(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen
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- Fritzi Hafner
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1 Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Übung 6 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 9. Oktober 018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 GebenSieohneTaschenrechnereineNäherungvon 15,95an(durchlineareApproximation). Vergleichen Sie Ihre Näherung mit dem Wert, den der Taschenrechner angibt. Aufgabe (a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p 1 (x) vom Grad 1 von f(x) = x 4 +x x+ 1 x um den Entwicklungspunkt x 0 = 0. Wie lautet die Gleichung der Tangente an f in x 0 = 0? (b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p (x) vom Grad der Funktion f(x) = 1 x um den Entwicklungspunkt x 0 = 1. (c) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p 4 (x) vom Grad 4 der Funktion f(x) = e x um den Entwicklungspunkt x 0 = 0. Aufgabe 3 Sei f(x) = x 3 x 8x+5. (a) Die Funktionsgleichung von f sagt Ihnen direkt, dass f mindestens n und höchstens m Nullstellen hat. Was sind n und m und warum? (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen genau. (c) Warum ist x 0 = kein geeigneter Startwert? Aufgabe 4 Bestimmen Sie mit Hilfe der Fixpunktiteration einen (oder mehrere, falls es hat) Fixpunkte der Funktion f(x) = 1 8 ex. Das heisst, finden Sie x mit f(x) = x.
2 Zusatzaufgaben Aufgabe 5 Geben Sie ohne Taschenrechner eine Näherung von sin(46 ) an (durch lineare Approximation). Benutzen Sie, dass sin(45 ) = cos(45 ) = und beachten Sie, dass im Bogenmass gerechnet werden muss. Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 der hyperbolischen Cosinusfunktion cosh(x) = ex +e x. Für welche reellen Zahlen x konvergiert sie? Aufgabe 7 Führen Sie das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion f(x) = x 1+x mit den Startwerten x 0 = 1, x 0 = 1 und x 0 = durch. Begründen Sie die Behauptung im Skript, Seite 71, dass die Folge (x n ) des Newton-Verfahrens genau dann konvergiert, wenn gilt x 0 < 1. Aufgabe 8 Beweisen Sie, dass die Funktion f aus Aufgabe 4 kontrahierend auf D = [0,] ist und dass gilt f(d) D.
3 Lösungshinweise Aufgabe 1 Näherungsformel (N) von Seite 64 des Skripts anwenden, analog zum Beispiel dort. Aufgabe (a) p n (x) aus Satz 4.11 (Seite 66) für n = 1 und x 0 = 0 berechnen (bzw. die Bemerkung darunter für n = 1 beachten). (b) p n (x) aus Satz 4.11 für n = und x 0 = 1 berechnen (vgl.. Beispiel, Seite 67). (c) Entweder p 4 gemäss Satz 4.11 berechnen oder x durch x in der Potenzreihe (d.h. Taylorreihe) von e x ersetzen. Aufgabe 3 (a) Der Grad der Polynomfunktion f ist entscheidend (vgl. S. 9 oben und S. 44). (b) Analog zum Beispiel oben auf Seite 70 des Skripts. (c) Setzen Sie x 0 = in die Iterationsformel des Newton-Verfahrens ein. Was passiert? Aufgabe 4 Den Graphen von f anschauen. Die (x-koordinaten der) Schnittpunkte des Graphen mit der Geraden y = x sind die Fixpunkte von f. In der Nähe des einen Fixpunktes ist der Graph von f flach, das heisst, die Fixpunktiteration wird dort (d.h. mit einem Startwert x 0 in der Nähe) gegen diesen Fixpunkt konvergieren. In der Nähe des zweiten Fixpunktes ist der Graph von f steil. Die Fixpunktiteration wird dort divergieren. Also betrachtet man dafür die Umkehrfunktion f 1 von f, das heisst man führt die Fixpunktiteration für die Gleichung f 1 (x) = x durch (analog zum. Beispiel auf Seite 75 des Skripts). Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Näherungsformel (N) von Seite 64 des Skripts anwenden. Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Am einfachsten setzt man die Potenzreihen (d.h. Taylorreihen) von e ±x ein und addiert gliedweise. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Zur Kontrolle: f (x) = 1 1+x (1+x ). Die rechte Seite der Formel x n+1 =... des Newton- Verfahrens kann als Ausdruck in x 0 geschrieben werden (x 0 ist der Startwert). Für welche x 0 konvergiert also die Folge (x n )? Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Analog zum 1. Beispiel auf Seite 74 des Skripts.
4 Ergebnisse Aufgabe 1 15, ( 0,05) = 3, Der Taschenrechner gibt 3, an(gerundet auf 7 Nachkommastellen). Der Näherungsfehler beträgt also nur 0, Aufgabe (a) p 1 (x) = f(0) + f (0) x = x. Dies (d.h. y = 1 5 4x) ist die Gleichung der Tangente an f in x 0 = 0. (b) p (x) = 1 1 (x 1)+ 3 8 (x 1) (c) p 4 (x) = 1+x+x x3 + 3 x4 Aufgabe 3 (a) f hat mindestens 1 Nullstelle, da f(x) ein Polynom von ungeradem Grad ist. Da der Grad von f gleich 3 ist, hat f höchstens 3 Nullstellen. Mit Hilfe des Nullstellensatzes (Kapitel, Seite 34) kann man die genaue Anzahl Nullstellen bestimmen. Wegen lim f(x) =, f(0) = 5 > 0, f(1) = 3 < 0 lim x f(x) = x gibt es genau 3 Nullstellen, und zwar je eine in den Intervallen (,0], [0,1] und [1, ). (Anstatt der Grenzwerte für x ± können beispielsweise auch die Funktionswerte f( 10) = 1015 < 0 und f(10) = 85 > 0 betrachtet werden.) (b) Je nach Startwert x 0 findet man eine der drei folgenden Nullstellen: x null1 = 0, (z.b. mit x 0 = 1) x null =, (z.b. mit x 0 = 4) x null3 = 3,07356 (z.b. mit x 0 = 4) (c) Weil f () = 0 (waagrechte Tangente an f in x 0 = ) Aufgabe 4 Mit jedem Startwert x 0 im Intervall D = [0,] (zum Beispiel) findet man den Fixpunkt x fix = 0,
5 Am einfachsten schaut man sich den Graphen von f an und erkennt, dass er zwei Schnittpunkte mit der Geraden y = x hat. Es gibt also zwei Fixpunkte. Man erkennt weiter, dass der Graph von f in D eine flache Kurve ist. Hier ist der Fixpunktsatz also anwendbar, das heisst die Fixpunktiteration wird den Fixpunkt in D liefern. (Man kann zeigen (s. Zusatzaufgabe 8), dass f in D kontrahierend ist und dass f(d) D.) In der Nähe des zweiten Fixpunktes (d.h. in der Nähe von x = 3) ist der Funktionsgraph steil, also ist f dort nicht kontrahierend und der Fixpunktsatz nicht anwendbar (tatsächlich führt für Startwerte x 0 nahe bei 3 die Fixpunktiteration entweder zum ersten Fixpunkt oder sie divergiert gegen ). Mit Hilfe der Umkehrfunktion f 1 (x) = ln(8x) findet man den zweiten Fixpunkt (wie im Beispiel im Skript auf Seite 75). Das heisst, man wendet die Fixpunktiteration für die Fixpunktgleichungf 1 (x) = ln(8x) = xan. DerFunktionsgraphvonf 1 istflachimintervall D = [,4] (und man kann zeigen, dass f 1 dort kontrahierend ist und f 1 ( D) D gilt). Also ist der Fixpunktsatz dort anwendbar und jeder Startwert x 0 D führt zum zweiten Fixpunkt x fix = 3, Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Näherungsformel (N) für f(x) = sin(x), x 0 = 45 = π 4 und h = 1 = π 180 anwenden: sin(46 ) = f(x 0 +h) f(x 0 )+f (x 0 ) h = sin(45 )+cos(45 ) π 180 = + π 180 = 0,71945 (Der Taschenrechner gibt 0, an (gerundet auf 5 Nachkommastellen).) Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Analog zur Aufgabe (c) erhalten wir die Taylorreihe von e x, indem wir in der Potenzreihe für e x das Argument x durch x ersetzen. Wir finden e x = 1+( x)+ ( x)! + ( x)3 3! + = 1 x+ x! x3 3! + Nun setzen wir dies (und die Potenzreihe für e x ) ein und vereinfachen: cosh(x) = 1 = 1 (1+x+ x! + x3 3! (+ x! +x4 4! + ) + +1 x+ x! x3 3! + ) = 1+ x! + x4 4! + = x k (k)! k=0
6 Da die Potenzreihe von e x für alle x R konvergiert, ist dies auch für die Taylorreihe von cosh(x) der Fall. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Die Formel des Newton-Verfahrens lautet x n+1 = x 3 n. Für x 0 = 1 konvergiert das Newton- Verfahren sehr schnell gegen die Nullstelle x null = 0. Für x 0 = 1 erhalten wir x 1 = 1, x = 1, x 3 = 1, usw. Für x 0 = divergiert die Folge (x n ). Aus der Formel x n+1 = x 3 n folgt x 1 = x 3 0, x = x 9 0, x 3 = x 7 0, usw. Es gilt also allgemein x n = ( 1) n x (3n ) 0. Wir vergleichen nun unsere Folge (x n ) mit der Folge (y n ) gegeben durch y n = x n 0. Ist x 0 < 1, dann gilt lim y n = 0, da (y n ) eine geometrische Folge ist. Wegen der Ungleichung x n = x (3n ) n 0 x n 0 = y n folgt auch lim x n = 0. Für x 0 < 1 konvergiert n also die Folge (x n ) gegen die Nullstelle 0 von f. Für x 0 > 1 ist die geometrische Folge (y n ) divergent. In diesem Fall gilt die Ungleichung x n = x (3n ) 0 x n 0 = y n und damit ist auch die Folge (x n ) divergent. Für x 0 = ±1 gilt x n = ±( 1) n und die Folge (x n ) divergiert. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Es gilt f (x) = 1 8 ex = 1 8 ex 1 8 e = 0, = K < 1 für x D, also (vgl. Skript Seite 74 Mitte) ist f kontrahierend in D. Weiter ist f(0) = 1 8 und f() = 1 8 e < 1, das heisst, f(0) D und f() D. Da f monoton wachsend ist, gilt auch f(x) D für alle x zwischen 0 und, das heisst für alle x D. Also gilt f(d) D.
( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )
64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den
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