(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen"

Transkript

1 Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Übung 6 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 9. Oktober 018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 GebenSieohneTaschenrechnereineNäherungvon 15,95an(durchlineareApproximation). Vergleichen Sie Ihre Näherung mit dem Wert, den der Taschenrechner angibt. Aufgabe (a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p 1 (x) vom Grad 1 von f(x) = x 4 +x x+ 1 x um den Entwicklungspunkt x 0 = 0. Wie lautet die Gleichung der Tangente an f in x 0 = 0? (b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p (x) vom Grad der Funktion f(x) = 1 x um den Entwicklungspunkt x 0 = 1. (c) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p 4 (x) vom Grad 4 der Funktion f(x) = e x um den Entwicklungspunkt x 0 = 0. Aufgabe 3 Sei f(x) = x 3 x 8x+5. (a) Die Funktionsgleichung von f sagt Ihnen direkt, dass f mindestens n und höchstens m Nullstellen hat. Was sind n und m und warum? (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen genau. (c) Warum ist x 0 = kein geeigneter Startwert? Aufgabe 4 Bestimmen Sie mit Hilfe der Fixpunktiteration einen (oder mehrere, falls es hat) Fixpunkte der Funktion f(x) = 1 8 ex. Das heisst, finden Sie x mit f(x) = x.

2 Zusatzaufgaben Aufgabe 5 Geben Sie ohne Taschenrechner eine Näherung von sin(46 ) an (durch lineare Approximation). Benutzen Sie, dass sin(45 ) = cos(45 ) = und beachten Sie, dass im Bogenmass gerechnet werden muss. Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 der hyperbolischen Cosinusfunktion cosh(x) = ex +e x. Für welche reellen Zahlen x konvergiert sie? Aufgabe 7 Führen Sie das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion f(x) = x 1+x mit den Startwerten x 0 = 1, x 0 = 1 und x 0 = durch. Begründen Sie die Behauptung im Skript, Seite 71, dass die Folge (x n ) des Newton-Verfahrens genau dann konvergiert, wenn gilt x 0 < 1. Aufgabe 8 Beweisen Sie, dass die Funktion f aus Aufgabe 4 kontrahierend auf D = [0,] ist und dass gilt f(d) D.

3 Lösungshinweise Aufgabe 1 Näherungsformel (N) von Seite 64 des Skripts anwenden, analog zum Beispiel dort. Aufgabe (a) p n (x) aus Satz 4.11 (Seite 66) für n = 1 und x 0 = 0 berechnen (bzw. die Bemerkung darunter für n = 1 beachten). (b) p n (x) aus Satz 4.11 für n = und x 0 = 1 berechnen (vgl.. Beispiel, Seite 67). (c) Entweder p 4 gemäss Satz 4.11 berechnen oder x durch x in der Potenzreihe (d.h. Taylorreihe) von e x ersetzen. Aufgabe 3 (a) Der Grad der Polynomfunktion f ist entscheidend (vgl. S. 9 oben und S. 44). (b) Analog zum Beispiel oben auf Seite 70 des Skripts. (c) Setzen Sie x 0 = in die Iterationsformel des Newton-Verfahrens ein. Was passiert? Aufgabe 4 Den Graphen von f anschauen. Die (x-koordinaten der) Schnittpunkte des Graphen mit der Geraden y = x sind die Fixpunkte von f. In der Nähe des einen Fixpunktes ist der Graph von f flach, das heisst, die Fixpunktiteration wird dort (d.h. mit einem Startwert x 0 in der Nähe) gegen diesen Fixpunkt konvergieren. In der Nähe des zweiten Fixpunktes ist der Graph von f steil. Die Fixpunktiteration wird dort divergieren. Also betrachtet man dafür die Umkehrfunktion f 1 von f, das heisst man führt die Fixpunktiteration für die Gleichung f 1 (x) = x durch (analog zum. Beispiel auf Seite 75 des Skripts). Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Näherungsformel (N) von Seite 64 des Skripts anwenden. Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Am einfachsten setzt man die Potenzreihen (d.h. Taylorreihen) von e ±x ein und addiert gliedweise. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Zur Kontrolle: f (x) = 1 1+x (1+x ). Die rechte Seite der Formel x n+1 =... des Newton- Verfahrens kann als Ausdruck in x 0 geschrieben werden (x 0 ist der Startwert). Für welche x 0 konvergiert also die Folge (x n )? Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Analog zum 1. Beispiel auf Seite 74 des Skripts.

4 Ergebnisse Aufgabe 1 15, ( 0,05) = 3, Der Taschenrechner gibt 3, an(gerundet auf 7 Nachkommastellen). Der Näherungsfehler beträgt also nur 0, Aufgabe (a) p 1 (x) = f(0) + f (0) x = x. Dies (d.h. y = 1 5 4x) ist die Gleichung der Tangente an f in x 0 = 0. (b) p (x) = 1 1 (x 1)+ 3 8 (x 1) (c) p 4 (x) = 1+x+x x3 + 3 x4 Aufgabe 3 (a) f hat mindestens 1 Nullstelle, da f(x) ein Polynom von ungeradem Grad ist. Da der Grad von f gleich 3 ist, hat f höchstens 3 Nullstellen. Mit Hilfe des Nullstellensatzes (Kapitel, Seite 34) kann man die genaue Anzahl Nullstellen bestimmen. Wegen lim f(x) =, f(0) = 5 > 0, f(1) = 3 < 0 lim x f(x) = x gibt es genau 3 Nullstellen, und zwar je eine in den Intervallen (,0], [0,1] und [1, ). (Anstatt der Grenzwerte für x ± können beispielsweise auch die Funktionswerte f( 10) = 1015 < 0 und f(10) = 85 > 0 betrachtet werden.) (b) Je nach Startwert x 0 findet man eine der drei folgenden Nullstellen: x null1 = 0, (z.b. mit x 0 = 1) x null =, (z.b. mit x 0 = 4) x null3 = 3,07356 (z.b. mit x 0 = 4) (c) Weil f () = 0 (waagrechte Tangente an f in x 0 = ) Aufgabe 4 Mit jedem Startwert x 0 im Intervall D = [0,] (zum Beispiel) findet man den Fixpunkt x fix = 0,

5 Am einfachsten schaut man sich den Graphen von f an und erkennt, dass er zwei Schnittpunkte mit der Geraden y = x hat. Es gibt also zwei Fixpunkte. Man erkennt weiter, dass der Graph von f in D eine flache Kurve ist. Hier ist der Fixpunktsatz also anwendbar, das heisst die Fixpunktiteration wird den Fixpunkt in D liefern. (Man kann zeigen (s. Zusatzaufgabe 8), dass f in D kontrahierend ist und dass f(d) D.) In der Nähe des zweiten Fixpunktes (d.h. in der Nähe von x = 3) ist der Funktionsgraph steil, also ist f dort nicht kontrahierend und der Fixpunktsatz nicht anwendbar (tatsächlich führt für Startwerte x 0 nahe bei 3 die Fixpunktiteration entweder zum ersten Fixpunkt oder sie divergiert gegen ). Mit Hilfe der Umkehrfunktion f 1 (x) = ln(8x) findet man den zweiten Fixpunkt (wie im Beispiel im Skript auf Seite 75). Das heisst, man wendet die Fixpunktiteration für die Fixpunktgleichungf 1 (x) = ln(8x) = xan. DerFunktionsgraphvonf 1 istflachimintervall D = [,4] (und man kann zeigen, dass f 1 dort kontrahierend ist und f 1 ( D) D gilt). Also ist der Fixpunktsatz dort anwendbar und jeder Startwert x 0 D führt zum zweiten Fixpunkt x fix = 3, Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Näherungsformel (N) für f(x) = sin(x), x 0 = 45 = π 4 und h = 1 = π 180 anwenden: sin(46 ) = f(x 0 +h) f(x 0 )+f (x 0 ) h = sin(45 )+cos(45 ) π 180 = + π 180 = 0,71945 (Der Taschenrechner gibt 0, an (gerundet auf 5 Nachkommastellen).) Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Analog zur Aufgabe (c) erhalten wir die Taylorreihe von e x, indem wir in der Potenzreihe für e x das Argument x durch x ersetzen. Wir finden e x = 1+( x)+ ( x)! + ( x)3 3! + = 1 x+ x! x3 3! + Nun setzen wir dies (und die Potenzreihe für e x ) ein und vereinfachen: cosh(x) = 1 = 1 (1+x+ x! + x3 3! (+ x! +x4 4! + ) + +1 x+ x! x3 3! + ) = 1+ x! + x4 4! + = x k (k)! k=0

6 Da die Potenzreihe von e x für alle x R konvergiert, ist dies auch für die Taylorreihe von cosh(x) der Fall. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Die Formel des Newton-Verfahrens lautet x n+1 = x 3 n. Für x 0 = 1 konvergiert das Newton- Verfahren sehr schnell gegen die Nullstelle x null = 0. Für x 0 = 1 erhalten wir x 1 = 1, x = 1, x 3 = 1, usw. Für x 0 = divergiert die Folge (x n ). Aus der Formel x n+1 = x 3 n folgt x 1 = x 3 0, x = x 9 0, x 3 = x 7 0, usw. Es gilt also allgemein x n = ( 1) n x (3n ) 0. Wir vergleichen nun unsere Folge (x n ) mit der Folge (y n ) gegeben durch y n = x n 0. Ist x 0 < 1, dann gilt lim y n = 0, da (y n ) eine geometrische Folge ist. Wegen der Ungleichung x n = x (3n ) n 0 x n 0 = y n folgt auch lim x n = 0. Für x 0 < 1 konvergiert n also die Folge (x n ) gegen die Nullstelle 0 von f. Für x 0 > 1 ist die geometrische Folge (y n ) divergent. In diesem Fall gilt die Ungleichung x n = x (3n ) 0 x n 0 = y n und damit ist auch die Folge (x n ) divergent. Für x 0 = ±1 gilt x n = ±( 1) n und die Folge (x n ) divergiert. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Es gilt f (x) = 1 8 ex = 1 8 ex 1 8 e = 0, = K < 1 für x D, also (vgl. Skript Seite 74 Mitte) ist f kontrahierend in D. Weiter ist f(0) = 1 8 und f() = 1 8 e < 1, das heisst, f(0) D und f() D. Da f monoton wachsend ist, gilt auch f(x) D für alle x zwischen 0 und, das heisst für alle x D. Also gilt f(d) D.

( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )

( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( ) 64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den

Mehr

(a) Wie gross ist der Ameisenstaat ungefähr nach 1, 2, 3 oder allgemein n Wochen?

(a) Wie gross ist der Ameisenstaat ungefähr nach 1, 2, 3 oder allgemein n Wochen? Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 04.0.8 Übung 3 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 8. Oktober 08 in den Übungsstunden Aufgabe In einem Ameisenstaat mit einer

Mehr

a = 70 (1 1,01) )

a = 70 (1 1,01) ) Matheatik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 20.09.8 Übung (für Phara/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 24. Septeber 208 in den Übungsstunden Aufgabe Berechnen Sie die Zahl ( a =

Mehr

x ln(x) dx x 4 x 2 4x+3 dx Aufgabe 3 Konvergieren die folgenden uneigentlichen Integrale? Wenn ja, berechnen Sie den Wert des Integrals.

x ln(x) dx x 4 x 2 4x+3 dx Aufgabe 3 Konvergieren die folgenden uneigentlichen Integrale? Wenn ja, berechnen Sie den Wert des Integrals. Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 8..8 Übung 8 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 2. November 28 in den Übungsstunden Aufgabe Berechnen Sie die folgenden bestimmten

Mehr

Weitere Anwendungen der Differentialrechnung

Weitere Anwendungen der Differentialrechnung Weitere Anwendungen der Differentialrechnung Informationsblatt Aus der großen Zahl von Anwendungsmöglichkeiten der Differentialrechnung werden das Newton sche Näherungsverfahren und die Taylor-Reihen vorgestellt.

Mehr

Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt.

Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt. Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N j 2 j n(n + )(2n + ) gilt. Der Beweis wird mit Hilfe vollständiger Induktion geführt. Wir verifizieren daher zunächst den Induktionsanfang,

Mehr

100 und (a) Wie gross ist die Konzentration des Medikaments zu Beginn des Experiments (für t = 0), bzw. nach 5 Stunden (für t = 5)?

100 und (a) Wie gross ist die Konzentration des Medikaments zu Beginn des Experiments (für t = 0), bzw. nach 5 Stunden (für t = 5)? Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 18.10.18 Übung 5 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 22. Oktober 2018 in den Übungsstunden Sei f() = 1 f(1+h) f(1) und g(h)

Mehr

Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen

Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x

Mehr

Tangente als Näherung

Tangente als Näherung Mathematik I für Informatiker Satz von Taylor Taylorreihen p. 1 Tangente als Näherung Weil sich anschaulich die Tangente anschmiegt, ist die Tangentenfunktion p 1 (x) eine Näherung für f(x): f(x) p 1 (x)

Mehr

Der Satz von Taylor. Kapitel 7

Der Satz von Taylor. Kapitel 7 Kapitel 7 Der Satz von Taylor Wir haben bereits die Darstellung verschiedener Funktionen, wie der Exponentialfunktion, der Cosinus- oder Sinus-Funktion, durch unendliche Reihen kennen gelernt. In diesem

Mehr

Übung 4 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 15. Oktober 2018 in den Übungsstunden

Übung 4 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 15. Oktober 2018 in den Übungsstunden Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 11.10.18 Übung 4 (für Pharma/Geo/Bio Uni Basel Besprechung der Lösungen: 15. Oktober 018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 (a Sei f(x = cosx. Der Graph

Mehr

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,

Mehr

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Der Graph einer Funktion

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

Freie Universität Berlin Wintersemester 11/12 Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke

Freie Universität Berlin Wintersemester 11/12 Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke Freie Universität Berlin Wintersemester / Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke Musterlösung zum. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für Physiker I Differenzierbarkeit,

Mehr

Teil I Auswahlfragen

Teil I Auswahlfragen UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Dominik Faas Grundlagen der Analysis Sommersemester 010 Klausur vom 07.09.010 Teil I Auswahlfragen Name: Hinweise: Bei den folgenden Auswahlfragen

Mehr

Analysis I Lösung von Serie 14. Um die Inhomogene DGl zu lösen, müssen wir partikuläre Lösungen finden. (a) Wir machen den Ansatz:

Analysis I Lösung von Serie 14. Um die Inhomogene DGl zu lösen, müssen wir partikuläre Lösungen finden. (a) Wir machen den Ansatz: d-infk Lösung von Serie 4 FS 07 4.. Inhomogene Lineare Differentialgleichungen Das charakteristische Polynom der homogenen DGl y (4) + y + y = 0 ist λ 4 + λ + = (λ + ). Seine Wurzeln sind ±i und jede hat

Mehr

Brückenkurs Rechentechniken

Brückenkurs Rechentechniken Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige

Mehr

Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren

Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren a Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren y ex +e x e x ye x + 0 e x y ± y Da y ist, ist die Wurzel auf der rechten Seite immer reell Wir interessieren uns nur für nichtnegative x Der Logarithmus

Mehr

Übungen zur Mathematik Blatt 1

Übungen zur Mathematik Blatt 1 Blatt 1 Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der im Bild skizzierten periodischen Funktion, die im Periodenintervall [ π, π] durch die Gleichung f(x) = x beschrieben wird. Zeichnen Sie die ersten

Mehr

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007 Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.

Mehr

Höhere Mathematik 1 Übung 9

Höhere Mathematik 1 Übung 9 Aufgaben, die in der Präsenzübung nicht besprochen wurden, können in der darauf folgenden übung beim jeweiligen übungsleiter bzw. bei der jeweiligen übungsleiterin abgegeben werden. Diese Abgabe ist freiwillig

Mehr

Polynomiale Approximation. und. Taylor-Reihen

Polynomiale Approximation. und. Taylor-Reihen Polynomiale Approximation und Taylor-Reihen Heute gehts um die Approximation von glatten (d.h. beliebig oft differenzierbaren) Funktionen f nicht nur durch Gerade (sprich Polynome vom Grade 1) und Polynome

Mehr

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor

Mehr

Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite 1. Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1. Musterlösung = lim.

Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite 1. Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1. Musterlösung = lim. Ferienkurs Stetigkeit und Konvergenz Seite Technische Universität München Ferienkurs Analysis Hannah Schamoni Stetigkeit und Konvergenz Musterlösung 6.03.20. Grenzwerte I Berechnen Sie lim f(), lim f()

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2.1 Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine

Mehr

Analysis I & II Lösung zur Basisprüfung

Analysis I & II Lösung zur Basisprüfung FS 6 Aufgabe. [8 Punkte] (a) Bestimmen Sie den Grenzwert ( lim x x ). [ Punkte] log x (b) Beweisen Sie, dass folgende Reihe divergiert. n= + n + n + sin(n) n 3 + [ Punkte] (c) Finden Sie heraus, ob die

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. Dezember 2011)

Mehr

Musterlösungen zu Blatt 15, Analysis I

Musterlösungen zu Blatt 15, Analysis I Musterlösungen zu Blatt 5, Analysis I WS 3/4 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 85: Konvergenzradien Aufgabe 86: Approimation von ep() durch Polynome Aufgabe 87: Taylorreihen von cos 3 und sin Aufgabe 88: Differenzenquotienten

Mehr

1. Aufgabe 8 Punkte. f (x) = (x 2 + 1) e x2. Es gilt. f (x) = 2xe x2 + ( x ) e x2 ( 2x) = 2x 3 e x2.

1. Aufgabe 8 Punkte. f (x) = (x 2 + 1) e x2. Es gilt. f (x) = 2xe x2 + ( x ) e x2 ( 2x) = 2x 3 e x2. 1. Aufgabe 8 Punkte Geben Sie die Bereiche, auf denen die Funktion f : R R mit f (x) = (x + 1) e x monoton wachsend oder fallend ist, an, und untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Extrema.

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende

Mehr

Serie 4: Flächeninhalt und Integration

Serie 4: Flächeninhalt und Integration D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt

Mehr

Ferienkurs Seite 1. Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Stetigkeit, Konvergenz, Topologie

Ferienkurs Seite 1. Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Stetigkeit, Konvergenz, Topologie Ferienkurs Seite Technische Universität München Ferienkurs Analysis Hannah Schamoni Stetigkeit, Konvergenz, Topologie Lösung 2.03.202. Gleichmäßige Konvergenz Entscheiden Sie, ob die folgenden auf (0,

Mehr

Staatsexamen Herbst 2017 Differential- und Integralrechnung, Thema I

Staatsexamen Herbst 2017 Differential- und Integralrechnung, Thema I Staatsexamen Herbst 17 Differential- und Integralrechnung, Thema I 1. a) Die Aussage ist wahr! Sei s R der Reihenwert der Reihe k=1 Da a n = s n s n 1 für n, ist also b) Die Aussage ist falsch! a k, also

Mehr

Höhere Mathematik II. Variante A

Höhere Mathematik II. Variante A Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 01 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter Vorder- und Rückseite

Mehr

NEXTLEVEL im WiSe 2011/12

NEXTLEVEL im WiSe 2011/12 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani NEXTLEVEL im WiSe 2011/12 Vorlesung 5, Teil 2 Linearisierung, einige Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Die ins Netz gestellten Kopien

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09) Vorlesung Mathematik für Ingenieure (Wintersemester 2008/09) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 9. November 2008) Die

Mehr

FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz.

FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz. FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Funktionen Einige elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Eine Funktion f

Mehr

9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sven Herrmann Dipl.-Math. Susanne Pape 9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Wintersemester 2009/2010 8./9. Dezember 2009 Gruppenübung

Mehr

Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und Funktionengrenzwerte.

Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und Funktionengrenzwerte. Stroppel Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und Funktionengrenzwerte a) 4n 3 9 lim b) lim n n + n) n + )5n 4) c) lim x 0 sinlnx + )) sinhx) a) Es ist lim

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 1

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 1 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie. Frage Welche der Aussagen sind richtig? Eine divergente Folge ist nicht beschränkt. Falsch. Z.B. ist {( ) n } n N beschränkt und divergent.

Mehr

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar 0 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 3 6 Total Vollständigkeit Bitte

Mehr

Analysis I. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I 6. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 26, 2017 1 Erinnerung Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls 1, 2 X : 1 2 f( 1 ) f( 2 ). (In Worten:

Mehr

Mathematischer Vorkurs NAT-ING II

Mathematischer Vorkurs NAT-ING II Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (0.09.03 0.09.03) Dr. Jörg Horst WS 03-04 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 5 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 5 Schenkel Winkelbereich Scheitel S

Mehr

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen

Mehr

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Sommersemester 0 Mathematik 3 für Informatik Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlerfeiheit). Seien f ) = { {, falls, falls und f ) =. ln, falls a) Skizzieren

Mehr

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 26 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e x ist definiert durch die Potenzreihe e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = für alle x in R. Insbesondere ist die Eulersche

Mehr

Aufgabe 1 (a) Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen gegeben durch 3x y 2z 5 = 0 und x y 4z 3 = 0.

Aufgabe 1 (a) Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen gegeben durch 3x y 2z 5 = 0 und x y 4z 3 = 0. Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 22.11.18 Übung 10 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 26. November 2018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 (a) Bestimmen Sie die

Mehr

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG ETH Zürich Zwischenprüfung Winter 216 Analysis I D-BAUG Dr. Meike Akveld Wichtige Hinweise Prüfungsdauer: 9 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Keine, ausser das verteilte Blatt mit Standardintegralen. Es

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 13. es kann keine allgemein gültige Aussage getroffen werden.

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 13. es kann keine allgemein gültige Aussage getroffen werden. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 3 MC-Aufgaben (Online-Abgabe). Wenn man zwei beliebig oft differenzierbare Funktionen addiert, dann werden ihre Taylorreihen an einem Punkt

Mehr

Konvergenz und Stetigkeit

Konvergenz und Stetigkeit Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2012 Konvergenz Definition Fourierreihen Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn es ein

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen

Mehr

D-BAUG Analysis I HS 2015 Dr. Meike Akveld. Clicker Fragen

D-BAUG Analysis I HS 2015 Dr. Meike Akveld. Clicker Fragen D-BAUG Analysis I HS 05 Dr. Meike Akveld Clicker Fragen Frage Der Satz: Dieser Satz ist falsch ist wahr ist richtig weiss ich nicht Es handelt hier um eine sogenannte Paradoxie. Die Paradoxie dieses Satzes

Mehr

Übersicht. 1. Motivation. 2. Grundlagen

Übersicht. 1. Motivation. 2. Grundlagen Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler

Mehr

Kapitel 5 Trigonometrie

Kapitel 5 Trigonometrie Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7 Schenkel Winkelbereich Scheitel S α Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß (auch Rad) angegeben: 360 =. y cot α r = sin α α cos α tan α x Durch diese Betrachtungen

Mehr

Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.

Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.008 Einführung: Funktionenklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der

Mehr

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 27 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e x ist definiert durch die Potenzreihe e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = für alle x in R. Insbesondere ist die Eulersche

Mehr

Mathematik n 1

Mathematik n 1 Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 0 Mathematik + Übung 6 Besprechung der Aufgaben ) - ) des Übungsblatts am jeweils ersten Übungstermin zwischen Montag, 7..0 und Donnerstag,

Mehr

Diskussion einzelner Funktionen

Diskussion einzelner Funktionen Diskussion einzelner Funktionen. Wir betrachten die Funktion f mit f() = cos sin (a) Berechne f() für { π, π, π, π, } 5π und zeichne den Grafen von f im - Intervall [ π, ] 5π. Einheiten: cm auf der y-achse,

Mehr

Höhere Mathematik II. Variante C

Höhere Mathematik II. Variante C Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 01 Variante C Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter Vorder- und Rückseite

Mehr

Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A =

Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A = Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung 9.8.6 Aufgabe Punkte a Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrix: A 3 b Es sei 4 A. 8 5 Bestimmen Sie P, P M, und eine Diagonalmatrix D M, so,

Mehr

Tutorium: Analysis und lineare Algebra. Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen

Tutorium: Analysis und lineare Algebra. Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen Tutorium: Analysis und lineare Algebra Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Die Regeln von de l

Mehr

P n (1) P j (1) + ε 2, j=0. P(1) P j (1) + ε 2 < ε. log(1+x) =

P n (1) P j (1) + ε 2, j=0. P(1) P j (1) + ε 2 < ε. log(1+x) = Zu ε > 0 gibt es ein N N mit P n (1) P j (1) < ε/2 für j,n > N, also gilt Es folgt (1 x) n 1 j=n+1 und schließlich mit n x j P n (1) P j (1) (1 x) ε 2 P n (1) P n (x) (1 x) P(1) P(x) (1 x) für x hinreichend

Mehr

ANALYSIS 2 VERSION 26. Juni 2018

ANALYSIS 2 VERSION 26. Juni 2018 ANALYSIS VERSION 6 Juni 018 LISIBACH ANDRÉ 6 Potenzreihenentwicklung 61 Einleitung Die Linearisierung einer Funktion f(x an der Stelle x ist die Funktion L(x f( + df dx ((x Die Linearisierung ist ein Polynom

Mehr

z 2 + 2z + 10 = 0 = 2 ± 36 2 Aufgabe 2 (Lineares Gleichungssystem) Sei die reelle 3 4 Matrix

z 2 + 2z + 10 = 0 = 2 ± 36 2 Aufgabe 2 (Lineares Gleichungssystem) Sei die reelle 3 4 Matrix Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 03/04 Lösungsvorschläge zur Klausur im WS 03/04 Aufgabe (Komplexe Zahlen (4 Punkte a Berechnen Sie das Produkt der beiden komplexen Zahlen + i und 3 + 4i

Mehr

Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK. Mathematik und angewandte Mathematik HAK

Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK. Mathematik und angewandte Mathematik HAK Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK Mathematik und angewandte Mathematik HAK lizensiert für: Alexander Brunner Arbeitsblätter Mathematik (03--08 0:3) Schuljahr 0/3 Verantwortlich für den Inhalt

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Gegeben ist

Mehr

Vorlesung Analysis I WS 07/08

Vorlesung Analysis I WS 07/08 Vorlesung Analysis I WS 07/08 Erich Ossa Vorläufige Version 07/12/04 Ausdruck 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Elementare Logik.................................. 1 1.1.A Aussagenlogik................................

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5. x 1 2x 3 = lim 6x

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5. x 1 2x 3 = lim 6x D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 5. MC-Aufgaben Online-Abgabe. Durch zweifache Anwendung der Regel von Bernoulli-de l Hôpital folgt Stimmt diese Überlegung? lim x x 3 +

Mehr

Lösungen zu Mathematik I/II

Lösungen zu Mathematik I/II Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x

Mehr

Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 1

Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 1 Studiengang: Matrikelnummer: 3 4 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 8. 7. 6, 8. -. Uhr Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen

Mehr

Tutorium: Analysis und lineare Algebra

Tutorium: Analysis und lineare Algebra Tutorium: Analysis und lineare Algebra Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Die Regeln von de l

Mehr

1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7

1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7 Universität Basel 4 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Kurvendiskussionen Inhaltsverzeichnis 1 Höhere Ableitungen 2 2 Mittelwertsatz und

Mehr

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n

Mehr

Lösung zur Serie 8. x + 2x 2 sin(1/x), falls x 0, f(x) := 0, falls x = 0. = lim

Lösung zur Serie 8. x + 2x 2 sin(1/x), falls x 0, f(x) := 0, falls x = 0. = lim Lösung zur Serie 8 Aufgabe 40 Wir zeigen in dieser Aufgabe, dass die Voraussetzung dass die Funktion in einer kleinen Umgebung injektiv sein muss, beim Satz über die Umkehrfunktion notwendig ist. Hierzu

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 1

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 015): Differential und Integralrechnung 1 1.1 (Frühjahr 00, Thema 3, Aufgabe ) Formulieren Sie das Prinzip der vollständigen Induktion und beweisen

Mehr

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker UNIVERSITÄT SIEGEN Prof. Dr. Alfred Müller 12. Februar 2009 Klausuraufgaben Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Beachten Sie folgende Hinweise: (1) Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Die

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 13 Dr. Ana Cannas Serie 13: Online Test Einsendeschluss: 31. Januar 214 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

Satz von Taylor Taylorreihen

Satz von Taylor Taylorreihen Satz von Taylor Taylorreihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Tangente als Näherung Weil sich anschaulich die Tangente anschmiegt, ist die Tangentenfunktion

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Präsenzaufgaen zum 8und 9 Lösungshinweise (onhe Garantie auf Fehlerfreiheit Sei f : D R mit D {(x, y R : x, y > } und f(x, y x sin(x y + xy (a

Mehr

1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen. g = lim. n=0. n=0 a n sei konvergent und schreibt. a n = g. (2) n=0

1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen. g = lim. n=0. n=0 a n sei konvergent und schreibt. a n = g. (2) n=0 1 Taylor-Entwicklung 1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen Gegeben sei eine unendliche Folge a 0,a 1,a,... reeller Zahlen a n R. Hat der Grenzwert g = lim k a n (1) einen endlichen Wert g R, so sagt

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Serie 2

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Serie 2 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 017 Dr. Andreas Steiger Serie Die erste Aufgabe ist eine Multiple-Choice-Aufgabe MC-Aufgabe), die online gelöst wird. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den Online MC-Fragen

Mehr

Mathematik für Bauingenieure

Mathematik für Bauingenieure Mathematik für Bauingenieure von Kerstin Rjasanowa 1. Auflage Mathematik für Bauingenieure Rjasanowa schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Hanser München 2006 Verlag C.H.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester

Mehr

Anleitung zu Blatt 2, Analysis II

Anleitung zu Blatt 2, Analysis II Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani Anleitung zu Blatt 2, Analysis II SoSe 202 Funktionenfolgen, Potenzreihen I Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur

Mehr

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen

Mehr

Übungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM

Übungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM TUM, Institut für Informatik WS 2003/2004 Prof Dr Thomas Huckle Andreas Krahnke, MSc Dipl-Inf Markus Pögl Übungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM 1 Bestimmen Sie die Darstellung von 1 4

Mehr

g(x) := (x 2 + 2x + 4) sin(x) für z 1 := 1 + 3i und z 2 := 1 + i. Geben Sie das Ergebnis jeweils

g(x) := (x 2 + 2x + 4) sin(x) für z 1 := 1 + 3i und z 2 := 1 + i. Geben Sie das Ergebnis jeweils . Aufgabe Punkte a Berechnen Sie den Grenzwert n + n + 3n. b Leiten Sie die folgenden Funktionen ab. Dabei ist a R eine Konstante. fx : lnx e a, gx : x + x + 4 sinx c Berechnen Sie z z und z z in der Form

Mehr

Mathematik für Sicherheitsingenieure I A

Mathematik für Sicherheitsingenieure I A Prof. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 3.8.8 Dr. T. Pawlaschyk Mathematik für Sicherheitsingenieure I A Aufgabe. (5+5+5+5 Punkte) a) Geben Sie für jede der folgenden Aussagen an, ob sie WAHR oder FALSCH ist.

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr