Darstellung von Kurven und Flächen

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1 Darstellung von Kurven und Flächen Christoph Dähne 17. Juli Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

2 Überblick 1 Polygonnetze 2 Parametrisierte kubische Kurven 3 Hermite-Kurven 4 Bézier-Kurven 5 Flächen 6 Fraktale Modelle 7 Quellen 2 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

3 Polygonnetze 3 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

4 Knotenliste (für jedes Polygon) zusätzliche Polygonliste (mit Knotenreferenz) zusätzliche Kantenliste 4 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

5 Parametrisierte kubische Kurven 5 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

6 Definition Sei Q(t) = ( x(t) y(t) z(t) ) ein Kurvensegment, dann gilt: x(t) = a x t 3 + b x t 2 + c x t + d x, y(t) = a y t 3 + b y t 2 + c y t + d y, z(t) = a z t 3 + b z t 2 + c z t + d z, 0 t 1 Vorteil Kurve muss nur in Intervall stimmen Zusammengesetzte Kurven können Schlaufen bilden 6 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

7 Matrizenschreibweise x(t) Q(t) = y(t) = C T z(t) a x b x c x d x mit C = a y b y c y d y und T = a z b z c z d z t 3 t 2 t 1 Vorteil Übersichtliche Darstellung 7 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

8 Übergänge und Stetigkeit Definition G 0 - Kurvensegmente sind verbunden G 1 - Q 0 (1) = k Q 1 (0) Geometrisch stetig vom Grad 1 (... ) G n - Q (n) 0 (1) = k Q(n) 1 (0) Geometrisch stetig vom Grad n C n - G n -stetig und k = 1 Anmerkung Gleiche Kurven können verschiedene Tangentenvektoren haben. 8 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

9 Gleichung Sei G = ( P 1 P 2 P 3 P 4 ) und C = G M, dann gilt: x(t) Q(t) = y(t) z(t) = ( P 1 P 2 P 3 P 4 ) Bezeichnungen G - Geometriematrix M - Basismatrix Q(t) - Kurvensegment m 11 m 21 m 31 m 41 m 12 m 22 m 32 m 42 m 13 m 23 m 33 m 43 m 14 m 24 m 34 m 44 t 3 t 2 t 1 9 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

10 Hermite-Kurven 10 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

11 Mathematische Darstellung Seien P 1, P 2 die Randpunkte und R 1, R 2 die Anstiege in den Randpunkten. Dann ist G H = ( ) P 1 P 2 R 1 R 2 und Q(t) = GH M H 3t 2 und Q (t) = G H M H 2t 1. 0 t 3 t 2 t 1, 11 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

12 Intervallgrenzen t = 0 Q(0) = P 1 = ( P 1 P 2 R 1 R 2 ) MH ( ), Q (0) = R 1 = ( P 1 P 2 R 1 R 2 ) MH ( ) t = 1 Q(1) = P 2 = G H M H ( ), Q (1) = R 2 = G H M H ( ) 12 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

13 ( ) P1 P 2 R 1 R 2 = GH = G H M H M H = = Hermite-Kurvensegment Q(t) = ( P 1 P 2 R 1 R 2 ) Q(t) = G H B H, t t 2 t B H = M H T heißt Basisfunktion 13 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

14 Gewichte der hermetischen Basisfunktion 14 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

15 Eigenschaften Interpoliert Kontrollpunkte Stetigkeitsgrad: C 0 (immer), C 1 (wenn R 2a = R 1b ) Steuerparameter: 4 Kontrollpunkte bilden keine konvexe Hülle der Kurve 15 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

16 Bézier-Kurven 16 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

17 Definition Q(0) = P 1 Q(1) = P 4 Q (0) = R 1 = 3(P 2 P 1 ) Q (1) = R 2 = 3(P 4 P 3 ) G H = ( P 1 P 2 R 1 R 2 ) = ( P 1 P 2 P 3 P 4 ) Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

18 Q(t) = G H M H T = G B M H T = G B M B T Bézierbasismatrix M B = M H = Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

19 Gewichte Bézier-Basisfunktion 19 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

20 Eigenschaften Kontrollpunkte bilden konvexe Hülle der Kurve Stetigkeitsgrad: C 0 (immer), C 1 (wenn R 2a = R 1b ) Steuerparameter: 4 Interpoliert nicht alle Kontrollpunkte 20 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

21 Parametrisierte kubische Flächen 21 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

22 Ansatz Parametrisierte kubische Flächen Q(s, t) = T M G M S 22 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

23 Mathematischer Hintergrund Q(s, t) = ( P 1 (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t) ) M S P 11 P 21 P 31 P 41 = T M P 12 P 22 P 32 P 42 P 13 P 23 P 33 P 43 M S P 14 P 24 P 34 P 44 mitp i (t) = T M (P i1 P i2 P i3 P i4 ) 23 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

24 Fraktale Modelle 24 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

25 Selbstähnlichkeit Selbstähnlichkeit Jedes Segment wird duch eine Kopie der ganzen Figur ersetzt. 25 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

26 Selbstähnlichkeit 26 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

27 Apfelmännchen Das Apfelmännchen ist die Menge aller Punkte in der komplexen Zahlenebene, für deren Wert C die Reihe X n+1 = X 2 n + C, mit X 0 = 0 konvergiert. 27 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

28 Fraktale Gebirge Liniensegment wird in der Mitte nach oben gezogen Algorhythmus beschränkt Höhenzuwachs 28 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

29 Fraktale Gebirge Selber Ansatz für 3D-Gebirge 29 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

30 30 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

31 31 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

32 James D. Foley, Andries von Dam, Steven K. Feiner, John F. Hughes, Richard L. Philips: Grundlagen der Computergraphik, Addison-Wesley, Michael Bender, Manfred Brill: Computergrafik, Hanser, Apfelmännchen-Applets: Fractal Landscape: Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen

33 Vielen Dank! 33 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen