400 Schwingungen. 410 Pendel 420 Untersuchung von oszillierenden Systemen

Transkript

1 4 Schwingungen 41 Pendel 4 Untersuchung von oszillierenden Systemen

2 um was geht es? Schwingungen = Oszillationen Beschreibung von schwingenden Systemen Methoden zur Analyse, Modellierung und Simulation oszillierender Systeme

3 Oszillierende Populationen im Lotka-Volterra-Modell Zellzahl N i / 1 Zellen Zeit t / U N(t) M(t) Zeit t / U

4 411 Energiebetrachtung eines ungedämpften Federpendels

5 411 Ziele Harmonische Schwingungen energetisch beschreiben können Definitionen für Frequenz. Periode und Amplitude kennen

6 411 Theorie Auslenkung von Gleichgewichtszustand: s(t) s(t) m

7 F D D s 411 Theorie Auslenkung von Gleichgewichtszustand: s(t) Federkraft F D s(t) m

8 F D D s dw FD ds D s ds 411 Theorie Auslenkung von Gleichgewichtszustand: s(t) Federkraft F D s(t) m

9 F D D s dw FD ds D s ds 411 Theorie Auslenkung von Gleichgewichtszustand: s(t) W D s ds 1 Ds Federkraft F D s(t) m

10 F D D s dw FD ds D s ds 411 Theorie Auslenkung von Gleichgewichtszustand: s(t) W D s ds s(t) 1 Ds Federkraft F D Energieerhaltung: 1 mvˆ 1 Dsˆ m

11 411 Theorie 1 s 1 v ˆ D ˆ m Energieerhaltung: 1 mvˆ 1 Dsˆ s^ v^ s(t) v(t) Zeit t Periode T

12 411 Theorie 1 s 1 v ˆ D ˆ m Energieerhaltung: 1 mvˆ 1 Dsˆ s^ v^ s(t) v(t) Zeit t Periode T vˆ sˆ D m

13 41 Kräftebetrachtung des ungedämpften Federpendels

14 41 Ziele Herleitung der Bewegungsgleichung via Kräftebetrachtung für Pendel verstehen ungedämpftes, harmonisches Pendel mit graphischem Modelleditor modellieren und simulieren können

15 F D D s 41 Theorie Auslenkung von Gleichgewichtszustand: s(t) Federkraft F D s(t) m

16 F D D s D ma FD D s a s m 41 Theorie Auslenkung von Gleichgewichtszustand: s(t) Federkraft F D s(t) m

17 F D D s D ma FD D s a s m 41 Theorie Auslenkung von Gleichgewichtszustand: s(t) Federkraft F D s(t) s d s D m m

18 d s s 41 Theorie Analytische Lösung für die Bewegungsgleichung? Ansatz:

19 d s s 41 Theorie Analytische Lösung für die Bewegungsgleichung? Ansatz: s( t) sˆ sin( t) s( t) sˆ cos( t)

20 d s s v( t) s ( t) sˆ cos( t) v cos( t) 41 Theorie Analytische Lösung für die Bewegungsgleichung? Ansatz: s( t) sˆ sin( t) s( t) sˆ cos( t)

21 d s s v( t) s ( t) sˆ cos( t) v cos( t) 41 Theorie Analytische Lösung für die Bewegungsgleichung? Ansatz: s( t) sˆ sin( t) s( t) sˆ cos( t) vˆsˆ D/ msˆ

22 d s s 41 Theorie Numerisches Lösen der Bewegungsgleichung (mit graphischem Modelleditor?

23 d s s 41 Theorie Numerisches Lösen der Bewegungsgleichung (mit graphischem Modelleditor ds v Kernidee: Zerlegung in Gleichungen.Ordnung dv D m s

24 d s s 41 Theorie Recap: Definitionen Frequenz und Periode T s^ v^ 1 s 1 v ˆ D ˆ m s(t) v(t) Zeit t T 1 Periode T

25 413 gedämpftes Federpendel

26 413 Ziele Prinzip der Modellierung (aus Abschnitt 41) auf gedämpfte Systeme erweitern können Begriffe Resonanz und lineare Dämpfung erklären können Mit Computersimulationen Systemeigenschaften / Verhalten charakterisieren können

27 413 Theorie d s s + Reibungskraft F R

28 413 Theorie d s s + Reibungskraft F R d s ds s

29 413 Theorie d s ds s + Reibungskraft F R Lösung? s(t) / m Zeit t / s

30 413 Theorie d s ds s + Reibungskraft F R Lösung: Ansatz s(t) / m Zeit t / s

31 413 Theorie d s ds s + Reibungskraft F R Lösung: Ansatz t s( t) se ˆ sin( t)

32 413 Theorie d s ds s + Reibungskraft F R Lösung: Ansatz t s( t) se ˆ sin( t) ds sˆ e t cos( t) e t sin( t)

33 413 Theorie + Reibungskraft F R Lösung: Ansatz s ds s d ) sin( ˆ ) ( t se t s t ) cos( ) sin( ) ( ˆ ) sin( ) cos( ˆ t e t e s s d t e t e s ds t t t t

34 413 Theorie d s ds s Ansatz einsetzen s e t e t t t ˆ ( ) sin( ) cos( ) t t sˆ e cos( t) e sin( t) t ˆ s e sin( t)

35 413 Theorie Ansatz einsetzen s e t e t t t ˆ ( ) sin( ) cos( ) t t sˆ e cos( t) e sin( t) t ˆ s e sin( t) ( sin( t) )sin( t) cos( t) sin( t) cos( t)

36 413 Theorie Ansatz einsetzen ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) )sin( ( t t t t t ) )sin( ( ) sin( ) )sin( ( t t t

37 413 Theorie Ansatz einsetzen ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) )sin( ( t t t t t ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) )sin( ( ) sin( ) )sin( ( t t t t t t t

38 413 Theorie Schlussbemerkung: Modellierung für Dämpfung und Anregung ma m s d s F D F R F A

39 413 Theorie

40 413 Theorie

41 414 mathematisches Pendel

42 414 Ziele harmonische und nichtharmonische Schwingungen unterscheiden können Methodik der Modellierung auf math. Pendel erweitern können

43 414 Theorie l ma F Rück mg sin m F G F N F D s

44 414 Theorie l ma F Rück mg sin m F N s d s g sin s l F G F D

45 414 Theorie l ma F Rück mg sin m F G F N F D s d s g d sin g l s l sin

46 414 Theorie l d g l sin m F G F N F D s lim sin 1 d g l

47 s(t) v(t) 4 6 s(t) v(t) 4 6 s(t) v(t) Zeit t / s Zeit t / s Zeit t / s c 1 a 1 b Aufgaben sin d g l 1 sin lim d g l Auslenkung s(t) / m Geschwindigkeit v(t) / m/s Auslenkung s(t) / m Geschwindigkeit v(t) / m/s Auslenkung s(t) / m Geschwindigkeit v(t) / m/s

48 41 Phasendiagramme

49 41 Ziele Phasendiagramm als weitere Darstellungsform interpretierten können Aus Phasendiagramm Systemverhalten herauslesen können Aus Eigenwerten Form des Phasendiagramms bestimmen können

50 41 Theorie Geschwindigkeit v 1 cm/s Auslenkung s 1 cm a b Geschwindigkeit v.64 cm/ Auslenkung s.8 c Auslenkung s 3. m Geschwindigkeit v -6. m/s 3.3 m/s c

51 41 Theorie Wie kann ein lineares DGL- System analytisch gelöst werden? dx a 11 x a 1 y dy a 1 x a y

52 41 Theorie du 1 a 11 u 1 a 1 u a 13 u 3 Wie kann ein lineares DGL- System analytisch gelöst werden? du a 1 u 1 a u a 3 u 3 du 3 a 31 u 1 a 3 u a 33 u 3

53 41 Theorie analytisches Lösungsverfahren u u u a a a a a a a a a u u u k ik i u u a

54 u a i ik u k 41 Theorie analytisches Lösungsverfahren (n x n-system)

55 u a i det( a ik ik u k ik ) 41 Theorie analytisches Lösungsverfahren (n x n-system) Eigenwerte n

56 u a i det( a ik ik u k ik ) ( a ) x ik n ik n 41 Theorie analytisches Lösungsverfahren (n x n-system) Eigenwerte n Eigenvektor x n

57 u a i det( a ik ik u k ik ) ( a ) x ik n ik n 41 Theorie analytisches Lösungsverfahren (n x n-system) zeitunabh. Eigenwerte n zeitunabh. Eigenvektor x n Ansatz: u i ( t) ( t) x x n n 1 ( t) x1 ( t) x 3( t) 3

58 41 Theorie Ansatz einsetzen in DGL: k ik i u u a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x t x t x t x t t u n n i d x d x d x du i

59 41 Theorie du i d1 d d x x x 3 1 3

60 41 Theorie Das Problem reduziert sich also auf das Lösen von: d i i i x i

61 41 Theorie Das Problem reduziert sich also auf das Lösen von: d i i i x i i i i

62 41 Theorie Das Problem reduziert sich also auf das Lösen von: d i i i x i i i i ( t) i e t i

63 41 Theorie Die Lösung ist somit durch die Eigenwerte bestimmt: t t t i e x e x e x t u 3 1 ) ( () () ) (

64 y y y x x x Zentrum, 1 und rein imaginär Zentrum, 1 und rein imaginär, mit negativem Realteil Zentrum, 1 und rein imaginär, mit positivem Realteil y y y x x x stabiler Knoten, 1 und reell, negativ instabiler Knoten, 1 und reell, positiv Sattelpunkt, 1 und reell, 1 <

65 4 Untersuchung eines Systems mit gekoppelten Pendeln

66 4 Ziele Eigenwertverfahren auf gekoppelte Pendelsysteme anwenden können gekoppelte Pendelsysteme modellieren und mit Computer simulieren können

67 4 Theorie ma F F 1 1 k / m s s ( s s ) k k k k m m m

68 4 Theorie s s s 1 1 k / m k k k k m m m

69 s s s 1 1 s s s s Theorie k k k k m m m

70 4 Theorie dsi a s ik k a ik k k k k m m m

71 4 Theorie

72 4 Theorie Schwingungs-Modi:

73 Zeit t / s Zeit t / s b Pendel 1 Pendel Zeit t / s c a Auslenkung s(t) / cm Auslenkung s(t) / cm Auslenkung s(t) / cm

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75 43 Fouriertransformation

76 43 Ziele Begriff Spektrum erklären können Methode einer DFT (sin-ft und cos-ft) erklären können FT zur Schwingungsanalyse verwenden können

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78 43 Theorie Periodisches Signal lässt sich durch eine diskrete Summe von cos- und sin- Funktionen darstellen Fourier-Synthese f ( t) 1 a an cos( n t) bn sin( n t) n1

79 Theorie Bsp. Sägezahnkurve f ( t) n1 1 n sin( n t)

80 43 Theorie Inverses Problem: Wie lassen sich die Koeffizienten a n und b n aus gegebenem Signal finden Fourier-Analyse f ( t) 1 a an cos( n t) bn sin( n t) n1

81 43 Theorie Kernidee: Betrachtung des folgfenden Integrals: c x f ( x) g( x) dx x 1

82 43 Theorie c x x 1 f ( x) g( x) dx Wert von c für x 1 = und x =?

83 43 Theorie c x x 1 f ( x) g( x) dx Wert von c für x 1 = und x =?

84 43 Theorie Spez. Wahl für g(x): cos(x), sin(x) bzw. cos(t), sin (t) 1 ) ( ) ( x x dx x g x f c t n t f T b t n t f T a T n T n ) sin( ) ( ) cos( ) (

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89 44 Chaotische Systeme, chaotische Oszillationen

90 44 Ziele chaotisches Verhalten eines Systems charakterisieren können Begriff des Attraktors erklären können verschiedene Darstellungsweisen für Daten von oszillierenden Systemen anwenden können

91 dx s( Y X ) 44 Theorie und Aufgaben Bsp. Lorentz-Gleichungen dy rx Y XZ dz XY bz

92 X X X = ; Y = Z = 1; b =.5; r = 7; s = 1.5; Runge-Kutta mit t = Time (Second) X : Current X Zeit t -1 X =.; Y = Z = 1; b =.5; r = 7; s = 1.5; Runge-Kutta mit t = Time (Second) X : Current X Zeit t X = ; Y = Z = 1; b =.5; r = 7; s = 1.51; Runge-Kutta mit t = Time (Second) X : Current 1 X Zeit t X = ; Y = Z = 1; b =.5; r = 7; s = 1.511; Runge-Kutta mit t =.1-1 X = ; Y = Z = 1; b =.5; r = 7; s = 1.5; - Runge-Kutta mit t = Time (Second) X : Current 1 X Zeit t Time (Second) X : Current Zeit t -1 X = ; Y = Z = 1; b =.5; r = 7; s = 1.5; - Runge-Kutta mit t = Time (Second) X : Current Zeit t

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94 44 Aufgaben Generierung von Zufallssignalen ( Rauschen) bzw. Zufallszahlen Anwendungen: - Rauschgeneratoren - Monte Carlo- Simulationen N(t) Zeit t / d

95 44 Aufgaben Generierung von Zufallssignalen ( Rauschen) bzw. Zufallszahlen Bsp: Numerische Lösung von dn N N

96 N(t) 1 N(t) (a) 4 (b) Zeit t / Einheiten U Zeit t / Einheiten U N(t) N(t) (d) 4 (c) Zeit t / Einheiten U Zeit t / Einheiten U

97 1 1 8 N(t) Häufigkeit / Anzahl Werte = = Zeit / U = = Werte N(t) Zeit / U = = Häufigkeit / Anzahl Werte Werte = = N(t) Zeit / U = 5 = Häufigkeit / Anzahl Werte Werte = 5 =.5 N(t) = 7 = Zeit / U Häufigkeit / Anzahl Werte Werte = 7 =.7 N(t) Zeit / U = 3 = Häufigkeit / Anzahl Werte Werte = 3 = 3.1