Fourier-Reihen: Konvergenzsatz von Fejér & Weierstraßscher Approximationssatz

Transkript

1 Seminar Analysis III Universität Dortmund / Fachbereich Mathematik Fourier-Reihen: Konvergenzsatz von Fejér & Weierstraßscher Approximationssatz Seminar vom.4.3 von Christian Gervens Christian Gervens: christiangervens@gmail.com

2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Einleitung 3. Deutsch Englisch Motivation 4 3 Fourier-Reihen 5 3. Feststellung Definition (Fourier-Reihe) Beispiel Satz Einschub: Cesàro-Konvergenz Satz Definition Theorem von Fejér Einschub Folgerung Beispiel Satz Weierstraßscher Approximationssatz 7 4. Approximationssatz von Weierstraß Bemerkung Literaturverzeichnis

3 EINLEITUNG 3 Einleitung. Deutsch In diesem Seminar geht es um die Einführung der Fourier-Reihen. Fourier-Reihen stellen möglichst allgemeine -perodische Funktionen als Überlagerung von harmonsichen Schwingungen dar. Wenn man schaut, ob zwischen der Fourier-Reihe einer Funktion und der Funktion an sich gleichheit herrscht, stößt man auf ein Konvergenzproblem. Dieses Problem wird allgemein untersucht und im Theorem von Fejér gelöst. Zu diesem Theorem gibt es drei Beispiele. Durch das Theorem von Fejér lässt sich ein weiterer, sehr wichtiger Satz der Analysis beweisen, den Weierstraßschen Approximationssatz. Dieser Satz wird erklärt und bewiesen.. Englisch This seminar deals with the introduction of the Fourier series. Fourier series represents general -cyclic functions as a superposition of harmonic oscillations. To show, that the Fourier series of a function is equal to its function you have to solve a convergence problem. This problem is widely studied and solved in the theorem of Fejér. To show how this theorem of Fejér works there are three examples given. With the theorem of Fejér another very important theorem of analysis can be proved: the Weierstrass approximation theorem. This theorem is explained and proved.

4 MOTIVATION 4 Motivation Um Schwingungsphänomene mathematisch zu beschreiben werden periodische Funktionen verwendet. Für die Periode hat man die Grundschwingungen sin(x) und cos(x). Für ein k liefert das die Oberschwingungen sin(kx) und cos(kx). Abbildung : sin x, sin x (gepunket), sin 3x Nun wird versucht, möglichst allgemeine -periodische Funktionen als Überlagerung dieser harmonischen Schwingungen zu schreiben, also als F ourier Reihen a + (a k coskx + b k sinkx) mit a k, b k C, x R (.) k= Mithilfe der Eulerschen Formel e iϕ = cos(ϕ) + isin(ϕ) kann man auch Reihen der Form k= c k e ikx mit c k C, x R (.) betrachten, deren Konvergenz über die Partialsummen (s n := n k= n c ke ikx ) definiert ist. Zwischen den einzelnen Koeffizienten herrscht folgender Zusammenhang: (a k ib k ), k > c k = a, k =, (.3) (a k + ib k ), k < { a k = (c k + c k ), k b k = i(c k c k ) k. (.4)

5 3 FOURIER-REIHEN 5 3 Fourier-Reihen Bevor die Fourier-Reihe definiert wird, betrachten wir eine kleine Feststellung: 3. Feststellung Für m, n Z gilt: Beweis Es gilt: { π e inx e imx, n = m dx = δ nm :=, n m (3.) π e inx e imx dx = e i(n m)x dx. (3.) Für n = m sieht man sofort, dass dieses Integral = ist. Wenn jedoch n m ist, so erhält man e i(n m)x i(n m)x π =, da e i(n m)x ja -periodisch ist. Nun sei die Reihe k Z c ke ikx auf R gleichmäßig konvergent, z.b. gelte k= c k <. Durch f(x) := k= c ke ikx wird dann eine stetige, -periodische Funktion f C (R, C) definiert. Nun lassen sich die Koeffizienten c k duch die Feststellung (3.) und der Tatsache, dass f(x)dx = lim fn (x)dx für gleichmäßig konvergente Folgen gilt (5, []) aus der Funktion n f zurückgewinnen. Denn es gilt: π f(x)e imx dx (.) = k= π c k e ikx e imx dx (3.) = k= c k δ km = c m (3.3) Da man also die Koeffizienten einer vorgegebenen Funktion f mithilfe von (3.) zurückgewinnen kann, liegt der Versuch nahe, die Funkton f wie folgt in eine Fourier-Reihe zu entwickeln: 3. Definition (Fourier-Reihe) Sei f R[, π] eine Regelfunktion. Dann ist f(k) := der k-te Fourier-Koeffizient von f, und f(x)e ikx dx, k Z (3.4) f(x) k Z f(k)e ikx (3.5) sei die zu f assoziierte Fourier-Reihe.

6 3 FOURIER-REIHEN 6 Wichtig hierbei zu bemerken ist, dass das Symbol in (3.5) im Allgemeinen noch keinerlei Konvergenz der Reihe behauptet. Um diese Tatsache zu verdeutlichen folgt ein Beispiel: 3.3 Beispiel a) Wenn man eine gerade bzw. ungerade Funktion f R[, π] betrachtet, so lohnt es sich die zugehörige Fourier-Reihe in der Form (.) zu betrachten. Denn für eine gerade Funktion verschwindet der Sinus-Teil der Reihe, sodass der Koeffizient b k verschwindet. Bei einer ungerade Funktion verschwindet mit der gleichen Begründung der Koeffizeint a k. Nach (.4) gilt mit c k = f(k) aus (3.4): Ebenso gilt: a k = = = = π f(x)e ikx dx + f(x)e ikx dx (3.6) f(x) (e ikx + e ikx )dx (3.7) f(x) e ikx + e ikx dx (3.8) f(x) coskx dx (3.9) [ b k = i [ = i [ = i [ i = i π = π f(x)e ikx dx ] f(x) (e ikx e ikx )dx ] f(x) i e ikx e ikx dx i ] f(x) sinkx dx ] f(x)e ikx dx (3.) (3.) (3.) (3.3) f(x) sinkx dx (3.4) b), < x < Wir definieren uns eine Funktion h(x) mit h(x) :=, x =, ±π. Diese Funktion, < x < π ist offensichtlich ungerade. Da h(x) sowie sin(x) ungerade, genügt es für b k folgendes zu Betrachten:

7 3 FOURIER-REIHEN 7 b k = sin(kx) dx π = [ π ] k cos(kx) π = ( π k cos(π k) + k ) cos() Somit ist b k = {, k gerade 4 πk. Setzt man nun in (.) die Werte ein, so erhält man, k ungerade h(x) 4 π k= sin((k )x) k (3.5) Es ist offensichtlich, dass diese Reihe an den Sprungstellen, ±π von h gegen den Mittelwert konvergiert. Für x (, π)\{} ergibt sich die Konvergenz der Reihe aus dem Dirichletschen Konvergenzkriterium (kann in Aufgabe 38. nachgelesen werden [5]). Jedoch ist nicht unmittelbar klar, ob in (3.5) statt sogar = gilt. Dieses Konvergenzproblem wird nun allgemein untersucht. 3.4 Satz Es sei f R[, π]. Für die Partialsummen s n (f; x) := n k= n f(k)e ikx, x R (3.6) der Fourier - Reihe gilt die Darstellung s n (f; x) := D n (x t)f(t)dt, x R (3.7) mit den geraden, stetigen und periodischen Dirichlet-Kernen D n (s) = sin((n + ) s ) sin s, s R, (3.8) mit D n (kπ) = n +. (3.9)

8 3 FOURIER-REIHEN 8 Beweis: Nach (3.6) ist, wenn man für f(k) die Definition 3. einsetzt: s n (f; x) = n k= n = = π f(t)e ikt dt e ikx n f(t) k= n e ik(x t) dt D n (x t)f(t)dt wobei D n (s) = n k= n = + e iks n cosks k= (5[4]) = sin((n + ) s ) sin s mit k = (x t) das gewünschte Ergebnis liefert. Abbildung : Im linken Diagramm sind die Dirichlet-Kerne D (gepunktet) und D 7 abgebildet. Im rechten Diagramm sieht man die Funktion h aus Beispiel 3.3 zusammen mit s (h) und s 7 (h) Um nun das bereits erwähnte Konvergenzproblem zu lösen, wird auf den folgenden Seiten gezeigt, dass die Fourier-Reihe einer Funktion f R[, π] punktweise Cesàro-konvergent ist. Hierzu erst mal ein Einschub:

9 3 FOURIER-REIHEN Einschub: Cesàro-Konvergenz Eine Reihe k a k heißt Cesàro-konvergent, wenn die Folge σ n := n + der arithmetischen Mittel der Partialsummen s n konvergiert. n s j (3.) Um also nun die punktweise Cesàro-Konvergenz der Fourier-Reihe zu zeigen, definieren wir zunächst die Fejér-Kerne F n C (R) als arithmetische Mittel j= F n (s) := n D j (s), s R, (3.) n j= der Dirichlet-Kerne. Für die arithmetischen Mittel σ n (f; x) := n s j (f; x) n der Partialsummen s n (f, ; x) der Fourier-Reihe von f R[, π] gild dann: σ n (f; x) = j= F n (x t)f(t) dt, x R. (3.) Abbildung 3: Im linken Diagramm sind die Fejér-Kerne F 3 (gepunktet) und F 8 zu sehen. Im rechten Diagramm ist die Funktion h aus Beispiel 3.3 b) zusammen mit σ 3 (h) und σ 8 (h) abgebildet. 3.5 Satz a) Mit C (R) als die Menge aller komplex integrierbarer Funktionen auf dem Intervall gilt für die Fejér-Kerne F n C (R): F n (s) = ( sin ns ) n sin s, s R (F n (kπ) = n). (3.3)

10 3 FOURIER-REIHEN b) Es ist F n gerade und F n ; weiter gilt δ > ɛ > n N n n : F n (s) ds =, (3.4) F n (s) ds ɛ. (3.5) δ s π Beweis a) Setzt man (3.3) mit der Definition der Fejér-Kerne (3.) gleich, so erhält man: Dies zeigt man wie folgt: sin ( s sin ( s ) n j= n n j= ) n j= D j (s)! = n ( sin ns ) sin s ( D j (s) =! ns ) sin ( D j (s) (3.8) s ) n = sin sin((j + ) s) sin s j= n ( s = sin sin((j + ) ) s ) j= n ( cos( s = sj + s) cos( s + sj + s) ) j= = cos ns [mit cos(a) = cos (a) sin (a)] = sin ns b) Setzt man in (3.7) f = und setzt diese Gleichung dann mit der Definiton für die Partialsummen der Fourierreihe (3.6) gleich [wieder mit f = ], so ergibt sich die Gleichung (3.4). Desweiteren gibt es ein η > mit sin s η > für δ s π. Hieraus ergibt sich folgende Ungleichung: F n (s) = n ( sin ns ) sin s n sin ns η nη ɛ für n n

11 3 FOURIER-REIHEN 3.6 Definition a) Für f R[, π] definiert man f als -periodische Fortsetzung von f (,π] auf R. b) Für f R[, π] definiert man f : R C durch f (x) := ( f(x + ) + f(x ) ) In stetikgeitspunkten von f gilt natürlich f (x) = f(x) Nun folgt das Hauptergebniss dieses Abschnittes: 3.7 Theorem von Fejér a) Für f R[, π] gilt σ n (f; x) f (x) für alle x R. b) Für f C (R) gilt σ n (f; x) f(x) gleichmäßig auf R., x R (3.6) Beweis a) Es sei x R fest. Da die Funktion t F n (s t) f(t) die Periode hat, folgt aus (3.) mit der Substitution s = x t auch: σ n (f; x) = = = x x x+π Da F n gerade folgt aus (3.4) auch π F n(s) ds = Nun: f(x ) F n (t) f(x t) dt = = F n (x t)f(t) dt (3.7) F n (s) f(x s) ds (3.8) F n (t) f(x t) dt (3.9) und daher ist: F n (t) f(x t) F n (t) f(x ) dt (3.3) ( F n (t) f(x ) f(x ) t) dt (3.3)

12 3 FOURIER-REIHEN f (x) σ n (f; x) (3.6) = ( f(x + ) + f(x )) F n (s t)f(t) dt (3.3) (3.9) = ( f(x + ) + f(x )) F n (t) f(x t) dt (3.33) = f(x + )... dt + f(x )... dt (3.34) Dreiecksungleichung f(x + )... dt + f(x )... dt (3.35) Die Dreiecksungleichung betrachten wir nun getrennt, wobei man dann n N so wählt, wie in (3.5), also: f(x ) F n (t) f(x t) dt (3.36) ( δ ) F n (t) f(x ) f(x t) dt + F n (t) f(x ) f(x t) dt (3.37) δ ɛ f F n (t) dt + δ F n (t) dt (3.38) ( + f )ɛ für n n (3.39) Genauso folgt auch f(x + ) F n (t) f(x t) dt ( + f )ɛ (3.4) Ab einem eventuell größeren n N, nach (3.6) und (3.9) insgesamt also: f (x) σ n (f; x) ( + 4 f )ɛ für n n (3.4) b) Wenn f C (R), so ist f = f = f gleichmäßig stetig auf R. Im Beweis von a) kann daher δ > und somit auch n unabhängig von x R gewählt weden.

13 3 FOURIER-REIHEN 3 Für den folgenden Satz benötigt man einen kleinen Einschub: 3.7. Einschub Für eine Folge (s n ) n N betrachtet man die Folge der arithmetischen Mittel σ n, wie sie schon in bei der Cesàro-Konvergenz in 3. definiert wurden. Wenn lim s n = l so ist auch lim σ n = l. Der Beweis von diesem Einschub kann nachgelesen werden (5). n n Aus dem Theorem von Fejér 3.7 und dem eben erwähnten Einschub 3.7. folgt unmittelbar: 3.8 Folgerung Ist die Fourier-Reihe von f R[, π] an einer Stelle x R konvergent, so gilt: k= f(k)e ikx = f (x) (3.4) 3.9 Beispiel a) Wegen h = h gilt in Formel (3.5) also tatsächlich =, und aus der Definition von h folgt: sinx + sin3x 3 + sin5x 5 π, nπ < x < (n + )π =, x πz, (n )π < x < nπ b) Es wird { die Fourier-Entwicklung der Funktion f R loc (R) berechnet, die durch π x, < x < f(x) := und der -periodischen Fortsetzung definiert sei., x =, π 4 (3.43) Abbildung 4: Zu sehen ist die Funktion f(x) aus Beispiel 3.9 b) Da f ungerade ist, gilt a k =, und man hat

14 3 FOURIER-REIHEN 4 b k = π = = ( π x sinkx dx x coskx k xsinkx dx ) = k cosk = k coskx k Nach dem Dirichletschen Konvergenzkriterium [vgl. Seminar-Vortrag vom 5.4.3] ist die Reihe auf R punktweise konvergent und wegen f = f gilt f(x) = sinkx k= nach k Folgerung 3.8. Insbesondere hat man π x = k= sinkx k dx, < x < (3.44) c) Für z C\Z wird die Fourier-Entwicklung der geraden Funktion c z C[, π], c z (x) := coszx berechnet. Man hat b k = und Wegen a k = π coszxcoskx dx = (cos(z + k)x + cos(z k)x) dx π = ( ) sin(z + k)x sin(z k)x π + π z + k z k = ((z k)sin(z + k)π + (z + k)sin(z k)π) π(z k ) ( = ( ) k (z k)sinzπ + ( ) k (z + k)sinzπ ) π(z k ) = z π ( ) k z k sinzπ a k coskx k= a k c k= k= k (3.45) ist die Fourier-Reihe von c z also normal konvergent auf R und aus Satz 3.8 folgt:

15 3 FOURIER-REIHEN 5 ( coszx = z ) π sinzπ z + ( ) k coskx z k k=, x [, π]. (3.46) Bisher musste immer überprüft werden, ob die Fourier-Reihe einer Funktion f auch konvergiert. Im nächsten Satz sehen wir, dass es ausreicht, wenn die Funtion f C (R) C (R). 3. Satz a) Für f C (R) C (R) gilt b) Für m N und f C (R) C m (R) gilt: f(k) = ik f (k) für k Z \ {}. (3.47) f(k) f (m) k m für k Z \ {}; (3.48) c) für m ist die Fourier-Reihe von f normal konvergent (gegen f). Eine Reihe f k heißt normal konvergent, fall die Reihe f reeller Zahlen konvergent ist. Beweis a) partielle Integration von f (3.4), die Randterme heben sich wegen der Periodizität weg: b) f(k) = [ f(x) = ik e ikx ] π [ f(π) ik e ikπ f() ik eikπ = [ f(π)e ikπ f(π)e ikπ] + ikπ ik f (k) = ikπ = ik f (k) f(π) (e ikπ e ikπ ) + }{{} ik f (k) = ik e iks f (x) dx ] + ( ik ) f (x)e ikπ dx } {{ } = f (k)

16 3 FOURIER-REIHEN 6 Mit f sind auch alle Ableitungen f (j), j =,..., m -periodisch; aus a) folgt daher induktiv f(k) = f (m) (k) für k Z \ {}: (ik) m I.A.: f(k) = f ik (k) I.V.: f(k) = f (n) (k) (ik) n I.S.: n n + f(k) I.V. = (ik) n f (n) (k) = (ik) n ik f n+ (k) = einsetzen f(k) = f (m) (k) (ik) m = (ik) m f (m) (k) = f m (k) ik m = k m k m = k m f (m) (x)e ikx dx f (m) (x) e ikx dx f (m) (x) dx f (m) k m sup dx π = k m f (m) sup dx = k m f (m) sup = k m f (m) sup (ik) n+ f n+ (k).

17 4 WEIERSTRASSSCHER APPROXIMATIONSSATZ 7 c) f(k)e ikx = f(k) k Z k Z f (m) + k f() m k Z\{} = f (m) + k f() m k Z\{} = f() + f (m) k= k m k Z f(k)e ikx < für m f(k)e ikx sup = sup x R f(k)e ikx = sup x R ( f(k) e ) ikx = f(k) sup x R }{{} e ikx = f(k) = 4 Weierstraßscher Approximationssatz Durch die Anwendung von Fourier-Reihen und dem Satz von Fejér lässt sich ein weiterer, sehr wichtiger Satz für die Analysis beweisen. Der Weierstraßscher Approximationssatz liefert eine Aussage über die gleichmäßige Approximation stetiger Funktionen durch Polynome. 4. Approximationssatz von Weierstraß Es seien J R ein kompaktes Intervall, f C(J, C) und ɛ >. Dann gibt es ein Polynom P C[x] mit f P J = sup f(x) P (x) ɛ (4.) x J Beweis ) Durch lineare Substitution x = αt + β kann J so gestaucht und verschoben werden, dass J (, π)..) Weiter kann f zu einer stetigen, periodischen Funktion in C (R) fortgesetzt werden. Damit gibt es nach dem Satz von Fejér 3.7 ein m N und Zahlen (c k ) m k m C mit

18 4 WEIERSTRASSSCHER APPROXIMATIONSSATZ 8 sup f(x) x J m k= m c k e ikx ɛ. (4.) In der Tat gilt σ n (f; x) f(x) gleichmäßig aufgrund des Satzes von Fejér, d.h. f(x) σ n (f; x) gleichmäßig. σ n (f; x) = n s j (f; x) = n j f(k)e ikx n n j= j= k= j = ( f()e i x + n f( )e i ( ) x + f()e ) i x +... Damit ist σ n (f; x) als m k= m c ke ikx darstellbar und nach Fejér existiert ein m N mit f(x) m k= m c ke ikx ɛ. sup x J 3) Weiter ist e ikx = (ikx) l eine auf J gleichmäßig konvergente Entwicklung: z.z.: N (ikx) l eikx (N ) l! Beweis: sup x J eikx sup x J l= l= N (ikx) l l! = sup (ikx) l x J l! l= l=n+ ikx l sup x J l! l=n+ (k x ) l = sup x J l! l=n+ (kπ) l l! l=n+ Daher gibt es ein großes n k N für das gilt: l! da (kπ) l N l! l= konvergent ist

19 4 WEIERSTRASSSCHER APPROXIMATIONSSATZ 9 4) n k sup c k x J eikx l= }{{} (n k ) (ikx) l l! ɛ (m + ). (4.3) Mit P (x) := m k= m c nk (ikx) l k l= C[x] folgt dann die Behauptung: l! sup x J m f(x) P (x) = sup x J f(x) n k (ikx) l c k l! k= m l= m sup x J f(x) c k e ikx + sup x J k= m m sup x J f(x) c k e ikx +sup x J k= m }{{} ɛ + ɛ + ɛ + ɛ + ɛ ɛ ɛ m sup x J k= m m k= m m k= m m m n k c k e ikx (ikx) l c k l! k= m l= ) m n k c k (e ikx (ikx) l l! k= m k= m ( ) c n k k e ikx (ikx) l l! l= n k (ikx) l sup c k x J eikx l! l= }{{} ɛ (m + ) m m + k= m }{{} = ɛ (m+) l= 4. Bemerkung Für f C(J, R) kann auch P R[x] gewählt werden. Notfalls ersetzt man einfach P durch ReP. Dies ist möglich, da f reelwertig ist und damit Ref f und Imf ; Da ReP ein Polynom ist und ReP f, ist ReP ein approximierendes Polynom.

20 5 LITERATURVERZEICHNIS 5 Literaturverzeichnis [] Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I,. Auflage [] Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I,. Auflage; Seite 37 Theorem 8. [3] Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I,. Auflage; Seite 35 Aufgabe 38. [4] Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I,. Auflage; Seite 95 Gleichung (4) [5] Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I,. Auflage; Seite 48 Aufgabe 5.