A3.Die Lebensdauer eines elektronischen Gerätes werde als normalverteilt angenommen. Der Erwartungswert betrage

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Leopold Lehmann
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1 Aufgaben ~ Beispiele A1. Wir spielen Roulette mit einem Einsatz von 5 mit der Glückszahl 15. Die Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungen beim Roulette sind in folgender Tabelle zusammengefasst: Ereignis Summe Wahrscheinlichkeit Gewinnen / 38 Verlieren / 38 Die Tabelle zeigt, dass, wenn wir gewinnen würden, wir das 35-fache unseres Einsatzes (175 ) zurückbekämen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist allerdings nur 1 / 38. Wesentlich wahrscheinlicher ist es dagegen, dass wir verlieren. Unser "Gewinn" ist hier -5 bei einer Wahrscheinlichkeit von 37 / 38. Man simuliere mehrere solche Situationen beim Roulettespiel und berechne anhand von Simulationen wie viel man im Mittel (durchschnittlich) verliert/gewinnt wenn man immer als Glückszahl die 15 einsetzt. A2.Beim Herstellungsprozess einer Ware ist bekannt, dass 80% fehlerfrei, 15% mit leichten (vernachlässigbaren) Fehlern und 5% mit großen Fehlern hergestellt werden. Zufallsgröße X = die Anzahl der Waren mit großen Fehlern. a) Man simuliere N=200 mögliche Werte von X. b) Welches ist die mittlere Anzahl M der Waren mit großen Fehlern? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den nächsten hergestellten 100 Exemplaren dieser Ware 1) höchstens 3 2) genau 10 3) mindestens 4 große Fehler besitzen? Zur Lösung dieser Aufgabe benutzt man die Binomialverteilung Bin(100,0.05). Matlab Befehle: binornd, mean, binocdf, binopdf a) X=binornd(100,0.05,1,200) b) M=mean(X) das arithmetische Mittel c) P1=binocdf(3,100,0.05) weil P1=P(X 3)=F(3) F=Verteilungsfunktion von X P2=binopdf(10,100,0.05) weil P2=P(X=10) P3=1-binocdf(3,100,0.05) weil P(X 4)=1-P(X<4)=1-P(X 3), da X= natürliche Zahl A3.Die Lebensdauer eines elektronischen Gerätes werde als normalverteilt angenommen. Der Erwartungswert betrage μ= Stunden, und die Standardabweichung σ=1000 Stunden. Zufallsgröße X = die Lebensdauer des elektronischen Gerätes a) Man simuliere N=10 mögliche Werte von X. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig der Produktion entnommenes Fernsehgerät 1

2 l) mehr als Stunden; 2) höchstens 6500 Stunden; 3) zwischen 7500 und Stunden läuft? Zur Lösung dieser Aufgabe benutzt man die Normalverteilung N(μ, σ 2 ). Matlab Befehle: normrnd, normcdf, norminv a) X=normrnd(10000,1000,1,10) b) P1=1-normcdf(12000, 10000,1000) weil P1=P(X>12000)=1- F(12000), F=Verteilungsfunktion von X (X hat stetige Verteilung) P2= normcdf(6500, 10000,1000) weil P2=P(X 6500) P3= normcdf(10500, 10000,1000) - normcdf(7500, 10000,1000) weil P3=P(7500 X 10500)=F(7500)-F(10500) A4. Betrachten wir die Stichprobe : 301, 329, 309, 331, 328, 325, 327, 333, 314, 305, 302, 315 vom Umfang n=12 für die Lebensdauer in Stunden einer bestimmten elektronischen Komponente. Diese Stichprobe dient zur Untersuchung des Merkmals (Zufallsgröße) X der Lebensdauer der elektronischen Komponente. a) Welches ist die durchschnittliche Lebensdauer der Glühbirnen? b) Welches ist die empirische Standardabweichung? Lösung: X=[301, 329, 309, 331, 328, 325, 327, 333, 314, 305, 302, 315]; m=mean(x) % durchschnittliche Lebensdauer v=std(x) % empirische Standardabweichung A5. Stichprobenvariablen in Histogrammen dargestellt (für die im Vektor X gegebenen Daten erstelle man das Histogramm der absoluten, bzw. relativen Häufigkeiten dar) X =[299, 299, 297, 300, 299, 301, 300, 297, 302, 303, 300, 299, 301, 302, 301, 299, 300, 298, 300, 300, 296, 304,295,295,297] 2

3 A6. Eine Maschine produziert 10mm lange Schrauben mit einer Standardabweichung von =1mm. Die Länge der Schrauben kann als normalverteilt angesehen werden. Anhand von (2 a) Simulationen (2 b) spezifischen Matlabbefehlen berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube kürzer ist als 9 mm; eine Schraube höchstens 10.1 mm und mindestens 8.9 mm lang ist; A7. Man wählt zufällig einen Punkt innerhalb des blauen Quadrats. Man schätze durch Simulationen die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Punkt innerhalb des weissen Quadrats ist. (0,2) (0,1) (0,0) (1,0) (2,0) A8. Man approximiere anhand von Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik das Integral. A9. In einem Programm werden unabhängig voneinander 500 standardnormalverteilte Zufallsvariablen erzeugt und aufsummiert. Man schätze die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzeugten Zufallsvariablen außerhalb des Intervalls [ 20, 10] liegt. A10. Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Erwartungswert gleich 3 und Varianz gleich 1. Man schätze P( X > 4) anhand von (a) Simulationen (Hinweis: normrnd); (b) Octave-/Matlabbefehlen der Normalverteilung (Hinweis: normcdf). A11. In einer Urne befinden sich 6 rote, 4 weiße und 5 blaue Kugeln. Es werden drei Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Kugeln in der Reihenfolge rot, weiß, blau" zu ziehen, wenn die Kugeln nach der Ziehung a) zurückgelegt b) nicht zurückgelegt werden? (Man beantworte die Fragen anhand von Simulationen) A12. Ein sechsseitiger Würfel wird auf vier Seiten mit einer 1 und auf zwei Seiten mit einer 2 übermalt. Er wird zweimal geworfen. a) Die Zufallsvariable X gibt die Summe der erhaltenen Zahlen an. Man gebe alle möglichen Werte von X an und die entsprechenden theoretischen Wahrscheinlichkeiten. Anhand von Simulationen schätze man b) die zu erwartende Summe; c) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe größer als 2 ist. 3

4 A13. Sei f:[-2,2] [-1,1], f(x)=sin(π x) für -2 x 0 und f(x)= cos(π x) für 0< x 2. Man stelle f graphisch dar! Man approximiere anhand von Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik das Integral. A14. Man wählt zufällig einen Punkt innerhalb des blauen Quadrates. Man schätze durch Simulationen die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Punkt ausserhalb des Kreises mit Zentrum in (0,0) und Radius (0,1) 1 ist (siehe Abbildung). (0,2) (2,2) (0,0) (1,0) (2,0) A15. Man schätze anhand von Simulationen die Wahrscheinlichkeit, dass man in einem Lottospiel (mit Zahlen von 1 bis 49) genau 2 Zahlen richtig eratet. A16. Man würfelt mit einem Würfel so lange bis das erstemal die 6 auftaucht. Anhand von Simulationen schätze man: wie oft muss man im Mittel (durchschnittlich) würfeln bis das erstemal 6 auftaucht? A17. Sei X eine binomialverteile Zufallsgröße mit Parametern n=10, p=0.3. Man simuliere 1000 zufällige Werte für X. Man schätze a) die Wahrscheinlichkeit, dass P(3< X< 7) ; b) den Erwartungswert von X; c) die Varianz von X. Man vergleiche die erhaltenen Ergebnisse mit den theoretischen Werten. A18. Einer von zwei Kandidaten (A und B) soll als Bürgermeister einer Stadt gewählt werden. Es ist bekannt dass Kandidat A 46% Chancen hat. Man simuliere Daten, die als Ergebnisse einer Umfrage sind, an der 500 Bürger einer Stadt befragt werden. Man schätze die Wahrscheinlichkeit, dass anhand der Daten mehr als 235 Bürger Kandidat A wählen möchten. A19. Die Niederschlagsmenge (im Monat September) in einer bestimmten Region ist normal-verteilt und ist im Durchschnitt 60 Liter/Quadratmeter mit einer Standardabweichung von 5 Liter/Quadratmeter. Man simuliere 1000 (solche) statistische Daten. Man schätze anhand der Daten, die Wahrscheinlichkeit, dass die Niederschalgsmenge mehr als 55 Liter/Quadratmeter ist. Man vergleiche das geschätzte Ergebnis mit dem theoretischen Wert. A20. Bei einem Tenniswettbewerb gewinnt Spieler A in jedem Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% gegen Spieler B. Der Spieler, der als erster 3 Spiele gewonnen hat, hat auch den Wettbewerb gewonnen. Man schätze anhand von Simulationen die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler A bzw. Spieler B. A21. Gegeben ist das Programm N=500; n=18; p=0.6; Y=sum(floor(rand(n,N)+p)); Welche Verteilung haben die Werte von Y? Man schätze: P(9<Y<15) und E(Y 2 ). 4

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