Statistik II. Version A. 1. Klausur Sommersemester 2011 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!

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1 Statistik II Version A 1. Klausur Sommersemester 2011 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Fachsemester: Art der Anmeldung: STiNE FlexNow Zulassung unter Vorbehalt Unterschrift der/des Studierenden: Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 90 Note

2 Aufgabe 1.1 (9 Punkte) (a) Die Verteilungsfunktion eines zweidimensionalen Zufallsvektors nimmt alle reellen Werte zwischen 1 und +1 an. (b) Für die Verteilungsfunktion eines zweidimensionalen Zufallsvektor X = (X 1, X 2 ) T gilt immer: F X (0, x 2 ) = 0 für alle x 2 R. (c) Zwei stetige Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum sind unabhängig, wenn sich ihre gemeinsame Dichtefunktion als Produkt der beiden Randdichten darstellen lässt. (d) Der Erwartungswert eines dreidimensionalen Zufallsvektors ist ein dreidimensionaler Vektor. (e) Jede Varianz-Kovarianz-Matrix ist symmetrisch. (f) Da die eindimensionale Normalverteilung zwei Parameter besitzt, hat die zweidimensionale Normalverteilung vier Parameter. wahr x x x falsch x x x Aufgabe 1.2 (3 Punkte) Ein diskreter zweidimensionaler Zufallsvektor X = (X 1, X 2 ) T hat nachfolgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle: X ,05 0,1 0,2 X 1 2 0,4 5 0,1 0,2 0,7 1 Man trage in obige Tabelle die acht fehlenden Werte ein. Aufgabe 1.3 (6 Punkte) Ein diskreter zweidimensionaler Zufallsvektor X = (X 1, X 2 ) T hat nachfolgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle: -2-

3 X ,3 0,05 0,1 X 1 3 0,1 0,05 0,2 6 0,1 0,05 0,05 Man berechne: (a) F X1 (4) (b) F X (3; 4) (c) E(X 2 ) Lösung Aufgabe 1.2 X ,05 0,1 0,05 0,2 X 1 2 0,05 0,0 0,35 0,4 5 0,1 0,0 0,3 0,4 0,2 0,1 0,7 1 Lösung Aufgabe 1.3 (a) F X1 (4) = 0,8 (b) F X (3; 4) = 0,5 (c) E(X 2 ) = 3,6-3-

4 Aufgabe 2.1 (9 Punkte) (a) Bei zwei unterschiedlichen Schätzfunktionen für denselben Parameter sollte immer die Schätzfunktion gewählt werden, die den kleineren Bias besitzt. (b) Wird der Mean Square Error als alleiniges Kriterium für die Güte einer Schätzfunktion herangezogen, so sollte dieser möglichst klein sein. (c) Eine erwartungstreue Schätzfunktion ist eine Schätzfunktion, die immer den wahren Parameter liefert. (d) Mit der Momentenmethode kann nur ein Parameter (bspw. einer Verteilung) geschätzt werden. (e) Der Vorteil der Maximum-Likelihood-Methode gegenüber der Momentenmethode ist, dass bei der ML-Methode keine Stichprobendaten in die Berechnung eingehen. (f) Die Likelihood-Funktion ist abhängig von der Realisation der Stichprobenzufallsvariablen, also von den Daten, und von den Parametern. wahr x x falsch x x x x Aufgabe 2.2 (9 Punkte) Gegeben sei nachfolgende Likelihoodfunktion: L(θ x 1, x 2 ) = x 1 θ 3 x 2 θ Für den Parameter θ ermittle man den Maximum-Likelihood-Schätzer, wenn zusätzlich bekannt ist, dass x 1, x 2 > 0 gilt. Lösung Aufgabe 2.2 θ = x 2 3x 1-4-

5 Aufgabe 3.1 (9 Punkte) (a) Untergrenze und Obergrenze eines Konfidenzintervalls erhält man aus der Anwendung zweier Schätzfunktionen auf die zugehörigen Stichprobenzufallsvariablen. (b) Die Breite eines Konfidenzintervalls wird unter anderem durch die Irrtumswahrscheinlichkeit α 0 festgelegt. (c) Die bekannten Konfidenzintervalle für Erwartungswerte liegen alle symmetrisch um den Median der Stichprobenwerte. (d) Konfidenzintervalle für den Erwartungswert bei unbekannter Verteilung der Grundgesamtheit sind lediglich asymptotische Konfidenzintervalle. (e) Bei dem Konfidenzintervall für die Varianz kann die linke Intervallgrenze nicht kleiner als Null sein. (f) Beim Konfidenzintervall für die Varianz müssen zwei betragsmäßig verschiedenwertige Quantile ermittelt werden. wahr x x x x x falsch x Aufgabe 3.2 (9 Punkte) Aus einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe vom Umfang n = 20 ermittelte man x = 12,5 und s 2 = 23,75. Man ermittle ein 95%-Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass das untersuchte Merkmal der Grundgesamtheit normalverteilt ist. Hinweis: Beachten Sie, dass s 2 und nicht s 2 gegeben ist. Lösung Aufgabe 3.2 [14,459 ; 53,329] -5-

6 Aufgabe 4.1 (9 Punkte) (a) Nullhypothese und Alternativhypothese können komplementär zueinander sein. (b) Der Begriff zweiseitiger Hypothesentest bedeutet, dass der Annahmebereich zweiseitig ist. (c) Gütefunktion und Operationscharakteristik konvergieren gegen null. (d) Bei den Tests für Erwartungswerte wird der Ablehnungsbereich kleiner, je größer der Stichprobenumfang wird. (e) Beim Vergleich von Erwartungswerten zweier unabhängiger Stichproben muss der Stichprobenumfang der beiden Stichproben nicht identisch sein. (f) Beim Übergang vom exakten Verfahren zum approximativen Verfahren bei Tests für Anteilswerte wird im Wesentlichen der Zentrale Grenzwertsatz verwendet. wahr x x x falsch x x x Aufgabe 4.2 (9 Punkte) Es soll nun ein Hypothesentest auf einem 5%-Signifikanzniveau durchgeführt werden, bei dem die Nullhypothese die durchschnittliche Akkulaufzeit beträgt mindestens 15 Stunden gegen die Alternativhypothese die durchschnittliche Akkulaufzeit beträgt weniger als 15 Stunden getestet werden soll. (a) Man formuliere (in mathematischer Schreibweise) Null- und Alternativhypothese. (b) Man gebe den Ablehnungsbereich C konkret an. (c) Man formuliere einen Antwortsatz, der die Testentscheidung wiedergibt. Lösung Aufgabe 4.2 (a) H 0 : µ µ 0 = 15; H 1 : µ < µ 0 = 15 (b) C = {x R 50 x < 14,314} (c) Die Nullhypothese kann auf einem 5%-Signifikanzniveau abgelehnt werden. Aus einer Smartphone Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang n = 50 entnommen. Dabei ergab sich eine durchschnittliche Akkulaufzeit (im normierten Betrieb) von 13,5 Stunden (arithmetisches Mittel) bei einer Stichprobenvarianz ( s 2 ) von 8,7 Quadratstunden. -6-

7 Aufgabe 5.1 (9 Punkte) (a) Beim Hypothesentest zur einfachen Prüfung der Varianz wird eine χ 2 -verteilte Prüfgröße verwendet. (b) Die Prüfgröße des χ 2 -Anpassungstests kann nur nichtnegative Werte annehmen. (c) Der p-wert eines Hypothesentests ist der Wert des wahren Parameters, bei dem die Nullhypothese immer abgelehnt wird. (d) Die Parameterschätzungen der Parameter α und β im linearen Einfachregressionsmodell basieren auf der Minimierung der summierten quadrierten vertikalen Abstände der Daten zu einer hypothetischen Geraden. (e) Im linearen Einfachregressionsmodell sind ˆα und ˆβ erwartungstreue Schätzfunktionen. (f) Der Hypothesentest, der die Nullhypothese H 0 : β = 0 gegen die Alternativhypothese H 1 : β 0 testet, zielt darauf ab zu untersuchen, ob die unabhängige Variable einen Erklärungsgehalt im Modell besitzt. wahr x x x x x falsch x Aufgabe 5.2 (9 Punkte) Die Suchanfragen nach dem Wort statistics bei einer ausgewählten Suchmaschine in der letzten Woche in Europa waren wie folgt verteilt (in Tausend): Wochentag Mo Di Mi Do Fr Sa So Suchanfragen Es wird die Vermutung aufgestellt, dass die entsprechenden Suchanfragen über die Wochentage gleichverteilt sind. Man führe auf einem 5%-igen Signifikanzniveau einen χ 2 -Anpassungstest durch. Dabei formuliere man (unter Angabe konkreter Werte) Null- und Alternativhypothese, berechne die Realisation der Prüfgröße und gebe die Testentscheidung an. Lösung Aufgabe 5.2 Null- bzw. Alternativhypothese lauten: H 0 : P (X = x i ) = 1 mit i = 1,..., 7 7 H 1 : P (X = x i ) 1 für mindestens ein i {1,..., 7} 7 Dabei bezeichnet x 1 den Montag, x 2 den Dienstag, usw. -7-

8 Für die Realisation der Prüfgröße erhält man: t = 18,455 Da 18,455 > 12,592 gilt folgt, dass H 0 auf dem 5%-Signifikanzniveau abgelehnt werden kann. -8-