Klausur zu Theoretische Physik 2 Klassische Mechanik

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1 Klausur zu Theoretische Physik 2 Klassische Mechanik 1. August 216 Prof. Marc Wagner Goethe-Universität Frankfurt am Main Institut für Theoretische Physik 5 Aufgaben mit insgesamt 25 Punkten. Die Klausur ist mit oder mehr Punkten bestanden. Aufgabe 1 1+2=3 Punkte a Ein Astronaut fliegt mit einer Rakete mit konstanter Geschwindigkeit Geschwindigkeitsbetrag v = 3/2c; c ist die Lichtgeschwindigkeit an der Erde vorbei. Die Rakete hat in Flugrichtung aus Sicht des Astronauten die Länge L. Berechne die Länge der Rakete in Flugrichtung im System der Erde. b Der Astronaut fliegt nun von der Erde mit konstanter Geschwindigkeit Geschwindigkeitsbetrag u zu einem entfernten Stern und dann unmittelbar auf gleichem Weg und mit gleichem Betrag der Geschwindigkeit u wieder zurück. Berechne u für den Fall, dass der Astronaut während seiner Reise um 1 Jahr, seine Freunde auf der Erde dagegen um 4 Jahre gealtert sind. Wie weit ist der Stern aus Sicht eines Beobachters auf der Erde von der Erde entfernt? Aufgabe =4 Punkte Gegeben ist die Weltlinie eines relativistischen Teilchens in einer Raumdimension, x µ = ct, a sin2πt/t, parametrisiert durch die Zeit t mit t t a > und t > sind Konstanten; c ist die Lichtgeschwindigkeit. a Skizziere die Weltlinie in einem Raumzeitdiagramm. b Welche Einschränkung an a und t besteht für eine physikalisch sinnvolle Weltlinie, die eine Bewegung mit maximal Lichtgeschwindigkeit beschreibt? c Gib einen Integralausdruck für die zwischen Anfangspunkt charakterisiert durch t = und Endpunkt charakterisiert durch t = t verstrichene Eigenzeit τ des Teilchens an. d Berechne die Eigenzeit τ für den Fall 2πa/t = c. 1

2 Aufgabe =7 Punkte Ein Teilchen Masse m bewegt sich kräftefrei auf einer Zylinderfläche Radius R, die Symmetrieachse des Zylinders entspricht der z-achse. Verwende als generalisierte Koordinaten ϕ, z entsprechend der folgenden Abbildung. a Drücke die kartesischen Koordinaten durch die generalisierten Koordinaten aus, d.h. gib xϕ, z, yϕ, z und zϕ, z an. b Bestimme den metrischen Tensor des Zylinders, g jk, j, k {ϕ, z}. c Gib die kinetische Energie T und die Lagrange-Funktion L an. d Bestimme die Bewegungsgleichungen des Teilchens mit Hilfe der Euler-Lagrange- Gleichungen. e Zeige, dass der Drehimpuls bezüglich der z-achse eine Erhaltungsgröße ist. R z ϕ m Aufgabe =4 Punkte Betrachte ein Teilchen Masse m in zwei Raumdimensionen. Verwende im Folgenden Polarkoordinaten r, ϕ. Das Teilchen bewegt sich im nicht näher spezifizierten Potential V r, ϕ. a Gib die Lagrange-Funktion L an. b Berechne die kanonisch konjugierten Impulse p r und p ϕ. c Bestimme die Hamilton-Funktion H ausgehend von L mit Hilfe einer Legendre-Transformation. d Berechne die Poisson-Klammer {p ϕ, H}. Bestimme daraus, unter welcher Bedingung an V der kanonisch konjugierte Impuls p ϕ zeitlich erhalten ist. 2

3 Aufgabe =7 Punkte Zwei Massenpunkte Masse jeweils m bewegen sich in einer Raumimension und sind mit drei identischen Federn die dem Hookschen Gesetz genügen Ruhelänge jeweils a, Federkonstante jeweils k miteinander und mit zwei Wänden im Abstand 3a verbunden siehe Abbildung. Betrachte im Folgenden kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage. a Gib die Lagrange-Funktion L an. Verwende dabei generalisierte Koordinaten x 1 und x 2, die die jeweiligen Auslenkungen der Massenpunkte aus der Gleichgewichtslage beschreiben. b Wie lautet die Massenmatrix M und die Kraftmatrix K? Wie lauten die Bewegungsgleichungen für x 1 und x 2? c Bestimme die Normalschwingungen des Systems und gib die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen an. d Bestimme die spezielle Lösung der Bewegungsgleichungen für die Anfangsbedingungen x 1 t =, x 2 t = = x, x, ẋ 1 t =, ẋ 2 t = =,. k m k m k x 1 x 2 3a 3

4 Lösung 1a L = L/γ = 1 v 2 /c 2 L = L/2. Lösung 1b 4 = γ = 1 1 u 2 /c 2 1 u 2 /c 2 = 1 16 u = c = 4 c 15 d = u 2 y = 2 ly. Lösung 2b v = dx1 dt 2πa t c. Lösung 2c = 2πa t cos2πt/t c τ = 1 c t Lösung 2d dt x 2 x 1 2 = 1 t 2πa 2 dt c c 2 cos2πt/t. t τ = t dt 1 cos 2 2πt/t = t dt sin2πt/t = 2 t /2 dt sin2πt/t = 2t π. Lösung 3a x = R cosϕ, y = R sinϕ, z = z. 4

5 Lösung 3b g ϕϕ = r r ϕ ϕ = R2 g zz = r r = 1 z z g ϕz = g zϕ = r r ϕ z =. Lösung 3c L = T m 2 qj g jk q k = m 2 R 2 ϕ 2 + ż 2. Lösung 3d d L dt ϕ L ϕ = mr2 ϕ = d L dt ż L = m z =. z Lösung 3e ϕ ist zyklische Variable, daher L ϕ = mr2 ϕ = const; l z = mr 2 ϕ ist aus Vorlesung bekannt. Lösung 4a L = m 2 ṙ 2 + r 2 ϕ 2 V r, ϕ. 5

6 Lösung 4b p r = L ṙ = mṙ p ϕ = L ϕ = mr2 ϕ. Lösung 4c H = p r ṙ + p ϕ ϕ L = 1 p 2 r + p2 ϕ 2m r 2 + V. Lösung 4d {p ϕ, H} = j=r,ϕ pϕ H p ϕ H q j p j p j q j = H ϕ = V ϕ. p ϕ ist zeitlich erhalten, falls V unabhängig von ϕ, also V = V r. Lösung 5a L = 1 2 mẋ mẋ kx kx kx2 x 1 2. Lösung 5b M = m m, K = +2k k k +2k MẌ + KX = mit X = x1, x 2. Lösung 5c det Mωj 2 + K = mω 2 j 2 4kmω 2 j + 3k 2 = 6

7 mωj 2 = 2 ± 1k mω Mωj K a j = j + 2k k k mωj 2 + 2k k ω 1 = m, a = 2m +1 ω 2 = k 3 m, a = 2m 1 2 X = a j A j e +iωjt + B j e iω jt. j=1 a j = Lösung 5d +1 X = x +1 cos k/mt. 7