Abschlussprüfung Mathematik 12 Nichttechnik A II - Lösung

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1 GS m_nt-a_lsg_gs_pdf Abschlussprüfung 0 - Mathematik Nichttechnik A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f( x) D f = IR. 0 x x 8 x mit der Definitionsmenge Teilaufgabe. (8 BE) Zeigen Sie, dass G f für x = einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie mithilfe der maximalen Monotonieintervalle Art und Koordinaten aller Punkt auf G f mit waagrechter Tangente. f' ( x) x x 8 f' 0 Polynomdivision: x x 8 x x x = 0 x x x x x x = 0 auflösen 0 x x i i 0 x 8 0 x keine reellen Lösungen AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

2 f( x) = x x x 0 Da x x 0 0, wird das Vorzeichen von f' ( x) bestimmt durch den Term x. x = G f ist streng monoton fallend in ] ; ] und f '(x) neg pos G f smf sms TP G f ist streng monoton steigend in [ ; [. f Tiefpunkt TP(..6) Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Wendepunkte von G f auf zwei Nachkommastellen gerundet. f'' ( x) x f'' ( x) = 0 x W x f f = 0 auflösen x.6 WP (..6) 0. WP (. 0.).. jeweils Nullstelle mit VZW, also Wendestellen. Teilaufgabe. ( BE) Begründen Sie, dass f im Intervall J = [ ; ] genau eine Nullstelle x 0 besitzt. Ermitteln Sie ein Intervall J 0 J der Länge Δx = 0., das diese Nullstelle x 0 enthält. f( ). f( ).7 VZW, d. h. es gibt eine Nullstelle. G f ist streng monoton steigend, d.h. G f hat genau eine Nullstelle. f (.) 0. f (.7) 0.8 VZW, also liegt die Nullstelle im Intervall ]. ;.7 [ AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

3 Teilaufgabe. (6 BE) Weisen Sie durch Rechnung nach, dass sich die Graphen der Funktionen f und g mit gx ( ) 8 x und D g = IR, für x = ± berühren. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte. f( x) = gx ( ) 0 x x 8 x = 8 x 0 x x = 0 Substitution: x = z 0 z z = 0 auflösen z zweifache Nullstelle ( z ) = 0 x 0 = [( x ) ( x ) ] = 0 ( x ) ( x ) = 0 x = und x = jeweils zweifache Nullstelle der Differenzfunktion, also berühren sich die Graphen von f und g. g( ). BP (.) g ( ). BP (.) AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

4 Teilaufgabe. (6 BE) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g im Bereich x, auch unter Verwendung vorliegender Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem. 0 x T fx T Fläche zwischen den Graphen Graph von f Graph von g Tiefpunkt Wendepunkte Berührpunkte Weitere Kurvenpunkte Teilaufgabe.6 ( BE) Die Graphen G f und G g schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Stammfunktion: x x Dx ( ) dx 0 x 00 x x D ( ) 0.8 D( ) 0.8 A D( ) D( ) A.707 AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

5 Teilaufgabe ( BE) Gegeben ist die allgemeine ganzrationale Funktion u vierten Grades durch ux ( ) = ax bx cx dx e mit abc d e x IR und a 0. geben Sie ohne Begründung und ohne Rechnung einen Überblick, wie viele Nullstellen (Anzahl und Vielfachheit!) die Funktion u haben kann Vier Nullstellen, jeweils einfach drei Nullstellen: Zwei einfache, eine zweifache zwei Nullstellen: eine einfach, eine dreifach zwei Nullstellen: jeweils einfach zwei Nullstellen; jeweils zweifach eine Nullstelle: vierfach eine Nullstelle: zweifach keine Nullstellen Darstellung in der Prüfung nicht verlangt! Fall Fall Fall Fall Fall Fall AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

6 Fall 7 Fall Teilaufgabe.0 Gegegeben sind mit dem Parameter k IR \ {0} und D = IR die quadratischen Funktionen hk h k ( x) kx ( k ) x k =. k Teilaufgabe. ( BE) Untersuchen Sie, für welchen Parameterwert k der Graph von h k symmetrisch zum Koordinatensystem ist. Erläutern Sie ihr Vorgehen. Es dürfen nur gerade Potenzen von x vorliegen, da eine quadratische Funktion nur achsensymmetrisch sein kann. k = 0 k = Teilaufgabe. ( BE) Weisen Sie nach, dass D = k k k die Diskriminante der Gleichung h k ( x) = 0 ist. Dk ( ) = ( k ) k k k Dk ( ) = k k k = k k k Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie nun diejenigen Werte k, für die die quadratische Funktion h k mindestens eine Nullstelle besitzt. Mindestens eine Nullstelle: Dk ( ) 0 Dk ( ) = 0 k k k 0 = k k k = 0 AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 6 von

7 k( k ) = 0 k = 0 einfach, aber nicht definiert k = zweifach Dk ( ) k( k ) Vorzeichen der Diskriminante: x = 0 x = Mindestens eine Nullstelle für k ] ; 0 [ { }. Teilaufgabe.0 Die Graphen der reellen Funktionen p und q mit px ( ) x und qx ( ) x und mit D p = D q = [ ; ] bilden die nebenstehend abgebildete Fläche. Darin einbeschrieben ist das Rechteck ABCD, dessen Eckpunkte auf den Graphen der Funktionen p und q liegen. Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie die Maßzahl Aa ( ) der Fläche des Rechtecks in Abhängigkeit von a und geben Sie eine sinnvolle maximale Definitionsmenge D A an. [ Mögliches Teilergebnis: Aa ( ) = a a ] Aa ( ) = a ( pa ( ) qa ( )) a a a = = a a 6 = a D a = ] 0 ; [ a AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 7 von

8 Teilaufgabe. (7 BE) Bestimmen Sie a so, dass die zugehörige Fläche maximalen Inhalt annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall die Maßzahlen für die Fläche, Breite und Länge des Rechtecks. Aa ( ) a a A' ( a) a A' ( a) = 0 a = 0 auflösen a keine Lösung Extremstelle: a max a max. Funktionswert: A max Aa max 6 Vergleich mit den Randwerten: lim a 0 a a 0 lim a a a 0 Absolutes Maximum = Fläche: A max.8 Breite: b a max b.0 qa max Länge: l p a max l AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 8 von

9 Wähle: a 0 a max Flächenmaßzahlfunktion a max D C 0 A max 8 A(a) 6 0 A B a AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von