einen anderen Vektor, bestimmen? Ja!

7 Allgemein: falls Basisvektoren abgebildet werden auf dann gilt für mit und Koordinatenvektoren, (L2.6a.3) und folgender Zusammenhang: A ist linear (L5.5a.4) Also gilt für die Koordinatenvektoren: kompakt in Matrix-Notation: Schematisch: Für Basisvektoren: diese Gl. definiert die Abbildung mit Position j Position i Spalte j der Matrix, ist Bild des Basisvektors unter Abbildung A. Für allgemeine Vektoren:

8 Verknüpfung von zwei linearen Abbildungen: Matrixmultiplikation Betrachte drei Vektorräume, je mit einer Basis: Dimension = Dimension = Dimension = Betrachte Verknüpfung v. zwei Abbildungen: Fazit: Verknüpfung v. linearen Abbildungen kann immer durch Matrixmultiplikation in Standardvektorräumen dargestellt werden. L5.6 Basistransformation [vergleiche Seite L2.6g,h] seien zwei Basen für mit Gegeben, ein Vektor in der Wie lautet derselbe Vektor in der -Basis? Fazit: Matrixnotation: Neue Koordinaten lassen sich durch Matrixmultiplikation von T mit den Alten berechnen! Rücktransformation mittels Inverser Matrix:

9 Beispiel: Der Vektor hat zwei Darstellungen: Einerseits, in Andrerseits, in (5) & (6) sind konsistent mit Skizze und (5.5e.7): Inverse Transformation: Hier: Betrachte z.b. den Basisvektor Einerseits, in Andrerseits, in (3) & (4) sind konsistent mit (5.5e.8) und Skizze:

10 Transformation einer Matrix-Darstellung von einer Basis in eine andere sei eine lineare Abbildung, mit. In -Basis sei [(b.4), mit v'=v] In -Basis sei [(b.4), mit v'=v] dann hat A die Darstellung: [siehe (e.5)] dann hat A die Darstellung: [siehe (e.5)] Konkret: falls Konkret: falls dann gilt: dann gilt: mit mit Der Bezug zwischen den beiden Basen sei: Frage: wie lautet Bezug zwischen und? Zunächst, laut (5e.6): Transformiere (5h.2) in die (5h.2): [vergleiche mit (5h.2)] umgekehrt:

11 Beispiel: Streckung in horizontale Richtung um Faktor 2 Finde Darstellung v. A in der (5h.1): Berechne nun Darstellung v. F in der Wie wirkt F auf den Basis-Vektor Zusammenfassung: L5.5-6 Basistransformationen Zwei Vektorräume: Allgemeine lineare Abbildung: Matrixdarstellung v. F: In Standardbasis: F bildet Basisvektor Zwei Basen für denselben Raum: Basistransformation: Matrixdarstellung v. T: ab auf: Spalte j von A Darstellung v. altem Basisvektor in neuer Basis: Spalte j von T Inverse Transformation: Darstellung v. neuem Basisvektor in alter Basis: Spalte i von T Bezug zwischen und