6 Di erentialrechnung, die Exponentialfunktion

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1 6 Di erentialrechnung, die Exonentialfunktion 6. Exonentialfunktion Wir führen die Exonentialfunktion ein, die eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften ist: ex(x + y) =ex(x)ex(y) (8) ex(0) =, ex() = e wobei e die Euler sche Zahl ist ( n! ( + n )n = e). Wir können mithilfe der angeführten Eigenschaften zeigen, dass die Exonentialfunktion ex(x) =e x für x 2 IR ist. Proof. Für natürliche Zahlen kann man mit Hilfe von (8) zeigen, dass ex(n) = e n. Ebenso dass ex(/n) die n-te Wurzel aus e ist, wobei wir wieder (8) verwenden: ex( n + n )=ex( n )ex( n )=[ex( n )]2 ex( n + n + n )=[ex( n )]3... ex( n n )=[ex( n )]n Wenn wir ex() = e verwenden, haben wir dann schliesslich ex( n )=e n. Aus = ex(0) = ex(x x) =ex(x)ex( x) folgt dass ex( x) = ex(x). Damit ist die Exonentialfunktion ex als e x für alle rationalen Zahlen definiert. Nachdem die irrationalen Zahlen beliebig gut durch rationale Zahlen aroximiert werden und ex stetig ist ex(x) =e x fr alle x 2 IR. Die Exonentialfunktion ex(x) ist stetig (für alle x 2 IR), streng monoton steigend und es gilt (ohne Beweis): ex(x) =. (9) x!0 x Wir können den Definitionsbereich auf C erweitern, wobei wir 8 verwenden: ex(z) =ex(x + iy) =ex(x)ex(iy) 6 x, y 2 IR; und z = x + iy

2 Mit der Eulerschen Formel ex(i') = cos(') + i sin(') können wir dem Ausdruck ex(iy) einen Sinn geben. Somit ist ex(z) =e x (cos(y)+i sin(y)) x, y 2 IR; und z = x + iy Noch zwei nützliche Formeln: sin(') = ei' e i' 2i cos(') = ei' + e i' 2 Der natürliche Logarithmus Die Umkehrfunktion zur Exonentiafunktion ist der natürliche Logarithmus ln(x), definiert für x>0. Der ln(x) ist stetig (für alle x>0), streng monoton steigend, und: 6.2 Di erentialrechnung ln() = 0 ln(e) = ln(x y) = ln(x)+ln(y), ln( x ) = ln(x) ln(y), y a ln(x) = (ln(x)) a. Um zu unserer Motivation zurückzukehren: Unser Ziel ist es, in (6) den Limes für h! 0 zu berechnen. Leider führt auch das, wenn s and der Stelle t stetig ist, auf einen unbestimmten Ausdruck, nämlich 0/0, und wir können im Allgemeinen nicht garantieren, dass es den Grenzwert gibt. Momentangeschwindigkeit ) Ableitung Wir nennen die Funktion f an der Stelle x 0 di erenzierbar, wennder Grenzwert existiert f 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 )=. Den Grenzwert f 0 (x 0 ) nennt man Ableitung der Funktion f an der Stelle x 0. f heisst di erenzierbar, wennf an jedes x 2 A (Definitionsbereich von f) di erenzierbar ist. 7

3 Beisiele: ) Wir suchen die Ableitung von f(x) =x n : f 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 + h) n x n 0 (x 0 ) = (x 0 + h x 0 )[(x 0 + h) n +(x 0 + h) n 2 x x n [(x 0 + h) n +(x 0 + h) n 2 x x n 0 ]= h!0 = nx n 0. 0 ] = 2) Sei f(x) = x. Um die Ableitung zu berechnen, verwenden wir: h = x 0 +h x 0 =( x 0 + h) 2 ( x 0 ) 2 =( x 0 + h x 0 )( x 0 + h+ x 0 ) f 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) x0 + h (x 0 ) = x0 + h x0 h!0 ( x 0 + h x0 )( x 0 + h + x 0 ) h!0 ( x 0 + h + x 0 ) = 2. x 0 x0 Verwenden wir (9) können wir die Ableitung der Exonentialfunktion ex(x) berechnen: [ex(x)] 0 = ex(x + h) ex(x) = ex(x)ex(h) ex(x) = ex(x)(ex(h) ) = ex(x) Ableitung der Winkelfunktionen: Zuerst zeigen wir dass sin h =, Proof. sin h<h<tan h (geometrisch) 8

4 cos h =0,Proof:0ale cos h ale sin 2 h Mit diesen zwei Grenzwerten können wir die Ableitung von sin berechnen. [sin(x)] 0 h!0 sin(x + h) sin(x) h sin(x) cos(h) + cos(x)sin(h) sin(x) cos(h) sin(h) = sin(x) + cos(x) = cos(x) analog für [cos(x)] 0 = sin(x). Ableitungsregeln (Grundrechnungsarten) Seien f und g di erenzierbare Funktionen, dann gelten folgende Regel: Faktorregel: [cf(x)] 0 = cf 0 (x) Bs. (5 ex(x)) 0 = 5(ex(x)) 0 =5ex(x) Summenregel: [f(x)+g(x)] 0 = f 0 (x)+g 0 (x) Bs. (x 3 +sin(x)) 0 =3x 2 + cos(x) Produktregel: Sei f g an x di erenzierbar dann gilt: [f(x)g(x)] 0 = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x) [f(x)g(x)] 0 h!0 f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) h f(x + h)g(x + h) f(x)g(x + h)+f(x)g(x + h) f(x)g(x) h!0 ale h f(x + h) g(x + h) f(x) g(x + h) g(x) + f(x) h!0 h h = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x) Bs. (x 3 sin(x)) 0 =3x 2 sin(x)+x 3 cos(x) Kettenregel: [f Bs. g(x)] 0 =[f(g(x))] 0 = f 0 (g(x)) g 0 (x) 9

5 . [(5x + ) 2 ] 0 = 2(5x + ) 5 = 0(5x + ) e x 2 0 = e x 2 0 x 2 ( x 2 ) 0 = e x 2 2 x ( 2x) 2 = xe x 2 x 2 sin(x 3 ) 0 = cos(x 3 ) (3x 2 ) 4. x 0 q = (x ) 0 = q q (x ) /q (x ( ) )= q x q Quotientenregel (für g(x) 6= 0): ale f(x) 0 = f 0 (x)g(x) f(x)g 0 (x) g(x) g 2 (x) x x 2 = 3x2 (x 2 + 4) (x 3 + 2)2x +4 (x 2 + 4) 2 = x4 + 2x 2 4x (x 2 + 4) 2 Als Anwendung der Kettenregel können wir Ableitung von Umkehrfunktionen aufschreiben. Sei f an x und die Umkehrfunktion f an y = f(x) di erenzierbar. Dann wenden wir die Kettenregel auf f f = id! f f x)) 0 =(f ) 0 (f(x)) f 0 (x) =id 0 (x) = : Bs. f (y) 0 = f 0 (f (y))). Der natürliche Logarithmus, als Umkehrfunktion zur Exonentialfunktion: ex(ln(x)) = x, x>0, und ln(ex(y) =y, 8y 2 IR hat dann die Ableitung: (ln(x)) 0 = ex 0( ln(x)) = ex(ln(x)) = x 20

6 2. [arcsin(x)] 0 = sin 0 (arcsin(x)) = cos(arcsin(x)) = sin 2 (arcsin(x)) = x 2 3. [arctan(x)] 0 = tan 0 (arctan(x)) = + tan 2 (arctan(x)) = +x 2 Wir können auch x a mit a 2 IR ableiten: (x a ) 0 =[ex(ln(x) a)] 0 =ex(a ln(x))] a(ln(x)) 0 = a ex(a ln(x)) x = axa x = axa Die Ableitung der allgemeinen Exonentialfunktion a x können wir mithilfe von a x =ex(ln(a) x) berechnen: (a x ) 0 =[ex(ln(a) x)] 0 =ex(x ln(a)) ln(a) =a x ln a Weiteres Beisiel: f(x) =x x =ex(x ln(x)): f 0 (x) =(x x ) 0 =ex(x ln(x)) (ln(x)+x/x) =x x (ln(x) + ) Somit können wir folgende Ableitungen aufschreiben: Höhere Ableitungen f(x) f 0 (x) c 0 x x a (a 2 IR) ax a e x e x sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) ln(x) x Seien f : A! IR und f 0 : A! IR diferrenzierbar. di erenzierbar ist, dann ist Wenn f 0 in x 2 A f 00 =(f 0 ) 0 (x) die zweite Ableitung von f an der Stelle x. Andere Notation: f 0 (x) = df dx und f 00 (x) = d2 f dx 2 = f (2). 2

7 Wir können wiederum die Frage nach der Di erenzierbarkeit von f 00 stellen, und diesen Prozess fortsetzen. Somit nennen wir f an x k-mal differenzierbar, wennf (k )-Mal di erenzierbar ist und die (k )-Ableitung f (k ) di erenzierbar an x ist. Beisiele. f(x) =ex(x): 2. f(x) =sin(x): 3. f(x) =a x ; f (n) (x) =(lna) n a x 4. f(x) =x 3 +2x 2 x + 5. f(x) = x x f 0 (x) = f (n) =ex(x) f 0 (x) = cos(x) f 00 (x) = sin(x) f (3) (x) = cos(x) f (4) (x) = sin(x)... f 0 (x) = 3x 2 +4x f 00 (x) = 6x +4 f (3) (x) = 6 f (4) (x) = x x > 0 2x x < 0 =2 x f 00 (x) nicht möglich an x = Eigenschaften di erenzierbarer Funktionen Mittelwertsatz der Di erentialrechnung Satz 5. Sei f :[a, b]! IR stetig auf [a, b] und di erenzierbar auf (a, b), dann existiert ein y 2 (a, b) so dass: f 0 (y) = f(b) b f(a) a 22

8 Steigung der Sekanten durch a und b ist gleich der Steigung der Tangenten in y. Regel von de l Hosital Satz 6. Sei ale a < b ale und f,g : (a, b)! IR di erenzierbare Funktionen, so dass g 0 (x) 6= 0und g(x) 6= 0fürallex 2 (a, b). Angenommen der Grenzwert f 0 (x) x!b g 0 (x) existiert, und es gilt zusätzlich x!b f(x) = x!b g(x) =0oder dann ist f(x) x!b g(x) = f 0 (x) x!b g 0 (x) Dieselbe Aussage gilt auch für x!a. Bs. ) x! x 2) x!0 x e x ; Kurvendiskussion sin(x) x!0 x sin(x) x sin(x) x!0 cos(x) sin(x)+x cos(x) x!0 sin(x) 2 cos(x) x sin(x) = 0; Sei f(x) eine Funktion und f 0 ihre Ableitung. Alle Punkte, die f 0 (x) =0 erfüllen, heißen stationäre Punkte., d.h. die Tangente ist dort horizontal. x ist ein lokales Maximum von f wenn es ein " existiert, sodass 8y 2 (x ",x+ ") gilt f(x) f(y); x ist ein lokales Minimum von f wenn es gilt f(x) ale f(y) 8y 2 (x ",x+"). Stationäre Punkte sind entweder Minima, Maxima, oder Sattelunkte.. Wenn f(x) an x 2 (a, b) einlokales Extremum (Maximum oder Minimum) annimmt, dann ist x ein stationärer Punkt f 0 (x) = Monotonie Eine Funktion heisst monoton steigend (fallend) in einem Intervall I, wennf(y) f(x) (bzw. f(y) ale f(x)) falls y>x, 8x, y 2 I 23

9 Wenn die Ableitung von f in (a, b) ositiv ist, f 0 (x) 0, 8x 2 (a, b), dann ist f monoton steigend; für f 0 (x) > 0 ist f streng monoton steigend. Wenn f monoton steigend ist, dann ist f 0 (x) 0 Entsrechende Aussagen gelten auch für fallende Funktionen. Bew. mit Mittelwertsatz der Di erentialrechnung. 3. Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Sei f zweimal di erenzierbar und f 0 (x) =0 undf 00 (x) > 0 dann ist x ein lokales Minimum. lokales Maximum. Wenn f 00 (x) < 0, dann ist x ein 4. Konvexität Eine Funktion ist konvex im Intervall I, wenn 8x, y 2 I gilt dass f( x +( )y) ale f(x)+( )f(y) 0 ale ale Sei f zweimal di erenzierbar auf I. f ist genau dann konvex, wenn f 00 (x) 0 8x 2 I. (f ist konkav, wenn f 00 (x) ale 0.) 5. Globale Extrema Globale Extrema sind entweder lokale Extrema oder werden am Rand des gewählten Bereichs angenommen. Beisiel: Kurvendiskussion für f(x) = (x )2 (x 4) x. Nullstellen f(x) = 0 an x =undx = 4. Singularität bei x =0 f(x) x!0 + = ; f(x) = + x!0 Extremwerte f 0 (x) = 0 an x =, + 3und f 00 () < 0 ) lokales Maximum f 00 ( + 3) > 0 ) lokales Minimum f 00 ( 3) > 0 ) lokales Minimum 3. 24

10 Wendeunkte f 00 (x) = 0 an 3 4 x<0:f 00 (x) > 0 ) f konvex auf (, 0) 3 4 >x>0:f 00 (x) < 0 ) f konkav auf (0, 3 4). x> 3 4:f 00 (x) > 0 ) f konvex auf ( 3 4, ). Skizze. Globale Extrema von f(x) auf [, 5]: das lokale Minimum ist ein globales Minimum auf [, 5] und das globale Maximum ist am Rand bei x = 5. 25