Vorkurs Mathematik Frankfurt University Of Applied Sciences, Fachbereich 2 1

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1 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 1 Rechnen mit Potenzen N bezeichnet die Menge der ntürlichen Zhlen, Q die Menge der rtionlen Zhlen und R die Menge der reellen Zhlen. n N bedeutet: n ist eine ntürliche Zhl. Def. (Potenzen mit ntürlichen Exponenten) n =... [lso n gleiche Fktoren] heißt n-te Potenz von. heißt Bsis, n heißt Hochzhl oder Exponent (n N ). 1 =. 0 n = 0. Stz ( "Potenzgesetze" ); Seien, b R ; k, n N. Dnn gilt: Potenzen mit ) k : n = k - n ( k > n) gleicher Bsis 3) ( k ) n = k * n 4) n b n = ( b) n n / b n = ( / b) n für b 0 Potenzen mit gleichem Exponenten 5) n + n = ( + ) n ; nur Summnden mit gleichen Potenzen können zusmmengefsst werden n + b n z.b. bleibt stehen (, R ) Bem.: 1) Alle Gesetze folgen us der Definition, z.b. Gesetz : ( k Fktoren ) =... ( k - n Fktoren, nchdem mn gekürzt... ( n Fktoren) ht ; k > n!!). ) Potenzen (mit ntürlichen Hochzhlen) sind Abkürzungen für Produkte. Dher muss mn bei der Mnipultion von Summen, die Potenzen enthlten, ufpssen (Gesetz 5). 3) Bechten Sie bei den Gesetzen (1) (3) die Verschiebung der Rechenrten: us dem Produkt der Potenzen wird im Ergebnis die Summe der Exponenten, usw..

2 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University of Applied Sciences, Fchbereich : 10 = 104 ; Informtik: 104 Bytes werden ls 1 KB bezeichnet (großes K) ; normlerweise steht die Vorsilbe Kilo (k) für 1000 = 10 3 ( 3 ) = 6 = n 1 ( ) = = n n n 5 + b 5 stehen lssen!! Die obige Definition soll nun uf nicht-ntürliche Exponenten verllgemeinert werden und zwr so, dss die Potenzgesetze ihre Gültigkeit behlten ( Permnenz-Prinzip ). Dbei werden wir sehen, dss mn dnn Einschränkungen bei der Bsis vornehmen muss. Def. (Potenzen mit nicht-positiven gnzzhligen Exponenten) Für 0 legen wir fest: 0 = 1 ; -n = 1 / n ( n N ). Die Potenz -n wird lso ls Kehrwert von n definiert. Die Definition ist sinnvoll, denn: 1 = n : n = n - n = 0, wenn mn ds Potenzgesetz () einfch verllgemeinert. = 0 ist dnn verboten (keine Division durch Null). Ebenso: 1/ n = 0 : n = 0 - n = -n. Aus -n = 1 / n folgt unmittelbr: 1/ -n = n. - = 1/ = 1/4 ; - -3 = -5 = 1/ 5 1 = 3 ( - ) -3 = 6 = 64 ; 1/ 10-3 = 10 3 Def. (Wurzeln; Potenzen mit Stmmbrüchen 1/n ls Exponent) Die n-te Wurzel us einer nichtnegtiven Zhl ist diejenige nichtnegtive Zhl x, für die gilt: x n =. Mn schreibt x = n. heißt jetzt Rdiknd. n 0 = 0. Mn definiert: n = 1/n. Potenzen mit Stmmbrüchen ls Exponent sind lso Wurzeln.

3 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 3 Die Def. von 1/n ls n ist sinnvoll, denn: ( 1/n ) n = (1/n) * n = n/n =, wenn mn die Potenzgesetze uf gebrochene Exponenten erweitert. Eine Zhl, deren n-te Potenz ergibt, ist lut Definition die n-te Wurzel us. Bechten Sie, dss in dieser Definition vereinbrt wird: (1) Rdiknden sind stets nichtnegtiv (d.h. 0), dmit mn IMMER die Wurzel ziehen knn. Aus negtiven Zhlen knn mn die n-te Wurzel nie ziehen, wenn n gerde ist. Viele Mthemtikbücher lssen die n-te Wurzel us einer negtiven Zhl zu, wenn n ungerde ist. Ds ist völlig legitim, ABER: eine solche Wurzel knn nicht ls Potenz mit gebrochenem Exponenten geschrieben werden: die Potenzgesetze gelten dfür nicht mehr! Bspl: - wäre dnn 3 8 = (-8) 1 / 3 = (-8) / 6 = ((-8) ) 1/ 6 = +, wenn mn die Potenzgesetze weiter nwendet. Die Potenzgesetze gelten nur für > 0 uneingeschränkt. Wenn Wurzeln mit Hilfe eines Computerprogrmms berechnet werden sollen, muss mn sich für ein Vorgehen entscheiden und dieses konsequent beibehlten. () Wurzeln sind stets nichtnegtiv, dmit ds Ergebnis EINDEUTIG ist. Denn sonst könnte mn z.b. für 4 whlweise oder - nehmen, denn beide Zhlen ergeben qudriert wieder 4. Wenn mn dnn z.b bestimmen soll, hätte mn schon vier Möglichkeiten und ds sind drei zuviel. ) 4 16 =, denn 4 = 16. Die Gleichung x 4 = 16 ht ber ZWEI Lösungen, nämlich x 1 = 4 16 =, x = = -! 4 16 ist nicht definiert. 3 8 ist (nch obiger Definition) nicht definiert, ber die Gleichung x 3 = - 8 ht genu eine Lösung, nämlich x = - = - 3 8!

4 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University of Applied Sciences, Fchbereich 4 b) Die sog. Wurzelgesetze sind die Potenzgesetze für gebrochene Exponenten: 3 = 1/ 1/3 (gleiche Bsis!) = 1/ + 1/3 = 5/6 = ( 5 ) 1/6 = 6 5. llgemein: k n = 1/k * 1/n = 1/k + 1/n kn = n k = kn k n 3 = 1/ 3 1/ (gleicher Exponent!) = 6 ; llgemein: n * n b = 1/n * b 1/n = (*b) 1/n = n (b). c) 0.4 = 4/10 = /5 = 5. d) + b, b, b unverändert stehen lssen!!! e) x = x nur für x 0 : Qudrieren und Qudrtwurzelziehen sind Umkehrungen voneinnder, solnge mn im Bereich nichtnegtiver Zhlen bleibt. Bem. 1) Potenzen mit negtiven gebrochenen Exponenten erhält wieder über den entsprechenden Kehrwert: -1/n = 1 / 1/n = 1/ n ) Für > 0 können uch Potenzen x mit beliebigen reellen Exponenten definiert werden, z.b.. Die Potenzgesetze gelten für > 0 uneingeschränkt. * ( e x ) = = e x ; ( ) 1/ = ; -x = 1/ x ; ( ) x e = e x x 1/ = ; x = ( e x ) ;

5 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 5 Rechnen mit Logrithmen Einführendes : x = 3 ; x wird durch Ausrechnen der Potenz ermittelt, x = 8. x 3 = 8 ; x wird durch Wurzelziehen ermittelt, x = 3 8 =. x = 8 ; x wird durch Logrithmieren ermittelt, x = log 8 = 3. Verllgemeinerung: x = b x = log b. Def. (Logrithmus) Wenn x = b, dnn heißt x der Logrithmus von b zur Bsis. Mn schreibt: x = log (b). In Worten: Derjenige Exponent, mit dem mn potenzieren muss, um b zu erhlten, heißt Logrithmus von b zur Bsis. b heißt in diesem Zusmmenhng uch Numerus. Für die Bsis wird vorusgesetzt: > 0, 1 ; für den Numerus: b > 0. Begründung der Einschränkungen für Bsis und Numerus: nch den Überlegungen im Rhmen der Potenzrechnung schließen wir nichtpositive Bsen us. = 1 schließt mn us, d 1 x = 1 für lle x. Ist die Bsis positiv, knn uch die Potenz (hier Numerus b gennnt) nur positiv sein. log 5 (5) =, denn 5 = 5 log 9 (3) = 1/, denn 9 1/ = 3 log 10 (0.01) = -, denn 10 - = 0.01 log 0.01 (10) = - 1/, denn / = (10 - ) (-1/) = 10 log (1) = 0, denn 0 = 1 log 10 (3) log e (b) log 3 (10) 10 = 3 ; e = b ; 3 = 10

6 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University of Applied Sciences, Fchbereich 6 Bem. 1) Ds vorhergehende Beispiel zeigt, dss Logrithmieren und Exponieren zur selben Bsis sich ufheben, sie sind Umkehrungen zueinnder. Dies folgt unmittelbr us der Definition: wenn x = b (1), dnn gilt x = log (b) (). log (b) Ersetzt mn in (1) ds x gemäß (), erhält mn: = b ) Der Ausdruck log (b) knn uch ls Hndlungsvorschrift ufgefsst werden: logrithmiere b zur Bsis, genu so wie der Ausdruck (b) ls Hndlungsvorschrift ufgefsst werden knn: qudriere b. Keinesflls drf log (b) ls Produkt von log und b missverstnden werden. 3) x Wenn 1 x = = b folgt : x1 = x = x, nämlich x = log (b). Diese Eigenschft heißt Umkehrbrkeit oder Eineindeutigkeit der Exponentilfunktion. Wenn x = log (b 1 ) = log (b ) folgt : b 1 = b = b, nämlich b = x. Diese Eigenschft heißt Umkehrbrkeit oder Eineindeutigkeit des Logrithmus, genuer gesgt der Logrithmusfunktion. Ds ist nicht selbstverständlich: so folgt z.b. us ( b 1 ) = ( b ) NICHT: b 1 = b, sondern: b 1 = b ODER b 1 = - b!! Die Begriffe Funktion, Eindeutigkeit und Eineindeutigkeit werden in einem entsprechenden Kpitel der Vorlesung Mthemtik 1 behndelt werden.

7 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 7 4) Oft lässt mn die Klmmer um den Numerus weg: log b

8 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University of Applied Sciences, Fchbereich 8 Stz ( Logrithmengesetze) 1) log (u v) = log (u) + log (v) ) log (u / v) = log (u) - log (v) 3) log ( u v ) = v log (u) Bechten Sie uch hier die Verschiebung der Rechenrten. Beweis: D die Logrithmen uch nur Exponenten sind, folgen die Logrithmengesetze us den Potenzgesetzen. (1) Sei x = log (u) u = x (Definition des Log.). Ebenso: y = log (v) v = y. Dnn: u v = x y = x+y (Potenzgesetz) x + y = log (u v) (Def. des Log.: mit x+y muss mn potenzieren, um u v zu erhlten). D x + y = log (u) + log (v), ergibt sich die Behuptung. (3) Sei x = log u u = x. Dnn gilt: u v = ( x ) v = x v (Potenzgesetz) x v = log (u v ). (Def. des Log.: mit x v muss mn potenzieren, um u v zu erhlten). Mit x = log (u) folgt die Behuptung. () log (u / v) = log ( u v -1 ) = log (u) + log (v -1 ) (Log. - Gesetz 1) = log (u) - log (v) (Log. - Gesetz 3)

9 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 9 Def. ( Spezielle Bsen ) log 10 (b) =: lg (b) heißt dekdischer Logrithmus ( Zehnerlogrithmus ) von b. log e (b) =: ln (b) heißt ntürlicher Logrithmus von b ; e : Euler sche Zhl. log (b) =: lb ( b ) heißt Zweierlogrithmus von b (binärer Log.). Oft wird log sowohl für lg (einige Tschenrechner) ls uch für ln meriknischer Litertur) genommen; lb hieß früher ld (log. dulis ). (z.b. in Anwendung: Auflösen einer Exponentilgleichung : 7 x = 8 (lut Def.) x = log 7 (8). Um diesen Logrithmus (zur Bsis 7) mit einem Tschenrechner numerisch zu bestimmen, muss mn uf den Logrithmus zur Bsis 10 bzw. e umformen (es sei denn, der Rechner knn uch Logrithmen zur Bsis 7). Dzu knn mn zur Ausgngsgleichung zurückkehren und beide Seiten logrithmieren, z.b. zur Bsis 10 lg(7 x ) = lg(8) (Log. - Gesetz 3) x lg(7) = lg(8) x = lg(8) / lg(7). (Hinweis: Logrithmieren von beiden Seiten einer Gleichung ist erlubt wegen der Eineindeutigkeit des Logrithmus) Anwendung: Auflösen einer Logrithmengleichung : lg(x) = (lut Def.) x = 10 oder lg(x) lg(x) = (Exponieren zur Bsis 10) 10 = 10 x = 10 (Hinweis: Exponieren von beiden Seiten einer Gleichung ist erlubt wegen der Eineindeutigkeit der Exponentilfunktion)