Die trigonometrischen Funktionen

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1 Die trigonometrischen Funktionen Betrachte die Funktion f(x) = 1 x auf dem Intervall [ 1, 1]. Für x = 1 erhält man den Punkt P 1 = ( 1, ), für x = den Punkt P = (, 1) und für x = 1 den Punkt P 1 = (1, ). Der Graph C f stellt den oberen Halbkreisbogen des Einheitskreises dar. Jedem Punkt P x = (x, 1 x ), 1 x 1 des oberen Halbkreises wird nun ein Bogen P 1 P x zugeordnet mit der Länge x l(x) = l( P P 1 ) l( P P x ) = π. t = l(x) heißt Winkel im Bogenmaß. Satz. Für die Funktion t = l(x) gilt : 1) l( 1) = π, l(1) = ) l(x) ist stetig auf [ 1, 1] 3) l(x) ist differenzierbar auf ( 1, 1) und es gilt l (x) = 1 1 x 4) l(x) ist streng monoton fallend auf ( 1, 1). Beweis. 1) folgt aus der Definition von π. x ) Die Funktion x ist nach einem früheren Ergebnis stetig auf ( 1, 1) und die uneigentlichen Integrale existieren. 3) trivial. 4) folgt aus l (x) <. 1 und 1 Die Funktion l(x) besitzt damit auf der Bildmenge [, π] eine Umkehrfunktion l 1 (t) = x, i.e. jedem Winkel t [, π] entspricht bijektiv ein x [ 1, 1] bzw. ein Punkt P x = (x, 1 x ). 1

2 Für t [, π] setzen wir cos t = l 1 (t), sin t = 1 cos t. Aus den Sätzen über die Stetigkeit der Umkehrfunktion bzw. von zusammengesetzten Funktionen einerseits, sowie aus den Sätzen über die Ableitung der Umkehrfunktion bzw. der Kettenregel folgt Satz. Die Funktionen cos t, sin t sind 1) stetig auf [, π], ) differenzierbar auf (, π) mit (cos t) = sin t, (sin t) = cos t cos t, sin t sind vorerst nur auf [, π] definiert. Sie werden nun auf das Intervall [ π, π] fortgesetzt. Dabei bedeutet t, dass der Bogen im mathematisch negativen Sinn gemessen wird. Wir definieren für π t < : cos t = cos( t), sin t = sin( t). Wie man sich leicht überlegt, bleibt die Stetigkeit auf [ π, π] sowie die Differenzierbarkeit auf ( π, π) erhalten. Nun werden diese Funktionen auf ganz R periodisch fortgesetzt. Seien cos t, sin t für ein t R erklärt. Setze cos(t ± π) = cos t, sin(t ± π) = sin t. Dann sind die Funktionen cos t, sin t auf ganz R stetig und differenzierbar und es gilt (cos t) = sin t und (sin t) = cos t. Betrachten wir die Funktion f(t) = cos t + sin t, t R. Dann ist f (t) = cos t( sin t) + sin t cos t =, d.h. f(t) ist konstant. Wegen f() = 1 ergibt sich cos t + sin t = 1 t R, und daraus cos t 1, sin t 1.

3 Bemerkung. Die Taylorreihen cos t = ( 1) k k= tk+1 (k+1)! k= wurden bereits früher angegeben. ( 1) k tk (k)! und sin t = (i) Für t R \ {(k + 1) π, k Z} sei (ii) Für t R \ {kπ, k Z} sei cot = cos t sin t sin t tan t = cos t Bemerkung. Die Funktionen tan t, cot t sind stetig und differenzierbar auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich und es gilt (tan t) = 1 cos t = 1 + tan t, (cot t) = 1 sin t = 1 cot t. Additionstheoreme. Satz. Für beliebige x, y R gilt 1) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ) cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y 3) sin(x) = sin x cos x, cos(x) = cos x sin x 4) sin x + sin y = sin x+y cos x y 5) cos x + cos y = cos x+y cos x y Beweis. zu 1) : Seien x, y R beliebig und fest, und setze z = x + y. Die Funktion f(t) = sin t cos(z t)+cos t sin(z t) ist dann differenzierbar und es gilt f (t) = t. Also ist f(t) konstant und zwar f(t) = f() = sin z = sin(x + y). Mit t = x folgt 1). Aus diesem Satz wiederum folgt 3

4 Satz. Für alle zulässigen x, y R gilt 1) tan(x + y) = ) cot(x + y) = tan x+tan y 1 tan x tan y cot x cot y 1 cot x+cot y 3) tan(x) = tan x 1 tan x, cot(x) = cot x 1 cot x 4) tan x + tan y = sin(x+y) cos x cos y 5) cot x + cot y = sin(x+y) sin x sin y Bemerkung. Die trigonometrischen Funktionen wurden ursprünglich durch definierende Eigenschaften eingeführt. Ihre Eindeutigkeit ergab sich bereits aus der Eindeutigkeit ihrer Taylor-Reihen. Ihre Existenz ist nun wegen der vorhergehenden Sätze gesichert. Da cos t, sin t periodische Funktionen sind (mit der Periode π), können die Umkehrfunktionen nicht auf ganz R definiert sein. Dasselbe gilt für tan t und cot t. Wir bemerken, dass cos t auf [, π], sin t auf [ π, π ], tan t auf ( π, π ) und cot t auf (, π) monoton sind. (i) Die auf [ 1, 1] definierte Umkehrfunktion zu x = cos t wird mit t = arccos x bezeichnet. (ii) Die auf [ 1, 1] definierte Umkehrfunktion zu x = sin t wird mit t = arcsin x bezeichnet. (iii) Die auf (, + ) definierte Umkehrfunktion zu x = tan t wird mit t = arctan x bezeichnet. (iv) Die auf (, + ) definierte Umkehrfunktion zu x = cot t wird mit t = arccotx bezeichnet. Bemerkungen. 4

5 1) Diese Funktionen heißen auch zyklometrische Funktionen und sind in jeweiligen Definitionsbereich stetig und monoton. ) t = l(x) = π x. Wegen cos t = l 1 (t) ist l(x) = arccos x. 3) Auf ( 1, 1) sind arccos x und arcsin x differenzierbar, wobei (arccos x) = 1 1 x und (arcsin x) = 1 1 x. 4) Auf (, ) sind arctan x und arccotx differenzierbar, wobei (arctan x) = 1 1+x und (arccotx) = 1 1+x. 5

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