HM II Tutorium 7. Lucas Kunz. 5. Juni 2018

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1 HM II Tutorium 7 Lucas Kunz 5. Juni 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie Orthogonalität und Orthonormalbasen Orthogonalraum Projektoren Orthogonalprojektor Gram-Schmidt-Verfahren Elementargeometrische Erklärung Alternative Formulierung Eigenwertgleichung Charakteristisches Polynom und Vielfachheiten Diagonalisierbarkeit Theorie über das Tutorium hinaus Konjugierte, Transponierte und Adjungierte Matritzen Orthogonale und Unitäre Matrizen Eigenwerte von Diagonal- und Dreiecksmatritzen Eigenwerte von linearen Abbildungen Ähnlichkeit von Matrizen Symmetrische und Hermitesche Matrizen Spektralsatz für hermitesche Matrizen Normale Matritzen Definitheit Alternative Bestimmung Alternative Bestimmung Alternative Bestimmung Aufgaben Aufgabe 39 b)

2 1 Theorie 1.1 Orthogonalität und Orthonormalbasen Sei V ein Skalarproduktraum, dann sind die Vektoren v 1, v 2,..., v n orthogonal, falls (v i v k ) = 0, i k. Solche orthogonalen Vektoren sind stets linear unabhängig voneinander. Beweis. Seien v 1 und v 2 orthogonal und nicht der Nullvektor, also (v 1 v 2 ) = (v 2 v 1 ) = 0. Um also aus einer Linearkombination der beiden Vektoren den Nullvektor zu erhalten, müssen die Koeffizienten wie folgt gewählt werden: a 1 v 1 + a 2 v 2 = a 1 (v 1 v 1 ) + a 2 (v 1 v 2 ) = a 1 (v 1 v 1 ) = 0 a 1 v 1 + a 2 v 2 = a 1 (v 2 v 1 ) + a 2 (v 2 v 2 ) = a 2 (v 2 v 2 ) = 0. Da (v v) = 0 v = 0 gilt sind also alle beiden Koeffizienten als 0 zu wählen, sofern nicht einer der Vektoren der Nullvektor ist. Der Nullvektor (als einzige Ausnahme) ist nach der Definition orthogonal zu allen anderen Vektoren, jedoch auch linear abhängig mit allen. Eine Menge aus paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. Haben diese Vektoren weiterhin alle die Norm 1, so bezeichnet man es als Orthonormalsystem. Ein solches System, dessen lineare Hülle der ganze Vektorraum ist, bezeichnet man als Orthonormalbasis. Anhand der Definition einer Basis wissen wir, dass wir jedes Element eines n-dimensionalen Vektorraumes darstellen können als n v = α i w i wenn {w 1, w 2,..., w n } eine Basis von V ist. Für den Fall, dass dies eine Orthonormalbasis darstellt, lässt sich für die Koordinaten bezüglich der Basis α i außerdem sagen, dass α i = (v w i ). Entsprechend gilt für jedes Element v V n v = (v w i ) w i. (1.1) 1.2 Orthogonalraum Der Orthogonalraum zu einer Menge an Vektoren ist die Menge der Vektoren aus dem selben Vektorraum, die allesamt orthogonal zu allen Vektoren der ersten Menge stehen. Ist z. B. der gewählte Vektorraum der R 3 und die betrachtete Menge eine Ebene darin, so ist deren Orthogonalraum die Menge ihrer Normalenvektoren. Definiert ist dieser Raum für eine Teilmenge M des Vektorraums V also wie folgt: Weiterhin gilt die Gleichheit M := {v V v w w M}. (1.2) Bild(A) = Kern(A ). (1.3) Da weiterhin gilt, dass (M ) = M, folgt aus Gleichung 1.3 durch beidseitiges Bilden des Orthogonalraumes auch Bild(A) = Kern(A ). (1.4) 2

3 1.3 Projektoren Eine Lineare Abbildung auf einem Vektorraum V, für die gilt, dass P 2 (v) := P (P (v)) = P (v) v V heißt Projektor (oder idempotente Abbildung). Der einfachste solche Projektor ist die Identitätsabbildung I, die alle Elemente des Vektorraums auf sich selbst abbildet. Ist P ein Projektor, so ist auch Q := I P ein Projektor und es gilt: Bild P = {v V P (v) = v} Kern P = Bild Q V = Bild P Kern P. Hierbei ist U W die sogenannte direkte Summe zweier Untervektorräume von V, die dich nur im Nullpunkt schneiden, also U W = {0}. Es gilt daher U W = {u + w u U, w W }. Klar ist weiterhin: U W U W. Gilt für zwei Untervektorräume U, W V, dass U W = {0} und ist dim U + dim W = dim V, so gilt V = U W. Die dritte der obigen Eigenschaften lässt sich also mit dem Rangsatz (Tutorium 2 Kapitel 3.2) zeigen: dim Bild P + dim Kern P = dim V. 1.4 Orthogonalprojektor Ist U ein l-dimensionaler Untervektorraum von V, l n und {u 1, u 2,..., u l } eine Orthonormalbasis von U, dann ist l u = (v u i )u i mit v V, u U der sogenannte Orthogonalprojektor von V auf U. Dieser hat die Eigenschaft, dass u der Vektor in U ist, der den geringsten Abstand zu v hat, dass also der Differenzvektor v u orthogonal auf U steht. Es gilt (v u z) = 0 z U v u U mit dem Orthogonalraum von U: U := {v V (v z) = 0 z U}. Wendet man diesen Projektor auf ein Element aus U an, so wird dieses auf sich selbst abgebildet. In besagtem Fall ist nämlich die Abbildung gleich der Darstellung des Vektors mittels der gewählten Basis, also l u = (u u i )u i. Die mehrfache Hintereinanderausführung auf ein Element in V hat also die selbe Auswirkung wie die einfache Ausführung, was genau die Definition eines Projektors ist. 3

4 1.5 Gram-Schmidt-Verfahren Dieses Verfahren ermöglicht es, aus der Kenntnis einer beliebigen Basis eines Vektorraums eine Orthonormalbasis des selben zu erstellen, die die obigen Eigenschaften aufweist. Sei hierzu V ein Skalarproduktraum und {v 1, v 2,..., v n } eine Basis dessen, dann erhält man eine Orthogonalbasis aus ebenfalls n Vektoren, indem man sagt, dass c 1 := v 1 (1.5) c n := v n n 1 (v n c i ) c i 2 c i. (1.6) In dem Fall, dass die Norm durch das Skalarprodukt induziert ist, also die Parallelogrammgleichung (siehe Tutorium 1 Gleichung 1.7) erfüllt wird, ist c i 2 = (c i c i ). Um eine Normierung dieser Basis zu erhalten wählt man weiterhin b i := c i c i. (1.7) Mit Hilfe dieses Verfahrens kann man immer eine Orthonormalbasis finden, jedoch ist dies manchmal auch einfacher durch logische Überlegungen möglich oder durch Verwendung der euklidischen Standardbasis (e x, e y, e z ; e r, e ϑ, e ϕ ;...) Elementargeometrische Erklärung Um zu Beweisen, dass das Gram-Schmidt-Verfahren funktioniert, muss man nur mit beliebigen Vektoren eine Nachrechnung anstellen und wird dabei merken, das das Skalarprodukt je zweier Elemente des entstehenden Systems verschwindet. Dies allerdings ist reine mathematische Formalität und bietet wenig Anschauung zur Bedeutung von Orthogonalität. Letztere soll im Folgenden vermittelt werden. Bereits aus der gymnasialen Oberstufe bekannt sein sollte die Formel cos α = (v 1 v 2 ) v 1 v 2. (1.8) Diese lässt sich leicht mittels Abbildung 1 (a) verdeutlichen. Wir wählen o.b.d.a. das Koordinatensystem so, dass die beiden betrachteten Vektoren in der x-y-ebene liegen und v 1 genau in x-richtung zeigt. Es gilt in diesem Fall also v 1 = Dementsprechend folgt ( v1 0 ) und v 2 = ( ) k m mit v 2 2 = k 2 + m 2. (v 1 v 2 ) = v 1 k + 0 m = v 1 k. Man sieht schließlich an einem rechtwinkligen Dreieck, dass cos α = k v 2 = 1 v 2 (v 1 v 2 ) v 1. Betrachten wir nun zwei Vektoren v 1 und v 2 wie in Abbildung 1 (b), die um einen Winkel α zueinander verdreht sind. v 2 lässt sich zerlegen in eine zu v 1 parallele Komponente 4

5 (in der Skizze grün, genannt v 3 ) und eine orthogonale (in der Skizze blau, genannt v 4 ). Letztere ergibt sich als v 4 = v 2 v 3. Nun nutzen wir Trigonometrie und formen weiter um zu cos α = v 3 v 2 v 1 v 3 = (v 1 v 2 ) v 1 v 2 Für den orthogonalen Anteil ergibt sich also v 3 = v 1 v 1 (v 1 v 2 ) = v 1 (v 1 v 2 ) v 1 v }{{} 1. 2 v 3 v 4 = v 2 v 1 (v 1 v 2 ) v 1 2, was genau der selben Rechnung wie in Gleichung 1.6 für den Fall n = 2 entspricht. Die Rechenvorschrift für das Gram-Schmidt-Verfahren basiert also nur darauf, dass man von einem Vektor alle zu anderen Vektoren parallelen Komponenten entfernt und auf diese Weise ein Orthogonalsystem erhält (welches man in den meisten Fällen anschließend normiert). v 2 y v 3. v 1 m x. α v 2 α v 1 v 4 k (a) Cosinus und Skalarprodukt. (b) Orthogonale Vektoren Abbildung 1: Skizzen zu Gram-Schmidt Alternative Formulierung Statt erst nach Erstellen eines Orthogonalsystems die Normierung durchzuführen, kann man dies auch direkt mit jedem Vektor c n machen, bevor man c n+1 errechnet. Man spart sich dadurch insbesondere etwas Schreibarbeit. Für diese Vorgehensweise lautet die Rekursionsformel b 1 := v 1 (1.9) v 1 n 1 c n := v n (v n b i ) b i ; b n = c n c n. (1.10) Die in der Summe auftretenden Vektoren (v n b i ) b i sind dabei jeweils die zu b i parallelen Bestandteile des Vektors v n, also die Projektion von v n auf b i. 5

6 1.6 Eigenwertgleichung Sei A C n n und λ C, dann heißt λ ein Eigenwert von A, wenn ein x C n \ {0} existiert, das die Gleichung Ax = λx erfüllt. In diesem Fall heißt x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert nennt sich ihr Eigenraum, E A (λ) = {x C n Ax = λx}. Der Nullvektor ist dabei Element jedes Eigenraums, gilt jedoch selbst nie als Eigenvektor. 1.7 Charakteristisches Polynom und Vielfachheiten Durch Umformen der Eigenwertgleichung erhält man Ax = λx Ax = λix (A λi)x = 0. (1.11) Entsprechend erhält man die Eigenräume durch Lösung dieses homogenen Gleichungssystems, also mittels E A (λ) = Kern (A λi). (1.12) Damit dieses System nichttriviale (von 0 verschiedene) Lösungen hat, muss die Determinante von (A λi) verschwinden. Die Eigenwerte selbst erhält man also aus p A (λ) := det(a λi) = 0. (1.13) Dies nennt man das charakteristische Polynom der Matrix A. Die Vielfachheit einer Nullstelle dieses Polynoms nennt man algebraische Vielfachheit (alg. Vfh.) des Eigenwerts. Die Summe der algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte einer Matrix aus dem C n n ist immer n. Die Dimension des zum Wert gehörigen Eigenraumes (Anzahl der notwendigen Basisvektoren) wird als geometrische Vielfachheit (geom. Vfh.) bezeichnet. Grundsätzlich gilt für jeden Eigenwert 1 geom. Vfh.(λ) alg. Vfh.(λ) n. (1.14) Eine weitere wichtige Eigenschaft von Eigenräumen ist, dass Eigenvektoren von unterschiedlichen Eigenwerten linear unabhängig sind. 1.8 Diagonalisierbarkeit Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Die Diagonalelemente letzterer Matrix entsprechen in diesem Fall den Eigenwerten der ursprünglichen Matrix. Es existiert also ein invertierbares S, sodass D = diag(λ 1,..., λ n ) := λ λ n = S 1 A S. (1.15) Ist dieses S orthogonal (S 1 = S T ) oder unitär (S 1 = S ), was bedeutet, dass die Spalten von S in R n oder C n ein Orthonormalsystem bilden, so nennt man A orthogonal bzw. unitär diagonalisierbar. Diagonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass für alle Eigenwerte von A die algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmt. Eine Matrix S mit dieser speziellen Eigenschaft erhält man, wenn man die Eigenvektoren von A als Spalten in eine Matrix schreibt. Die Eigenwerte treten dann in D in der Reihenfolge auf wie die zugehörigen Eigenvektoren in S. Diese Eigenvektoren bilden dann eine Basis des C n (weil sie ja bekanntlich linear unabhängig sind). 6

7 2 Theorie über das Tutorium hinaus 2.1 Konjugierte, Transponierte und Adjungierte Matritzen Sei A K n m eine Matrix, dann gibt es eine transponierte Matrix A T K m n, für die gilt: (A T ) ij = A ji. (2.1) Die Transponierte ist also quasi die Spiegelung der Matrix an der Hauptdiagonalen. Eine solche Transponierung ist auch mit Vektoren möglich, da diese im Grunde auch nur Matritzen mit m = 1 (Spaltenvektor) oder n = 1 (Zeilenvektor) sind. Eine weitere Umformung der Matrix A besteht in der komplexen Konjugation. Die konjugierte Matrix bezeichnet man als A. Die Matrix, die durch Hintereinanderausführung von komplexer Konjugation und Transponation entsteht, nennt man schließlich Adjungierte von A: A = (A T ) = (A) T. (2.2) Ist K = R, so ist A = A T. Sei im Folgenden V ein Skalarproduktraum, C K n m und B K m p. Für die Rechnung mit den so definierten Matritzen gelten einige Regeln: 1. (A B) = B A 2. (αa) = αa α K 3. (A + C) = A + C 4. I = I T = I 5. (A ) 1 = (A 1 ) falls A invertierbar 6. (Ax y) = (x A y) x, y V. Mit Hilfe von Transponierung und Adjungierung lässt sich auch das euklidische Skalarprodukt zweier Vektoren anders schreiben: (x y) = x T y = y T x = x y, x, y R n (x y) = x T y = x y = y x, x, y C n. 2.2 Orthogonale und Unitäre Matrizen Eine Matrix A R n n ist orthogonal, wenn A 1 = A T. In diesem Fall bilden die Spalten von A ein Orthonormalsystem im R n. Das Analogon im komplexen Fall nennt sich unitär. Eine Matrix C C n n wird so bezeichnet, falls C 1 = C. Auch in diesem Fall bilden die Spalten von C ein Orthonormalsystem, nun allerdings im C n. Unitäre Matrizen haben eine besondere Eigenschaft im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt: (Cx y) = (x C y) = (x C 1 y) (Cx Cy) = (x CC 1 y) = (x y). (2.3) Weiterhin haben Matrizen dieser Art immer eine Determinante mit Betrag 1, folgend daraus, dass det C = det C T = (det C ) bzw. im reellen Fall det A = det A T. det C 1 = 1 det C = 1 (det C ) = 1 (det C 1 ) det C 1 = det C = 1. (2.4) 7

8 Unitäre Matrizen verändern also anschaulich die Länge eines Vektors nicht, wenn man sie mit diesem multipliziert, was erklärt weshalb auch das obige Skalarprodukt sich durch sie nicht verändert. Im Spezialfall reeller orthogonaler Matrizen gelten diese Gleichungen ebenso, nur haben sämtliche Konjugationen keinerlei Wirkung. 2.3 Eigenwerte von Diagonal- und Dreiecksmatritzen Wie bereits in Tutorium 6 kurz angesprochen ist die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt ihrer Diagonalelemente. Ist also A C n n eine solche Dreiecksmatrix, dann hat auch (A λi) diese Eigenschaft und die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit die zu A gehörenden Eigenwerte sind erneut diese Diagonalelemente. Im Falle einer Diagonalmatrix, die also nur auf der Hauptdiagonalen von 0 verschiedene Elemente besitzt, sind die zugehörigen Eigenvektoren die Achseneinheitsvektoren wie e x, e y, e z. 2.4 Eigenwerte von linearen Abbildungen Wie bereits den Begriff der Determinante kann man auch Eigenwerte und -räume auf lineare Abbildungen übertragen, da sich diese durch Matrixmultiplikationen darstellen lassen. Die Eigenwertgleichung lautet in diesem Falle Φ(x) = λx. Ist eine Abbildung Φ : V W weiterhin injektiv, so existiert auch eine lineare Umkehrabbildung Φ 1 : Bild Φ V und falls U ein UVR von V ist, so ist Φ(U) ein UVR von Bild Φ mit der selben Dimension. 2.5 Ähnlichkeit von Matrizen Seien A, B C n n, dann heißen A und B ähnlich (A B), wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, sodass B = S 1 A S. Ähnliche Matrizen besitzen die selbe Determinante, das selbe charakteristische Polynom und die selben Eigenwerte mit identischen alg. und geom. Vielfachheiten. Weiterhin ist Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation (symmetrisch, transitiv, reflexiv). 2.6 Symmetrische und Hermitesche Matrizen Eine Matrix A R n n heißt symmetrisch, falls A = A T. Eine Matrix A C n n heißt hermitesch (oder selbstadjungiert), falls A = A. Matritzen dieser Art haben einige Eigenheiten: (Ax x) R x C n, alle Eigenwerte von A sind reell und die Eigenräume zu unterschiedlichen Eigenwerten stehen orthogonal aufeinander. Als Folge der dritten Eigenschaft lässt sich bei symmetrischen Matritzen im R 3 3 der letzte Eigenvektor also auch als Kreuzprodukt der beiden ersteren bestimmen. Weiterhin sind Matrizen dieser Art immer unitär diagonalisierbar, also diagonalisierbar mit einer unitären Matrix S, S 1 = S (gleichbedeutend: die Spalten von S sind orthonormal). 8

9 2.6.1 Spektralsatz für hermitesche Matrizen Ist A C n n hermitesch, so gibt es eine Orthonormalbasis des C n aus Eigenvektoren u 1,..., u n von A. Als Folge dessen (man schreibe diese Vektoren in die Spalten einer Matrix S) ist A unitär diagonalisierbar und es gilt weiterhin A m x = n λ m j (x u j ) u j x C n. (2.5) j= Normale Matritzen Eine Matrix A C n n heißt normal, wenn A A = A A ist. Jede hermitesche Matrix ist auch normal, ebenso wie grundsätzlich eine Äquivalenz zwischen Normalität und unitärer Diagonalisierbarkeit besteht. 2.7 Definitheit Sei A C n n hermitesch, dann nennt man die quadratische Form von A; diese ist immer reell. q A (x) = (Ax x) (2.6) A heißt positiv definit (pd), falls q A (x) > 0 x C n \ {0} und positiv semidefinit (psd) im Falle, dass q A (x) 0 x C n \ {0}. Entsprechend werden die Begriffe negativ definit (nd) und negativ semidefinit (nsd) verwendet, falls in der Gleichung < oder steht. Sollte q A (x) für unterschiedliche x C n sowohl positive als auch negative Werte annehmen, so ist A indefinit (id) Alternative Bestimmung 1 Ist A C n n hermitesch, dann gilt A ist pd alle Eigenwerte sind positiv, A ist nd alle Eigenwerte sind negativ, A ist id es gibt sowohl positive als auch negative Eigenwerte Alternative Bestimmung 2 Ist A R 2 2 und symmetrisch, so gilt A ist pd det(a) > 0 und spur(a) > 0, A ist nd det(a) > 0 und spur(a) < 0, A ist id det(a) < 0. Die hierbei verwendete Spur bezeichnet die Summe der Diagonalelemente, also in diesem Fall ist spur(a) = a 11 + a 22. 9

10 2.7.3 Alternative Bestimmung 3 Ist A R n n symmetrisch, dann ist A pd genau dann, wenn die Determinanten der Matrizen A m alle positiv sind. A m ist dabei die m m-matrix, die im linken oberen Eck von A steht. Falls also n = 3, dann gilt a b c ( ) A = d e f a b ; A 2 = ; A d e 1 = a. g h i Eine Matrix kann also immer nur dann positiv definit sein, wenn ihr linkes oberes Element positiv ist, was eine sehr schnelle Ausschlussmöglichkeit liefert. 3 Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 38, 39 und 40 finden sich nach Ablauf der zugehörigen Semesterwoche auf der Internetseite der Vorlesung unter kit.edu/iana1/lehre/hm2phys2018s/. Darüber hinaus sei eine Anmerkung gemacht: 3.1 Aufgabe 39 b) Wie bereits in der Aufgabenstellung bemerkt erhält man durch Anwendung des Gram- Schmidt-Verfahrens auf die Monome p m (x) = x m mehr oder weniger die sogenannten Legendre-Polynome. Selbige ergeben sich, wenn statt der Normierung b i = 1 die Bedingung b i (1) = 1 gewählt wird. Die Skalarprodukt-Relation dieser Polynome lautet dann 1 1 P n (x) P m (x) dx = 1 2n + 1 δ nm. (3.1) Die so definierten Polynome erweisen sich als nützlich bei der Lösung der Legendre- Differentialgleichung (1 x 2 )f (x) 2xf (x) + n(n + 1)f(x) = 0, n N 0, (3.2) welche in abgewandelter Form auch bei der separierten Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten auftaucht. Entsprechend finden sich die sogenannten zugeordneten Legendre-Polynome als Teil der Eigenfunktionen des Laplace-Operators (sog. Kugelflächenfunktionen) wieder und werden in den Vorlesungen Theo C, D und E häufig verwendet. Bei näherem Interesse an dieser Thematik sei auf folgende Seiten verweisen:

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