Mehrdimensionale Differentialrechnung Übersicht

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1 Mehrdimensionale Differentialrechnung Übersicht Partielle und Totale Differenzierbarkeit Man kann sich mehrdimensionale Funktionen am Besten für den Fall f : R 2 M R vorstellen Dann lässt sich der Graph von f = f(x, y) als Fläche über der x y-ebene darstellen und in z-richtung wird der Funktionswert abgetragen Damit hat ein Punkt auf dem Graphen die Form (x, y, f(x, y)) Partielle Ableitungen beschreiben Tangenten an diese Fläche (lineare Approximationen in eine Richtung), und zwar in Richtung (1, 0) für die partielle Ableitung nach x (wir betrachten also einen festen y-wert) bzw in Richtung (0, 1) für die partielle Ableitung nach y (also für einen festen x-wert) Abbildung 1: Partielle Ableitungen an einer Stelle (x 0, y 0 ) R 2 Die Funktion f : R n M R mit f(x) = f(x 1,, x n ) heißt in einem von inneren Punkt a = (a 1,, a n ) M partiell differenzierbar nach der i-ten Variable x i, falls t f(a 1,, ai 1, t, a i+1,, a n ) als eindimensionale Funktion R R in a i R nach t differenzierbar ist Wir schreiben dann für die Ableitung f x i oder f xi Der Gradient von f ist der Spaltenvektor 1 der partiellen Ableitungen, also f x1 f x2 gradf = f := f xn Thema: Analysis II Seite 1 von 7

2 Für zwei oder dreidimensionale Funktionen verwendet man oft auch die üblichen Bezeichnungen x, y, z für die Variablen x 1, x 2, x 3 und schreibt dann für die partiellen Ableitungen f x, f y, f z Man definiert vollkommen analog höhere partielle Ableitungen: Für eine zweidimensionale Funktion mit Variablen x, y sind also die zweiten partiellen Ableitungen f xx, f xy, f yx, f yy erklärt Sind die n-ten partiellen Ableitungen stetig, also f n-mal stetig partiell differenzierbar, so können nach dem Satz von Schwarz die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauscht werden: f xy = f yx, f xz = f zx, f yz = f zy, f xyz = f yxz = f zxy =, usw Man berechnet partielle Ableitungen nach x i, in dem man alle anderen Variablen wie Konstanten behandelt und Rechenregeln für eindimensionale Funktionen anwendet Beispiel: Für f(x, y) = e xy + x 2 y 2 erhält man ( ) ( fx ye gradf = = xy ) + 2x xe xy 2y und für die Hessematrix der zweiten Ableitungen ( ) ( fxx f Hf = xy y = 2 e xy + 2 e xy + xye xy ) x 2 e xy + e xy x 2 e xy ; 2 f yx f yy f y woran man die Gültigkeit des Satzes von Schwarz erkennt (f xy = f yx ): die Hessematrix ist symmetrisch Man kann beliebige Richtungsableitungen in a M mit Richtungen v R n erklären 2 durch f v (a) := d f(a + tv) f(a + tv) f(a) dt = lim t=0 t 0 t Diese beschreiben den Anstieg der Tangente an die Fläche des Funktionsgraphen in Richtung v Mit Richtungsableitungen sind die partiellen Ableitungen Spezialfälle, nämlich in Richtungen parallel zu den Koordinatenachsen, dh für den i-ten Einheitsvektor v = e i liegt die partielle Ableitung nach x i vor So gilt beispielsweise für f : R 2 R und die Richtungsableitungen im Punkt (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) ) = lim, f y (x 0, y 0 f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) ) = lim f : R n M R heißt (total) differenzierbar in a M, falls ein Zeilenvektor Df (genauer: eine lineare Abbildung) existiert mit und schreiben f := Df f(x) = f(a) + Df (x a) + O( x a ) Es handelt sich dabei um eine Approximation der Funktion durch eine Tangentialhyperebene, die also im natürlichen Sinne eine Verallgemeinerung der Approximation einer eindimensionalen Funktion durch eine Tangen mittels der 1 Ableitung darstellt Das Landau-Symbol O steht für einen Restterm, der gegen Null geht, wenn sich x dem Punkt a annähert 2 Manchmal fordert man auch zusätzlich v = 1 Thema: Analysis II Seite 2 von 7

3 Ist f differenzierbar, so gilt f = (grad f) T Die totale Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt bedeutet, dass diese sich dort lokal durch eine lineare Abbildung approximieren (annähern) lässt, während die partielle Differenzierbarkeit (in alle Richtungen) nur die lokale Approximierbarkeit durch Geraden in allen Richtungen, nicht jedoch als eine einzige lineare Abbildung fordert Ist f : R n M R m vektorwertige Funktion, so heißt diese partiell differenzierbar, wenn jede der Komponenten f i es ist und die partielle Ableitung von f ist dann der Vektor der partiellen Ableitungen der f i Dann ekrlärt man analog die (totale) Ableitung f = Df und erhält als Darstellung die Matrix der partiellen Ableitungen der Komponenten f i von f, die dann Jacobimatrix oder Funktionalmatrix heißt, also Jf := f = Df = f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1 f m x 1 f x 2 1 x n ( f 1 ) T f 2 x 2 x n = ( f 2 ) T f m x 2 ( f m ) T Totale Differenzierbarkeit ist wesentlich schwerer nachzuweisen Oft argumentiert man darüber, dass Zusammensetzungen diff barer Funktionen wieder diff bar sind und bekannte Funktionen wie e x, trigonometrische Funktionen, Polynome und ihre Umkehrfunktionen diff bar sind Wir können aber folgenden Zusammenhang festhalten: Eigenschaften einer Funktion f in a M: Es gilt f stetig (total) differenzierbar in a f total differenzierbar in a und damit auch stetig bei a f v (a) existiert für beliebiges v Rn und ist gleich f(a) v (Skalarprodukt) f partiell differenzierbar in a und damit auch partiell stetig bei a Die Umkehrungen gelten ia nicht, aber es gilt: f in Umgebung von a stetig partiell differenzierbar = f (total) differenzierbar Beispiel: Betrachte f(x, y) = f m x n { x 3 y 3 x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) f ist auf R 2 \{(0, 0)} total differenzierbar (und damit auch stetig partiell differenzierbar), da gebrochenrationale Funktionen auf ihrem Definitionsbereich total differenzierbar sind Bleibt also nur noch der Nullpunkt zu untersuchen Wegen f(0 + h, 0) f(0, 0) 0 f x (0, 0) = lim = lim = 0 f(0, 0 + h) f(0, 0) 0 f y (0, 0) = lim = lim = 0 gemäß Erklärung der partiellen Ableitung als Richtungsableitung in Richtung e i ist f partiell diff bar in (0, 0) mit partiellen Ableitungen gleich 0 Thema: Analysis II Seite 3 von 7

4 Ferner ist f auch total differenzierbar in (0, 0), denn: Falls f dort total diff bar ist, so muss das Differential Df erklärt sein durch die Matrix Df(0, 0) = (0, 0) (wegen der partiellen Ableitungen) und es gilt ( ) h1 f(h 1, h 2 ) f(0, 0) Df(0, 0) h 2 h 3 1 h3 2 h 3 1 h3 2 h 1, h 2 T = (h h2 2 ) h = h2 2 (h h2 2 ) = 3 2 für (h 1, h 2 ) 0 Also ist f total diff bar in (0, 0) 1 ( 1 h h 2 1 ) Bemerkung: Oft vereinfacht sich die Aufgabe, wenn man keine Abschnittsweise definierte Funktion hat, sondern beispielsweise f(x) = e x sin y + x 2 cos y Zum einen kann man dann über die totale Differenzierbarkeit bekannter Funktionen und der Zusammensetzung aus diesen argumentieren Zum anderen kann man dann oft aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen auf die totale Differenzierbarkeit schließen Ferner gilt stets: ist f selbst nicht einmal stetig in dem untersuchten Punkt, so kann f auch nicht total differenzierbar sein (siehe Beispiele in den Übungsaufgaben) Extrema mehrdimensionaler Funktionen Nun wollen wir lokale Minima und Maxima von f : R n R bestimmen Dabei muss man lokale Extrema, die nur in einer (ggf kleinen) Umgebung ein Extremum darstellen, und globale Extrema, die also f(x 0 ) f(x) bzw f(x 0 ) f(x) für alle x R n aus dem Definitionsbereich erfüllen, unterscheiden Lokale Extremstellen: Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung (betrachte beispielsweise x 3 in R oder xy in R 2 ) für lokale Extrema ist grad f = f = 0 Durch Lösen der entsprechenden Gleichungen ermittelt man alle kritischen bzw stationären Punkte x 0 R n, die als Extremstellen in Frage kommen Eine hinreichende Bedingung ergibt sich durch die Hessematrix Hf: Hf positiv definit in x 0 R n = x 0 ist lokale Minimalstelle Hf negativ definit in x 0 R n = x 0 ist lokale Maximalstelle Hf indefinit in x 0 R n = x 0 ist keine Extremstelle Kriterien für Definitheit in x 0 für f : R 2 R (!) sind: falls det Hf(x 0 ) < 0 ist, ist f indefinit falls det Hf(x 0 ) > 0 und der erste Eintrag der Matrix H 11 f(x 0 ) = f xx (x 0 ) > 0 ist, ist f positiv definit falls det Hf(x 0 ) > 0 und der erste Eintrag der Matrix H 11 f(x 0 ) = f xx (x 0 ) < 0 ist, ist f negativ definit Thema: Analysis II Seite 4 von 7

5 Globale Extremstellen: Zur Existenz lässt sich zunächst festhalten: Existenzsatz von Weierstraß: Sei D R n kompakt (also beschränkt und abgeschlossen) sowie f : D R stetig Dann besitzt f auf D ein globales Maximum und Minimum Auf unbeschränkten oder nicht abgeschlossenen Definitionsbereichen besitzen beliebige Funktionen ia keine Extremwerte und selbst wenn lokale Extrema vorliegen muss es dann keine globalen geben Man kann aber dann noch Aussagen treffen, wenn f außerhalb kompakter Mengen beliebig klein wird (dann hat man ein globales Maximum) Genauer: Abgeleitete Existenzsätze: Sei f : R n [0, ) stetig und gelte f(x) 0 für x Dann besitzt f in R n ein absolutes Maximum Gilt hingegen f(x) für x, so hat f ein globales Minimum Wichtig: dabei müssen alle möglichen Wege (Folgen) für x berücksichtigt werden Es reicht beispielsweise nicht sich Strahlen von 0 nach unendlich oder gar nur endlich viele Richtungen anzusehen So gibt es stetige Funktionen f : R 2 [0, ), die auf allen Strahlen von 0 nach beschränkt sind und kein globales Maximum oder Minimum besitzen Also merke: Bei der Untersuchung von globalen Extremstellen muss man sich das Verhalten der Funktionen im Unendlichen ansehen Beispiel: Gesucht sind alle lokalen und globalen Extrema von f(x, y) = e xy +x 2 +y 2 Dann ist f beliebig oft stetig total differenzierbar und man erhält leicht ( ye f(x, y) = xy ) + 2x xe xy + 2y sowie ( y Hf(x, y) = 2 e xy + 2 (1 + xy)e xy ) (1 + xy)e xy x 2 e xy + 2 Die notwendige Bedingung für lokale Extrema f(x, y) = 0 liefert ye xy = 2x bzw mit x : xye xy = 2x 2, xe xy = 2y bzw mit y : xye xy = 2y 2, so dass Gleichsetzen 2x 2 = 2y 2, also x = y liefert Daraus folgt, dass (0, 0) ein stationärer Punkt ist und für x = y 0 über eine der beiden Ausgangsgleichungen xe x2 = 2x x 0 = e x2 = 2 welche keine Lösung besitzt, da exp(x 2 ) > 0 für alle x gilt (bzw beim Auflösen der ln auf beiden Seiten gebildet werden müsste und ln 2 nicht erklärt ist) Also ist (0, 0) einziger kritischer Punkt Wir erhalten für diesen eingesetzt in die Hessematrix ( ) 2 1 det Hf(0, 0) = det = 4 1 = 3 > 0, 1 2 sowie wegen f xx (0, 0) = 2 > 0 als ersten Eintrag in der Hessematrix, dass Hf in (0, 0) positiv definit ist Somit ist (0, 0) eine lokale Minimalstelle Thema: Analysis II Seite 5 von 7

6 Ferner ist (0, 0) auch globale Minimalstelle, denn: für (x, y) ist f(x, y) und f ist streng monoton in x und y bzw (x, y) gemeinsam (x 2, y 2 > 0 sowie e xy > 0 streng monoton) Folglich muss f irgendwo ein globales Minimum annehmen Da wir nur eine lokale Minimalstelle haben, muss dies (0, 0) sein (Andernfalls müsste man die Funktionswerte aller lokaler Minimalstellen vergleichen) Wir erhalten min f(x, y) = f(0, 0) = 1 Extrema unter Nebenbedingungen Möchte man Extrema von f : R n R nicht auf ganz R n, sondern nur in bestimmten durch Nebenbedingungen g i (x) = 0 erklärten Bereichen suchen, so kann man die Lagrange sche Multiplikatorenmethode verwenden Lagrange sche Multiplikatorenmethode: Sei D R n offen und x 0 D Ferner seien f : D R und g : D R k (vektorwertige Funktion, dh es gibt k Nebenbedingungen g i (x) mit i = 1,, k) stetig differenzierbar Ferner habe die Jacobimatrix von g in x 0 vollen Rang, also rank Jg(x 0 ) = k Hat f in x 0 ein lokales Extremum unter den Nebenbedingungen g i (x) = 0, so gibt es k reelle Zahlen λ 1,, λ k genannt Langrange sche Multiplikatoren, sodass gilt: grad f(x 0 ) + k λ i grad g i (x 0 ) = 0 (*) i=1 Es ist also ein (ia) nichtlineares Gleichungssystem ( ) mit n + k Gleichungen für die k Multiplikatoren und (eigentlich interessierenden) n Koordinaten x 0 i der Extremstelle x0 zu lösen Man kann es sich so merken, dass man die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum auf die Lagrange sche Hilfsfunktion L(x, λ) := f(x) + k λ i g i (x) anwendet, also grad L(x, λ) = 0 löst, was zu ( ) äquivalent ist Im Fall k = n 1, dh man hat genau eine Nebenbedingung weniger als Variablen, so kann man die notwendigen Extrema auch mit der Determinantenbedingung ermitteln: dann sind alle kritischen Punkte die jenigen, die det ( f) T ( g 1 ) T ( g 2 ) T ( g n 1 ) T i=1 = 0 und gleichzeitig die Nebenbedingungen g i (x) = 0 erfüllen Als hinreichende Bedingung für Extrema unter Nebenbedingungen verwendet man dann wieder die Kriterien der Hessematrix HL(x 0, λ 0 ) von weiter oben (hier also angewandt auf die Lagrange sche Hilfsfunktion!) Es gilt wieder ein Existenzsatz der Art, dass im Falle der Thema: Analysis II Seite 6 von 7

7 Stetigkeit der g i und f sowie der Beschränktheit der zulässigen Punkte der Nebenbedingungen g i mind ein Maximum und Minimum existiert (Beachte: sind die g i differenzierbar, so sind sie sofort auch stetig) Beispiel: Betrachte f(x, y) = x + y unter der Nebenbedingung 4x 2 + y 2 = 20 Dann ist g(x) := 4x 2 + y 2 20 = 0 Da die Determinantenregel anwendbar ist, erhalten wir ( ) 1 1 det = 0 y = 4x 8x 2y Das in die Nebenbedingungen eingesetzt liefert 4x 2 + (4x) 2 20, also x = ±1 und somit (x 0, y 0 ) = (1, 4) oder (x 0, y 0 ) = ( 1, 4) Alternativ kann man auch ganz normal die Lagrange sche Hilfsfunktion L(x, λ) = x + y λ(4x 2 + y 2 20) aufstellen und ableiten, was wiederum als notwendige Bedingung liefert: L(x, λ) = 1 8λx 1 2λy = 0 4x 2 + y 2 20 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems liefert x = 1 8λ y = 1 0 = 4 2λ = 4x ( 1 8λ also λ 2 = 1 64 Demnach ist λ = ± 1 8 ) 2 + ( 1 2λ ) 2 20 = 5 16λ 2 20, und somit x = ±1 sowie y = ±4 Für den Punkt (1, 4) ist die Hessematrix von L konstant ( ) 1 0 HL(1, 4) = also negativ definit Folglich liegt ein lokales Maximum vor mit max f = f(1, 4) = 5 Analog erhält man für ( 1, 4) ( ) 1 0 HL( 1, 4) = und daher ein lokales Minimum mit min f = f( 1, 4) = 5 Ferner liegen nach dem Existenzsatz von Weierstraß sogar globale Maximal- und Minimalstellen vor, denn die Funktionen f(x, y), g(x, y) sind stetig und die Nebenbedingungen beschreiben eine Ellipse, also eine beschränkte Teilmenge Daher existieren globale Extremstellen und da wir genau eine Maximal- und Minimalstelle ermittelt haben, sind es genau die beiden Thema: Analysis II Seite 7 von 7

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