Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure

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1 Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel IV SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG 1

2 Kap. IV: Differential- und Integralrechnung (in einer Veränderlichen) 1. Ein wenig Topologie 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz 3. Das Riemann-Integral 4. Differenzierbarkeit und der Mittelwertsatz 5. Der Satz von Taylor Literatur: vgl. Kap. III 2

3 1. Ein wenig Topologie Def. 2: Sei (X, d) ein metrischer Raum. (a) Ferner sei x X und r > 0. Dann bezeichnen wir die Mengen und B r (x) := {y X d(x, y) < r} K r (x) := {y X d(x, y) r} als offene bzw. abgeschlossene Kugel um x mit dem Radius r. (b) Sei M eine beliebige Teilmenge von X. Wir bezeichnen x X als einen inneren Punkt von M, wenn es eine offene Kugel B r (x) um x gibt, die ganz in M liegt, d.h. B r (x) M. 3

4 1. Ein wenig Topologie Def. 2 (Fortsetzung): (c) Eine Teilmenge M von X heißt offen in X, wenn jeder Punkt von M auch innerer Punkt von M ist. (d) Eine Teilmenge M von X heißt abgeschlossen in X, wenn ihr Komplement X \ M offen ist. Bemerkung: Die leere Menge und ganz X sind (als Teilmengen von X) immer offen und abgeschlossen. 4

5 1. Ein wenig Topologie Def. 3: Sei (X, d) ein metrischer Raum. (a) Sei x X und sei U eine Teilmenge von X, die x als inneren Punkt enthält. Dann bezeichnen wir U als eine Umgebung von x. (b) Sei M eine beleibige Teilmenge von X. Dann bezeichnen wir einen Punkt x X als einen Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von x mindestens ein Punkt aus M \{x} liegt. Die Menge aller Häufungspunkte von M bezeichnen wir mit HP(M). (c) Eine Folge (x n ) n N mit Werten in X heißt konvergent gegen x X, wenn die reellwertige Folge ( d(x n, x ) ) gegen Null konvergiert. n N 5

6 1. Ein wenig Topologie Def. 3 (Fortsetzung): Sei (X, d) ein metrischer Raum. (d) Eine Teilmenge M von X heißt beschränkt, wenn es ein x X und ein r > 0 gibt mit M B r (x). (e) Sei M eine beliebige Teilmenge von X. (i) Dann bezeichnen wir mit M die Menge aller inneren Punkte von M. Die Menge M heißt auch kurz das Innere von M. (ii) Ferner bezeichnen wir mit M die Vereinigung von M mit all ihren Häufungspunkten, d.h. M := M HP(M). Die Menge M heißt der Abschluß von M. 6

7 1. Ein wenig Topologie Def. 4: Sei (X, d) ein metrischer Raum. (a) Ein Mengensystem {U α α I} von Teilmengen von X heißt (offene) Überdeckung von M X, wenn M α I U α (und alle U α offene Menge von X sind). (b) Eine Teilmenge K von X heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung {U α α I} von K eine endliche Teilüberdeckung gibt, d.h., wenn es endlich viele α 1,..., α n gibt mit K n k=1 U αk. (c) Eine Teilmenge K von X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge (x n ) n N in K (d.h. x n K für alle n N) eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in K besitzt. 7

8 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Def. 5: Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) zwei metrische Räume und sei f : X Y eine Abbildung mit X X. Ferner sei x 0 X ein Häufungspunkt von X. Dann bezeichnen wir y 0 Y als Grenzwert von f im Punkt x 0 X, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x X mit 0 < d X (x, x 0 ) < δ die Abschätzung d Y (f(x), y 0 ) < ε erfüllt ist. Wenn dies gilt, sagen wir auch, dass f(x) gegen y 0 geht, falls x gegen x 0 strebt, und schreiben oder lim x x 0 f(x) = y 0 f(x) y 0 für x x 0. 8

9 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Ergänzung zu Def. 5: (a) Falls X = R und X nach oben unbeschränkt ist, so lassen wir für x 0 auch den Wert + zu. Wir schreiben also lim f(x) = y 0, x + wenn es zu jeden ε > 0 ein ω > 0 gibt, so dass für alle x X mit x > ω die Abschätzung d Y (f(x), y 0 ) < ε gilt. Entsprechend definieren wir lim x f(x) = y 0, falls X nach unten unbeschränkt ist. 9

10 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Ergänzung zu Def. 5: (b) Falls Y = R, so lassen wir für y 0 auch die Werte ± zu. In diesem Fall schreiben wir lim f(x) = +, x x 0 wenn es zu jedem ω > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x X mit 0 < d X (x, x 0 ) < δ die Abschätzung f(x) > ω gilt. Wiederum entsprechend definieren wir lim f(x) =. x x 0 10

11 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Def. 6: Sei M eine beliebige Menge und seien f, g : M R bzw. f, g : M C beliebige Abbildungen. Dann definieren wir Summe, Differenz, Produkt und Quotient von f und g wie folgt: f±g : M R bzw. C, (f±g)(x) := f(x)±g(x). f g : M R bzw. C, (f g)(x) := f(x) g(x). f/g : M R bzw. C, (f/g)(x) := f(x) g(x), falls g(x) 0 für all x M. 11

12 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Ergänzung zu Folgerung 6: Die Aussagen aus Folgerung 6 (siehe Vorlesung) können mittels der folgenden Konventionen auch auf den Fall y 0 = ± bzw. z 0 = ± angewandt werden: (+ ) + c = c + (+ ) := + für c R, ( ) + c = c + ( ) := für c R, (+ )+(+ ) := +, ( )+( ) := (+ ) c = c (+ ) := + für c R + {+ }, (+ ) c = c (+ ) := für c R { }, ( ) c = c ( ) := für c R + {+ }, ( ) c = c ( ) := + für c R { }, c + = c := 0 für alle c R. Bemerkung: Für alle anderen Konstellationen ist im Allgemeinen keine Aussagen möglich. 12

13 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Def. 7: Seien (X, d) und (Y, d) zwei metrische Räume und sei x 0 X. Dann heißt die Abbildung f : X Y stetig in x 0, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x X mit d(x, x 0 ) < δ die Abschätzung d ( f(x), f(x 0 ) ) < ε gilt. Wenn f für alle x X stetig ist, so sagen wir f ist stetig auf X. 13

14 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Satz 2 (lokale Variante): Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y ist genau dann stetig in x 0 X, wenn Urbilder von Umgebungen von f(x 0 ) Umgebungen von x 0 sind, d.h. für alle Umgebung U von f(x 0 ) ist f 1 (U) eine Umgebung von x 0. Beweis: Völlig analog zum Beweis von Satz 2. 14

15 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Satz 3 (lokale Variante): Seien (X, d), (Y, d) und (Z, d) metrische Räume. Ferner sei f : X Y stetig in x 0 X und g : Y Z stetig in y 0 := f(x 0 ) Y. Dann ist g f : X Z stetig in x 0 X. Beweis: Benutze Satz 2 statt Satz 2; ansonsten völlig analog zum Beweis von Satz 3. 15

16 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Def. 8: Seien (X, d) und (Y, d) zwei metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt gleichmäßig stetig auf X, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x, x X mit d(x, x ) < δ die Abschätzung gilt. d ( f(x), f(x ) ) < ε Bemerkung: Jede gleichmäßig stetige Funktion auf X ist insbesondere stetig auf X. Die Umkehrung ist falsch, d.h. stetige Funktionen sind im Allgemeinen nicht gleichmäßig stetig. 16

17 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Def. 9: (a) Ein metrischer Raum (X, d) heißt unzusammenhängend, wenn es offene Mengen U X und V X mit folgenden Eigenschaften gibt: U, V, U V =, X = U V. Ein metrischer Raum (X, d) heißt zusammenhängend, wenn er nicht unzusammenhängend ist. (b) Eine Teilmenge X eines metrischen Raums (X, d) heißt unzusammenhängend, wenn es offene Mengen U X und V X mit folgenden Eigenschaften gibt: U X, V X, U V X =, X U V. Wir sagen X ist zusammenhängend, wenn X nicht unzusammenhängend ist. 17

18 2. Stetigkeit und Zwischenwertsatz Satz 7: Die zusammenhängenden Mengen in R (bzgl. der Standardmetrik) sind genau die Intervalle, also die Mengen der Form [a, b], [a, b), (a, b], (a, b), [a,+ ), (, b], (a,+ ), (, b) mit a, b R einschließlich R und. Beweis: Siehe Übung. 18

19 3. Das Riemann-Integral Satz 11: (Eigenschaften des Riemann-Integrals) Seien f, g : [a, b] R R-integrierbare Funktionen. Dann sind die folgenden Aussagen erfüllt: (a) Für alle α, β R ist auch αf+βg R-integrierbar und es gilt b αf(x)+βg(x)dx = α b f(x)dx+β b g(x)dx. a a a (Linearität) (b) Für alle c [a, b] gilt b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx. a a c (Additiviät) 19

20 3. Das Riemann-Integral Satz 11: (Fortsetzung) (c) Falls f g auf [a, b], so gilt b a f(x)dx b a g(x)dx (Monotonie) (d) Die Abbildung f ist R-integrierbar auf [a, b] und es gilt b a f(x)dx b a f (x)dx. 20

21 3. Das Riemann-Integral Satz 14: Sei f : [a, b] [c, d] R-integrierbar und sei g : [c, d] R stetig. Dann ist auch g f : [a, b] R R-integrierbar. Folgerung 19: Der Betrag f einer R-integrierbaren Funktion f : [a, b] R ist R-integrierbar. Bemerkung: Folgerung 19 liefert den angekündigten Nachtrag zu Satz 11(d). 21

22 4. Differenzierbarkeit und der MWS Def. 11: Sei f : (a, b) R eine beliebige Funktion und sei x 0 (a, b). Falls der Grenzwert f(x) f(x lim 0 ) =: f (x x x 0 ) 0 x x 0 existiert, so heißt f differenzierbar in x 0 und wir bezeichnen den Wert f (x 0 ) als die Ableitung von f an der Stelle x 0. Falls f in allen Punkten x 0 (a, b) differenzierbar ist, so sagen wir, dass f auf (a, b) differenzierbar ist. Ferner bezeichnen wir in diesem Fall die Abbildung f : (a, b) R, x f (x) als die Ableitung(sfunktion) von f. Bemerkung: Falls die Ableitung von f an der Stelle x 0 existiert, so ist sie offensichtlich eindeutig, da der Grenzwert einer Funktion eindeutig ist, falls er existiert. 22

23 4. Differenzierbarkeit und der MWS Nachtrag zu Abschnitt 2: Lemma: Sei V ein Vektorraum und sei d : V V R eine translationsinvariante Metrik, d.h. d(x, y) = d(x + z, y + z) für alle x, y, z V. Ferner sei f : V \ {x 0 } Y eine beliebige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum (Y, d). Falls nun einer der beiden Grenzwerte lim f(x) oder lim f(x x x 0 + h) 0 h 0 existiert, so existiert auch der andere und es gilt lim f(x) = lim f(x x x 0 + h). 0 h 0 23

24 4. Differenzierbarkeit und der MWS Lemma 2: Sei f : (a, b) R und x 0 (a, b). Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) f ist in x 0 differenzierbar. (b) Es ex. der Grenzwert lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h =: a. (c) Es ex. ã R mit lim x x0 f(x) f(x 0 ) ã(x x 0 ) x x 0 = 0. (d) Es ex. â R mit lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) âh h = 0. 24

25 4. Differenzierbarkeit und der MWS Lemma 2: (Fortsetzung) (e) Es existiert eine in x 0 stetige Funktion d : (a, b) R mit f(x) f(x 0 ) = d(x)(x x 0 ). (f) Es existiert eine Funktion r : (a, b) R und ein ā R mit f(x) = f(x 0 ) + ā(x x 0 ) + r(x) und lim x x0 r(x) x x 0 = 0. Falls eine und somit alle der obigen Aussagen erfüllt sind, so gilt f (x 0 ) = a = ã = â = ā = d(x 0 ). 25

26 4. Differenzierbarkeit und der MWS Satz 22: (a) Sei f : (a, b) R stetig und streng monoton steigend. Dann existieren die Grenzwerte α := lim x a f(x) und β := lim x b f(x) und es gilt f ( (a, b) ) = (α, β). Dabei sind die Werte α = und β = + erlaubt. Ferner ist die Abbildung f : (a, b) (α, β) bijektiv und ihre Umkehrabbildung f 1 : (α, β) (a, b) ist stetig. 26

27 4. Differenzierbarkeit und der MWS Satz 22: (b) Sei f : (a, b) R differenzierbar mit f > 0. Dann existieren die Grenzwerte α := lim x a f(x) und β := lim x b f(x) und es gilt f ( (a, b) ) = (α, β). Dabei sind die Werte α = und β = + erlaubt. Ferner ist die Abbildung f : (a, b) (α, β) bijektiv und ihre Umkehrabbildung f 1 : (α, β) (a, b) ist differenzierbar mit ( f 1 ) (y) = 1 f ( f 1 (y) ). Bemerkung:(a) Offensichtlich gilt eine analoge Aussage für den Fall f < 0. (b) Nach dem ZWS von Darboux genügt es die Bedingung f 0 zu fordern. 27

28 4. Differenzierbarkeit und der MWS ( Satz 23: Sei fn : (a, b) R ) eine Folge n N differenzierbarer Funktionen. Falls (f n ) n N und (f n) n N auf (a, b) gleichmäßig konvergieren, so ist auch die Grenzfunktion f differenzierbar mit f (x) = lim n f n (x) für alle x (a, b). Folgerung 26: Jede reelle Potenzreihe f(x) := n=0 a n x n stellt im Inneren ihres Konvergenzgebiets eine differenzierbare Funktion dar und es gilt f (x) = n=1 na n x n 1. Bemerkung: Es gilt auch eine komplexe Version von Folgerung

29 4. Differenzierbarkeit und der MWS Nachtrag zu Abschnitt 2: Satz (Cauchy-Kriterium für Funktionen): Sei (X, d) ein metrischer Raum, X X und sei f : X R eine beliebige Abbildung. Ferner sei x 0 X ein Häufungspunkt von X. Der Grenzwert lim f(x) x x 0 existiert genau dann, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x, x X mit 0 < d(x, x 0 ) < δ und 0 < d(x, x 0 ) < δ die Abschätzung erfüllt ist. f(x) f(x ) < ε 29

30 5. Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor Def. 13: (a) Eine Funktion f : (a, b) R heißt 2- fach differenzierbar in x 0 (a, b), wenn f in einer Umgebung B δ (x 0 ) von x 0 differenzierbar ist und der Grenzwert f (x) f (x lim 0 ) =: f (x x x 0 ) 0 x x 0 existiert. Den Wert f (x 0 ) bezeichnen wir als die 2. Ableitung von f an der Stelle x 0. Falls f in allen Punkten x (a, b) 2-fach differenzierbar ist, so sagen wir, dass f auf (a, b) 2-fach differenzierbar. Ferner bezeichnen wir die Abbildung f : (a, b) R, x f (x) als die 2. Ableitung von f. 30

31 5. Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor Def. 13:(Fortsetzung) (b) Analog definieren wir rekursiv, dass f k-fach differenzierbar in x 0 (a, b) ist, wenn f (k 1) und der Grenzwert f (k 1) (x) f (k 1) (x lim 0 ) =: f (k) (x x x 0 ) 0 x x 0 existieren. Die Abbildung f (k) : (a, b) R, x f (k) (x) heißt die k-te Ableitung von f. (c) Falls f k-fach differenzierbar ist und f (k) auf (a, b) stetig ist, so heißt f k-fach stetig differenzierbar auf (a, b). (d) Falls f beliebig oft differenzierbar ist, d.h. falls alle Abteitungen f (k), k N existieren, so bezeichnen wir f auch als glatt auf (a, b). 31

32 5. Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor Notation: Sei k N und sei I R ein beliebiges Intervall, also I = (a, b), I = (a, b], etc. Dann definieren wir C ( I, R ) = Menge aller stetigen Funktionen f : I R D k( I, R ) = C n( I, R ) = Menge aller k-fach differenzierbaren Funktionen f : I R Menge aller k-fach stetig differenzierbaren Funktionen f : I R C ( I, R ) = Menge aller glatten Funktionen f : I R Bemerkung: Falls I in der obigen Definition nicht offen ist, also z.b. I = (a, b], so sind die Grenzwerte aus Def. 11 und 13 in Randpunkten als rechts- bzw. linksseitige Grenzwerte zu interpretieren. 32

33 5. Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor Folgerung 27: Jede reelle Potenzreihe f(x) := n=0 a n x n ist im Inneren ihres Konvergenzgebiets beliebig oft differenzierbar und es gilt f (n) (0) = n!a n. Beweis: Die Behauptung folgt unmittelbar aus der wiederholten Anwendung von Satz 23 bzw. Folgerung 26. Lemma 5: Sei f : [a, b] R stetig und sei p : [a, b] R Riemann-integrierbar mit p 0. Dann ist f p Riemann-integrierbar und es existiert ein ξ (a, b) mit f(ξ) b a p(x)dx = b a f(x)p(x)dx. Beweis: Analog zu Satz 15 [Ersetze g(x) := f(x)(b a) durch g(x) := f(x) b a p(x)dx.] 33

34 5. Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor Def. 14: (a) Sei I R ein beliebiges Intervall und sei f C k (I, R). Ferner seien x, x 0 I Dann heißt R k f,x 0 (x) := f(x) k f (l) (x 0 ) (x x 0 ) l l! } l=0 {{ } =:T f,x k (x) 0 Restglied der Ordnung k von f an der Stelle x 0 und T k f,x 0 (x) Taylor-Polynom vom Grad k zu f and der Stelle x 0 (b) Falls f C (I, R). So bezeichnen wir die Potenzreihe l=0 f (l) (x 0 ) (x x 0 ) l l! als die Taylorreihe von f an der Stelle x 0. 34

35 5. Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor Def. 15: (a) Sei I R ein offenes Intervall. Eine Funktion f : I R heißt reell analytisch um x 0, wenn es eine Potenzreihe l=0 a n (x x 0 ) l gibt, die auf einer offenen Kugel (x 0 r, x o + r), r > 0 um x o I konvergiert und dort mit f übereinstimmt, also f(x) = l=0 a n (x x 0 ) l für alle x (x 0 r, x o +r) gilt. Ferner heißt f reell analytisch auf I, wenn f um jeden Punkt x 0 I reell analytisch ist. 35

36 5. Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor Folgerung 29: Sei f : I R reell analytisch um x 0 I. Dann ist die Potenzreihe n=0 a n (x x 0 ) n aus Def. 15 eindeutig bestimmt. Insbesondere gilt a n = f(n) (x 0 ) n! für alle n N 0, d.h. die Potenzreihe stimmt in diesem Fall mit der Taylorreihe überein. Beweis: Dies ist eine unmittelbare Konsequenz aus Folgerung

37 5. Höhere Ableit. & Satz von Taylor Satz 26: Sei f(x) := n=0 a n (x x 0 ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann ist f auf (x 0 R, x 0 + R) reell analytisch. Satz 27 (Identiätssatz): Sei f, g : I R reell analytisch auf I. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) f g auf I. (b) Es existiert ein x 0 I mit f (n) (x 0 ) = g (n) (x 0 ) für alle n N 0. (c) Es gibt eine konvergente Folge (x n ) n N mit Grenzwert x I und folgenden Eigenschaften: x n I, x n x und f(x n ) = g(x n ) für alle n N. Beweise: Siehe z.b. Heuser, Analysis I oder Mangoldt/Knopp, Einführung in die Höhere Mathematik. 37