Berechnung von Extrema

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1 KAPITEL 2 Berechnung von Extrema 1. Partielle Ableitungen Definition 2.1 (partielle Ableitung). Sei U R n offen und e j der j-te Einheitsvektor. Eine Funktion f : U R ist in x u partiell differenzierbar in der j-ten Komponente falls der Grenzwert f(x+he j ) f(x) lim h 0 h existiert. Falls dieser Grenzwert existiert bezeichnet man diesen mit D j f(x) oder mit f x j f(x). Dieser Grenzwert wird auch j-te partielle Ableitung von f in x genannt. f heißt in x partiell differenzierbar, falls f für jedes j = 1,...,n in x partielle differenzierbar in in der j-ten Komponente ist. f heißt partielle differenzierbar, wenn es für alle x U partielle differenzierbar ist. f heißt stetig partielle differenzierbar, wenn es für jedes x partielle differenzierbar ist. Definition 2.2 (zweifach partielle differenzierbar). Sei U R n offen und f : U R. Ist f partiell differenzierbar und sind sämtliche partiellen Ableitungen D j f, j = 1,...,n wieder partiell differenzierbar, so nennt man f zweifach partiell differenzierbar. Sind alle Abbildungen D i D j f steteig, so nennt man f zweifach steteig differenzierbar. Satz 2.3 (Satz von Schwarz). Sei U offen und f : U R zweifach steteig differenzierbar, so gilt D i D j f(x) = D j D i (x) für alle i,j = 1,...,n und alle x U. 8

2 2. Totale Differenzierbarkeit Definition 2.4 (totaledifferenzierbarkeit). Sei U R n offen und f : U R m. f heißt im Punkt x U total differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung A : R n R m, eine Umgebung V U von x und eine Abbildung Rest : V R m gibt welche f(x+h) = f(x)+ah+rest(h) für h V und lim h 0 Rest h erfüllen. Wir schreiben meist differenzierbar statt total differenzierbar. Achtung: A und Rest hängen von x ab. Die lineare Abbildung A wid Ableitung von f im Punkt x genannt. Satz 2.5. Sei U R n offen und f : U R m in x differenzierbar mit Ableitung a a 1,n A =... a m1... a m,n Dann gilt a) f ist stetig in x, b) Alle Komponentenfunktionen f i : U R von f(x 1,...,x n ) = (f 1 (x 1,...,x n ),...,f m (x 1,...,x n )) sind partiell differenzierbar und es gilt D j f i (x 1,...,x n ) = a ij. Definition 2.6 (Gradient und Jacobi-Matrix). Die Ableitung in x einer differenzierbaren Funktion f : U R m mit U R n offen nennt man Jacobi- Matrix. Schreibweise: Df(x) = D 1 f 1 (x)... D n f 1 (x).. D 1 f m (x)... D n f m (x) Im fall m = 1 nennt man Df(x) den Gradienten von x. Schreibweise: gradf(x) = (D 1 f 1 (x), D n f 1 (x)). Satz 2.7. Sei U R n offen und f : U R in x partiell differenzierbar. Sämtlichen partiellen Ableitungen D j f, j = 1,...,n seien stetig in x. Dann ist f total differenzierbar und stetig. Satz 2.8 (Kettenregel). Es seien U R n und V R m offen. Für zwei Abbildungen f : U R m und g : V R k gelte f(u) V. Weiter sei f in x U und g in y = f(x) differenzierbar. Dann ist g f : U R k differenzierbar und es gilt D(g f)(x) = Dg(f(x))Df(x).

3 3. Taylor Approximation Definition 2.9 (Hesse-Matrix). Sei U R n offen und f : U R zweimal partiell differenzierbar, so nennen wir die Matrix D 1 D 1 f(x)... D 1 D n f(x) Hf(x) =.. D : nd 1 f(x)... D n D n f(x) die Hesse-Matrix von f in x. Die hessematrix ist also die Jacobimatrix des Gradienten und wird daher auch zweite Ableitung von f in x genannt. Satz 2.10 (Taylor Approximation zweiter Ordnung). Ist U R n offen und f : U R zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für jedes x U für h aus einer Umgebung von x mit lim h 0 Rest(h) h 2 = 0. f(x+h) = f(x)+df(x) h+ 1 2 h Hf(x)h+Rest(h)

4 4. Extremwerte Definition 2.11 (Maxima und Minima). Ist M R n und f : M R. a) Ist x M derart, dass f(x) f(z) für alle z M gilt, so heisst f(x) (globales) Maximum von f. Ist x M derart, dass f(x) f(z) für alle z M gilt, so heisst f(x) (globales) Minimum von f. Ein globales Maximum (bzw. Minimum) nennt man isoliert (oder strikt) falls sogar f(x) > f(z) (bzw. f(x) < f(z)) für alle z M gilt. b) Ist x M derart, dass es eine offene Menge U M gibt, so dass x U ist und f(x) f(z) für alle z U gilt, so heisst f(x) (lokales) Maximum von f. Ist x M derart, dass es eine offene Menge U M gibt, so dass x U ist und f(x) f(z) für alle z U gilt, so heisst f(x) (lokales) Minimum von f. Ein lokales Maximum (bzw. Minimum) nennt man isoliert (oder strikt) falls sogar f(x) > f(z) (bzw. f(x) < f(z)) für alle z U gilt. Satz 2.12 (Notwendiges Kriterium für lokale Extrema). Sei U R n offen und f : U R partiell differenzierbar. Hat f in x ein lokales Extremum (also ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum) so ist gradf(x) = 0. Bemerkung: Die Punkte mit der Eigenschaft gradf(x) = 0 nennt man die kritischen Punkte von f. Satz 2.13 (Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema). Sei U R n offen und f : U R zweimal stetig differenzierbar. Weiter sei x ein kritischer Punkt von f und Hf(x) die Hesse Matrix von f in x. a) Hat Hf(x) die Eigenschaft v Hf(x)v > 0 für alle v R n \ {0} so hat f in x ein isoliertes lokales Minimum. b) Hat Hf(x) die Eigenschaft v Hf(x)v < 0 für alle v R n \ {0} so hat f in x ein isoliertes lokales Maximum. c) Hat Hf(x) die Eigenschaft v Hf(x)v > 0 für ein v R n und w Hf(x)w < 0 für ein w R n so hat f in x kein lokales Extremum. Bemerkung: Sei A R n n. Die Eigenschaft: a) Die Eigenschaft: v Av > 0 für alle v R n \{0} nennt man positive Definitheit. b) Die Eigenschaft: v Av < 0 für alle v R n \{0} nennt man negative Definitheit.

5 c) Die Eigenschaft: es gibt v R n,w R n, so dass v Av > 0 und w Aw < 0 nennt man Indefinitheit. Satz 2.14 (Kriterien für Definitheit). Es sei A R n n eine symmetrische Matrix. a) A ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche Eigenwerte positiv sind. negativ definit, wenn sämtliche Eigenwerte negativ sind. indefinit, wenn es sowohl positive wie negative Eigenwerte gibt. b) (Hurwitz Kriterium) Eine symmetrische Matrix A = a a 1n.. a n1... a nn ist genau dann positiv definit, wenn für k = 1,...,n gilt: a a 1k det.. > 0. a k1... a kk