stellt eine fallende Gerade dar mit Nullstelle bei x = 5/3. 1/3
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- Axel Schräder
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1 Aufgabe 4) Gegeben sind die Funktionen f mit f (x)= 4 x2 + 2 x+ 4 und g mit 3 g ( x)= 4 x x 3 4. a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph Gf folgende Eigenschaften besitzt: Der Scheitelpunkt von Gf liegt auf der x-achse. Der Graph verläuft durch den Punkt P( 3 4 ) Der Graph hat im Punkt P den gleichen Anstieg wie die Gerade y = 2x. b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten des Graphen Gg. c) Zeigen Sie, dass sich die Graphen von f und g in genau einem Punkt T berühren. Bestimmen Sie T. d) Die Graphen von f und g sowie die x-achse schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche mit Hilfe des Hauptsatzes. Bestimmen Sie, in welchem Verhältnis die Gerade y = x die berechnete Fläche teilt. a) Die Koordinaten des Scheitelpunktes können mit Hilfe der Differentialrechnung als lokaler Tiefpunkt bestimmt werden. Er ergibt sich auch durch Umformen in Scheitelpunktform: f (x)= 4 x2 + 2 x+ 4 = 4 ( x2 +2x+)= 4 (x+)2 S( - ) Der Scheitelpunkt liegt also auf der x-achse bei x = -. Einsetzen liefert f(3) = 4. f ' ( x)= 2 x + 2 f ' (3)3 /2+/2=2, also die gleiche Steigung wie y = 2x. b) g ' (x )= 3 2 x+ 5 2 stellt eine fallende Gerade dar mit Nullstelle bei x = 5/3. Die Funktion g ist daher für x < 5/3 streng monoton steigend, bei x = 5/3 hat die Funktion eine waagerechte Tangente und für x > 5/3 ist g streng monoton fallend. c) Zunächst werden die Schnittpunkte berechnet: f (x)=g(x) x 2 2 x+= x= Zudem gilt f ' ()= und g ' ()=, daher liegt ein Berührpunkt bei T( ). d) f (x)dx=[ 2 x3 + 4 x2 + 4 x] =7/2 und / 3 g( x)dx=[ 4 x x2 3 4 x] =/27 /3 Die eingeschlossene Fläche ergibt sich als Differenz zu 23/8. (Die Nullstelle bei /3 von g wie üblich berechnen.)
2 Aufgabe 3: Wasserbecken Ein quaderförmiges Becken mit 8m Länge, 5m Breite und 3m Höhe wird mit Wasser gefüllt. Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe. m. Der Zu- und Abfluss des Wassers in das Becken wird modellhaft beschrieben durch die Zulaufratenfunktion f mit f (t)=t 3 3 t 2 +4 t, t 9 wobei die Zeit t in Stunden und f(t) in m³/h angegeben ist. a) Berechne die Zeitpunkte, zu denen sich der Wasserstand im Becken nicht verändert, also es keinen Zu- noch Abfluss von Wasser gibt. Wenn sich der Wasserstand zu einem Zeitpunkt nicht ändert, so muss die Zulaufrate an diesem Punkt verschwinden, d.h. f(t) =. f (t)= t 3 3 t 2 +4 t= t (t 2 3 t+4)= t= t=3/2± 3 2 /2 2 4 " t=3/2±3/2 t= t=5 t=8 Antwort: Zu den Zeitpunkten t =, 5, 8 h ändert sich der Wasserstand im Becken nicht. b) Bestimme die Zeitpunkte des maximalen Zu- bzw. Abflusses. Gesucht ist das absolute Maximum und Minimum der Funktion f im Definitionsbereich. Der Operator Bestimme erlaubt es, die Werte mit Hilfe des GTR zu bestimmen. Definiere dazu die Funktion im Rechenblatt durch f (t)=t ^ 3 3 t ^ 2+ 4 t t 9. (Einschränkung des Definitionsbereich wichtig, damit der GTR das Randmaximum findet!) Im Grafikfenster die Funktion anzeigen lassen durch f (x)=f (x). (Den passenden Ausschnitt wählen mit Menü-4-.) Mit der GTR-Funktion Graph analysieren Maximum (Menü-6-3) erhält man nach Festlegung des gesamten Definitionsbereiches die Angabe des absoluten Minimums bei (6,67-4,8). Dabei entsprechen 6,67 h = 6 h +,67 * 6 min = 6 h + 4 min. Analog zwei absolute Maxima bei (2 36 ) und ( 9 36 ). (Ränder ebenfalls überprüfen!) Antwort: Der maximale Abfluss findet zum Zeitpunkt t = 6 h 4 min statt, der maximale Zufluss zum Zeitpunkt t = 2 h und t = 9 h. Hinweise: Die Angabe der jeweiligen Zuflussrate ist in dieser Aufgabenstellung nicht gefordert, muss aber bei entsprechender Aufgabenstellung mit angegeben werden. Etwa: zum Zeitpunkt t = 9 h mit einer Rate von 36 m³/h. In dieser Aufgabe ist ebenfalls keine Umrechnung in konkrete Zeitpunkte gefordert. Ist in der Aufgabenstellung z.b. t als Stunden seit 8 Uhr definiert, so müsste in der Antwort auch der Zeitpunkt angegeben werden. Hier also etwa:...zum Zeitpunkt t = 6 h 4 min, also um 4.4 Uhr. Eine Berechnung mit Hilfe der Differentialrechnung ist natürlich ebenfalls erlaubt: N.B.: f ' (t)= 3 t 2 26 t+4= t=2 t=6 2 /3 H.B.: f ' (t)= f ' ' (t) : f ' ' (2)= 4 < d.h. HP( 2 36 ); f ' ' (2/3)=4> d.h. TP( 2/3-4,8 ) Randwerte vergleichen: f() =, f(9) = 36 TP ist absoluter Tiefpunkt, zwei absolute Hochpunkte.
3 c) Gebe eine Stammfunktion F(t) an. F(t)=/4 t 4 3/3 t 3 +4 /2 t 2, t 9 d) Berechne die Wassermenge nach 3 Stunden im Becken. Zu Beginn (t = ) befinden sich V =a b c=8 5,=4[m 3 ] im Becken. Alle Stammfunktionen lassen sich mit einer reellen Konstante c darstellen in der Form F(t)=/4 t 4 3/3 t 3 +4/2 t 2 +c, t 9. Mit F() = 4 [m³] (s.o.) ergibt sich c = 4. Daher gibt die Funktion F d (t)=/4 t 4 3/3 t 3 +4 /2 t 2 +4, t 9 die Wassermenge an, die zum Zeitpunkt t im Becken ist. F(3) = 87,25 [m³]. Antwort: Im Becken befinden sich 87,25 m³ Wasser. Hinweis: Andere Lösungswege möglich. Z.B. kann die zugeflossene Wassermenge mit Hilfe des bestimmten Integrals berechnet 3 werden: f (t)dt=[ F (t)] 3 =83,25[m 3 ]. Addition des Inhalts zu Beginn Ergebnis oben. e) Bestimme die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Einfüllvorgangs nach 9 Stunden. Der Operator erlaubt eine Bestimmung mit Hilfe des GTR. Etwa durch Eingabe Menü-4-2: Numerisches Integral (entspricht Funktionstaste über dem x 9 und Auswahl) f (t)dt=[ F (t)] 9 =,25 [m 3 ]. Die Füllmenge zu Beginn beträgt 4 [m³], also ist die Füllmenge am Ende der 9 Stunden insgesamt 5,25 [m³]. Die Füllhöhe ergibt sich durch V =a b h 5,25=8 5 h h=2,6325[m]. Antwort: Am Ende des gesamten Einfüllvorgangs nach 9 Stunden ist das Becken bis zu einer Höhe von 2,6325 m gefüllt. Hinweis: Natürlich kann das Volumen am Ende der 9 Stunden auch mit der in d) bestimmten passenden Stammfunktion F d berechnet werden. F d (9)=/ / / =5,25[m 3 ] f) Bestimme die maximale Wassermenge im Becken. Der Operator erlaubt eine Bestimmung mit Hilfe des GTR. Die Wassermenge läßt sich zum Einen durch die in d) bestimmte Stammfunktion F d darstellen. Diese kann mit Hilfe des GTR definiert und gezeichnet werden, um danach den absoluten Hochpunkt zu bestimmen. (Vorgehensweise wie bei der Bestimmung des absoluten Maximums der Funktion f in b).) Ergebnisse werden übernommen. Antwort: Die maximale Wassermenge 8,583 m 3 befindet sich zum Zeitpunkt t = 5 im Becken. Die Lage der Maxima kann auch mit einer beliebigen anderen Stammfunktion ermittelt werden, da sich alle Stammfunktionen nur durch eine Konstante unterscheiden. Die Lage der (absoluten) Maxima ist also bei allen Stammfunktionen identisch. Der Wert, der bei diesem Maximum dann angenommen wird, muss eventuell angepasst oder gesondert berechnet werden. (Siehe Beispielrechnungen in d).)
4 Falls die Stammfunktion F d oder eine beliebige Stammfunktion in d) nicht berechnet wurde, kann der GTR die entsprechende Stammfunktion auch durch numerisches Integrieren anzeigen. x Definiere dazu im Rechenblatt: w (x)=4+ f (t)dt, t 9 und lasse diese (Stamm-)Funktion im Grafikfenster mit f 2 (x)=w (x) anzeigen. (Dauert etwas, da jeder Punkt durch numerisches Integrieren bestimmt wird. Größe des angezeigten Bereichs wieder mit Menü-4- anpassen.) Absoluter Hochpunkt kann nun mit Menü-6-3 wie schon beschrieben bestimmt werden. Eine Berechnung mit Hilfe der Differentialrechnung ist natürlich auch richtig: Gesucht ist das absolute Maximum der Stammfunktion F d aus d). Die notwendige Bedingung für ein lokales Maximum lautet: F d ' (t)= f (t)=. Die Nullstellen von f wurden in a) bereits bestimmt. Durch Überprüfung der hinreichenden Bedingung ergibt sich: F d ' ' ()=f '()=4>, d.h. einen Tiefpunkt bei TP ( ) und F d ' ' (5)=f ' (5)= 5<, d.h. einen Hochpunkt bei HP ( 5 8,583 ) und F d ' ' (8)=f '(8)=24 >, d.h. einen Hochpunkt bei TP 2 ( 8 89,3 ). Durch Vergleich der Randwerte ergibt sich der absolute Hochpunkt bei HP ( 5 8,583 ). Ebenfalls möglich wäre eine Begründung aus der Anschauung. Der Wasserstand steigt, solange der entsprechende Funktionswert der Zulaufrate f(t) positiv ist. Aus der Berechnung der Nullstellen in a) ist also schon klar, dass der Wasserstand zum Zeitpunkt t = 5 oder t = 9 maximal sein kann. Durch Berechnen und Vergleich des Wasserstands zu diesen beiden Zeitpunkten ist die maximale Wassermenge klar. Aufgabe 4: Flächen und Graphen Die in der Abbildung unten zu sehenden Funktionen sind: f (x)=2 x 3 5 x 2 + und g(x)= x 2 2 x+ wobei die Zeit t in Stunden und f(t) in m³/h angegeben ist. a) Weise nach, dass die Funktionen f(x) und g(x) bei P( ) einen Schnittpunkt haben. Zu zeigen ist, dass f() = g() = gilt. Nachweis durch Einsetzen. b) Bestimme den Berührpunkt der Fktnen f(x) und g(x) und zeige, dass es ein Berührpunkt ist. Bei einem Berührpunkt haben die Funktionen den gleichen Wert und die gleiche Tangente, also f (x)=g(x) und f ' (x)=g '( x). Durch den Operator Bestimme ist es möglich, die Schnittpunkte auch mit dem GTR zu bestimmen. Zunächst müssen dazu die beiden Funktionen gezeichnet werden und dann mit Graph analysieren-schnittpunkt (Menü-6-4) die Schnittpunkte abgelesen werden. Hier die Berechnung, die ebenfalls möglich ist: f (x)=g(x) 2 x 3 5 x 2 += x 2 2 x+ 2 x 3 4 x 2 +2 x= x= x=
5 Einsetzen in die Ableitung ergibt f ' (x)=6 x 2 x f '()= und f ' ()= 4 und g '(x)= 2 x 2 g' ()= 2 und g' ()= 4 Im Punkt P( ) liegt also ein Schnittpunkt vor, im Punkt B( -2 ) ein Berührpunkt. c) Beschreibe die Monotonie der Funktion f und gib die stellen des Monotoniewechsels an. (Eine Randbetrachtung ist nicht notwendig.) Die Ableitung f' ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei x= und x=5/3, an denen daher jeweils ein Vorzeichenwechsel von + nach bzw. - nach + vorliegt. Die Ableitung ist also für alle x< positiv, die Funktion selber streng monoton steigend. An der Stelle x = hat die Ableitung einen Vorzeichenwechsel von + nach -, d.h. Hochpunkt. Zwischen x = und x = 5/3 ist die Ableitung negativ, die Funktion streng monoton fallend. Für x = 5/3 hat die Ableitung einen Vorzeichenwechsel von nach +, also einen Tiefpunkt. Für x>5/3 ist die Ableitung positiv, die Funktion also wieder streng monoton stiegend. d) Bestimme die graugefärbte Fläche. Im Folgenden werden die Nullstellen und Flächen exakt berechnet. Laut der Aufgabenstellung ist durch den Operator Bestimme auch möglich, sowohl die Nullstellen als auch die resultierenden Flächen mit dem GTR zu bestimmen. Der linke Teil der grau gefärbte Fläche lässt sich z.b. wie folgt berechnen: Zunächst die Fläche berechnen, die die Funktion g von ihrer linken Nullstelle bis x = mit der x-achse einschließt: 2 g (x)dx=[ /3 x 3 x 2 + x] 2 = /3 (4 2+ 5) 3,55. Dann die Fläche, die die Funktion f zwischen ihrer linken Nullstelle und x= mit der x-achse einschließt, abziehen. Um die linke Nullstelle zu berechnen, muss die Nullstelle bei x = /2 geraten werden. Die beiden anderen Stellen können durch Polynomdivision ermittelt werden. 2 g(x)dx=[/ 2 x 4 5/3 x 3 +x] 2 =/ 6 (3 8 2),28 Flächeninhalt der linken grauen Fläche /6 ( )=/6 (6 2 3) 3,27 [FE ] Der rechte Teil der grau gefärbten Fläche wird von den Funktionen f und g zwischen Schnittpunkt und Berührpunkt eingeschlossen, daher: ( f (x) g(x))dx=[/2 x 4 4/3 x 3 + x 2 ] =/2 4/3+=/6 Die grau gefärbte Fläche hat insgesamt den Flächeninhalt A=/3 (8 2 ) 3,44[FE ]
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