2. Das single-source-shortest-path-problem

Transkript

1 . Das single-source-shortest-path-problem Zunächst nehmen wir an, dass d 0 ist. Alle kürzesten Pfade von a nach b sind o.b.d.a. einfache Pfade.. Dijkstra s Algorithmus Gegeben: G = (V, A), (A = V V ), Distanzfunktion d : A R + {+}, Startknoten s, G durch Adjazenzlisten dargestellt. 0 s EADS. Dijkstra s Algorithmus 48/00

2 algorithm sssp:= S := {s}; dis[s] := 0; initialisiere eine Priority Queue P Q, die alle Knoten v V \ {s} enthält mit Schlüssel dis[v] := d(s, v) for alle v V {s} do from[v] := s od while S V do v := ExtractMin(P Q) S := S {v} for alle w V \ S, d(v, w) < do if dis[v] + d(v, w) < dis[w] then DecreaseKey(w, dis[v] + d(v, w)) co DecreaseKey aktualisiert dis[w] oc from[w] := v fi od od EADS. Dijkstra s Algorithmus 49/00

3 Seien n = V und m = die Anzahl der wirklichen Kanten in G. Laufzeit (mit Fibonacci-Heaps): Initialisierung: O(n) ExtractMin: n O(log n) Sonstiger Aufwand: m O() (z.b. DecreaseKey) Zeitbedarf also: O(m + n log n) EADS. Dijkstra s Algorithmus 470/00

4 Korrektheit: Wir behaupten, dass in dem Moment, in dem ein v V \ {s} Ergebnis der ExtractMin Operation ist, der Wert dis[v] des Schlüssels von v gleich der Länge eines kürzesten Pfades von s nach v ist. Beweis: [durch Widerspruch] Sei v V \ {s} der erste Knoten, für den diese Behauptung nicht stimmt, und sei s s s s... r v v v... q v ein kürzester Pfad von s nach v, mit einer Länge < dis[v]. Dabei sind s,..., s r S, v / S [r = 0 und/oder q = 0 ist möglich]. s s s Betrachte den Pfad... r v ; seine Länge ist < dis[v], für q (ebenso für q = 0) ist also dis[v ] < dis[v], im Widerspruch zur Wahl von v. EADS. Dijkstra s Algorithmus 47/00

5 Beispiel 08 (Dijkstra s Algorithmus) 0 v v v 4 v 4 v 5 v v 7 gegeben Graph G; v ist der Startknoten; setze v als Bezugsknoten; setze dis[v ] = 0; setze dis[rest] = +; EADS 47/00

6 Beispiel 08 (Dijkstra s Algorithmus) 0 v 0 v v v v v 4 v 4 4 v 4 v 5 v 5 v v v 7 v 7 gegeben Graph G; v ist der Startknoten; setze v als Bezugsknoten; setze dis[v ] = 0; setze dis[rest] = +; setze dis[v ] = ; markiere (v, v ); setze dis[v ] = ; markiere (v, v ); setze v als Bezugsknoten, da dis[v ] minimal; EADS 47/00

7 Beispiel 08 (Dijkstra s Algorithmus) 0 v 0 v v v v v 4 v v 4 v 5 v 5 v v v 7 v 7 setze dis[v ] = ; markiere (v, v ); setze dis[v ] = ; markiere (v, v ); setze v als Bezugsknoten, da dis[v ] minimal; setze dis[v ] = + = 5; markiere (v, v ); unmarkiere (v, v ); setze dis[v 4 ] = + 4 = ; markiere (v, v 4 ); setze v als Bezugsknoten, da dis[v ] minimal; EADS 47/00

8 Beispiel 08 (Dijkstra s Algorithmus) 0 v 0 v v v v v 5 4 v v 4 v 5 v 5 8 v v v 7 v 7 setze dis[v ] = + = 5; markiere (v, v ); unmarkiere (v, v ); setze dis[v 4 ] = + 4 = ; markiere (v, v 4 ); setze v als Bezugsknoten, da dis[v ] minimal; setze dis[v 5 ] = 5 + = 7; markiere (v, v 5 ); setze dis[v ] = 5 + = 8; markiere (v, v ); setze v 4, dann v 5 als Bezugsknoten; EADS 47/00

9 Beispiel 08 (Dijkstra s Algorithmus) 0 v 0 v v v v v v v 4 v 5 v v v v 7 8 v 7 setze dis[v 5 ] = 5 + = 7; markiere (v, v 5 ); setze dis[v ] = 5 + = 8; markiere (v, v ); setze v 4, dann v 5 als Bezugsknoten; setze dis[v 7 ] := 7 + = 8; markiere (v 5, v 7 ); alle Knoten wurden erreicht: Algorithmus zu Ende EADS. Dijkstra s Algorithmus 47/00

10 Beobachtung: ExtractMin liefert eine (schwach) monoton steigende Folge von Schlüsseln dis[ ]; Die Schlüssel in P Q sind stets dis[v] + C, wobei v das Ergebnis der vorangehenden ExtractMin-Operation (bzw. s zu Beginn) und C := max (u,w) A {dis(u, w)} ist. Satz 09 Dijkstra s Algorithmus (mit Fibonacci-Heaps) löst das single-source-shortest-path-problem in Zeit O(m + n log n). EADS. Dijkstra s Algorithmus 47/00

11 Bemerkungen: Verwendet man Dijkstra s Algorithmus mit d-heaps, so erhält man Laufzeit O(m log + m n n) Mikkel Thorup: Undirected single-source shortest paths with positive integer weights in linear time J. ACM 4(), pp. 94 (999) EADS. Dijkstra s Algorithmus 474/00

12 . Dijkstra s Algorithmus mit Radix-Heaps S s v v + dis[v] dis[v ] d(v) [0,..., C] (alle Werte sind zwischen dis[v] und nc) dis[v] dis[v ] EADS. Dijkstra s Algorithmus mit Radix-Heaps 475/00

13 Wir verwenden Radix-Heaps (siehe dort), in der einstufigen Variante wie vorgestellt. Satz 0 Dijkstra s Algorithmus mit einstufigen Radix-Heaps hat Zeitkomplexität O(m + n log C). Beweis: siehe Satz 7. EADS. Dijkstra s Algorithmus mit Radix-Heaps 47/00

14 Verbesserungen: zweistufige Heaps: O(m + n log C log log C ) mehrstufige Heaps (+Fibonacci-Heaps): O(m + n log C) R.K. Ahuja, Kurt Mehlhorn, J.B. Orlin, R.E. Tarjan: Faster Algorithms for the Shortest Path Problem J.ACM 7, pp. (990) EADS. Dijkstra s Algorithmus mit Radix-Heaps 477/00

15 . Bellman-Ford-Algorithmus Wir setzen (zunächst) wiederum voraus: d 0. Dieser Algorithmus ist ein Beispiel für dynamische Programmierung. Sei B k [i] := Länge eines kürzesten Pfades von s zum Knoten i, wobei der Pfad höchstens k Kanten enthält. Gesucht ist B n [i] für i =,..., n (o.b.d.a. V = {,..., n}). EADS. Bellman-Ford-Algorithmus 478/00

16 Initialisierung: Iteration: d(s, i), falls d(s, i) <, i s B [i] := 0, falls i = s +, sonst for k := to n do for i := to n do { 0, falls i = s B k [i] := min j N (i){b k [i], B k [j] + d(j, i)}, sonst od od Bemerkung: N (i) ist die Menge der Knoten, von denen aus eine Kante zu Knoten i führt. EADS. Bellman-Ford-Algorithmus 479/00

17 Korrekheit: klar (Beweis durch vollständige Induktion) Zeitbedarf: Man beachte, dass in jedem Durchlauf der äußeren Schleife jede Halbkante einmal berührt wird. Satz Der Zeitbedarf des Bellman-Ford-Algorithmus ist O(n m). Beweis: s.o. EADS. Bellman-Ford-Algorithmus 480/00

18 . Floyd s Algorithmus für das all-pairs-shortest-path-problem Dieser Algorithmus wird auch als Kleene s Algorithmus bezeichnet. Er ist ein weiteres Beispiel für dynamische Programmierung. Sei G = (V, A) mit Distanzfunktion d : A R + 0 o.b.d.a. V = {v,..., v n }. Wir setzen nun gegeben. Sei c k ij := Länge eines kürzesten Pfades von v i nach v j, der als innere Knoten (alle bis auf ersten und letzten Knoten) nur Knoten aus {v,..., v k } enthält. EADS.0 Bellman-Ford-Algorithmus 48/00

19 algorithm floyd := for alle (i, j) do c (0) ij := d(i, j) od co i, j n oc for k := to n do for alle (i, j), { i, j n do } c (k) ij := min c (k ) ij, c (k ) ik + c (k ) kj od od EADS.0 Bellman-Ford-Algorithmus 48/00

20 Laufzeit: O(n ) Korrektheit: Zu zeigen: c (k) ij des Algorithmus = c k ij (damit sind die Längen der kürzesten Pfade durch c (n) ij gegeben). Beweis: Richtig für k = 0. Induktionsschluss: Ein kürzester Pfad von v i nach v j mit inneren Knoten {v,..., v k+ } enthält entweder v k+ gar nicht als inneren Knoten, oder er enthält v k+ genau einmal als inneren Knoten. Im ersten Fall wurde dieser Pfad also bereits für c (k) ij betrachtet, hat also Länge = c (k) ij. Im zweiten Fall setzt er sich aus einem kürzesten Pfad P von v i nach v k+ und einem kürzesten Pfad P von v k+ nach v j zusammen, wobei alle inneren Knoten von P und P {v,..., v k } sind. Also ist die Länge des Pfades = c (k) i,k+ + c(k) k+,j. EADS.0 Bellman-Ford-Algorithmus 48/00

21 Satz Floyd s Algorithmus für das all-pairs-shortest-path-problem hat Zeitkomplexität O(n ). EADS.0 Bellman-Ford-Algorithmus 484/00

22 4. Digraphen mit negativen Kantengewichten 4. Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0. s k 0 5 k 4 C k k k v Sollte ein Pfad von s nach C und von C nach v existieren, so ist ein kürzester Pfad von s nach v nicht definiert. EADS 4. Grundsätzliches 485/00

23 Falls aber die Gesamtlänge des Kreises C 0 ist, s k 4 v k 0 k k k dann ist der kürzeste Pfad wohldefiniert. Probleme gibt es also nur dann, wenn G einen Zyklus negativer Länge enthält. EADS 4. Grundsätzliches 48/00

24 Dijkstra s Algorithmus funktioniert bei negativen Kantenlängen nicht: w s 4 v Bei diesem Beispielgraphen (der nicht einmal einen negativen Kreis enthält) berechnet der Dijkstra-Algorithmus die minimale Entfernung von s nach w fälschlicherweise als (statt ). EADS 4. Grundsätzliches 487/00