9 Differentialrechnung für Funktionen in n Variablen

Transkript

1 $Id: diff.tex,v.7 29/7/2 3:4:3 hk Exp $ $Id: ntaylor.tex,v.2 29/7/2 3:26:42 hk Exp $ 9 Differentialrechnung für Funktionen in n Variablen 9.6 Lagrange Multiplikatoren Die Berechnung von Maxima und Minima in einer Menge M R n teilt sich in zwei Teilprobleme, erstens die Bestimmung der kritischen Punkte im Inneren M und zweitens die Berechnung von Maxima und Minima auf der in der Regel (n )-dimensionalen Menge M. Wie wir gesehen haben, kann gerade letzteres rechnerisch recht unangenehm sein, man muss den Rand M in Teile zerlegen, die man als Bilder von Funktionen in n Variablen schreibt, und für jeden dieser Teile rechnet man dann Minima und Maxima für eine Funktion in n Variablen aus. Als ein Leitbeispiel betrachten wir wieder die schon einmal verwendete Funktion f(x, y) = x 2 y + y 2 2y yx 3 und wir wollen diesmal Minimum und Maximum im Einheitskreis 2 B () = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 } berechnen. Das Innere ist M = B () und wir brauchen die kritischen Punkte in dieser Menge. Die partiellen Ableitungen waren x = (2x )y, y = x2 x + 2(y ).5 x.5.5 y.5 und wir hatten bereits gesehen, dass es nur einen kritischen Punkt mit y gibt, nämlich (x, y) = (/2, 9/8). Wegen (/2) 2 + (9/8) 2 = 97/64 > liegt dieser kritische Punkt nicht im Inneren des Einheitskreises. Die kritischen Punkte (x, y) mit y = ergeben sich als Lösungen der Gleichung x 2 x 2 = = x = 2 ± = 2 ± 9 4 = 2 ± 3 2, also (x, y) = (, ) und (x, y) = (3, ). Keiner dieser beiden Punkte liegt im Inneren des Einheitskreises. Maximum und Minimum von f auf M werden also auf dem Rand 28-

2 M angenommen. Dies deckt sich auch mit dem oben gezeigten Graphen der Funktion f auf M. Es verbleibt die Bestimmung von Minimum und Maximum auf dem Rand M = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = }, und hier beginnen wieder die Unannehmlichkeiten. Der direkte Ansatz ist es den Rand zu parametrisieren, etwa durch {( ) cos t M = t 2π}. sin t Dann müssen wir die Extrema der Funktion ψ(t) := f(cos t, sin t) = cos 2 t sin t + sin 2 t 2 sin t sin t cos t für t 2π berechnen ψ(t) 3 ψ (t) Im Graphen erkennen wir vier Nullstellen der Ableitung und vier lokale Extrema von ψ. Diese könnten wir jetzt leicht numerisch berechnen, wir wollen dieses Beispiel aber noch auf eine zweite Art mit einem ganz anderen Ansatz rechnen. Dass der direkte Weg in diesem Beispiel überhaupt möglich ist, liegt an der vergleichsweise einfachen Geometrie der Menge M. Für kompliziertere Mengen M kann es schon schwer bis gar nicht möglich sein den Rand M zu parametrisieren, und selbst wenn es gelingt, neigen die entstehenden Funktionen dazu schnell sehr kompliziert zu werden. Die Methode der 28-2

3 sogenannten Lagrange Multiplikatoren ist eine Rechentechnik, die Parametrisierungen und die damit verbundenen Probleme vermeidet. Um die Methode einzuführen, starten wir etwas abstrakter, und diskutieren den allgemeinen Ergänzungsansatz. Hier ist die folgende Problemstellung gegeben. Wir haben eine Funktion f : U R definiert auf einer Menge U, bei uns in der Regel eine offene Teilmenge des R n. Weiter interessieren wir uns für Maxium und Minimum von f auf einer gewissen Teilmenge S U, im obigen Beispiel ist S = M, aber das spielt für die allgemeine Situation keine Rolle. Beim Ergänzungsansatz sucht man jetzt eine Hilfsfunktion λ : U R, die auf der Menge S konstant ist. Die Hilfsfunktion λ ist so zu wählen, dass das globale Maximum x U der ergänzten Funktion f + λ auf ganz U in S liegt, d.h. es gebe x S mit f(x) + λ(x) f(x ) + λ(x ) für alle x U. Dann ist in x auch ein globales Maximum von f selbst auf der Menge S. Denn ist x S, so gilt f(x) = (f(x) + λ(x)) λ(x) (f(x ) + λ(x )) λ(x) = f(x ) da die Hilfsfunktion λ auf S konstant sein soll. Analoges gilt für Minima statt Maxima. Die direkte Anwendung dieses Ansatzes erfordert eine eingehende Untersuchung des konkret vorliegenden Falles, um irgenwie eine Idee für eine geeignete Hilfsfuntion λ zu finden. Die Methode der Lagrange Multiplikatoren ist ein Spezialfall des Ergänzungsansatzes, der sich recht schematisch und mechanisch rechnen lässt. Bei der Methode der Lagrange Multiplikatoren sind eine offene Menge U R n und eine stetig differenzierbare Funktion f : U R gegeben. Wir suchen Maximum und Minimum von f auf einer Teilmenge S U, die durch r Gleichungen definiert ist S = {x U g (x) = c,... g r (x) = c r }, wobei g,..., g r : U R stetig differenzierbare Funktionen sind, und c,..., c r R irgendwelche Konstanten sind. Wir machen dann einen Ergänzungsansatz mit der Funktion λ(x) := λ g (x) + + λ r g r (x), wobei die sogenannten Lagrange Multiplikatoren λ,..., λ r R neue Unbekannte sind. Unabhängig von der Wahl der Lagrange Multiplikatoren ist λ offenbar konstant auf der Menge S. Gibt es nun ein globales Maximum, oder auch Minimum, x von Λ(x) := f(x) + λ(x) = f(x) + λ g (x) + + λ r g r (x) auf U mit x S, so ist x wie gesehen auch ein Maximum, beziehungsweise Minimum, von f auf S. Die Lagrange Multiplikatoren λ,..., λ r müssen so gewählt werden, dass das Extremum x U nach S hineingezwungen wird. Was sind jetzt die Gleichungen durch die wir x und λ,..., λ r berechnen können? Zunächst muss x nach Satz 9 ein kritischer Punkt der ergänzten Funktion Λ sein, und dies ergibt die folgenden n Gleichungen Λ (x ) = (x ) + λ g (x ) + + λ r g r (x )! = 28-3

4 für i =,..., n. Außerdem muss x S sein, und nach Definition von S gibt dies weitere r Gleichungen g i (x ) = c i für i =,..., r. Insgesamt haben wir damit n + r Gleichungen für die n + r Unbekannten x = (x,..., x n ), λ,..., λ r. Bevor wir einen allgemeinen Satz formulieren, schauen wir uns all das in unserem Beispiel an. Es sind U = R 2, r =, g (x, y) = x 2 + y 2 und c =, da M durch die eine Gleichung x 2 + y 2 = gegeben ist. Die Gleichungen für x = (x, y) und λ = λ werden also zu (2x )y + 2λx =, x 2 x + 2(y ) + 2λy =, x 2 + y 2 =. Zunächst sei x /2 also 2x. Dann wird und die zweite Gleichung wird zu also y = 2λx 2x x 2 x 2 + 2(λ + )y = x 2 x x 2 4λ(λ + ) 2x! = 2x 3 3x 2 3x + 2 4λ(λ + )x = 2x 3 3x 2 (3 + 4λ(λ + ))x + 2! =. Für die dritte Gleichung erhalten wir also x 2 + 4λ2 x 2 (2x ) 2 = 4x4 4x 3 + ( + 4λ 2 )x 2 (2x ) 2! = 4x 4 4x 3 + (4λ 2 3)x 2 + 4x =. Dies Gleichungen können wir zunächst nach λ auflösen } (4λ 2 3)x 2 = 4x 4 + 4x 3 4x + (4λ 2 + 4λ + 3)x 2 = 2x 4 3x 3 = (4λ + 6)x 2 = 6x 4 7x 3 + 6x + 2x also ist x und λ = 3 2 x2 7 4 x x 4x. 2 Damit wird mit einer kleinen Rechnung 4λ 2 3 = 9x 4 2x x2 + 39x x + 2 x 2 3 x 3 + 4x 4. Setzen wir dies in die dritte Gleichung ein, so wird diese nach einer kleinen Umformung zu 36x 8 84x 7 7x 6 + 4x 5 72x 4 42x x 2 2x + =. 28-4

5 Zwei Nullstellen hiervon sind x = und x = /2 und mit Polynomdivision rechnen wir 36x 8 84x 7 7x 6 + 4x 5 72x 4 42x x 2 2x + = (x + )(2x ) 2 (9x 5 2x 4 + 5x 3 + 7x 2 9x + ). Dabei war die Nullstelle x = /2 ein Sonderfall, den wir noch untersuchen müssen. Das verbleibende Polynom fünften läßt sich nicht weiter gut aufspalten. Da der Punkt x = (x, y) auf dem Einheitskreis liegen soll, interessieren wir uns nur für x und auf diesem Intervall hat das verbleibende Polynom fünften Grades den Graphen x Numerisch finden wir dann neben x = drei weitere Nullstellen und erhalten die folgende Tabelle x λ y f(x, y) Kommen wir nun zu x = /2. Unsere drei Gleichungen sind dann λ =, 2(λ + )y 9 4 =, y2 = 3 4, 28-5

6 dieser Fall führt also zu keinen Lösungen. Damit haben wir eindeutige Minima und Maxima min = und max = Man kann natürlich einwenden das diese Rechnung im Vergleich zum Vorgehen über die trigonometrische Funktion ψ(t) keine besonderen Vorteile bietet, und in diesem konkreten Beispiel ist das durchaus wahr. Der Vorteil der Rechnung über die Lagrange Multiplikatoren ist, dass man keine Parametrisierung bestimmen muss, und sobald die betrachteten Mengen nur ein wenig komplizierter werden, ist dies ein enormer Gewinn. Wir werden gleich ein solches Beispiel sehen. Wir hatten bereits bemerkt, dass kritische Punkte keine lokalen Extrema sein müssen, und entsprechend müssen auch die über die Multiplikatorenmethode gefundenen Punkte keine lokalen Extrema auf S sein. Außerdem sagt unsere Herleitung der Ergänzungsmethode auch nur, dass ein Punkt x S ein Maximum beziehungsweise Minimum, von f auf S ist wenn x ein Maximum beziehungsweise Minimum von f + λ auf U ist, umgekehrt muss ein Maximum von f auf S aber keines von f + λ auf U sein. Es wäre also denkbar das die Rechnung über Lagrange Multiplikatoren ein Maximum gar nicht findet. Der folgende Satz sagt das zumindest letzteres normalerweise kein Problem ist. Satz 9. (Lagrange Multiplikatoren) Seien U R n, g,..., g r : U R stetig differenzierbar, c,..., c r R und setze S := {x U g (x) = c,..., g r (x) = c r } U. Weiter sei f : U R stetig differenzierbar. Sei x S ein lokales Extremum von f auf S, d.h. es existiert ein ɛ > mit f(x) f(y) für alle y S B ɛ (x) oder f(x) f(y) für alle y S B ɛ (x) und die Gradienten grad g i (x) ( i r) seien in x linear unabhängig. Dann existieren λ,..., λ r R mit für i =,..., r. (x) + r j= λ j g j (x) = Dies Satz wollen wir hier nicht beweisen. Auf der Basis des Satzes erhalten wir das folgende Rechenverfahren für Maxima und Minima auf einer durch Gleichungen gegebenen Menge. Gegeben: Eine offene Menge U R n, eine stetig differenzierbare Funktion f : U R, stetig differenzierbare Funktionen g,..., g r : U R und Konstanten c,..., c r R. Gesucht: Ein Maximum, beziehungsweise Minimum, von f auf der Menge S := {x U g (x) = c,..., g r (x) = c r } U, wobei vorausgesetzt sei das ein solches existiert. Dies können wir zum Beispiel garantieren wenn S kompakt ist. Verfahren: Die Rechnung läuft in den folgenden Schritten ab. 28-6

7 . Bestimme alle Lösungen (x, λ,..., λ r ) (x U) des Gleichungssystems { (x ) + r j= λ j g j (x ) =, i n, g i (x ) = c i, i r. 2. Bestimme für jedes in Schritt () gefundene x den Funktionswert f(x ). 3. Bestimme alle x S für die die Vektoren grad g (x ),..., grad g r (x ) nicht linear unabhängig sind. Normalerweise gibt es keine solchen x. 4. Bestimme für jedes in Schritt (3) gefundene x den Funktionswert f(x ). 5. Vergleiche die Werte aus (2) und (4) und suche den größten, beziehungsweise kleinsten, unter ihnen heraus. Wir wolle ein weiteres Beispiel rechnen. Wir betrachten die Funktion f : R 3 R; (x, y, z) x y z und wollen Maxima und Minima von f auf der Menge S := {(x, y, z) R 3 x 2 + 2y 2 =, 3x 4z = } berechnen. Die Menge S ist der Schnitt eines Zylinders mit einer dazu nicht parallelen Ebene, also eine schief im Raum liegende Ellipse, und damit sicher kompakt. In Schritt () haben wir die folgenden fünf Gleichungen zu lösen + 2λx + 3µ =, + 4λy =, 4µ =, x 2 + 2y 2 =, 3x 4z =. Wir erhalten µ = /4. Wegen 4λy = ist λ, y und λ = /(4y). Damit wird die erste Gleichung zu 4 + x 2y = = x = 2 y. Weiter folgen z = 3 4 x = 3 8 y und 4 y2 + 2y 2 = 9 4 y2! = = y = ± 2 3. Damit sind auch x = 3 und z = 4. Für x = (x, y, z) gibt es damit zwei Möglichkeiten ( x = 3, 2 3, ) mit f(x ) = 3 ( 4 4, x = 3, 2 ) 3, 4 mit f(x ) =

8 Wegen grad g (x, y, z) = 2x 4y, grad g 2 (x, y, z) = sind die beiden Gradienten nur im Punkt (,, ) / S linear abhängig. Damit ist min x S f(x) = 3 4 und max x S f(x) = Ableitungen höherer Ordnung. Partielle Ableitungen beliebiger Ordnung Schon in hatten wir auch partielle Ableitungen höherer Ordnung eingeführt. Seien U R n eine offene Menge und f : U R m eine Funktion. Sind dann i,..., i r n beliebige Indizes, so definieren wir r f := r (... r ( Zum Beispiel ist für eine Funktion in zwei Variablen 3 f x y x = ( ( )). x y x r )). Für eine allgemeine Funktion muss die obige partielle Ableitung natürlich überhaupt nicht existieren. Formal definieren wir wie folgt: Definition.: Seien U R n eine offene Menge und f : U R m eine Funktion. Sind r 2 und i,..., i r n so existiert die partielle Ableitung in x U, wenn die partielle Ableitung r f r r (x) r f r auf einer offenen Menge V mit x V U existiert und als Funktion auf V in x nach x r partiell differenzierbar ist. In diesem Fall setzen wir r f (x) := ( ) r f (x). r r r r 28-8

9 Weiter sagen wir, dass r f r r auf U existiert, wenn diese partielle Ableitung für jedes x U existiert. Wir wollen einige Beispiele höherer partieller Ableitungen berechnen.. Sei f(x, y) = x 2 y + y 2 2y xy. Die partiellen Ableitungen sind x = 2xy y, y = x2 x + 2y 2, und als zweite partielle Ableitungen ergeben sich x := 2 f 2 x x = 2y, y x = 2x, x y = 2x, 2 f y = 2. 2 Einige dritte partielle Ableitungen sind dann 3 f y x = 2, 3 f 2 x y x = 2, 3 f y = Sei f(x, y, z) = x 2 + 4y 2 2xyz + sin(πz). Wir haben = 2x 2yz, = 8y 2xz, = 2xy + π cos(πz), x y z und die zweiten partiellen Ableitungen sind x = 2, 2 y x = 2z, z x = 2y, x y = 2z, 2 f y = 8, 2 z y = 2x, x z = 2y, y z = 2x, 2 f z = 2 π2 sin(πz). 3. Schließlich betrachten wir die Funktion f(x, y) = (3x + 4y)e x2 y 2. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind hier x = (3 6x2 x2 y2 8xy)e, y = (4 8y2 x2 y2 6xy)e. Für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung ergibt sich x 2 = ( 2x 8y 6x + 2x 3 + 6x 2 x2 y2 y)e = ( 8x 8y + 2x 3 + 6x 2 y)e x2 y 2, y x = ( 8x 6y + 2x2 y + 6xy 2 x2 y2 )e, x y = ( 6y 8x + 6xy 2 + 2x 2 y)e x2 y 2, y 2 = ( 6y 6x 8y + 6y 3 + 2xy 2 x2 y2 )e = ( 6x 24y + 6y 3 + 2xy 2 )e x2 y

10 In all diesen Beispielen war x j = 2 f x j, und dies ist tatsächlich der Regelfall. Es gibt aber auch Beispiele in denen dies nicht so ist, etwa die Funktion f : R 2 R gegeben durch f(x, y) = xy(x2 y 2 ) x 2 + y 2 (x, y) (, ), f(, ) := Im Graphen sind diese Funktion ganz harmlos aus, und sie ist auch stetig differenzierbar. Wegen xy(x 2 y 2 ) x y (x 2 + y 2 ) ist nämlich f(x, y) x y für alle (x, y) R 2 und insbesondere ist f eine stetige Funktion. Als partielle Ableitung ergibt sich x (x, y) = y(x2 y 2 )(x 2 + y 2 ) + 2x 2 y(x 2 + y 2 ) 2x 2 y(x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 für (x, y) (, ) und (, ) = x 28- = y(x4 y 4 ) + 4x 2 y 3 (x 2 + y 2 ) 2

11 da f(x, ) = für alle x R ist. Für alle (x, y) R 2 gilt y(x 4 y 4 ) + 4x 2 y 3 y (x 4 + y 4 + 4x 2 y 2 ) 2 y (x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 ) = 2 y (x 2 + y 2 ) 2, also (x, y) x 2 y. Damit ist auch die partielle Ableitung / x auf dem ganzen R 2 stetig. Für alle x, y R haben wir f(y, x) = f(x, y) und somit ist auch (x, y) = y x (y, x) = x(x4 y 4 ) 4x 3 y 2, (x 2 + y 2 ) 2 auf R 2 stetig, wobei der obige Term für (x, y) = (, ) als interpretiert wird. Insbesondere ist die Funktion f : R 2 R nach 9.Satz 5 stetig differenzierbar. Für jedes x R gelten nun und damit haben wir x (, x) = x und y (, ) = und 2 y x (x, ) = (, x) = x, x f (, ) =. x y Es ist also keinesfalls selbstverständlich das sich bei höheren partiellen Ableitungen die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, selbst bei vergleichsweise harmlos aussehenden Funktionen. Für normale durch Formeln gegebene Funktionen tritt dieses Problem aber nicht auf. 28-