MATHEMATIK-WETTBEWERB 2014/2015 DES LANDES HESSEN

Transkript

1 MATHEMATIK-WETTBEWERB 04/05 DES LANDES HESSEN. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A. a) L = {... ; ; 0; ; ; }, denn x > 0 gilt immer, somit x 4) < 0 x < 4 b) L = { ; 0; }, denn x 4) x + 6) x 4 6) < 0 x 4) [x + 6) x + 4)] < 0 x 4) < 0 x < 4 c) L = {... ; 4; ; ; 0; ; ; 4;...}, denn x 4) x + 00) < 4 x + 4) x 4) x 4 6) x 4) x + 00) < 4 x 4 6) x 4 6) x 4) x + 00) < x 4 6) x 4) [x + 00) x + 4)] < 0 x 4) [ x + 88] < 0 Fall : x 4 < 0 und x + 88 > 0 x < 4 und 44 > x L = { ; 0; } Fall : x 4 > 0 und x + 88 < 0 x > 4 und 44 < x L = {... ; 4; ; ; 4;...}. a) Hinweise zur Konstruktion des Dreiecks ABC: Parallelstreifen im Abstand von h c und Abtragen von Winkel β führt auf B und C. Antragen der Mittelsenkrechte m BC Antragen von r u an B oder C) schneidet m BC im Umkreismittelpunkt M Zeichnen des Umkreises. Schnittpunkt des freien Schenkels mit dem Umkreis ergibt A. b) Hinweise zur Konstruktion des Dreiecks ABC: Parallelstreifen im Abstand von h c und Abtragen von Winkel β führt auf B und C. Schnittpunkt der beiden Parallelstreifen zu den beiden Schenkeln von β im Abstand von r i alternativ: ein Parallelstreifen und w β ) liefert den Mittelpunkt M des Inkreises. Zeichnen des Inkreises. Thaleskreis über MC schneidet den Inkreis in D alternativ: Verdoppelung des Winkels <) M CB) Verlängerung von CD alternativ: freier

2 Schenkel von < ) M CB) schneidet freien Schenkel von β in A. Hinweise zur Konstruktion des Dreiecks ABC: Berechnung von α und β mit LGS α β = 4, α + β = 0 α = 58, β = 44 ) Konstruktion nach WSW alternativ: Zeichnen von AC und Abtragen des Winkels α β = 4 in A Antragen von γ schneidet freien Schenkel in D. Kreis um D mit Radius DA schneidet freien Schenkel von γ in B. c). a) AACD = AACP gleiche Grundseite AC und gleiche Ho he) AABCD = AABC + AACD = AABC + AACP = AABP b) ) AABC 0 = AABC gleiche Grundseite AB und gleiche Ho he) AAP C 0 = AAP D gleiche Grundseite AP und AP C 0 D) AABC = AABC 0 = AABP + AAP C 0 = AABP + AAP D = ADBP ) Parallele zu AB durch C AP bzw. BP ) schneidet die Parallele in C 0 Parallele zu P B bzw. P A) durch C 0 liefert D auf AB Schraffur des Lo sungsdreiecks 4. a) b) ) n = 5 und d = 4 ) c) ) ) d kann 0, 4, 5, 6, 7 sein. d=0 d=6 d=4 d) ) ) 5. a) ) ) ) d=7 d=5 s. Figur II d=n d = n ) + Zu einer Figur mit n Punkten und maximalem d kommen mit Punkt n immer ho chstens zwei Dreiecke hinzu, d. h. n hat den Vorfaktor. Weil das erste Dreieck zuna chst geschlossen werden muss, muss der Term fu r n = den Wert ergeben. : 5 6 e = 5 e alternativ: Fu r das Rezept muss man,5 kg Erdbeeren. Wahl fu r 5 e kaufen, denn die beno tigten kg entsprechen 45 der zu kaufenden Menge. 5 kg 4 =,5 kg). : 4,50 e =,50 e alternativ: Fu r das Rezept muss man kg Erdbeeren. Wahl fu r,50 e kaufen, denn die beno tigten kg entsprechen der zu kaufenden Menge. kg =,5 kg). 5,40 e : 5 x e =,50 e

3 c) 6. a) Jeans ist b) Wenn,5 kg Erdbeeren. Wahl,50 e kosten, dann ergibt sich ein Kilopreis von,50 e :,5 =,50 e 5 = 5,40 e. : a) 6 e =,50 e alternativ: Fu r,50 e bekommt sie,50 e : 6 e =,5 kg Erdbeeren. Wahl).,5 Da = 8 sind, wurden weggeputzt. =,5,5 z. B. 0% 0%), % 0%), 8% 0%) oder 0%,%), 00% 00%))je,0) 6 r ) : 5 ) = 4,5 r ) : ) r = 0, + 0,r alternativ: r = 0r )) einwandfrei fehlerhaft Summe Test ergibt erste Wahl zweite Wahl Dies ist der Anteil an allen produzierten Jeans, die sowohl fehlerhaft sind als auch als zweite Wahl erkannt werden. c) oder alternativ: ) d) ) pa < pb, Pauls Behauptung ist korrekt. pa = Pfehlerhafte Jeans im A-Store) = pb = Peinwandfreie Jeans im B-Store) = 80 0 ) Pauls Behauptung stimmt auch in diesem Fall: 50 < Test ergibt erste Wahl zweite Wahl Summe einwandfrei fehlerhaft Summe Jeans ist b) Summe a) ) P. Kugel weiß ) = 8 wa 0 sa Baumdiagramm: 7 ) P WW oder SS ) = ) PWB SA ) = = 4 8 b) ) PWW)= + = ) PWW A) = 6 = wb sb wb sb 6 0

4 MATHEMATIK-WETTBEWERB 04/05 DES LANDES HESSEN. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE B. a) ) L = { ; 0; ;...} 8x + x 4x > 4x 6 4x + x > 4x 6 x > 6 x > 6 x > ) L = { } x = x + 0x = 0x = 0x 0,5 = x b) ) y = 40 ) richtiges Zahlenpaar, z. B. x = 806, y = 40 oder x =, y = 404) ) richtiges Zahlenpaar, z. B. x =, y = 404. a) Koordinatensystem mit Dreieck ABC b) ) Einzeichnen von Punkt E Spiegeln des Punktes E ) 5 cm A AEB = 5 ) B 5 5) Einzeichnen der Spiegelachse im 45 -Winkel zum Ursprung 4) Die Aussage stimmt mit richtiger Begründung, z. B. A ABC : A AEB = 7,5 cm :,5 cm = : 5 = 60 % alternativ: Verhältnisse der Höhen) c) <) EAE = 60, <) BEA = 0, <) AE B = 0, <) E BE = 0. a) Dreieck ABC mit Beschriftung Parallelstreifen mit 4,5 cm Antragen von α Berechnen von γ = 70 Antragen von γ b) Dreieck ABC mit Beschriftung Zeichnen der Seite c und Antragen von α Zeichnen der Winkelhalbierenden c) ) Dreieck ABC mit Beschriftung Zeichnen von c und Kreisbogen um A mit r = 6 cm und Kreisbogen um B mit r = 5 cm ) Zeichnen des Inkreises Konstruktion zweier Winkelhalbierenden

5 4. a) : 65 4,4... b) entsprechen 05 % : ,... c) 6 % 800 : ,6... % d) ) entsprechen 00 % : 4 ) entsprechen 00 % entsprechen 50 % : 5. a) ) 5 0 = ) ) 4 0 = ) 5 ) 0 = ) 5 b).) 4 0 = ) 5 ).) = 5.) + = ) ) richtiges Ereignis z. B. einmal schraffiertes Feld, einmal unschraffiertes Feld 6. a) : , 4... b) Plastiktüten Minuten = Minuten : : 556 = 0 08,7... c) 767-mal 5, Mrd 0 cm 5 Mrd cm cm = m = km km : 00 km = 766,6... d) Tüten je Einwohner 7 von 40 5 % 0,05 65 =,5 7. a) ) Möglichkeit : 70 Maschen 5 8 Möglichkeit : 6 Maschen

6 8 ) zu Möglichkeit : 58 Reihen 4 zu Möglichkeit : 60 Reihen 5 4 b) ) 0 g ) 7 Knäuel 0 g : 50 g 6,4 Knäuel c) richtige Länge und Breite des Schals, z.b. 0 cm 5 cm 50 g : 4 g d) Begründung 56 = 5 6 z. B = 6

7 MATHEMATIK-WETTBEWERB 04/05 DES LANDES HESSEN. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE C. a) ) x = x + = 0 x = ) x = 8 6x = 7x 8 6x = 7x 6x = 7x ) x = 5 5 x + = 5 x = b) a = U b) : a = U b. a) 00 % entsprechen 75 Schülern. 48 % entsprechen 84 Schülern. % entspricht,75 Schülern. b) ) = ) = = ) Streifendiagramm mit Beschriftung c) ) 65 englische) Meilen 5 Minuten entsprechen englischen) Meilen. ) 84 Kilometer pro Stunde 5 : 0,6 = 8, a) 5 % entsprechen 6,6 cm. 00 % entsprechen 44 cm. % entspricht 0,44 cm. b) cm enstprechen 56,5 %. 5 cm 6 cm = cm. 6 cm entsprechen 00 %. cm entspricht 6,5 %. c) b = 8,4 cm 00 % entsprechen 4 cm. % entspricht 0,4 cm. 5 % entsprechen, cm. Fläche zweites Rechteck: A = 5, cm b = 5, cm : cm 4. a) Hinweise zur Konstruktion des Fünfecks ABCED mit Beschriftung:

8 z. B. Zeichnen der Strecke AB mit a = 5 cm Parallele zu AB im Abstand von h =,5 cm Antragen von α D als Schnittpunkt des freien Schenkels von α und der Parallele Antragen von β = α C als Schnittpunkt des freien Schenkels von β und der Parallele Kreisbogen um C mit dem Radius r = 6,4 cm Kreisbogen um D mit dem Radius r = 6,4 cm Bezeichnung des Schnittpunktes mit E und Verbinden zum Fünfeck ABCED b) Strecke DC = 0 cm A Fünfeck ABCED = 8,75 cm A Dreieck DCE = 0 cm 4 cm : A Dreieck DCE = 40 cm : A Dreieck DCE = 0 cm A Trapez ABCD = 5 cm + 0 cm),5 cm : A Trapez ABCD = 7,5 cm : A Trapez ABCD = 8,75 cm 5. a) 87,5 kg V Würfel = 5 cm 5 cm 5 cm V Würfel = 65 cm 5 cm V Würfel = 5 65 cm 5 65 cm 0 = cm cm, g/cm g b) ) Länge: 5 5 cm = 5 cm Breite: 4 5 cm = 00 cm Höhe: 5 cm = 75 cm ) 50 Würfel müssen ergänzt werden. Anzahl Würfel Quader: Würfel 60 Würfel 0 Würfel 6. a) 6000 m 8 cm cm b) 0 cm 5 km = 5000 m 5000 m = cm cm : c) Hinweise zur Konstruktion des Dreiecks mit Beschriftung der Eckpunkte: Zeichnen der Seite AB Antragen des Winkels Abtragen der Seite AC Strecke BC: 4,75 km genauerer Wert: 4,5) Messen der Strecke BC: 5,7 cm genauerer Wert: 5,67) 5,7 cm cm genauerer Wert: 45 8,)

9 7. a) ) h h ) ) = 7 40 ) = ) =,5 % h z. B. 80 entsprechen 00 %. entsprechen,5 %. 6 entsprechen,5 %. b) ) 500 P ) = ), );, );, ) P, ) = 6 P, ) = 4 4 );, )