Vorlesung 8b. Kovarianz, Korrelation und Regressionsgerade
|
|
- Susanne Holst
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vorlesung 8b Kovarianz, Korrelation und Regressionsgerade 1
2 1. Die Kovarianz und ihre Eigenschaften 2
3 Wir erinnern an die Definition der Kovarianz Für reellwertige Zufallsvariable X, Y mit E[X 2 ] < und E[Y 2 ] < ist Cov[X,Y]:= E [ (X EX)(Y EY) ] Insbesondere ist also Cov[X,X] = Var[X] 3
4 Die Kovarianz ist - im Fall von zwei gleichen Einträgen nichtnegativ: Cov[X,X] 0 - in den beiden Einträgen symmetrisch: Cov[X,Y] = Cov[Y,X] - bilinear, d.h. in jedem einzelnen Eintrag linear: Cov[c 1 X 1 +c 2 X 2,Y] = c 1 Cov[X 1,Y]+c 2 Cov[X 2,Y] 4
5 2. Die Kovarianz-Varianz-Ungleichung 5
6 Die Kovarianz-Varianz-Ungleichung Cov[X,Y] VarX VarY folgt sofort aus der Cauchy-Schwarz Ungleichung: Für reellwertige Zufallsvariable G,H mit E[G 2 ],E[H 2 ] < ist (E[GH]) 2 E[G 2 ]E[H 2 ]. 6
7 Behauptung: (E[GH]) 2 E[G 2 ]E[H 2 ] Beweis: Fall 1: E[G 2 ],E[H 2 ] > 0. U := G/ E[G 2 ], V := H/ E[H 2 ] erfüllen E[U 2 ] = E[V 2 ] = 1. Aus ±2UV U 2 +V 2 folgt ±E[UV] 1. Multiplikation mit E[G 2 ] E[H 2 ] ergibt die Behauptung. 7
8 Behauptung: (E[GH]) 2 E[G 2 ]E[H 2 ] Fall 2: E[G 2 ] = 0. Dann folgt aus dem Satz von der Positivität des Erwartungswertes P(G 2 = 0) = 1, also P(GH = 0) = 1 und E[GH] = 0. 8
9 3. Der Korrelationskoeffizient 9
10 Definition. Für zwei Zufallsvariable X, Y mit positiven, endlichen Varianzen ist κ = κ XY := Cov[X,Y] VarX VarY der Korrelationskoeffizient von X und Y. Aus der Kovarianz-Varianz-Ungleichung folgt sofort 1 κ 1. 10
11 4. Die Bedeutung des Korrelationskoeffizienten 11
12 5 prominente Zahlen zur (teilweisen) Beschreibung der Verteilung eines zufälligen Paares (X, Y) in R R: µ X und µ Y : die Erwartungswerte von X und Y σ X und σ Y : die Standardabweichungen von X und Y κ XY : der Korrelationskoeffizient von X und Y 12
13 Wir werden sehen: κ 2 ist ein Maß dafür, um wieviel besser man Y durch eine affin lineare Funktion von X vorhersagen kann: Y = β 1 X +β 0 + Fehler, als durch eine Konstante: Y = c+ Fehler. (Die Güte der Vorhersage bezieht sich auf die Kleinheit des erwarteten quadratischen Fehler (mean sqare error).) 13
14 5. Beste konstante Vorhersage 14
15 Um die eben behauptete Eigenschaft von κ 2 einzusehen, fragen wir erst einmal: Durch welche Konstante wird die Zufallsvariable Y (im Sinn des erwarteten quadratischen Fehlers) am besten vorhergesagt? Durch ihren Erwartungswert E[Y]! Denn: 15
16 E[(Y c) 2 ] = E[(Y µ Y +µ Y c) 2 ] = E[(Y µ Y ) 2 ]+2E[(Y µ Y )(µ Y c)]+(µ Y c) 2 = σ 2 Y +0+(µ Y c) 2. Das wird minimiert von c = µ Y und hat den Minimalwert σy 2. 16
17 6. Beste affin lineare Vorhersage 17
18 Durch welche affin lineare Funktion von X, β 1 X +β 0, wird die Zufallsvariable Y (wieder im Sinn des erwarteten quadratischen Fehlers) am besten vorhergesagt? Genauer: Für welche Zahlen β 1,β 0 wird E[(Y β 1 X β 0 ) 2 ] minimal? 18
19 Wie wir gleich sehen werden, ist die Lösung: β 1 := σ Y σ X κ XY und β 0 so, dass µ Y = β 1 µ X +β 0. M. a. W.: β 0 so, dass der Punkt (µ X,µ Y ) auf der Geraden y = β 1 x+β 0 liegt. Wir nennen diese Gerade die Regressionsgerade für Y auf der Basis von X. 19
20 Wir begründen jetzt die Behauptung über β 0 und β 1 : E[(Y β 1 X β 0 ) 2 ] = Var[Y β 1 X β 0 ]+(E[Y β 1 X β 0 ]) 2 = Var[Y β 1 X]+(µ Y β 1 µ X β 0 ) 2 Der zweite Summand ist Null für β 0 = µ Y β 1 µ X. Damit haben wir schon mal die eine Bedingung gefunden. Für welches β 1 wird der erste Summand minimal? 20
21 Var[Y β 1 X] = VarY 2β 1 Cov[X,Y]+β 2 1 VarX = σ 2 Y 2β 1κσ X σ Y +β 2 1 σ2 X = σ 2 Y σ2 Y κ2 + (σ Y κ β 1 σ X ) 2 aaaaa Der rechte Summand wird Null für β 1 = σ Y σ X κ. Und der Minimalwert von Var[Y β 1 X] ist σ 2 Y (1 κ2 ). 21
22 Damit ist auch der Minimalwert von Var[Y β 1 X β 0 ] gleich σ 2 Y (1 κ2 ). Der Minimalwert von Var[Y c] war σ 2 Y. Also ist der Anteil von VarY, der von den Vielfachen von X zusätzlich zu den Vielfachen von 1 erklärt wird, gleich κ 2 σ 2 Y. 22
23 Wir halten fest: Die Minimierungsaufgabe E[(Y β 1 X β 0 ) 2 ]! = min für die beste affin lineare Vorhersage von Y auf der Basis von X (im Sinn des quadratischen Mittels) hat die Lösung β 1 = σ Y σ X κ, µ Y = β 1 µ X +β 0 und den Minimalwert (1 κ XY 2 )σ 2 Y. 23
24 7. Beispiel: Gemeinsam normalverteilte Zufallsvariable 24
25 Z 1,Z 2 seien unabhängig und standard-normalverteilt, ρ [ 1,1]. X := Z 1, Y := ρz ρ 2 Z 2. Dann gilt: σ 2 X = σ2 Y = 1, κ XY = ρ. 25
26 Die folgenden Bilder (ρ = 0.9, 0.7,...,0.7,0.9) zeigen jeweils die Realisierungen von 1000 unabhängigen Kopien (X i,y i ) von (X,Y), zusammen mit der Regressionsgeraden für Y auf der Basis von X 26
27 Korrelation = - 0.9
28 Korrelation = - 0.7
29 Korrelation = - 0.5
30 Korrelation = - 0.3
31 Korrelation = - 0.1
32 Korrelation = 0
33 Korrelation = 0.1
34 Korrelation = 0.3
35 Korrelation = 0.5
36 Korrelation = 0.7
37 Korrelation = 0.9
38 Jetzt nochmal dasselbe, mit der Regressionsgeraden für Y auf der Basis von X (in schwarz) und der Regressionsgeraden für X auf der Basis von Y (in grau). 38
39 Korrelation = - 0.9
40 Korrelation = - 0.7
41 Korrelation = - 0.5
42 Korrelation = - 0.3
43 Korrelation = - 0.1
44 Korrelation = 0
45 Korrelation = 0.1
46 Korrelation = 0.3
47 Korrelation = 0.5
48 Korrelation = 0.7
49 Korrelation = 0.9
50 8. Beispiel: Welche Gerade passt am besten? 50
51 (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ) seien n verschiedene Punkte im R 2. (X,Y) sei eine rein zufällige Wahl daraus: P((X,Y) = (x i,y i )) = 1 n, i = 1,...,n. 51
52 Dann ist EX = 1 n xi =: x σ 2 X = 1 n (xi x) 2 Cov[X,Y] = 1 n (xi x)(y i ȳ) κ = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 (yi ȳ) 2. 52
53 E[(Y β 1 X β 0 ) 2 ] = 1 n n i=1 (y i β 1 x i β 0 ) 2 wird, wie wir gezeigt haben, minimiert durch β 1 := σ Y σ X κ = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 und β 0 so, dass ȳ = β 1 x+β 0. Diese Gerade y = β 1 x+β 0 heißt die Regressionsgerade zu den Punkten (x i,y i ), i = 1,...,n.. 53
Vorlesung 9b. Kovarianz und Korrelation
Vorlesung 9b Kovarianz und Korrelation 1 Wir erinnern an die Definition der Kovarianz Für reellwertige Zufallsvariable X, Y mit E[X 2 ] < und E[Y 2 ] < ist Cov[X,Y]:= E [ (X EX)(Y EY) ] Insbesondere ist
MehrVorlesung 7b. Kovarianz und Korrelation
Vorlesung 7b Kovarianz und Korrelation 1 Wir erinnern an die Definition der Kovarianz Für reellwertige Zufallsvariable X, Y mit E[X 2 ] < und E[Y 2 ] < ist Cov[X,Y]:= E [ (X EX)(Y EY) ] Insbesondere ist
MehrVorlesung 8a. Kovarianz und Korrelation
Vorlesung 8a Kovarianz und Korrelation 1 Wir erinnern an die Definition der Kovarianz Für reellwertige Zufallsvariable X, Y mit E[X 2 ] < und E[Y 2 ] < ist Cov[X, Y ] := E [ (X EX)(Y EY ) ] Insbesondere
MehrVorlesung 12a. Zerlegung der Varianz
Vorlesung 12a Zerlegung der Varianz 1 Im zufälligen Paar (X, Y ) 2 Im zufälligen Paar (X, Y ) sei Y reellwertig mit endlicher Varianz. Im zufälligen Paar (X, Y ) sei Y reellwertig mit endlicher Varianz.
MehrKapitel 8. Parameter multivariater Verteilungen. 8.1 Erwartungswerte
Kapitel 8 Parameter multivariater Verteilungen 8.1 Erwartungswerte Wir können auch bei mehrdimensionalen Zufallsvariablen den Erwartungswert betrachten. Dieser ist nichts anderes als der vektor der Erwartungswerte
MehrVarianz und Kovarianz
KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]
Mehr5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen
47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,
Mehr11.4 Korrelation. Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient
11.4 Korrelation Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient (X 1,X 2 ) = cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 Korrelationskoeffizient der Zufallsgrößen
Mehr1.5 Mehrdimensionale Verteilungen
Poisson eine gute Näherung, da np = 0 und 500p = 5 00 = n. Wir erhalten somit als Näherung Exakte Rechnung ergibt P(2 X 0) = k=2 0 k=2 π (k) = 0,26424. 0 ( ) 00 P(2 X 0) = 0,0 k 0,99 00 k = 0,264238. k.4.2.4
MehrVorlesung 5a. Varianz und Kovarianz
Vorlesung 5a Varianz und Kovarianz 1 1. Varianz und Standardabweichung: Elementare Eigenschaften (Buch S. 24) 2 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist
MehrVorlesung 5a. Die Varianz
Vorlesung 5a Die Varianz 1 1. Varianz und Standardabweichung: Elementare Eigenschaften (Buch S. 24) 2 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert
MehrEinige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wiederh.)
Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wiederh.) 1 Zusammenfassung Bedingte Verteilung: P (y x) = P (x, y) P (x) mit P (x) > 0 Produktsatz P (x, y) = P (x y)p (y) = P (y x)p (x) Kettenregel
Mehr13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
MehrVorlesung 7b. Der Zentrale Grenzwertsatz
Vorlesung 7b Der Zentrale Grenzwertsatz 1 Zentraler Grenzwertsatz (Tschebyscheff) Die standardisierte Summe von unabhängigen, identisch verteilten R-wertigen Zufallsvariablen konvergiert in Verteilung
MehrUnabhängige Zufallsvariablen
Kapitel 9 Unabhängige Zufallsvariablen Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurückgeführt. Im Folgenden sei Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition
MehrStatistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management
für Betriebswirtschaft und internationales Management Sommersemester 2015 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Normalverteilung Eine Zufallsvariable X mit einer Dichtefunktion und σ > 0 heißt
MehrI Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...
Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 3
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 15. April 2019 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 1. April
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrVorlesung 4b. Die Varianz
Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert als Var X := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen
MehrKapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska
MehrStatistik für Informatiker, SS Erwartungswert, Varianz und Kovarianz
1/65 Statistik für Informatiker, SS 2017 1.3 Erwartungswert, Varianz und Kovarianz Matthias Birkner http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/statinfo17/ 7.6.2017 / 14.6.2017 2/65 Der Erwartungswert ist eine
MehrVorlesung 4b. Die Varianz
Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ Die Varianz von X ist definiert als Var[X] := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen
MehrStatistik für Informatiker, SS Erwartungswert, Varianz und Kovarianz
Erwartungswert, Varianz und Kovarianz 1/65 Statistik für Informatiker, SS 2018 1.4 Erwartungswert, Varianz und Kovarianz Matthias Birkner http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/statinfo18/ 14.5.2018 / 28.5.2018
Mehr3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit
3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate
MehrWichtige Definitionen und Aussagen
Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik PD Dr. U. Ludwig Vorlesung 7 1 / 19 2.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (Fortsetzung) 2 / 19 Bedingter Erwartungswert
MehrVertiefung NWI: 8. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Barbara Gentz SS 2013 Vertiefung NWI: 8. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Mittwoch, 5.6.2013 8. Unabhängigkeit von Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz 8.1
MehrReelle Zufallsvariablen
Kapitel 3 eelle Zufallsvariablen 3. Verteilungsfunktionen esultat aus der Maßtheorie: Zwischen der Menge aller W-Maße auf B, nennen wir sie W B ), und der Menge aller Verteilungsfunktionen auf, nennen
MehrMehrdimensionale Zufallsvariablen
Mehrdimensionale Zufallsvariablen Im Folgenden Beschränkung auf den diskreten Fall und zweidimensionale Zufallsvariablen. Vorstellung: Auswerten eines mehrdimensionalen Merkmals ( ) X Ỹ also z.b. ω Ω,
MehrStatistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik
Stefan Etschberger für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2017 Rechenregeln für den Erwartungswert Ist f symmetrisch bzgl. a, so gilt E(X)
MehrStatistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management
Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X)
MehrKapitel 12 Erwartungswert und Varianz
Kapitel 12 Erwartungswert und Varianz Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom 4/10. Juni 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 12.1 Der Erwartungswert Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen
MehrMathematik für Naturwissenschaften, Teil 2
Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die
MehrWirtschaftsmathematik
Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A
MehrStochastik Musterlösung 7
ETH Zürich HS 216 RW, D-MATL, D-MAVT Prof. Dr. Martin Schweizer Koordinator Calypso Herrera Stochastik Musterlösung 7 1. a) Es sind folgende zwei Eigenschaften zu zeigen: f X,Y (x, y) für alle (x, y) R
MehrVorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Vorlesung 8b Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen:
MehrZusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen
Zusammenfassung: e und e Verteilungen Woche 4: Gemeinsame Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilung p() Wahrscheinlichkeitsdichte f () WBL 15/17, 11.05.2015 Alain Hauser P(X = k
MehrEinführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management
Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Lageparameter: Erwartungswert d) Erwartungswert
Mehr2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen
8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer
Mehr7.5 Erwartungswert, Varianz
7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k
MehrK8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis
K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R
MehrEinige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Review)
Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Review) 1 Diskrete Zufallsvariablen (Random variables) Eine Zufallsvariable X(c) ist eine Variable (genauer eine Funktion), deren Wert vom Ergebnis c
Mehr0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1
Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = 1 0.3 x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x
Mehr67 Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz
67 Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz 67.1 Motivation Oft möchte man dem Resultat eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnen. Der Gewinn bei einem Glücksspiel ist ein Beispiel hierfür. In
MehrKapitel 8: Zufallsvektoren
Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse 03.12.2015 Kapitel 8: Zufallsvektoren Statt einem Merkmal werden häufig mehrere Merkmale gleichzeitig betrachtet, z.b. Körpergröße und
MehrFolie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse
Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse Die Gamma-Verteilung 13.12.212 Diese Verteilung dient häufig zur Modellierung der Lebensdauer von langlebigen Industriegüstern. Die Dichte
MehrVorlesung 8b. Zweistufige Zufallsexperimente. Teil 2
Vorlesung 8b Zweistufige Zufallsexperimente Teil 2 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen: P(X 1 = a 1,X 2 = a 2 ) = P(X 1 = a 1 )P a1 (X
MehrUnabhängigkeit von Zufallsvariablen
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Seminar Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie Pascal Beckedorf 12. November 2012 Pascal Beckedorf Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 12. November 2012 1
MehrLineare Regression. Kapitel Regressionsgerade
Kapitel 5 Lineare Regression 5 Regressionsgerade Eine reelle Zielgröße y hänge von einer reellen Einflussgröße x ab: y = yx) ; zb: Verkauf y eines Produkts in Stückzahl] hängt vom Preis in e] ab Das Modell
MehrProbeklausur Statistik II
Prof. Dr. Chr. Müller PROBE-KLAUSUR 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Gesamt: 15 8 16 16 7 8 15 15 100 Probeklausur Statistik II Name: Vorname: Fachrichtung: Matrikel-Nummer: Bitte beachten Sie folgendes: 1) Die Klausur
MehrVorlesung 8b. Bedingte Erwartung und bedingte Varianz
Vorlesung 8b Bedingte Erwartung und bedingte Varianz 1 1. Zerlegung eines Erwartungswertes nach der ersten Stufe (Buch S. 91) 2 Wie in der vorigen Vorlesung betrachten wir die gemeinsame Verteilung von
Mehr4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze
4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen
Mehr4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze
4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen
MehrDeskriptive Beschreibung linearer Zusammenhänge
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei k > 2 unabhängigen Stichproben 9.4 Beispiel: p-wert bei Varianzanalyse (Grafik) Bedienungszeiten-Beispiel, realisierte Teststatistik F = 3.89,
MehrÜbungsblatt 9 (25. bis 29. Juni)
Statistik 2 Dr. Andrea Beccarini Dipl.-Vw. Dipl.-Kffr. Heike Bornewasser-Hermes Sommersemester 2012 Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni) Stetiges Verteilungsmodell und Gemeinsame Verteilung Stetiges Verteilungsmodell
MehrDas (multiple) Bestimmtheitsmaß R 2. Beispiel: Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen (I) Parameterschätzer im einfachen linearen Regressionsmodell
1 Lineare Regression Parameterschätzung 13 Im einfachen linearen Regressionsmodell sind also neben σ ) insbesondere β 1 und β Parameter, deren Schätzung für die Quantifizierung des linearen Zusammenhangs
MehrStatistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen
Statistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Oktober 2018 Prof. Dr. Hans-Jörg
MehrUniversität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
7. Vorlesung - 2018 Bemerkung: Sei X = X 1,..., X n Zufallsvektor. Der n dimensionale Vektor EX = EX 1,..., EX n ist der Erwartungswert des Zufallsvektors X. Beispiel: Seien X, Y N0, 1. X, Y sind die Koordinaten
Mehr4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung
4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung Häufig werden mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachtet, z.b. Beispiel 4.1. Ein Computersystem bestehe aus n Teilsystemen. X i sei der Ausfallzeitpunkt
MehrBeispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal
Beispiel 37 Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Dies geschehe in jedem Wurf unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p. Wir definieren dazu die Zufallsvariable X := Anzahl der Würfe.
Mehr2.Tutorium Multivariate Verfahren
2.Tutorium Multivariate Verfahren - Multivariate Verteilungen - Hannah Busen: 27.04.2015 und 04.05.2015 Nicole Schüller: 28.04.2015 und 05.05.2015 Institut für Statistik, LMU München 1 / 21 Gliederung
MehrVorlesung 7a. Der Zentrale Grenzwertsatz
Vorlesung 7a Der Zentrale Grenzwertsatz als Erlebnis und Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen Wiederholung: Die Normalverteilung Dichtefunktion ϕ der Standardnormalverteilung ϕ(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
MehrKapitel 7. Regression und Korrelation. 7.1 Das Regressionsproblem
Kapitel 7 Regression und Korrelation Ein Regressionsproblem behandelt die Verteilung einer Variablen, wenn mindestens eine andere gewisse Werte in nicht zufälliger Art annimmt. Ein Korrelationsproblem
MehrVorlesung 3b. Der Erwartungswert
Vorlesung 3b Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen Teil 2 0. Wiederholung X sei eine diskrete reellwertige Zufallsvariable X S R E[X] := a S a P(X = a). heißt Erwartungswert von
Mehroder A = (a ij ), A =
Matrizen 1 Worum geht es in diesem Modul? Definition und Typ einer Matrix Spezielle Matrizen Rechenoperationen mit Matrizen Rang einer Matrix Rechengesetze Erwartungswert, Varianz und Kovarianz bei mehrdimensionalen
MehrTeil VI. Gemeinsame Verteilungen. Lernziele. Beispiel: Zwei Würfel. Gemeinsame Verteilung
Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen Woche 4: Verteilungen Patric Müller diskret Wahrscheinlichkeitsverteilung p() stetig Wahrscheinlichkeitsdichte f ()
MehrRegression und Korrelation
Kapitel 7 Regression und Korrelation Ein Regressionsproblem behandeltdie VerteilungeinerVariablen, wenn mindestens eine andere gewisse Werte in nicht zufälliger Art annimmt. Ein Korrelationsproblem dagegen
Mehri =1 i =2 i =3 x i y i 4 0 1
Aufgabe (5+5=0 Punkte) (a) Bei einem Minigolfturnier traten 6 Spieler gegeneinander an. Die Anzahlen der von ihnen über das gesamte Turnier hinweg benötigten Schläge betrugen x = 24, x 2 = 27, x = 2, x
MehrStatistics, Data Analysis, and Simulation SS 2017
Statistics, Data Analysis, and Simulation SS 2017 08.128.730 Statistik, Datenanalyse und Simulation Dr. Michael O. Distler Mainz, 4. Mai 2017 Dr. Michael O. Distler
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2010 Karlsruher Institut für Technologie Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 14.9.2010 Musterlösungen Aufgabe 1: Gegeben sei eine Urliste
Mehr4 MEHRDIMENSIONALE VERTEILUNGEN
4 MEHRDIMENSIONALE VERTEILUNGEN 4.14 Stochastische Vektoren 1. Der Merkmalraum des stochastischen Vektors (X, Y ) sei M = R 2. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten: A 1
Mehr1 Multivariate Zufallsvariablen
1 Multivariate Zufallsvariablen 1.1 Multivariate Verteilungen Definition 1.1. Zufallsvariable, Zufallsvektor (ZV) Sei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Eine (univariate oder eindimensionale)
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8. Vorlesung - 2017 Bemerkung: Sei X = (X 1,..., X n ) Zufallsvektor. Der n dimensionale Vektor ( ) E(X ) = E(X 1 ),..., E(X n ) ist der Erwartungswert des Zufallsvektors X. Beispiel: Seien X, Y N (0,
MehrOLS-Schätzung: asymptotische Eigenschaften
OLS-Schätzung: asymptotische Eigenschaften Stichwörter: Konvergenz in Wahrscheinlichkeit Konvergenz in Verteilung Konsistenz asymptotische Verteilungen nicht-normalverteilte Störgrößen zufällige Regressoren
MehrRegression ein kleiner Rückblick. Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate
Regression ein kleiner Rückblick Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate 05.11.2009 Gliederung 1. Stochastische Abhängigkeit 2. Definition Zufallsvariable 3. Kennwerte 3.1 für
MehrBiostatistik, WS 2010/2011 Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
1/73 Biostatistik, WS 2010/2011 Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Matthias Birkner http://www.mathematik.uni-mainz.de/~birkner/biostatistik1011/ 3.12.2010 2/73 1 Deterministische und zufällige
MehrInstitut für Stochastik Prof. Dr. N. Henze Dipl.-Math. V. Riess
Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Henze Dipl.-Math. V. Riess Name: Vorname: Matrikelnummer: Lösungsvorschlag zur Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Stochastik) Datum: 07.
MehrÜbungsrunde 10, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 10, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien,
Übungsrunde, Gruppe 2 LVA 7.369, Übungsrunde, Gruppe 2, 9..27 Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 9..27 Anmerkung: Viele dieser Lösungsvorschläge stammen aus dem Informatik-Forum, Subforum
Mehr1. Die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X,Y sei. 1 für 0 x 1 und 0 y 1 0 sonst. 1 Volumen über schraffierter Fläche = = 0.
Übungsbeispiele. Die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X,Y sei { für und f(,) sonst (a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion. f(,) (b) Berechnen Sie P(.5,.75) Lösung:.75 Volumen über schraffierter
Mehr1.5 Erwartungswert und Varianz
Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere: a) durchschnittlicher Wert Erwartungswert, z.b.
MehrStochastik. Frank Eckert und. Thomas Huppertz Letzte Änderung:
Stochastik getext von Frank Eckert Frank.Eckert@post.rwth-aachen.de und Thomas Huppertz thuppert@fh-niederrhein.de Letzte Änderung: 4.Juli.2000 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Kombinatorische Grundformeln
MehrStatistik. R. Frühwirth. Statistik. VO Februar R. Frühwirth Statistik 1/536
fru@hephy.oeaw.ac.at VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090 Februar 2010 1/536 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung
Mehr1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6
Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
MehrZusammenfassung 11. Sara dos Reis.
Zusammenfassung 11 Sara dos Reis sdosreis@student.ethz.ch Diese Zusammenfassungen wollen nicht ein Ersatz des Skriptes oder der Slides sein, sie sind nur eine Sammlung von Hinweise zur Theorie, die benötigt
MehrVorlesung 5a. Zufallsvariable mit Dichten
Vorlesung 5a 1 Vorlesung 5a Zufallsvariable mit Dichten Vorlesung 5a Zufallsvariable mit Dichten Teil 1 Uniforme Verteilung, Exponentialverteilung. Kontinuierlich uniform verteilte Zufallsvariable: 2 Kontinuierlich
MehrÜbungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x
Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
MehrGoethe-Universität Frankfurt
Goethe-Universität Frankfurt Fachbereich Wirtschaftswissenschaft PD Dr. Martin Biewen Dr. Ralf Wilke Sommersemester 2006 Klausur Statistik II 1. Alle Aufgaben sind zu beantworten. 2. Bitte runden Sie Ihre
MehrÜbung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 12
Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2013-2014 Übungsblatt 12 20. Januar 2014 Die folgenden ufgaben sind aus ehemaligen Klausuren! ufgabe 38.1 (1 Punkt: In einer Studie werden 10 Patienten therapiert. Die
MehrÜbung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie
Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable
MehrÜ b u n g s b l a t t 13
Einführung in die Stochastik Sommersemester 06 Dr. Walter Oevel 5. 6. 006 Ü b u n g s b l a t t 3 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von -Aufgaben
MehrWichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 15. Jänner 2017 Evelina Erlacher Inhaltsverzeichnis 1 Mengen 2 2 Wahrscheinlichkeiten 3 3 Zufallsvariablen 5 3.1 Diskrete Zufallsvariablen............................
Mehr4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen
4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten
MehrA. Grundlagen der Stochastik
A. Grundlagen der Stochastik Satz A.1 (Axiome der Wahrscheinlichkeit). Folgende Axiome der Wahrscheinlichkeit können definiert werden: (1) Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ergebnisses A bei einem Experiment
MehrA. Grundlagen der Stochastik
A. Grundlagen der Stochastik Satz A.1 (Axiome der Wahrscheinlichkeit). Folgende Axiome der Wahrscheinlichkeit können definiert werden: (1) Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ergebnisses A bei einem Experiment
MehrPrüfung. Wahrscheinlichkeit und Statistik. ETH Zürich HS 2015 Prof. Dr. P. Embrechts Januar Nachname. Vorname. Legi Nummer
ETH Zürich HS 25 Prof. Dr. P. Embrechts Januar 26 Prüfung Wahrscheinlichkeit und Statistik BSc INFK Nachname Vorname Legi Nummer Das Folgende bitte nicht ausfüllen! Aufgabe Max. Punkte Summe Kontrolle
Mehr