Mathematik. Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10

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1 Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien Klasse 0 Mathematik Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung

2 Impressum Herausgeber: Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung Hamburger Straße, 08 Hamburg Referatsleitung Mathematisch-naturwissenschaftlich-technischer Unterricht: Werner Renz Fachreferent Mathematik: Dr. Andreas Busse Redaktion (. Auflage): Inge Althoff-Beckmann, Stefanie Heinisch, Dr. Klaus Henning, Dr. Johannes Klemenz, Gabriele Müller- Sonder, Dr. Helge Schröder, Stephanie Spendel, Helmut Springstein. Redaktion (6. erweiterte Auflage): Manfred Bergunde, Sven Dudkowiak, Uta Feurle, Stefan Grübel, Stefanie Heinisch, Christian Kleinert, Dr. Ulrich Kotzott, Annelies Paulitsch, Peter Stender. Alle Rechte vorbehalten. Internet: 7. unveränderte Auflage, Hamburg 0

3 Inhaltsverzeichnis Vorwort...4 Liste der Arbeitsaufträge...5 Aufgaben...8. Aufgaben, die ohne Taschenrechner bearbeitet werden Beispiel für eine Prüfungsaufgabe Beispiele für Teilaufgaben zur Prüfungsaufgabe.... Aufgaben, die mit Taschenrechner bearbeitet werden... 5 Idee der Zahl und des Messens... 5 Idee Raum und Form... 5 Idee des funktionalen Zusammenhangs Idee der Wahrscheinlichkeit Erwartungshorizonte zu den Aufgaben und shinweise... 89

4 Vorwort Sehr geehrte Kolleginnen und Kollegen, mit der Verordnung zur Änderung der Ausbildungs- und Prüfungsordnung für die Klassen bis 0 der allgemeinbildenden Schulen wird das Überprüfungsverfahren am Ende der Klasse 0 der Gymnasien neu geregelt. In 80 der Verordnung heißt es u.a.: In der Klasse 0 dient die letzte Klassenarbeit in den Fächern Deutsch, Mathematik, erste und zweite Fremdsprache der Überprüfung, ob die Ziele der pädagogischen Arbeit entsprechend den überregionalen Standards und den Anforderungen der Bildungspläne erreicht wurden. Die Aufgaben für die schriftliche Überprüfung werden durch die zuständige Behörde zentral erstellt. Sie orientieren sich an überregionalen Standards und den Anforderungen der Bildungspläne für das Gymnasium. Jeweils vor Beginn der Klasse 0 werden von der Behörde für Schule und Berufsbildung die Inhalte veröffentlicht, die für die schriftliche Überprüfung relevant sind. In der vorliegenden Handreichung werden Beispielaufgaben vorgestellt, wie sie für die schriftlichen Überprüfungen in den 0. Klassen der Gymnasien im Jahr 007 und den folgenden Jahren formuliert werden. Die hier vorgelegten Aufgabenbeispiele korrespondieren mit den in den Bildungsstandards Mathematik für den Mittleren Abschluss der KMK geforderten Kompetenzen, Anforderungen und Aufgabenformaten; zum Teil sind auch Aufgabenbeispiele aus diesen Bildungsstandards übernommen worden. Die Aufgabenstellungen berücksichtigen die in den Rahmenplänen Mathematik für die Sekundarstufe I des Gymnasiums sowie die in den Bildungsstandards der KMK für den Mittleren Abschluss formulierten Leitideen und Anforderungen. Dem Geist der Rahmenpläne folgend orientieren sie sich an den zentralen Ideen (Leitideen), die die Inhalte verschiedener mathematischer Sachgebiete vereinigen und das mathematische Curriculum spiralförmig durchziehen. Zu jeder Aufgabe werden die erwartete Schülerleistung beschrieben sowie Vorschläge für eine Punkteverteilung in den drei Anforderungsbereichen gegeben. Die Aufgaben enthalten verbindlich definierte Arbeitsaufträge. Durch den sschlüssel werden u.a. die Voraussetzungen für eine gute und für eine ausreichende Gesamtleistung beschrieben. Diese Definitionen dienen dem Ziel, mehr Verbindlichkeit und Vergleichbarkeit zu schaffen. In der Hoffnung, dass die vorliegende Handreichung hilfreich für Ihre Unterrichtsarbeit ist, wünsche ich Ihnen und Ihren Schülerinnen und Schülern eine erfolgreiche Vorbereitung auf die schriftliche Überprüfung Mathematik in den 0. Klassen. Den Mitgliedern der Arbeitsgruppe, die diese Handreichung erstellt haben, möchte ich sehr herzlich für die geleistete intensive und zeitaufwendige Arbeit danken. Werner Renz 4

5 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Liste der Arbeitsaufträge Mehr noch als bei dezentralen Aufgaben, die immer im Kontext gemeinsamer Erfahrungen der Lehrenden und Lernenden mit vorherigen Klassenarbeiten stehen, müssen zentrale Prüfungsaufgaben für die Schülerinnen und Schüler eindeutig hinsichtlich des Arbeitsauftrages und der erwarteten Leistung formuliert sein. Die in den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben verwendeten Operatoren (Arbeitsaufträge) werden in der folgenden Tabelle definiert und inhaltlich gefüllt. Entsprechende Formulierungen in den vorausgehenden Klassenarbeiten sind ein wichtiger Teil der Vorbereitung auf den Realschulabschluss. Neben Definitionen und Beispielen enthält die Tabelle auch Zuordnungen zu den Anforderungsbereichen I, II und III, wobei die konkrete Zuordnung auch vom Kontext der Aufgabenstellung abhängen kann und eine scharfe Trennung der Anforderungsbereiche nicht immer möglich ist. Anforderungsbereich I: Reproduzieren Dieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u.a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Arbeitsaufträge und Anforderungsbereiche Angeben, nennen I-II Auseinandersetzen II-III Auswählen I-II Begründen II-III Definitionen Formulierung eines Sachverhaltes, Aufzählen von Fakten etc. ohne Begründung und ohne Lösungsweg. Kreativer Prozess, mindestens auf dem Anforderungsniveau II. Ohne Begründung aus mehreren Angeboten eines auswählen Für einen angegebenen Sachverhalt einen Begründungszusammenhang herstellen. Beispiele Gib an, wofür die Variable m in der Geradengleichung y = mx + b steht. Nenne ein Beispiel, in dem lineare Funktionen in der Realität auftreten. Setze dich mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinander. (z.b.: Aufgabe, Bildungsstandards) Wähle ohne Hilfe des Taschenrechners diejenige Zahl aus, die dem Wert von 99 am nächsten kommt. Begründe, warum der abgebildete Graph die Situation nicht richtig beschreibt. Begründe, warum eine quadratische Gleichung höchstens zwei Lösungen hat. 5

6 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Arbeitsaufträge und Anforderungsbereiche Berechnen I-II Definitionen Ergebnis von einem Ansatz ausgehend durch nachvollziehbare Rechenoperationen gewinnen. Die Wahl der Mittel kann eingeschränkt sein. Beispiele Berechne ohne Benutzung des Taschenrechners den Wert des Ausdrucks +. Beschreiben II-III Darstellung eines Sachverhalts oder Verfahrens in Textform unter Verwendung der Fachsprache. Es sollten hierbei vollständige Sätze gebildet werden; hier sind auch Einschränkungen möglich (Beschreiben Sie in Stichworten). Beschreibe, wie sich A ändert, wenn x größer wird. Beschreibe, wie man den Flächeninhalt dieser Figur bestimmen kann. Bestätigen I-II Bestimmen, ermitteln II-III Beurteilen III Entscheiden II-III Ergänzen, vervollständigen I Erstellen I-II Interpretieren II-III Konstruieren II-III Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch Anwendung einfacher Mittel (rechnerisch wie argumentativ) sichern. Darstellung des Lösungsweges und Formulierung des Ergebnisses. Die Wahl der Mittel kann frei, unter Umständen auch eingeschränkt sein. Zu einem Sachverhalt ein selbstständiges Urteil unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden formulieren. Bei Alternativen sich begründet und eindeutig auf eine Möglichkeit festlegen. Tabellen, Ausdrücke oder Aussagen nach bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder Mustern füllen. Einen Sachverhalt in übersichtlicher, meist fachlich üblicher oder vorgegebener Form darstellen. Die Ergebnisse einer mathematischen Überlegung rückübersetzen auf das ursprüngliche Problem. Anfertigung einer genauen Zeichnung, wobei die einzelnen Handlungsschritte einem mathematischen Konzept folgen, was in der Zeichnung erkennbar ist. Hilfsmittel werden benannt, müssen aber gegebenenfalls nicht alle verwendet werden. Bestätige, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit unter 0 % liegt. Bestimme die Lösung der Gleichung x+ x=. Bestimme die Lösung der Gleichung x 5 = 5x + durch Äquivalenzumformungen. Bestimme grafisch den Schnittpunkt. Beurteile, welche der beiden vorgeschlagenen Funktionen das ursprüngliche Problem besser darstellt. Beurteile die Diskussion von Yildiz und Sven. Entscheide, mit welchen der vorgeschlagenen Formeln man das Volumen des abgebildeten Körpers berechnen kann. Entscheide, welcher Graph zu welcher Funktionsgleichung gehört. Ergänze die fehlenden Werte. Vervollständige die Tabelle. Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion. Erstelle eine Planfigur. Interpretiere: Was bedeutet deine Lösung für die ursprüngliche Frage? Interpretiere die Bedeutung der Variablen d vor dem Hintergrund des Problems. Konstruiere mit Hilfe von Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Konstruiere mit Hilfe des Geodreiecks ein Dreieck ABC mit α = 5, c = 4 cm, h c =,5 cm. 6

7 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Skizzieren I-II Vergleichen II-III Zeichnen I-II Zeigen, nachweisen III Zuordnen I Grafische Darstellung der wesentlichen Eigenschaften eines Objektes, auch Freihandskizze möglich. Nach vorgegeben oder selbst gewählten Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln und darstellen. Sorgfältige Anfertigung einer grafischen Darstellung. Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gültigen Schlussregeln, Berechnungen, Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen. Ohne tiefer gehende Erläuterung eine Verbindung zwischen zwei Listen herstellen Skizziere den Verlauf des Graphen. Skizziere die Figur, die im Text beschrieben wird. Vergleiche Umfang und Flächeninhalt der drei Figuren. Zeichne den Graphen der Funktion. Zeige, dass das betrachtete Viereck ein Drachenviereck ist. Ordne die Füllgraphen den Gefäßen zu. 7

8 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Aufgaben Die folgenden Aufgabenbeispiele für zentrale schriftliche Überprüfungen in den 0. Klassen der Gymnasien im Fach Mathematik werden in zwei Aufgabenformaten vorgestellt: Aufgaben, die ohne den Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden sollen, und Aufgaben, zu deren Lösung der Einsatz des Taschenrechners vorgesehen ist. Die reine Arbeitszeit beträgt 5 Minuten ( Unterrichtsstunden), es sind insgesamt 00 Punkte zu erreichen. Der Aufgabenteil I (Bearbeitung ohne Taschenrechner) ist in 45 Minuten, einem Drittel der zur Verfügung stehenden Arbeitszeit, zu bearbeiten. Dementsprechend wird ihm etwa ein Drittel der Gesamtpunktzahl zugeordnet (4 von 00 Punkten). Für den zweiten Aufgabenteil II, der aus Prüfungsaufgaben besteht und bei dem der Einsatz des Taschenrechners vorgesehen ist, stehen danach zwei von drei Unterrichtsstunden, also insgesamt 90 Minuten (0 Minuten pro Aufgabenteil) zur Verfügung. Dementsprechend werden ihm etwa zwei Drittel der Gesamtpunktzahl zugeordnet (-mal jeweils Punkte = 66 Punkte). Die Aufgabenbeispiele enthalten neben der Aufgabenstellung den Erwartungshorizont (die erwartete Schülerleistung) und Vorschläge für eine mögliche. Für die der Gesamtleistung der schriftlichen Prüfung gilt die folgende Zuordnungstabelle: Erreichte Gesamtpunktzahl 95 Punkte + 90 Punkte 85 Punkte 80 Punkte + 75 Punkte 70 Punkte 65 Punkte + 60 Punkte 55 Punkte 50 Punkte Punkte 4 40 Punkte 4 Punkte 5+ 6 Punkte 5 0 Punkte 5 < 0 Punkte 6 skriterien für die Noten gut und ausreichend Die Note gut ( ) kann nur erteilt werden, wenn mindestens 75 % der erreichbaren Gesamtleistung erbracht wurden. Die Note ausreichend ( 4 ) kann nur erteilt werden, wenn mindestens 45 % der erreichbaren Gesamtleistung erbracht wurden. 8

9 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik. Aufgaben, die ohne Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden.. Beispiel für eine Aufgabe im Teil. Notiere jeweils den Buchstaben der korrekten Lösung in der letzten Spalte: Lösung S.89 Aufgabe a b c d Lös. a) 0, =... 0,9 0, b) 5 min =... h,5,5,75,45 c) 4 m =...cm d) 5 = % 40 % 6,5 % 67,5 % 8 e) ( x) ( + 4x) = x 4x 4x + 5x x 4x 4x 5x + 6 f) v w u u = v + w v = w u w = u + v u = v + w Welche Gleichung gilt? g) Von vier Gefäßen wird der Rauminhalt bestimmt. In welches passt am meisten hinein? 40 l 0,4 m 400 cm 4 dm h) Addiert man zu einer Zahl, so erhält man Wie heißt die Zahl? i) 7 8 = j) n = 8, n = k) Um welchen Faktor ändert sich das Volumen eines Würfels, wenn man alle Seitenlängen verdoppelt?

10 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Aufgabe a b c d Lös. l) Der Winkel α hat die Größe 5. Welcher prozentuale Anteil der Kreisfläche wird durch den Kreissektor beschrieben? 5%, 7,5% 45% α m) Zu welchem der angegebenen Terme passt der folgende Text? Multipliziere die Summe aus dem 5-fachen einer Zahl und der Hälfte der Zahl mit 9 und subtrahiere die Zahl. x 9 5x+ x x 9 5x x x x x 9 5x+ x ( 95x) n) In einer Startbox stehen fünf Rennpferde nebeneinander. Wie viele Möglichkeiten der Anordnung gibt es? o) Vier Schülerinnen arbeiten paarweise zusammen, wie viele unterschiedliche Paare sind möglich? p) Der Preis eines Pullovers ist um 40% reduziert worden. Er kostet jetzt 4. Wie teuer war er vor der Preisreduzierung? ,0 58,

11 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik. Gleichungen Gib jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen an: a) x ( x ) ( x ) + = 0 b) x 6x= 5 c) 8 x x = + d) 7 x = 6 4. Potenzen: Sehr groß und sehr klein a) Nachfolgend siehst du einige sehr große bzw. sehr kleine Entfernungen. Trage sie in Zehnerpotenzschreibweise mit einer Ziffer vor dem Komma (wissenschaftliche Schreibweise) in die Tabelle ein. Entfernung Entfernung Erde-Mond km Atomdurchmesser 0 0 m Mittlere Entfernung Sonne-Jupiter 778, Millionen km Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt ( Lichtjahr) 9 Billionen 46 Milliarden km Wissenschaftliche Schreibweise 4 b) Der Durchmesser eines Atomkerns beträgt 0 m. Wie viele Atomkerne muss man nebeneinander legen, um den Atomdurchmesser von m zu erhalten? Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher 0 0 Schreibweise an. c) Ermittle anhand des Ergebnisses in a) durch eine grobe Überschlagsrechnung, welche Entfernung das Licht in einer Woche zurücklegt, und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an. 4. Flächenbestimmung a Bestimme einen Term für den Flächeninhalt der grau markierten Figur in Abhängigkeit von a und vereinfache ihn so weit wie möglich. a

12 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 4. Füllgraphen Die beiden vorgegebenen Graphen beschreiben den Zusammenhang zwischen dem Volumen und der Höhe des Flüssigkeitsstands in Gefäßen. Skizziere zu jedem Graphen eine Gefäßform, für die der vorgegebene Verlauf zutreffen könnte. Füllhöhe h Füllhöhe h Volumen V Volumen V Mögliche Gefäßform Mögliche Gefäßform

13 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik.. Weitere Beispiele für Teilaufgaben zum Prüfungsteil. Teilbarkeit Lösung S. 9 7, 8, 9 und 0,, sind Beispiele für Folgen mit drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen. Entscheide, ob die Behauptungen a), b), c) für alle denkbaren solcher Folgen jeweils wahr oder falsch sind: a) In jeder solchen Folge gibt es eine Zahl, die durch teilbar ist. b) Das Produkt aller Zahlen einer solchen Folge ist durch 6 teilbar. c) Das Produkt aller Zahlen einer solchen Folge ist durch 4 teilbar.. Druckerei Lösung S. 9 Eine Druckerei druckt unter anderem auch Postkarten und berechnet die Kosten für das Drucken von Postkarten mit der folgenden Formel: K = + 6. n Dabei ist n die Anzahl der zu druckenden Postkarten, K die Kosten pro Postkarte in Cent. a) Die Firma erhält einen Druckauftrag für (genau) Postkarten. Berechne den Preis einer Postkarte nach der angegebenen Formel. b) Beschreibe, wie sich die Druckkosten für eine Karte ändern, wenn die Druckauflage steigt, also mehr Karten gedruckt werden. c) Entscheide, ob eine Postkarte 6 Cent kosten kann, wenn obige Formel als Berechnungsgrundlage verwendet wird. Begründe deine Antwort. d) Interpretiere, welche Bedeutung in der angegebenen Formel die 6 (Cent) haben könnten.. Benzinverbrauch Lösung S.9 Der Graph zeigt die Tankfüllung eines (extrem wenig verbrauchenden) Pkws während einer Autobahnfahrt an. a) Gib an, wie viele Liter Benzin beim ersten Tankstopp (nach 00 km) gekauft wurden. b) Gib den Benzinverbrauch pro 00 km an, und zwar zwischen dem ersten und zweiten Tankstopp. c) Auf welcher Teilstrecke ist der Benzinverbrauch pro 00 km am größten? Begründe ohne Rechnung mit Hilfe des Graphen. d) Berechne den Benzinverbrauch pro 00 km für die Gesamtstrecke. Benzinmenge im Tank (in l) gefahrene Strecke (in km)

14 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 4. Formel Lösung S. 9 Die Rennstrecke eines Formel-- Rennens ist normalerweise nicht so einfach wie nebenstehende Skizze, doch die Skizze gibt das Prinzip wieder. Zeichne einen Graphen, der die Geschwindigkeit eines Rennwagens in der ersten Runde in Abhängigkeit von der Zeit zeigt und begründe den Verlauf deines Graphen. 4 4

15 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 5. Füllgraphen Lösung S. 9 Nachstehend folgen einige Graphen, die einen Zusammenhang zwischen dem Volumen und der Höhe des Flüssigkeitsstands in Gefäßen beschreiben. Nenne zu jedem Gefäß (a), (b), (c), (d) einen der Graphen (A), (B), (C), (D), (E), (F), der den Zusammenhang zwischen Volumen und Höhe des Flüssigkeitsspiegels am besten beschreibt. Begründe deine Entscheidung jeweils kurz. Und das sind die Gefäße, die bis zum Rand gefüllt werden sollen: Ein Messbecher Eine Vase Eine Flasche Ein Parfümflakon Gefäß Zugehöriger Graph Begründung a) Messbecher b) Vase c) Flasche d) Flakon 5

16 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 6. Füllgraphen Lösung S. 9 Jeder der abgebildeten Behälter wird gleichmäßig mit der gleichen Wassermenge pro Zeiteinheit gefüllt. Die folgenden Füllgraphen geben die Höhe h des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Öffnungszeit t der Wasserleitungen an. Höhe in dm IV Höhe in dm Höhe in dm Höhe in dm Zeit in min Zeit in min Zeit in min Höhe in dm V Höhe in dm VI Diagramm zu B 5 : Höhe in dm Zeit in min Zeit in min Zeit in min a) Bestimme, welches Diagramm zu welchem der Behälter B, B, B bzw. B 4 gehört. Schreibe die Behälternamen an die zugehörigen Diagramme. b) Zeichne das entsprechende Diagramm, das die Füllhöhe des Behälters B 5 in Abhängigkeit von der Füllzeit beschreibt. 6

17 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 7. Kegel, Kugel, Zylinder Lösung S. 94 Bereits Archimedes erkannte, dass die Volumina von Kegel, Kugel und Zylinder bei gleichem Radius und gleicher Höhe in einem ganzzahligen Verhältnis stehen. Er fand das Ergebnis so schön, dass er die Figur auf seinem Grabstein haben wollte. Berechne die Verhältnisse der Volumina. r 8. Radrennfahrer Lösung S. 95 Ein Radrennfahrer ist schon einige Zeit unterwegs und fährt dann über einen Berg. Skizziere den Geschwindigkeitsverlauf in Abhängigkeit von der Horizontalentfernung s und begründe. Horizontalentfernung s Horizontalentfernung s 7

18 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 9. Der goldene Schnitt Lösung S. 95 Zwei Strecken stehen im goldenen Schnitt zueinander, wenn sich die kürzere Strecke (a) zur längeren Strecke (b) so verhält, wie die längere Strecke (b) zur Summe der Strecken (a + b), d.h. für die Strecken a und b gilt die Gleichung a b =. b a + b Dieser goldene Schnitt findet vielfache Anwendungen, z. B. bei der Gestaltung von Gebäuden und Gegenständen, von Büchern usw., da diese dann als besonders ästhetisch empfunden werden. a b a) Begründe, dass die Gleichung a + ab = b zur obigen Gleichung äquivalent ist. b) Zeige, dass sich bei gegebenem b eine Lösung für a durch b a = ( + 5) bestimmen lässt. 0. Gebläse Lösung S. 96 In der Anordnung rechts kann eine Kugel nach dem Loslassen einen der möglichen Wege gehen. Die Chance, nach rechts oder links abgelenkt zu werden, beträgt jeweils 50 %. Durch ein Gebläse kann dies geändert werden: Dann wird eine Kugel in acht von zehn Fällen nach rechts abgelenkt. a) Gib an, wie viele verschiedene Wege die Kugel durchlaufen kann, um in das Fach B zu gelangen. b) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei abgeschaltetem Gebläse eine Kugel in ein Fach mit dem Namen E fällt. Jetzt wird das Gebläse eingeschaltet. c) Es werden nacheinander Kugeln fallen gelassen. Ermittle die Anzahl der Kugeln, die man im Fach N erwarten kann. d) Gib einen Zahlenterm für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Kugel in das Fach B fällt. 8

19 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik. Geraden Lösung S. 96 y g 5 4 f h x k In der Abbildung siehst du die Graphen verschiedener Funktionen. a) Gib jeweils die zugehörige Funktionsgleichung an: f(x) = g(x) = h(x) = k(x) = b) Zeichne eine Parallele zur y-achse in das Koordinatensystem ein und gib die zugehörige Gleichung an. c) Entscheide, ob es sich bei der Geraden unter b) um den Graphen einer Funktion handelt. 9

20 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik. Graphen zuordnen Lösung S. 96 Gib an, welcher der aufgeführten Funktionsterme jeweils zu den Graphen A bis K gehört. y y y x x x y y y x x x y y y x x x Funktionsterm x Zugeh. Graph x 4x x + ( x ) x x x 4 Funktionsterm x 5 x 4 x + x x x Zugeh. Graph Funktionsterm x Zugeh. Graph x x + sin x sin 4x cos x 0

21 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik. Besondere Werte der trigonometrischen Funktionen Lösung S. 97 Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck. a) Begründe, dass die angegebenen Winkelgrößen korrekt sind. 0 b) Zeige mit Hilfe des Dreiecks: sin 0 = sin 60 = c) Begründe, für welchen Winkel α 0 90 gilt: 60 cosα =. 4. Würfel und Münze Lösung S. 97 Es wird ein Würfel mit nebenstehendem Netz einmal gewürfelt. Anschließend wird eine Münze (Wappen oder Zahl) so oft geworfen, wie der Würfel anzeigt. Zeichne ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: genau einmal Zahl mindestens einmal Zahl keinmal Wappen 0 5. Martins Glücksspiel Lösung S. 98 Martin hat für seine Freunde ein Glücksspiel vorbereitet und dazu einen Würfel und drei mit Bällen gefüllte Vasen mitgebracht (siehe Abbildung). Er vereinbart folgende Regeln: Erst muss man würfeln, anschließend zieht man eine Kugel aus einer der Vasen. Bei einer Eins zieht man aus Vase, bei einer geraden Augenzahl aus Vase, sonst aus Vase. Gewonnen hat man, wenn man eine dunkle Kugel zieht. Er verlangt Spieleinsatz und zahlt bei Gewinn den Einsatz und extra zurück. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, zunächst eine Eins zu würfeln, dann eine helle Kugel zu ziehen. b) Entscheide, ob Martin auf lange Sicht bei seinem Glücksspiel Gewinn macht.

22 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 6. Berechnung im Dreieck Lösung S. 98 In einem beliebigen Dreieck ABC ist die Höhe h zu berechnen. Genau der folgenden 5 Gleichungen sind zur direkten Berechnung von h geeignet. Kreuze die beiden Gleichungen an. h= a a h= b a h= tan β a h= sin β c b sin β h = sin Schiefe Ebene Lösung S. 99 In einem Experiment im Physikunterricht rollt eine Kugel eine schiefe Ebene herab und beschleunigt dabei gleichmäßig. Welchem Graphen entspricht die Bewegung der Kugel? Begründe kurz. Graph Graph Graph Geschwindigkeit Geschwindigkeit Geschwindigkeit Zeit Zeit Zeit 8. Flächen Lösung S. 99 Der Kreis hat einen Radius von cm und ist in vier gleichgroße Sektoren unterteilt. In jedem der Sektoren ist noch ein Viertel eines Kreisbogens (Kreisradius ebenfalls cm) eingezeichnet. Gib einen Term für den Gesamtflächeninhalt der grau unterlegten Flächen an. Hinweis: Das Ergebnis kann mit minimalem Rechenaufwand bestimmt werden.

23 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 9. Graphen Lösung S. 99 Wähle zu jedem auf der nachfolgenden Seite skizzierten Funktionsgraphen den zugehörigen Funktionsterm aus. Trage dazu den Buchstaben des Graphen unter den zugehörigen Term in die Liste ein (es müssen also noch Felder frei bleiben). A y B y x x C y D y x x E y F y x x Funktionsterm sin x sinx Zugeh. Graph - 5 x 5 x - ( x + ) x + Funktionsterm Zugeh. Graph x + x + x + x + x x

24 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 0. Interpretation von Graphen Lösung S. 99 Gib an, ob eine der folgenden Sportarten einen Graphen wie diesen liefern könnte, und begründe deine Wahl ausführlich und möglichst exakt: Angeln, Fallschirmspringen, 000-m-Lauf, Stabhochsprung, Wasserski.. Graphen Lösung S. 00 Gegeben seien die Funktionen f, g und h mit f( x) = x, gx ( ) = x und hx ( ) = x, x. In der nebenstehenden Darstellung ist der Graph einer dieser Funktionen zu sehen. a) Gib an, welche Funktion grafisch dargestellt ist. b) Skizziere die Graphen der beiden anderen Funktionen in das gegebene Koordinatensystem. c) Beschreibe kurz, welche Beziehung zwischen den Funktionen f und h besteht. y x d) Schüler einer Klasse können Aufgabe a lediglich durch pures Raten bearbeiten. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle drei diese Aufgabe richtig beantworten. 4

25 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik. Aufgaben, die mit Hilfe des Taschenrechners bearbeitet werden Idee der Zahl und des Messens. DIN-Formate Lösung S. 0 In dieser Aufgabe geht es um die vom Deutschen Institut für Normung (DIN) festgelegten Papierformate der Reihe A. Wie die Formate miteinander zusammenhängen, zeigt die nebenstehende Abbildung. Das größte Rechteck stellt das Format A dar. a) Eine DIN-A-Seite soll mit einem Fotokopierer auf DIN-A6-Format verkleinert werden. Gib an, welchem Flächenverhältnis das entspricht und begründe deine Angabe. b) Eine Vorlage im Format DIN-A8 soll mit einem Fotokopierer auf den vierfachen Flächeninhalt vergrößert werden. Gib an, welchem DIN-Format die Vergrößerung entspricht. c) Das größte Blatt der Reihe A hat das Format DIN-A0. Es soll auf DIN-A6-Größe gefaltet werden. Berechne, wie viele Lagen Papier am Ende übereinander liegen. d) Die Kantenlängen jedes DIN-A-Blattes verhalten sich zueinander wie :. Ein DIN-A0-Blatt hat eine Fläche von m. Berechne die Seitenlängen eines DIN-A0- und eines DIN-A4-Blattes in mm. e) Ein DIN-A-Blatt soll mit einem Fotokopierer auf DIN-A4-Format verkleinert werden. Berechne, auf wie viel Prozent die Anzeige des Fotokopierers eingestellt werden muss. 5

26 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Zahl und des Messens. Autokauf Lösung S. 0 Beim Kauf eines Autos stellt sich oft die Frage, ob man ein Fahrzeug mit einem Benzin- oder mit einem Dieselmotor kaufen soll. Schaut man sich die Kosten an, die in einem Jahr entstehen, so kann das eine Hilfe bei der Auswahl zwischen einem Benzin- oder Dieselmotor sein. Eine Autozeitschrift gibt für einen bestimmten Autotyp folgende Zahlen an: Auto mit Benzinmotor Auto mit Dieselmotor jährliche Festkosten*) 9,40 770,80 durchschnittlicher Kraftstoffverbrauch auf 00 km 6,8 Liter 5, Liter *) Festkosten sind z. B. Steuer, Versicherung, Ölwechsel, Reparaturen a) Im November 004 kostete Liter Benzin,9 und ein Liter Diesel,05. Fülle die folgende Tabelle aus. jährlich gefahrene Strecke Benzinmotor: jährliche Kraftstoffkosten Benzinmotor: jährliche Gesamtkosten (Kraftstoffkosten + Festkosten) Dieselmotor: jährliche Kraftstoffkosten Dieselmotor: jährliche Gesamtkosten (Kraftstoffkosten + Festkosten) km km km b) Berechne, wie viel Geld beim Vergleich der Gesamtkosten bei einer jährlichen Fahrleistung von km mit einem Dieselauto pro Jahr gespart werden kann. c) Berechne, ab welcher jährlichen Fahrleistung ein Dieselfahrzeug niedrigere Gesamtkosten hat als ein Benzinfahrzeug. d) Ein Neuwagen mit Benzinmotor kostet 7 75, ein Neuwagen mit Dieselmotor ist teurer und kostet Herr Timm will sich einen neuen Dieselwagen kaufen. Pro Jahr fährt er durchschnittlich km. Berechne, nach wie vielen Jahren Herr Timm die Mehrkosten ungefähr ausgeglichen hat. e) Bei solchen Wirtschaftlichkeitsberechnungen spielt weiterhin der Wiederverkauf eine entscheidende Rolle, denn üblicherweise gibt man beim Kauf eines neuen Autos ein gebrauchtes in Zahlung. Bei den hier betrachteten Autos kann man davon ausgehen, dass beim Verkauf nach drei Jahren der Wagen mit Benzinmotor bringt, der Dieselwagen Beschreibe, wie dies die Überlegungen von d) ändert und zu welchen Ergebnissen Herr Timm kommt, wenn er den Wiederverkauf mit einbezieht. f) Herr Timm hat vor genau drei Jahren 000 auf ein Konto mit einem Zinssatz von,7 % eingezahlt. Bestimme, wie viel Geld Herr Timm noch dazulegen muss, um sich jetzt einen neuen Dieselwagen kaufen zu können. Er gibt übrigens kein gebrauchtes Auto in Zahlung. 6

27 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Zahl und des Messens. Computergrafik Lösung S. 0 Man kann mit einfachen (mathematischen) Mitteln faszinierende grafische Effekte erzielen. In der nebenstehenden Figur wurde ein Quadrat 6-mal jeweils um einen festen Winkel α hier 5 weitergedreht, und die Seite wurde immer um denselben Faktor so verkürzt, dass das gedrehte Quadrat gerade in das vorherige hineinpasst. a) Wenn α = 45, sind die Verhältnisse noch sehr übersichtlich: Das Anfangsquadrat habe die Seitenlänge s = m. Bestimme die Seitenlängen der Quadrate nach der ersten und nach der zweiten Drehung, also die Seitenlängen der beiden inneren Quadrate. Es ist: Neue Seitenlänge = Verkleinerungsfaktor f vorherige Seitenlänge Begründe, dass der Verkleinerungsfaktor f bei beiden Drehungen den Wert hat. m Nun sei die Winkelgröße von α nicht mehr 45, sondern beliebig. s sei die Seitenlänge des Ausgangsquadrates. b) Gesucht ist die neue Seitenlänge x. Man erkennt: s= a+ b. Begründe damit folgenden Zusammenhang: s= x sin α+ cos α. ( ) Bestimme die nach x umgeformte Gleichung und gib den Verkleinerungsfaktor f an. Sei α nun 5 wie in der ersten Grafik oben rechts. Bestimme den Verkleinerungsfaktor f für α = 5 und zeige, dass f 0,9. Die Ausgangsseite s habe wieder eine Länge von m. Bestimme den Flächeninhalt des 6. gedrehten Quadrats (für α = 5 ). 7

28 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Um noch interessantere Effekte zu erzielen, kann man statt eines Quadrates ein regelmäßiges Vieleck entsprechend drehen und verkleinern. Dies soll jetzt mit einem regelmäßigen Fünfeck geschehen. c) Begründe zuerst, dass das Maß der Innenwinkel γ (Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten) eines regelmäßigen Fünfecks jeweils 08 beträgt. d) Man sieht hier Teile eines Ausgangsfünfecks (dick) und Teile des verkleinerten gedrehten Fünfecks (dünn). α sei wieder der Drehwinkel. Es gilt wieder: s= a+ b. Begründe damit und mit Hilfe des Sinussatzes, dass die folgende Beziehung gilt: sin 08 x= s sin α+ sin β Es sei nun wieder α = 5. Begründe, dass der Verkleinerungsfaktor f für α = 5 etwa 0,948 beträgt Bei einer Drehung verkleinert sich der Flächeninhalt um den Faktor f 0,8908. Bestimme die Anzahl der Drehungen, die nötig sind, damit der Flächeninhalt des letzten Fünfecks erstmals kleiner als 0 % des Flächeninhalts des Ausgangsfünfecks ist. 8

29 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Zahl und des Messens 4. Fußballfeld Lösung S. 06 a) Die Maße eines Fußballfeldes müssen nicht überall gleich sein. Die Regel besagt lediglich: Für internationale Spiele soll die Länge mindestens 00 m und höchstens 0 m betragen. Die Breite soll mindestens 64 m und höchstens 75 m betragen. Berechne, um wie viel Prozent die maximal mögliche Spielfeldfläche größer ist als die kleinstmögliche Fläche. b) Die jeweiligen Abmessungen der Torbreite und des Strafraumes sind der Skizze zu entnehmen. Eine weitere Regel besagt: In jedem Strafraum, m vom Mittelpunkt der Torlinie zwischen den Pfosten und gleich weit von beiden Pfosten entfernt, ist der Elfmeterpunkt E. Von jedem Elfmeterpunkt aus ist ein Teilkreis mit 9,5 m Radius außerhalb des Strafraumes zu ziehen. Der Grund für diese Markierung besteht darin, dass beim Strafstoß (Elfmeter) alle Spieler (außer dem Schützen und dem Torwart) außerhalb des Strafraums und mindestens 9,5 m vom Ball entfernt sein müssen. (Diese Verhältnisse sind nicht maßstabstreu in der folgenden Skizze dargestellt.) 6,50 m C Tor, Breite 7, m E D 6,50m B A Zur Markierung des Teilkreises ist es für den Platzwart nützlich, die Länge der Strecke AB (von der Strafraumkante bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis) zu kennen. Bestimme dazu zuerst die Länge der Strecke BC (zur Kontrolle BC = 4,6 m ). Berechne anschließend die Länge der Strecke AB. c) Für abprallende Bälle nach einem Strafstoß (Elfmeter) ist es für die übrigen Spieler wichtig, möglichst dicht am Tor zu stehen. Entscheide, ob es vom Punkt B oder am Punkt D, dem Mittelpunkt des Kreisbogens (siehe Skizze), dichter zum Mittelpunkt der Torlinie ist. d) Der Stürmer Jürgen befindet sich im Punkt J (siehe Skizze) und schießt auf das leere Tor. Trotzdem schießt er daneben. Zur Beurteilung der Situation soll im Nachhinein der Schusswinkel α bezogen auf die Torbreite berechnet werden. Bestimme den Schusswinkel α. Torbreite 7, m 7 m 0 m J 9

30 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Zahl und des Messens 5. Wassertank Lösung S. 07 In der nebenstehenden Abbildung ist ein Wassertank dargestellt. (Abbildung nicht maßstabsgerecht),0 m 4,5 m 6,0 m a) Der zylinderförmige Teil des Tanks soll von außen einen neuen Anstrich erhalten. Berechne, wie viel Liter Farbe man braucht, wenn Liter für 8 m ausreicht. b) Berechne durch Überschlag das Gesamtvolumen des Tanks und kreuze an. Beschreibe, wie du vorgegangen bist. 5 m 5 m 5 m 45 m c) Der spitze Teil des Tanks wird bis zu seiner halben Höhe mit Wasser gefüllt. Berechne, wie viele Kubikmeter Wasser der Tank enthält. d) Der leere Tank wird gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Gib an, welcher der folgenden Graphen zeigt, wie sich die Höhe des Wasserspiegels mit der Zeit ändert. Begründe deine Entscheidung. Begründe für die anderen Graphen, warum sie nicht die Änderung beschreiben. Höhe A Höhe B Höhe C Zeit Höhe D Zeit Höhe E Zeit Zeit Zeit 0

31 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Zahl und des Messens 6. Dreieck Lösung S. 08 Die Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck ABC. Die Strecke DE ist parallel zur Strecke AB. C 54 D δ 8 cm γ E A α cm β B a) Berechne die Winkelgrößen von α und γ. b) Zeige, dass das Flächenverhältnis der Dreiecke DEC und ABC den Wert :,5 hat. c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks DEC. d) Begründe, dass das Viereck ABED ein spiegelsymmetrisches Trapez ist, und berechne seinen Flächeninhalt. e) Der Kreis K hat D als Mittelpunkt und läuft durch B. Entscheide, ob der Punkt C innerhalb von K liegt, auf K oder außerhalb von K.

32 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Zahl und des Messens 7. Flurkarte Lösung S. 0 Du siehst eine nicht maßstabsgerechte Skizze mit den Grundstücken I und II. C I 75 m 4 A II 8 m 5 m 4 B a) Weise nach, dass die Länge der Grundstücksgrenze zwischen den Grundstücken I und II 96 m lang ist. Berechne die Länge der Grundstücksgrenzen an der Straße zwischen A und C. (Zur Kontrolle: AC 85,8 m ) b) Um die beiden Grundstücke soll ein Zaun mit jeweils einem m breiten Tor errichtet werden. Zusätzlich sollen die beiden Grundstücke durch einen weiteren Zaun voneinander getrennt werden. Die Zaunkosten für die Außengrenzen betragen 4,5 pro Meter, für die Grenze zwischen den beiden Grundstücken 9,85 pro Meter. Ein Tor kostet 66,5. Berechne die Gesamtkosten. c) Bestimme den Gesamtflächeninhalt der beiden Grundstücke und runde auf einen ganzzahligen Wert. Bestimme den Flächeninhalt des Grundstückes II und runde auf einen ganzzahligen Wert. d) Am Punkt M genau in der Mitte zwischen A und B liegt ein Stromverteiler. Eine Straßenlampe am Punkt C soll durch eine gerade (unterirdische) Leitung mit dem Stromverteiler in M verbunden werden. Berechne die Länge der Leitung. e) Ohne Rechnung: Begründe, dass die Leitung auch die Grenze zwischen den Grundstücken in der Mitte kreuzt. Beweise, dass die Leitung die Flächen beider Grundstücke halbiert.

33 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Zahl und des Messens 8. Windpark Lösung S. Für einen neuen Windpark sollen Windräder aufgestellt werden. Ein Windrad besteht aus drei Rotorblättern. Ein Rotorblatt ist 6 m lang. a) Die sich drehenden Rotorblätter beschreiben eine Kreisfläche. Bestimme den Durchmesser und die Größe der Kreisfläche. Vergleiche diese Fläche prozentual mit der Fläche einer Turnhalle mit den Abmessungen 8 m x 6 m. (4 P.) b) Bei einer Windgeschwindigkeit von mehr als 5 Metern in der Sekunde wird die Anlage aus Sicherheitsgründen gestoppt. Bei dieser Windgeschwindigkeit drehen sich die Rotorblätter in Sekunden -mal um ihre Achse. Zeige, dass sich die Spitzen der Rotorblätter dann mit einer Geschwindigkeit von mehr als 40 km/h bewegen. ( P.) Die Windräder stehen an den Standorten A, B und C (siehe nebenstehende Skizze). Folgende Daten sind bekannt: c = 85 m α= 5 β= 6 c) Aus Sicherheitsgründen müssen die Standorte der Windräder mindestens 40 m voneinander entfernt sein. Die Standorte A und C erfüllen mit einem Abstand von 7 m diese Bedingung. Entscheide, ob der Sicherheitsabstand auch bei den Standorten B und C eingehalten wurde. (5 P.) (Skizze nicht maßstäblich) d) Der Standort D eines vierten Windrades liegt spiegelbildlich zum Standort C bezüglich einer Achse durch A und B. Bestimme die Entfernung zwischen den Standorten C und D. Hinweis: Zeichne eine Skizze. (5 P.) e) Ein Spaziergänger sieht die eingezäunten Windräder und möchte wissen, wie hoch diese Windräder ungefähr sind. Er peilt mit einem Geodreieck den Höhenwinkel (Winkel zwischen Turmspitze und Bodenebene) des Stahlturmes mit ca. 8, dann entfernt er sich vom Turm um zusätzliche 00 m und misst nun nur noch ca.. Zeichne eine Skizze und bestimme die ungefähre Höhe des Stahlturmes. (5 P.)

34 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Zahl und des Messens 9. Paranussbaum Lösung S. Paranussbäume sind Urwaldriesen. Als so genannte Überständer ragen sie weit über das etwa vierzig Meter hohe Kronendach des tropischen Regenwalds hinaus. Besonders große Exemplare dieser Bäume können bis zu 60 m hoch werden, davon entfallen etwa 4 m auf den Stamm. Der Stamm eines solchen Baums hat einen Umfang von ungefähr 6 m und ist annähernd zylindrisch. a) Bestimme den Durchmesser eines solchen Baumstammes. b) Berechne die Masse eines solchen Baumstammes (vom Boden bis zur Krone) in Tonnen, wenn man von einer Dichte von 0,8 g cm für das Holz ausgeht. Um die Entfernung der Baumkronenpunkte B und B nahe beieinander stehender Paranussbäume zu bestimmen, werden nach der Methode des Vorwärtseinschneidens von einer zugänglichen Standlinie PQ aus die folgenden Werte gemessen: α = 69, α = 6, β = 80, β = 49, Standlinie PQ = 00 m. Dabei wird vorausgesetzt, dass die vier Punkte P, Q, B, B in einer Ebene liegen. B B c) Bestimme mit diesen Daten zuerst die Entfernungen PB und PB und dann die gesuchte Entfernung der Baumkronenpunkte B und B. Die beiden Bäume sind unterschiedlich hoch (6 m bzw. 49 m). Deshalb wird durch die oben angewandte Methode nicht der Abstand der Baumstämme voneinander, sondern der Abstand der Baumkronenpunkte B und B bestimmt. Diese beiden Abstände stimmen hier nicht überein (siehe unten stehende Skizze). α P α β β Q d) Vergleiche die beiden Abstände miteinander und entscheide, ob das oben beschriebene Verfahren dennoch auch zur Bestimmung des Abstandes dieser beiden unterschiedlich großen Bäume geeignet sein könnte, falls wenigstens die Fußpunkte der Baumstämme sich auf gleicher Höhe befinden. B Abstand der Baumkronen Abstand der Bäume B 4

35 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form, des Messens und des funktionalen Zusammenhangs 0. Designerlampe Lösung S. 5 Der italienische Stardesigner Francesco Canelloni hat für die Empfangshalle eines Luxushotels eine Stehlampe entworfen. Sie besteht aus einer hohlen, durchsichtigen Glaskugel von,0 m Radius, in die von unten als Ständer ein Kegel aus rotem Glas wie ein Keil so hineingetrieben ist, dass die Spitze des Kegels im Mittelpunkt der Kugel liegt. Die Grundfläche des Kegels bildet die Standfläche der Lampe. Sie schließt bündig mit der Kugel ab, so dass unten praktisch ein Stück der Kugel abgeschnitten ist. R =,0 m Leuchtgas d h x a) Bestimme das Volumen des Kegels, wenn seine Höhe h gleich dem halben Kugelradius R ist. In den Raum zwischen Kegel und Kugel soll ein Leuchtgas gefüllt werden, das einen besonderen Lichteffekt erzeugt. b) Berechne das Volumen V der Gasmenge und gib es in Litern an. HINWEIS: Das Volumen des von der Kugel abgeschnittenen Teils berechnet sich hier mit VKugelabschnitt x R x, wobei x die Höhe des Kugelabschnitts ist (siehe Skizze). Nun soll die Höhe h des Kegels variiert werden. Dabei liegt die Spitze des Kegels immer noch in der Mitte der Kugel. Der Graph rechts zeigt die Abhängigkeit des Kegelvolumens V h von der Höhe h. Die y-achse wurde nicht gezeichnet. h V(h) h c) Gib die beiden Nullstellen h und h der Funktion V(h) an, d. h. die Werte für h, für die das Volumen V(h) des Kegels den Wert Null annimmt (siehe Skizze). Begründe deine Entscheidung und beschreibe die Form der zugehörigen Lampen. d) Das Kegelvolumen V ist abhängig vom Radius und der Höhe des Kegels. Im hier untersuchten Spezialfall hängt der Radius r(h) von der Kegelhöhe h ab, d.h. V hängt eigentlich nur von h ab. Bestimme den Funktionsterm V(h). 5

36 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des Messens, Idee Raum und Form. -Euro-Münze Lösung S. 7 Die -Euro-Münze hat folgende Maße: Durchmesser Durchmesser des goldfarbenen Mittelteils Dicke Masse 5,75 mm 8,0 mm,0 mm 8,50 g a) Berechne das ungefähre Gesamtvolumen der Münze. (Ergebnis zur Kontrolle: V 45,69 mm³) Berechne den prozentualen Anteil des Volumens des goldfarbenen Mittelteils am Gesamtvolumen. b) Der Rand der Münze ist bekanntlich geriffelt, er hat genau 50 Einkerbungen. Bestimme den Abstand zwischen je zwei Kerben. Masse c) Berechne die durchschnittliche Dichte der Münze. Hinweis: Dichte = Volumen Die Dichte der Legierung, die den goldfarbenen Mittelteil bildet, ist kleiner als die Dichte der silberfarbenen Legierung des Ringes. Entscheide, ob der goldfarbene Mittelteil schwerer ist oder der silberfarbene Ring. d) Jetzt sei ein würfelförmiger Behälter mit der Kantenlänge 0 mm gegeben, der genau halb hoch mit Wasser gefüllt ist. Bestimme rechnerisch, wie viele -Euro-Münzen (vorsichtig!) in den Behälter aufeinander gelegt werden können, ohne dass das Wasser überläuft.? Abbildung nicht maßstabsgetreu. e) Zeige, dass das Wasser nie überlaufen würde, wenn man bei dem gleichen Gefäß mit einer Wasserhöhe von 0 mm beginnt und wieder die Münzen Stück für Stück aufeinander legt. 6

37 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des Messens, Idee Raum und Form. Bogen-Dreiecke Lösung S. 8 Bei einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a = 0 cm wird von jedem Eckpunkt aus ein Kreisbogen durch die beiden jeweils gegenüberliegenden Punkte geschlagen (siehe nebenstehende Abbildung). a) Berechne den Umfang des so entstandenen Bogen-Dreiecks. b) Bestimme den Flächeninhalt des Bogen- Dreiecks. (Zur Kontrolle: A 70,477 cm² ) c) Bestimme den Flächeninhalt des Umkreises des Dreiecks. (Hinweis: Der Radius des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks beträgt seiner Höhe.) Berechne, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Kreises größer ist als der Flächeninhalt des Bogen-Dreiecks. d) Wie bei dem gleichseitigen Dreieck soll jetzt ein Bogen-Viereck auf der Basis eines Quadrats konstruiert werden. Dabei sollen vier gleiche Bögen jeweils zwei benachbarte Eckpunkte enthalten. Beschreibe eine mögliche Konstruktionsvorschrift und erstelle die Figur, die aus deiner Vorschrift entsteht. 7

38 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form. Pfadfinderzelt Lösung S. 9 Eine einfache Art, ein Zelt zu konstruieren, besteht darin, gleichlange Stangen in den Eckpunkten eines Vielecks auf dem Boden aufzustellen und sie in einer Dachspitze zusammenzubinden. Anschließend wird das Gerüst mit Zeltbahnen bespannt. Der Fußboden bleibt Natur. s Wir betrachten als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck. Die 6 Stangen haben eine Länge von jeweils 8 m, werden aber einen Meter vor ihrem Ende zusammengebunden. Der Durchmesser der Stangen wird hier vernachlässigt. Der Abstand s der Fußpunkte der Stangen zum Bodenmittelpunkt betrage zunächst 5 m. Bodenfläche des Zeltes a) Berechne die Höhe des Zeltes (Abstand vom Boden bis zum Kreuzungspunkt der Stangen). [zur Kontrolle: h 4,9 m] b) Bestimme den Flächeninhalt des Zeltbodens. [zur Kontrolle: A 65 m ] c) Bestimme, wie viel Quadratmeter Zelttuch benötigt werden. d) Bestimme den umbauten Raum W, d.h. das Volumen des Zeltes. e) Nun soll s variiert werden, und der umbaute Raum W soll als Funktion von s betrachtet werden: W W() s. f) Rechts siehst du den Graphen von W. Die y-achse fehlt, und die s-achse ist nicht skaliert. 9. Bestimme die beiden Nullstellen, d.h. jene Werte von s, für die das Volumen W(s) den Wert Null annimmt, und beschreibe die anschauliche Bedeutung. 0. Bestimme den Funktionsterm W(s). [zur Kontrolle: W s (49 s ) s ]. Begründe sinnvoll, dass die Maximalstelle s m zwischen 5 und 6 liegt. 8

39 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form 4. Zeltbau Lösung S. Eine einfache Art, ein Zelt zu konstruieren, besteht darin, gleichlange Stangen in den Eckpunkten eines Vielecks auf dem Boden aufzustellen und sie genau über der Mitte in einer Dachspitze zusammenzubinden. Anschließend wird das Gerüst mit Zeltbahnen bespannt. Der Fußboden bleibt Natur. Wir betrachten als Grundfläche ein regelmäßiges Fünfeck. Die 5 Stangen haben eine Länge von 6,0 m, werden aber 0 cm vor ihrem Ende zusammengebunden. Der Durchmesser der Stangen wird hier vernachlässigt. Der Abstand s der Fußpunkte der Stangen zum Bodenmittelpunkt betrage 4 m. s = 4m Bodenfläche des Zeltes a) Berechne die Höhe des Zeltes. (Abstand vom Boden bis zum Kreuzungspunkt der Stangen. Zur Kontrolle: h 4,47 m). b) Begründe, dass der Flächeninhalt des Zeltbodens in guter Näherung 8 m beträgt. Begründe allgemein, dass man bei variabler Länge s den Flächeninhalt des Zeltbodens A(s) mit folgender Formel berechnen kann: As ( ) 5 sin 6cos 6 s. Hinweis: Der fünfeckige Zeltboden setzt sich aus fünf kongruenten Dreiecken zusammen. c) Bestimme den umbauten Raum, d.h. das Volumen des Zeltes. d) Ein Punkt auf dem Zeltboden habe Stehhöhe, wenn der senkrechte Abstand zum Zeltdach mindestens,80 m beträgt. Bestimme den Flächeninhalt der Bodenfläche mit Stehhöhe. Hinweis: Vgl. die nebenstehende Skizze. Berechne x und s. 9

40 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form 5. Vom Stern zur Pyramide Lösung S. Der nebenstehende symmetrische Stern hat folgende Eigenschaften: Alle Seiten sowie die Strecke AC haben die gleiche Länge a. AC steht senkrecht zu CE. a) Wie viele Symmetrieachsen hat der Stern? b) Beschreibe kurz eine Konstruktion des Sterns. c) Die Dreiecksflächen sollen so geklappt werden, dass eine Pyramide entsteht. Bestimme das Volumen der Pyramide für a = 5 cm. d) Der Stern wird so verändert, dass die Strecken AC und AB nicht mehr gleich lang sind. Die Symmetrie des Sterns bleibt jedoch erhalten. Untersuche, unter welchen Bedingungen durch Klappen der Dreiecksflächen eine Pyramide entstehen kann. e) Betrachtet wird jetzt die so geänderte Pyramide, bei der die Strecken AB und BC doppelt so lang geworden sind (die Strecke AC hingegen hat ja ihre Länge beibehalten!). Begründe, dass das Volumen dieser Pyramide nicht doppelt so groß ist wie das der Pyramide aus c), und entscheide, ob es mehr als das Doppelte ist oder weniger. 40

41 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form 6. Achteck Lösung S. 4 a) Begründe, dass beim gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck die folgende Formel den Zusammenhang zwischen a und h beschreibt: a= h b) Hier wird ein regelmäßiges Achteck mit der Kantenlänge a gezeigt. Berechne die Radien von Inkreis und Umkreis. Zeige, dass der Umkreis den,76-fachen Flächeninhalt des Inkreises hat. a c) Nunmehr ist ein Teil der Fläche des regelmäßigen Achtecks mit der Kantenlänge a schraffiert. Zeige, dass der schraffierte Anteil den halben Flächeninhalt des gesamten Achtecks hat. a 4

42 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form 7. Kaffeefilter Lösung S. 6 Ein Kaffeefilter hat die in Abbildung gezeigte Form: Er besteht aus einem dreiseitigen Prisma mit zwei angesetzten halben senkrechten Kreiskegeln. D C Die Höhe des Filters ist h = 9 cm. Im Rechteck ABCD hat AB die Länge l = 6 cm und BC die Länge l = cm. A h B ( AB ist senkrecht zu den gleichschenkligen Dreiecken DFA und CGB.) a) Berechne das Fassungsvermögen des Filters bis zu seinem oberen Rand. b) Zur Herstellung des Filters wird Filterpapier verwendet, das pro Quadratmeter 50 g wiegt. Berechne die Masse des Filters. F Abbildung G c) Verpackt werden die Filter in flach zusammengedrückter Form (siehe Abbildung ) Berechne den eingezeichneten Winkel α. (Zur Kontrolle: α 50.) A'=D' B'=C' H' d) Die Filter werden in rechteckigen Schachteln verkauft. Bestimme die Mindestlänge und die Mindestbreite dieser Schachteln. α α F G Abbildung 4

43 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form 8. Stadion Lösung S. 4 Ein Stadion, in dem Leichtathletik und Fußball stattfinden kann, hat von oben gesehen die rechts abgebildete Form. (Die Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht, nachmessen an der Zeichnung macht also keinen Sinn.) Die Laufbahn hat dabei am inneren Rand eine Länge von 400 m. Die Rasenfläche (grau unterlegt) auf der sich auch das Fußballfeld befindet ist 9 m lang und 68 m breit. β Start Bahn 8 Start-Ziel Ziellinie a) Berechne die Länge einer der beiden Halbkreisbahnen dieses Stadions am inneren Rand. b) Die Maße von Fußballfeldern sind nach den Regeln nicht genau festgelegt. Für die Breite z.b. lassen die Regeln Werte zwischen 45 m und 90 m zu. Begründe, warum bei einer Fußballfeldlänge von 90 m und einer Laufbahnlänge von insgesamt 400 m eine Fußballfeldbreite von 75 m nicht möglich ist. c) Hammerwerfer werfen aus ihrem Abwurfkreis den Hammer bis zu 85 m weit. Der Kreis ist von einem Käfig umgeben, der (vom Zentrum des Kreises aus gemessen) eine Öffnung von 45 hat: Nur Hämmer, die durch diese Öffnung geworfen werden, fliegen auf den Rasen (siehe Abbildung). 68 m 9 m 5 m Abstand Abwurfpunkt Hammerwurfkreis Anlaufbahn Startbahnverlängerung Das Zentrum des Abwurfkreises liegt jeweils 4 m von der kürzeren Rasenkante bzw. der Verlängerung der längeren Rasenkante entfernt. Entscheide: Trifft ein Hammer nach einem 85-m-Flug in diesem Stadion mit Sicherheit noch auf den Rasen? d) Die Lauffläche besteht aus 8 Bahnen von je,0 m Breite. Die Länge der Bahn wird immer innen gemessen. Der Läufer auf der Innenbahn startet an der Start-Ziel-Linie. Bestimme, wie viel Kurvenvorsprung gegenüber der Start-Ziel-Linie ein 400 m Läufer auf der Außenbahn (Bahn 8) bekommen muss, damit auch er genau 400 m bis zur Ziellinie läuft. Um die Startlinie auf der Außenbahn zu markieren, wird der Winkel β 8 eingemessen (Winkel β in der Skizze). Bestimme die Größe von β 8. Entscheide: Ist β 4 (der entsprechende Winkel für die 4. Bahn) halb so groß wie β 8? e) Für den 0-m-Hürden-Lauf muss die Gerade, auf der die Ziellinie liegt, um 7 m verlängert werden (siehe Zeichnung). Untersuche, ob der Läufer auf der Bahn (das ist die linke Bahn, die Innenbahn) noch innerhalb der Kurvenlaufbahn startet. 4

44 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form 9. Rettungsring Lösung S. 9 Unter einem Torus versteht man in der Mathematik einen kreisförmigen Ring, dessen Querschnitt überall kreisförmig mit konstantem Radius ist. Beispiele für torusförmige Körper sind Schwimmreifen, Fahrrad- oder Autoschläuche (ohne Ventil). R R-r r In einer Formelsammlung findet man für den Torus folgende Angaben: Oberflächenformel: O= 4 π R r Volumenformel: V = π R r Die Größen R und r seien so wie in der nebenstehenden Skizze definiert. Ein Rettungsring hat (angenähert) die Form eines Torus. Durch Nachmessen stellt man fest, dass der Außendurchmesser,0 m und der Innendurchmesser 80 cm beträgt. a) Begründe, dass dann mit den obigen Bezeichnungen gilt: R = 0,5 m und r = 0, m b) Berechne Volumen und Oberfläche des Rettungsringes. c) Der Rettungsring besteht aus einem ausgeschäumten Stoff (Dichte: 0, g/cm ). Auf dem Ring liegt eine Person flach wie ein Brett. Welche Masse (in kg) darf die Person höchstens haben, damit der Ring nicht vollständig in das Wasser (Dichte g/cm ) eintaucht? Begründe die Antwort. Hinweis: Der Auftrieb, den ein Körper im Wasser erfährt, ist genauso groß wie die Gewichtskraft des von dem Körper verdrängten Wassers (archimedisches Prinzip). d) Man kann bei einem Torus Außendurchmesser D und Innendurchmesser d wesentlich leichter messen als die Größen R und r. Begründe, dass sich Oberfläche und Volumen eines Torus aus den beiden Größen D und d mithilfe der Formeln ( D d) ( D d) V π + π ² = und O= ( D² d²) 4 berechnen lässt. Hinweis: Es empfiehlt sich, den Nachweis durch Einsetzen zu führen. e) Es werden alle Tori mit dem gleichen Außendurchmesser D = mbetrachtet. Beschreibe den Torus mit dem maximalen Volumen und bestimme dieses Volumen. Hinweis: Verwende dazu die Volumenformel aus d). 44

45 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik 45

46 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form 0. Partyzelt Lösung S. 0 Ein Partyzelt wird wie in der Zeichnung zu sehen aus gleichlangen Stangen von je 5 m Länge errichtet. a) Zeige, dass das Zelt eine Gesamthöhe von gut 8,5 m hat. b) Berechne das Volumen des Zeltes. c) Die Außenflächen werden mit Planen verkleidet. Entscheide, ob dazu 50 m² Planenstoff ausreichen. Von der Mitte M der vertikalen Stangen soll jeweils eine Lichtgirlande straff mit der Zeltspitze verbunden werden. d) Bestimme die Länge einer solchen Girlande. e) Bestimme den Winkel, mit dem eine Lichtgirlande gegenüber der Horizontalen ansteigt. 46

47 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form. Eishockeypucks Lösung S. Eishockeypucks sind runde Scheiben mit einem Durchmesser von 7,6 cm und einer Höhe von,54 cm. a) Zeige, dass das Volumen eines Pucks ungefähr 6 cm³ beträgt. b) Zwölf Pucks sollen in einer Schachtel mit quadratischer Grundfläche verkauft werden. In der Schachtel liegen je vier Pucks in drei Schichten übereinander. Wenn die Pucks in der Schachtel liegen, bleibt ein Volumenanteil an Luft in der Schachtel. Bestimme das Volumen der Luft in der Schachtel. Gib diesen Anteil am gesamten Schachtelvolumen in Prozent an. c) Das Sportgeschäft möchte die Puckschachteln übereinander stapeln, und zwar auf einem mittleren kreisförmigen Dorn (siehe nebenstehende Zeichnung). Bestimme den maximalen Durchmesser, den ein Dorn haben kann, wenn er noch durch diese Schachteln passen soll. d) Der Sachverhalt aus Aufgabenteil b) soll nun (in der Ebene) verallgemeinert werden. Du siehst jeweils ein Quadrat, in das Kreis, 4 und 9 Kreise einbeschrieben sind. Stelle dir vor, dass in dem Quadrat n² Kreise entsprechend einbeschrieben sind. Zeige, dass der von den Kreisen nicht bedeckte Anteil der Quadrate immer der gleiche ist. 47

48 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form. Ballschachtel Lösung S. 4 Eine Sportartikelfirma verpackt jeweils drei Bälle in eine Ballschachtel. Die Ballschachtel hat die Form eines geraden Prismas mit jeweils einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche und Deckfläche (siehe Abbildung ). In die Ballschachtel kommt unten eine Styropor-Schicht von cm Dicke, dann kommen die drei Bälle, die alle Seitenflächen berühren. Über den Bällen ist wieder eine Styropor-Schicht von cm Dicke. Die Seitenlänge des Sechsecks beträgt 9 cm. a) Die Abbildung zeigt die Ballschachtel von oben, also das regelmäßige Sechseck und den Querschnitt eines Balles. Zeige, dass die Bälle einen Radius von etwa 7,8 cm aufweisen. b) Bestimme den Flächeninhalt der gesamten Oberfläche der Ballschachtel. Abb. c) Bestimme den prozentualen Anteil des Gesamtvolumens der Bälle am Volumen der Ballschachtel. d) Zwei dieser Ballschachteln werden jetzt in einen quaderförmigen Karton so nebeneinander gestellt, dass sie mit einer Fläche aneinander stoßen. Die rechteckige Grundfläche dieses Kartons muss also Platz bieten für zwei nebeneinander liegende Sechsecke. Zeige, dass sich die Kantenlängen dieses Rechtecks wie : verhalten. r Abb. e) Nehmen wir an, wir könnten entsprechende Ballschachteln auch mit vier, fünf, sechs, Bällen herstellen. Entscheide: Steigt die Oberfläche der Schachteln proportional zur Zahl der Bälle? 48

49 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form. Meteorit Lösung S. 6 Über der Antarktis ist am. September 004 ein Meteorit niedergegangen. Der sichtbare Teil seiner (geradlinigen) Bahn begann in einer Höhe von 75 km und endete 40 km weiter in einer Höhe von 8 km. Sichtbar bedeutet: Der Meteorit erzeugt eine blendend helle Leuchtspur. Diesen Teil der Bahn durchflog der Meteorit in 5,5 Sekunden. Man kann davon ausgehen, dass der Meteorit am Anfang des sichtbaren Teils der Bahn ein kugelförmiger Körper mit einem Radius von etwa 4 m war. Die Dichte ρ von Meteoren kann man mit 00 kg/m³ annehmen. Masse (Hinweis: ρ = ) Volumen a) Berechne das Volumen und die Masse des Meteors am Anfang der Beobachtung. b) Bestimme die Länge der beobachteten Bahn. 75 km Bahn des Meteoriten (dick: sichtbarer Teil) 40 km 8 km Während des Flugs durch die Atmosphäre wird ständig die äußerste Schicht des Meteoriten abgetragen: Pro Sekunde wird der Radius um 0,5 m kleiner. c) Zeichne ein Diagramm, in dem die zeitliche Entwicklung des Radius des Meteoriten dargestellt wird, und gib die Funktionsgleichung für r(t) an. d) Berechne, wie viel Materie der Meteorit in der ersten Hundertstelsekunde nach dem Aufleuchten (in 75 km Höhe) verliert. (Hilfe: Das Volumen einer dünnen Kugelschale mit der Dicke r kann man berechnen durch VKugelschale = Oberfläche Dicke = 4 π r² r berechnen.) Berechne den Radius nach zwei Sekunden Leuchten. Bestimme den Massenverlust pro Hundertstelsekunde nach diesen zwei Sekunden. e) Begründe, dass der Meteorit auf seiner Bahn immer weniger Masse pro Zeit verliert. Weise nach, dass die zeitliche Volumenentwicklung des Meteoriten der Funktionsgleichung 4 4 Vt ( ) = π (4 0,5 t) = π (64 4t+ t² t³) folgt. 8 Daten aus: Klekociuk, A.R., et al. (005), Nature 46, 49

50 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form, Idee des funktionalen Zusammenhangs 4. Das neue Rosenbeet Lösung S. 7 a) In einem botanischen Garten wird eine quadratische Rasenfläche von 0 m Seitenlänge neu gestaltet. In das innere Rechteck sollen Rosen gepflanzt werden (siehe Abbildung rechts). m m Berechne den Flächeninhalt der aus vier Dreiecken bestehenden restlichen Rasenfläche und den Flächeninhalt des rechteckigen Rosenbeets. Rosenbeet 0 m m b) Jetzt soll die Strecke, die in Aufgabenteil a) m lang war, veränderlich werden. Sie wird nun x genannt (siehe Abbildung rechts). Gib an, welche Werte x annehmen kann. Zeige, dass sich der Flächeninhalt A(x) des Rosenbeets durch die Funktionsgleichung Ax ( ) = x² + 0xberechnen lässt. m 0 m Rosenbeet x x 0 m Beschreibe, wie der Graph der Funktion aussieht. Zeichne ihn in das unten stehende Koordinatensystem ein. x x 0 m A(x) x 50

51 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik c) Bestimme rechnerisch den Wert für x, bei dem die Fläche des Rosenbeets den größten Wert aufweist. Gib die maximale Flächengröße des Rosenbeetes an. Weise nach, dass es sich um ein quadratisches Beet handelt. d) Der Gartengestalter ändert seine Vorstellung: Das Rosenbeet im Rasen soll immer quadratisch sein (und die Ecken des Rosenbeets sollen weiterhin auf den Kanten des Rasens liegen) siehe Abbildung. Zeige, dass die Funktionsgleichung zur Berechnung der Quadratfläche A Q jetzt AQ ( x) = x² 0x+ 00 lautet. Berechne, dass sich für x = 5 bei beiden Funktionen dieselbe Flächengröße ergibt. Rosenbeet 0 m x e) Die Rosen reichen für ein quadratisches Beet von 70 m² Fläche. Berechne das zugehörige x. Bei diesem x ist die Fläche des quadratischen Rosenbeets größer als die des rechteckigen Rosenbeets bei dem gleichen x. Weise nach, dass für alle x die Fläche des quadratischen Rosenbeets größer oder gleich der Fläche des rechteckigen Rosenbeets bei dem gleichen x ist. 5

52 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee Raum und Form, Idee des funktionalen Zusammenhangs 5. Pachoms Weg Lösung S. 9 Der russische Dichter Tolstoi erzählt die Geschichte des Bauern Pachom, der für 000 Rubel jenes Land erhalten sollte, das er an einem Tag umwandern konnte. Bei Sonnenaufgang brach er von einem Hügel aus auf, nach 8 km bog er im rechten Winkel nach links ab, nach 8 km wiederum im rechten Winkel nach links. Nachdem er km in die neue Richtung gewandert war, packte ihn die Angst, nicht rechtzeitig zurückzukommen. Er lief nun geradewegs auf den Hügel zu, erreichte ihn mit letzter Kraft bei Sonnenuntergang und brach tot zusammen. Im Folgenden sollst du nun überlegen, ob sich Pachom dieses Schicksal hätte ersparen können, wenn er sich vorher einige Gedanken über seinen Weg gemacht hätte. a) Zeichne dazu eine Skizze von Pachoms Wanderweg. b) Bestimme die Länge von Pachoms Weg. c) Hätte die Geschichte kein trauriges Ende gehabt, wie viel Land hätte Pachom für seine 000 Rubel erhalten? d) War Pachoms Wanderweg optimal oder hätte er bei gleicher Weglänge mehr Land umwandern können? Betrachte dazu Rechtecke, deren Umfang gleich der Länge von Pachoms Wanderweg ist. Erstelle für die Flächeninhaltsfunktion Seitenlänge a Flächeninhalt A für Rechtecke, deren Umfang gleich der Länge von Pachoms Wanderweg ist, eine Wertetabelle und zeichne den Graphen der Funktion. Gibt es ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt? e) Hätte Pachom ein gleich großes Land auf einem kürzeren Weg umwandern können? Betrachte dazu geeignete Rechtecke, deren Flächeninhalt gleich dem von Pachoms Land ist. Erstelle für die Umfangslängenfunktion Seitenlänge a Umfang u für Rechtecke, deren Flächeninhalt gleich dem von Pachoms Land ist, eine Wertetabelle und zeichne den Graphen der Funktion. Gibt es ein Rechteck mit kleinstem Umfang? 5

53 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 6. Jeans Lösung S. 4 Eine Firma produziert u.a. Jeanshosen. Der Preis p beim Verkauf ist abhängig von der Angebotsmenge x pro Monat. Die Marketingabteilung hat ermittelt, dass sich Jeanshosen einer bestimmten Qualität bei einem Preis von 00 pro Stück nicht verkaufen lassen. Bei fallendem Preis p ist mit einer linearen Zunahme der Verkaufszahlen x zu rechnen. Allerdings ist bei einem Angebot von Stück pro Monat mit einer Sättigung des Markts zu rechnen, so dass sich kein Preis p > 0 mehr erzielen lässt (siehe Skizze). Höchstpreis p(0) = 00 p Sättingungsmenge bei x = p(0) = 00 x a) Bestimme die Gleichung der Preisabsatzfunktion x px ( ). b) Der Erlös (oder Umsatz) des Unternehmens beim Verkauf von Jeanshosen wird über das Produkt Preis mal Menge ermittelt. Gib die Gleichung der Erlösfunktion E an. c) Berechne den Erlös für verschiedene Ausbringungsmengen x und zeichne den Graphen von E in ein Koordinatensystem. d) Berechne, wie viele Hosen die Firma produzieren und verkaufen muss, um einen maximalen monatlichen Erlös zu erzielen. Gib diesen maximalen Erlös an. Erkläre, warum der Erlös ab der maximalen Verkaufsmenge abfällt. Bei der Produktion der Jeanshosen entstehen Stückkosten (Material, Arbeit) in Höhe von Euro pro Hose. Hinzu kommen die produktionsunabhängigen Fixkosten (Produktionsstätten, kaufmännische Angestellte usw.) in Höhe von Euro. e) Bestimme die Gleichung einer (linearen) Funktion K auf, die für die Ausbringung x die Kosten K(x) benennt. Zeichne den Graphen von K. f) Bis zu welcher Produktionsmenge x sind die Kosten höher als der Erlös? g) Bestimme die Gleichung der Funktion G, die für die Ausbringung x den Gewinn G(x) benennt. Für welche monatliche Ausbringung wird der Gewinn am größten? 5

54 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 7. Abbau eines Wirkstoffes Lösung S. 44 Eine Tablette ( g) eines Medikamentes besteht zu 5 % aus dem Wirkstoff Wirkin. Die übrigen 95 % bestehen aus unwirksamen und unschädlichen Füllstoffen. Wird die Tablette eingenommen, gelangen 5 % des Wirkstoffes Wirkin ins Blut und somit in den Körper. Der Rest wird ausgeschieden. Innerhalb eines Tages werden 5 % der (noch) vorhandenen Menge des Wirkstoffes vom Körper abgebaut. a) Berechne die Menge des Wirkstoffes in mg, die bei der Einnahme einer Tablette (g) ins Blut gelangt. ( P) Eine Person schluckt morgens eine Tablette dieses Medikamentes. b) Gib eine Funktionsgleichung einer Funktion f an, mit der man die Menge des Wirkstoffes berechnen kann, die nach t Tagen noch im Körper vorhanden ist. Begründe die Funktionsgleichung. Berechne die Menge des Wirkstoffes, die nach Tagen noch vorhanden ist, wenn die Person in diesen Tagen keine weitere Tablette einnimmt. Bestimme auch, wie viel Prozent der Ausgangsmenge das sind. (8 P) Eine Person nimmt jeden Tag eine Tablette des Medikamentes ein. c) Bestimme die Ansammlung des Wirkstoffes nach Tagen, bevor die Person erneut das Medikament zu sich nimmt. Gehe davon aus, dass vor der ersten Einnahme keine Restmenge des Wirkstoffes im Körper vorhanden ist. (8 P) d) Eine Person nimmt über einen langen Zeitraum jeden Morgen eine Tablette ein. Die Wirkstoffmenge im Blut vor der Einnahme der neuen Tablette ist an jedem Morgen genau gleich dem Wert vom Vortag. Ermittle die Menge des Wirkstoffs, die jeden Morgen vor der Einnahme der Tablette im Blut ist. (4 P) 54

55 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 8. Medikamente Lösung S. 45 Antibiotika sind Medikamente gegen Infektionserkrankungen. Wird ein bestimmtes Antibiotikum in Form einer Tablette eingenommen, kann man (idealisiert) annehmen, dass die Konzentration dieses Antibiotikums im Blut sofort nach der Einnahme einen Wert von 4 mg pro Liter Blut aufweist. Pro Stunde sinkt die Konzentration um 5 %. a) Sei x die Zeit gemessen in Stunden nach Einnahme des Medikamentes, f(x) die Konzentration des Antibiotikums im Blut gemessen in mg pro Liter. Begründe, dass die zugehörige Funktionsgleichung f( x ) = 4 0,95 x lautet. Berechne, wie hoch die Antibiotikumskonzentration eine, vier und zwölf Stunden nach Einnahme einer Tablette ist. b) Um die Therapie genau zu überwachen, wird einem Patienten bereits zwanzig Minuten nach Einnahme der ersten Tablette Blut abgenommen und die Antibiotikumskonzentration bestimmt. Berechne die zu erwartende Konzentration. c) Ein Patient muss die Therapie wegen Unverträglichkeit bereits nach der Einnahme der ersten Tablette abbrechen. Bestimme, wann die Unverträglichkeitsgrenze von 0, mg pro Liter unterschritten wird, der Patient also keine negativen Reaktionen durch die Einnahme des Medikaments mehr spüren sollte. d) Es gibt Substanzen, deren Konzentration im Blut linear abnimmt. Eine bestimmte derartige Substanz führt sofort nach Einnahme zu einer Konzentration im Blut von 4 mg pro Liter, die innerhalb einer Stunde jeweils um 0, mg pro Liter sinkt (siehe Abbildung). Bestimme den zugehörigen Funktionsterm g(x). Beschreibe je zwei Eigenschaften von exponentiellem negativem Wachstum und linearem negativem Wachstum bezogen auf den Kontext der Aufgabe. 4 y g(x) =? f(x) x ) = = 44A0,95 x x x e) Bei manchen Substanzen kann man den Abbau im Blut so beschreiben, dass relativ große Konzentrationen zunächst linear abgebaut werden, dann exponentiell. So soll der Abbau einer Substanz bis zum Punkt P(,5,5) durch die Funktion g beschrieben werden. Danach verlaufe der weitere Abbau exponentiell mit der Funktionsgleichung x,5 hx ( ) a b ab,. Neben h(,5) =,5 sei auch h() = 0, bekannt. Bestimme die Parameter a und b und interpretiere diese im Kontext der Aufgabe. 55

56 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 9. Lastkahn Lösung S. 47 Über ein Förderband wird ein kleiner Lastkahn mit Kies beladen. Das Förderband ist so eingestellt, dass der Sandstrahl genau durch die Mitte der m breiten Öffnung in den Laderaum fällt. a) Der Kiesstrahl hat Parabelform. Die Parabel soll in das Koordinatensystem der Anlage übertragen werden. Dabei liegt das Ende des Förderbandes (und damit der Scheitelpunkt der Parabel) im Ursprung, die Kaimauer endet an der y-achse. Zeichne zuerst zwei durch die Abbildung rechts gegebene Punkte der Parabel in das Koordinatensystem ein und gib die entsprechenden Punkte an. Bestimme nun mithilfe der eben gezeichneten Punkte die Funktionsgleichung der Parabel. Solltest du keine Funktionsgleichung finden, arbeite mit der folgenden (nicht mit der korrekten Funktionsgleichung übereinstimmenden) Gleichung weiter: f( x) = 0,47 x. Fülle die Wertetabelle auf dem anliegenden Arbeitsblatt aus und skizziere mit ihrer Hilfe die Parabel im Koordinatensystem. m,5 m,5 m,75 m,5 m b) Berechne den Abstand vom Ende des Förderbandes zum Mittelpunkt der Öffnung im Laderaum. Bei der oben geschilderten Situation war Hochwasser. Einige Zeit später soll ein anderer Lastkahn mit gleichen Abmessungen beladen werden. Wegen extremen Niedrigwassers ist der Wasserspiegel um 4 m niedriger. c) Begründe, dass der Kiesstrahl die Laderaumöffnung auch in dieser Tiefe trifft. d) Bestimme, um wie viel Meter das Förderband verschoben werden müsste, damit der Kies wieder genau durch die Mitte der Laderaumöffnung fällt, und bestimme die Funktionsgleichung der entsprechend abgeänderten Parabel, die nun den Kiesstrahl beschreibt. Interpretiere die Lösung innerhalb der durch obiges Bild dargestellten Gegebenheiten. Beachte dabei zusätzlich, dass das obere Transportband, auf dem der Kies transportiert wird, in 75 cm Abstand zum Boden verläuft. Das Förderband ist horizontal beweglich. 56

57 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 0. Laichplätze Lösung S.48 Um zu ihren Laichplätzen zu gelangen, müssen Lachse verschiedene gefährliche Stufen überwinden. Nach Stufen haben die Lachse ihr Ziel erreicht. Es wird angenommen, dass an jeder Stufe % der angekommenen Lachse ausscheiden. 000 Lachse machen sich auf den Weg. a) Berechne die Anzahl der Lachse, die die Laichplätze erreichen. b) Berechne die Anzahl der Gefahrenstellen, nach denen erstmalig weniger als 85 % der Lachse vorhanden sind. c) Nach jeder 5. Gefahrenstufe gibt es Bären, die jeweils konstant 50 Lachse wegfangen. Berechne, wie viel Prozent der Lachse jetzt noch ihr Ziel erreichen. d) Vergleiche die Ergebnisse der Teilaufgaben a) und c), wenn () doppelt so viele Lachse losschwimmen, () doppelt so viele Lachse pro Gefahrenstelle ausscheiden (also 6 %). e) In den Aufgabenteilen a) bis d) haben wir mit einem idealisierten mathematischen Modell gearbeitet. Tatsächlich sind die Gefahrenstellen unterschiedlich. Vergleiche die Anzahl der Lachse aus Teilaufgabe c), die am Laichplatz ankommen, wenn entweder die erste Gefahrenstelle eine Verlustrate von 0 % oder die letzte Gefahrenstelle eine Verlustrate von 0 % bewirkt. 57

58 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs. Algen Lösung S. 49 Auf einem Teich wachsen zwei Algensorten. Sorte A bedeckt zu Beginn des Beobachtungszeitraums m, Sorte B 7 m. Bei Sorte A verdoppelt sich die bedeckte Fläche in Tagen, bei Sorte B in 5 Tagen. a) Gib die Funktionsgleichungen für das Wachstum beider Algensorten an. Zeichne die Graphen für beide Funktionen für einen Beobachtungszeitraum von mindestens Wochen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Verwende eine sinnvolle Skalierung. b) Bestimme für beide Sorten den Wachstumsfaktor pro Tag und die tägliche prozentuale Zunahme. c) Bestimme anhand der Zeichnung, nach wie vielen Tagen die von beiden Sorten bedeckte Fläche gleich groß ist, und überprüfe dein Ergebnis mittels einer Rechnung. d) Bei ungehindertem Wachstum wäre der Teich nach Tagen vollständig mit den beiden Algen bedeckt. Bestimme die Größe des Teichs. Bearbeitet nach: Elemente der Mathematik, Unterrichtsmaterialien, Band, S. 5, Schroedel, Hannover

59 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs. 4 C Lösung S. 5 In der Atmosphäre der Erde findet man in geringen Mengen das radioaktive Kohlenstoffisotop 4 C. Obwohl es mit einer Halbwertszeit von 570 Jahren zerfällt, ist sein Gehalt in der Atmosphäre konstant, da es durch kosmische Strahlung immer wieder neu gebildet wird. Jeder lebende Organismus enthält, während er lebt, den gleichen Anteil an 4 C-Atomen unter allen Atomen. Das liegt daran, dass die Pflanzen bei der Atmung CO aufnehmen und damit auch 4 C. Durch die Nahrungskette gelangt es in Menschen und Tiere. Stirbt der Organismus, so atmet und ernährt er sich nicht mehr. Damit wird kein 4 C mehr nachgeliefert. Das vorhandene 4 C zerfällt im abgestorbenen Gewebe, und die Radiokarbonuhr beginnt zu ticken. Wenn man den 4 C-Anteil von lebender und toter Substanz vergleicht, lässt sich daraus der Zeitpunkt bestimmen, von dem an keine Nahrung mehr aufgenommen wurde. So kann z.b. auf das Alter antiker Holzstücke oder Knochen geschlossen werden. a) Gib an, wie viel Prozent des ursprünglichen 4 C nach 5 70 Jahren / nach ca. 500 Jahren noch gemessen wird. b) Zeichne einen Graphen, welcher dem Alter (bis Jahre) die noch vorhandene Menge 4 C in Prozent zuordnet. c) 99 wurde in den Ötztaler Alpen die Leiche Ötzi gefunden. Als diese nach ihrer Bergung genau untersucht wurde, entpuppte sie sich als die älteste Gletscherleiche der Welt. In ihren Knochen wurden 5% des ursprünglichen 4 C-Gehalts festgestellt. Berechne, vor wie vielen Jahren dieser Mensch etwa gelebt hat. d) Berechne, wie viel Prozent des 4 C-Anteils die Mumie des ägyptischen Pharaos Tutanchamun (Regierungszeit bis v. Chr.) bei der Graböffnung 9 enthielt. e) Die Lascaux-Höhle in Frankreich ist berühmt für ihre Höhlenmalereien. Holzkohle aus der Zeit, als diese Höhle bewohnt war, hatte im Jahr 950 eine 4 C-Zerfallsrate von 0,97 Zerfällen pro Minute und Gramm. 4 C in lebendem Holz hat eine Zerfallsrate von 5, Zerfällen pro Minute und Gramm. Bestimme, wann diese Höhlenmalereien vermutlich entstanden sind. 59

60 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs. Gefahr aus dem Weltall Lösung S. 5 Ein Science-Fiction-Film erzählt die folgende Story: In einer Raumstation werden biologische Experimente vorgenommen. Durch den Fehler eines unaufmerksamen Gentechnikers wird ein mm langer und normalerweise harmloser Wurm so umprogrammiert, dass seine Länge exponentiell zunimmt. Die Abbildung zeigt das Wachstum des Wurmes in den ersten 80 Minuten. a) Bestimme die Zeit, nach der sich die Länge des Wurmes verdoppelt hat. Länge in mm / / / Zeit in h Erstelle eine Funktionsgleichung, die das Wachstum des Wurmes beschreibt; gib dabei die Zeit in Stunden an. Berechne die Länge des Wurmes nach 5 Stunden. Gib dein Ergebnis in einer sinnvollen Einheit an. b) Zunächst bemerkt der unaufmerksame Genforscher nicht, welch verhängnisvollen Fehler er begangen hat. Erst nach 5 Stunden wird ihm klar, dass er es weder schafft, den Wurm zu vernichten, noch dessen verhängnisvolles Wachstum aufzuhalten. Daher sendet er genau 5 Stunden nach Beginn der Katastrophe ein warnendes Funksignal zur Lichttag entfernten Erde. Das Funksignal breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, also mit km/s. Gib die Strecke an, die das Funksignal nach Stunde bzw. Tag zurückgelegt hat. c) Beschreibe, worin sich das Ausbreitungsverhalten des Funksignals vom Wachstum des Wurmes unterscheidet. d) Der Wurm wächst genau in Richtung Erde. Berechne, wann der aggressive Wurm mit seinem Vorderteil die Erde erreicht. e) Entscheide, ob das warnende Funksignal die Erde noch vor dem Eintreffen des Wurmes erreicht, damit mögliche Abwehrsysteme aktiviert werden können. 60 Diese Story vernachlässigt die Tatsache, dass es keine höhere Geschwindigkeit jenseits der Lichtgeschwindigkeit geben kann.

61 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 4. Stuntman 4 Lösung S. 5 Ein Stuntman will mit seinem Auto von einer waagerechten Plattform abspringen und einen neuen Weitenrekord aufstellen. Die Flugweite hängt ab von der Geschwindigkeit des Autos und der Höhe der Plattform. Dabei gilt folgende Gleichung für die Flugweite h w (in m): w= v. g m Darin ist v die Geschwindigkeit des Autos ( in s ), h die Absprunghöhe (in m) und g die Erdbeschleunigung, die in unseren Breiten 9,8 m s beträgt. a) Berechne die Flugweite für eine Absprunggeschwindigkeit von 00 km h und eine Höhe von m. b) Entscheide, ob es möglich ist, mit einem normalen PKW eine Flugweite von 00 m bei einer Absprunghöhe von m zu erreichen. c) Der bisherige Weitenrekord für einen Sprung mit einem Auto lag bei 50 m. Bestimme die Absprunghöhe, die gewählt werden müsste, um mit 40 km weiter als 50 m zu springen. h d) Für das Aufstellen eines Rekords wird überlegt, wie sich eine Vergrößerung der Geschwindigkeit und der Absprunghöhe auf die Flugweite auswirken. Bestimme allgemein, wie sich die Flugweite bei () einer Verdopplung der Geschwindigkeit bei gleich bleibender Höhe () einer Verdopplung der Höhe bei gleich bleibender Geschwindigkeit ändert. 4 Bearbeitet nach: Elemente der Mathematik, Unterrichtsmaterialien, Band, S. 68, Schroedel, Hannover 00. 6

62 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 5. Brücken Lösung S. 5 A Spannweite B Höhe In der obigen Abbildung siehst du eine Hängebrücke. Ihre Spannweite beträgt 40 m, die Höhe der oberen Befestigungspunkte über der Fahrbahn beträgt,5 m. Die Fahrbahn ist an zwei Haupttrageseilen aufgehängt. a) Die Hauptseile im mittleren Abschnitt haben annähernd die Form einer Parabel. Diese ist in dem unten stehenden Koordinatensystem noch einmal dargestellt. y A B x Zeichne die Längenangaben in das obige Koordinatensystem ein und gib dann die Koordinaten der Punkte A und B an. b) Im Folgenden werden 4 Vorschläge für eine Funktionsgleichung gemacht, die zu der abgebildeten Parabel gehört. Wähle den korrekten Vorschlag aus. () f (x) = x² () f (x) = 40x +,5 () f (x) = 0,05x² (4) f (x) =,5x + 40 c) In der Abbildung ganz oben auf dieser Seite kann man erkennen, dass die Fahrbahn in regelmäßigen Abständen mit senkrechten Stahltrageseilen an den Hauptseilen befestigt ist. Im mittleren Bereich der Brücke befinden sich auf jeder Fahrbahnseite 6 Trageseile. Bestimme rechnerisch die Gesamtlänge der Stahltrageseile, die für den mittleren Brückenabschnitt für beide Fahrbahnseiten benötigt werden. d) In der unten stehenden Abbildung ist eine Eisenbahnbrücke dargestellt, die über eine Straße führt. Der Bogen der Brücke bildet eine Parabel mit der Gleichung f(x) = 0,6x². y x Umzügenah und fern Höhe HH- AB m

63 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Begründe mithilfe einer Rechnung, dass die maximale Höhe der Durchfahrt 4 m beträgt. Bestimme rechnerisch, wie breit ein,9 m hoher LKW sein darf, damit er gerade noch unter der Brücke hindurch fahren kann. Dabei darf er entsprechend den Verkehrsregeln nur auf der rechten Fahrbahnseite fahren. e) Eine andere Brücke hat die Form einer Parabel mit den folgenden Eigenschaften (Längen in m): Der Scheitelpunkt der Parabel ist S (0 45). Der Stützpfeiler p trifft den Parabelbogen im Punkt P (50 0). Autobahn p p p p 4 y x Für den Brückenbogen gilt die allgemeine Gleichung y = ax + c. Bestimme a und c und zeige, dass die Gleichung für den Brückenbogen 00 y = x + 45 lautet. f) Wie weit sind die Fußpunkte der Pfeiler p und p 4 voneinander entfernt? Berechne und runde das Ergebnis auf einen ganzzahligen Wert. 6

64 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 6. Flächeninhalt eines Rechtecks Lösung S. 55 Wir betrachten Rechtecke mit folgenden Eigenschaften: Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen, ein Eckpunkt liegt im Ursprung O und einer auf der Geraden g. In der Skizze siehst du zwei Beispiele: die Rechtecke OBCD und OEFG (Seitenlängen bzw. Einheiten der Achsen in cm). y D 5 C g G F O B 5 E 0 x a) Berechne den Flächeninhalt der Rechtecke OBCD und OEFG. Die Zahlen sind in Zentimetern angegeben. b) Gib die Geradengleichung für g an. (Sollte dir dies nicht gelingen, arbeite mit der folgenden nicht mit der Lösung übereinstimmenden Geradengleichung weiter: h(x) = 0,5 x + 5,5.) c) Entscheide, ob der Punkt ( 7,5) auf der Geraden g liegt. d) Die Flächeninhalte der beiden betrachteten Rechtecke OBCD und OEFG sind unterschiedlich groß. Bestimme die Funktionsvorschrift für die Funktion A, mit welcher die Flächeninhalte der Rechtecke berechnet werden können. (Sollte dir dies nicht gelingen, arbeite mit der folgenden (nicht mit der Lösung übereinstimmenden) Funktionsgleichung weiter: A(x) = 0,5 x + 5,5 x.) e) Bestimme das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt. f) Man kann den in e) betrachteten Sachverhalt verallgemeinern: Durch f ( x) = ax + b mit a < 0 und b > 0 ist eine beliebige Gerade f gegeben, deren entsprechende Rechtecke auch im I. Quadranten liegen. Zeige; dass das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt für jede solche Gerade bei x = x liegt. max Nullstelle 64

65 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs, Idee des Messens, Raum und Form 7. Rechteck im Trapez Lösung S. 57 Das nebenstehende Trapez ABCD ist in ein Koordinatensystem eingetragen mit A(0 0), B(8 0), C(8 ) und D(0 5). Jeder Punkt der Trapezseite CD ist Eckpunkt eines Rechtecks, das dem Trapez einbeschrieben ist. Die Seiten der einbeschriebenen Rechtecke sind parallel zu den Koordinatenachsen. Der Punkt A ist Eckpunkt eines jeden einbeschriebenen Rechtecks. a) Berechne den Flächeninhalt des Trapezes ABCD. b) Der Punkt P( y) liegt auf der Seite CD und ist somit Eckpunkt eines einbeschriebenen Rechtecks. Trage das zugehörige Rechteck in die Figur ein und bestimme seinen Flächeninhalt. c) Bewegt sich der Punkt P(x y) auf der Strecke CD, so ändert sich der Flächeninhalt A des zugehörigen Rechtecks. Begründe, dass sich der Flächeninhalt A durch die Funktionsgleichung Ax ( ) = x (,5x+ 5) =,5 x² + 5x berechnen lässt, wobei x die erste Koordinate des Punktes P ist. d) Bestimme das einbeschriebene Rechteck, das den größten Flächeninhalt hat. Begründe deine Vorgehensweise. e) Der Punkt P S liegt auch auf der Seite CD. Gib die Gleichung der Geraden durch A und P S an und zeige, dass diese Gerade senkrecht auf der Seite CD steht. Hinweis: Du kannst Geradensteigungen betrachten oder zeigen, dass das Dreieck AP S D rechtwinklig ist. 65

66 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 8. Lohnerhöhung Lösung S. 58 Die Grafik zeigt drei verschiedene Modelle (Modell A, Modell B, Modell C) für Lohnerhöhungen. a) Bestimme mittels einer Tabelle (00, 400, 600,..., 600 ) die Lohnerhöhungen der verschiedenen Modelle in Abhängigkeit vom Lohn. b) Erstelle eine weitere Grafik für die verschiedenen Modelle, die den Zusammenhang zwischen dem Lohn (in ) und der Lohnerhöhung (in %) darstellt. c) Beide Grafiken stellen den gleichen Sachverhalt dar. Eine soll in einer Veröffentlichung erscheinen (z. B. als Zeitungsartikel). Welche würdest du auswählen, wenn du Modell A bevorzugst? Begründe deine Wahl. Quelle: Bearbeitete Version der Aufgabe aus den KMK-Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Abschluss,

67 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee des funktionalen Zusammenhangs 9. Herr Sorgenfrei Lösung S: 59 Herr Sorgenfrei möchte Euro als Altersvorsorge anlegen. Sein Bankberater bietet ihm zwei Modelle an: Beim ersten Modell wird das Geld für 6 Jahre festgelegt. Dann erhält Herr Sorgenfrei 9 649,06 Euro ausgezahlt. Beim zweiten Modell gibt es nur,5 % Zinsen pro Jahr. Dafür ist der nach 6 Jahren ausgezahlte Betrag steuerfrei (Kapital bildende Lebensversicherung). a) Berechne, mit welchem Zinssatz das Geld von Herrn Sorgenfrei nach dem ersten Modell jährlich verzinst wird. b) Wenn das Geld nach dem ersten Modell ausgezahlt wird, muss Herr Sorgenfrei seinen Gewinn mit 5 % versteuern. Berechne andererseits, mit wie viel Geld Herr Sorgenfrei beim zweiten Modell nach 6 Jahren rechnen kann. Vergleiche die Erträge der beiden Geldanlagen miteinander. c) Die Schwester von Herrn Sorgenfrei möchte zum gleichen Auszahlungszeitpunkt ebenfalls über 9 649,06 Euro verfügen. Ihre Entscheidung dafür trifft sie aber zwei Jahre später als ihr Bruder. Gib an, wie viel Startkapital sie einsetzen muss, um nach dem zweiten Modell auf die gewünschte Summe zu kommen. d) Herr Sorgenfrei ist sehr vorsichtig. Er rechnet für die Zukunft mit einer jährlichen Geldentwertung von % (Inflationsrate). Berechne, wie hoch die Kaufkraft von Euro nach 6 Jahren dann noch ist. Berechne dann, wie hoch beim ersten Modell die Kaufkraft des Vermögens von Herrn Sorgenfrei (einschließlich Zinsen und nach Abzug der Steuern) nach 6 Jahren ist. e) Berechne, wie lange Herr Sorgenfrei sein Geld nach dem zweiten Modell anlegen muss, um den Betrag zu verdoppeln. Berechne, wie lange er Euro anlegen muss, um auch diesen Betrag zu verdoppeln. Erkläre den Zusammenhang zwischen den beiden Ergebnissen. 67

68 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 40. Lotterie auf dem Schulfest Lösung S. 60 Eine 0. Klasse möchte zur Gestaltung eines Schulfestes durch eine Lotterie beitragen. In einer Lostrommel sollen sich verschiedenfarbige Kugeln befinden, die am Ende des Schulfestes nacheinander ohne Zurücklegen gezogen werden. Wer diese Reihenfolge richtig getippt hat, erhält einen Gewinn. Die Teilnehmer der Lotterie geben ihren Tipp vor der Ziehung auf einem Losschein ab. Die Schülerinnen und Schüler gehen davon aus, dass sie etwa 500 Tippscheine verkaufen werden. Zur Vorbereitung der Lotterie nutzen die Schüler ihre Stochastik-Kenntnisse und überlegen zuerst, wie viele Kugeln sie in die Lostrommel legen wollen. a) Ein erster Vorschlag ist, eine rote, eine blaue und eine gelbe Kugel in die Lostrommel zu tun. Gib alle möglichen Ergebnisse an. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die Reihenfolge: rot blau gelb. Der Klasse erscheinen nach diesen Betrachtungen Kugeln als zu wenig. Es wird entschieden, zwei weitere Kugeln (weiß, schwarz) in die Lostrommel zu geben. b) Bestimme die Anzahl der möglichen Ergebnisse mit fünf Kugeln. c) Bestimme einen sinnvollen Schätzwert für die Anzahl der Gewinne, wenn alle Tippscheine verkauft werden. Die Schülerinnen und Schüler kalkulieren zunächst mit einem Preis von,50 pro Tippschein. Sie haben 5 Kosten für die Vorbereitung der Lotterie und wollen 5 Gewinne im Wert von je 00 kaufen. Außerdem wollen die Schüler 0 % der Verkaufseinnahmen für ihre eigene Abschlussfeier behalten. d) Beurteile, ob die Schüler mit dieser Planung die vorgegebenen Ziele erreichen können, wenn alle Tippscheine verkauft werden. Auch wenn alle Tippscheine verkauft werden, birgt die Planung mögliche Risiken. Beschreibe und beurteile ein Risiko. e) Die folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass eine bestimmte Anzahl von Gewinnen auftritt. Anzahl der Gewinne Wahrscheinlichkeit in Prozent,5 6,4,4 8,7 9,5 6,, 6,7,5,6 0,7 Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 0 Gewinne auftreten, beträgt etwa 0,4 %. Erstelle mithilfe dieser Tabelle eine risikoärmere Planung (für 5 Kugeln in der Lostrommel) und begründe sie. 68

69 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 4. Lotterie Lösung S. 6 Eine Klasse möchte auf dem Schulfest eine Lotterie durchführen. Dafür verwenden sie fünf Holzplättchen, auf denen je eine der Ziffern,,, 4, 5 steht (siehe Abbildung). Diese fünf Plättchen werden nacheinander ohne Zurücklegen aus einer Lostrommel gezogen und in der gezogenen Reihenfolge hintereinander gelegt. Sie bilden dann eine fünfstellige Zahl. 4 5 a) Bestimme die Anzahl der möglichen Zahlen, die gezogen werden können. (Zur Kontrolle: 0). Die Schülerinnen und Schüler stellen dazu nun 00 Lose her, auf denen je eine der 0 möglichen Zahlen als Losnummer gedruckt wird. Sie machen das so, dass insgesamt jede Losnummer genau 0-mal vorkommt. Im Laufe des Schulfestes sollen die Lose verkauft werden. Zu einem geeigneten Zeitpunkt findet danach die Ziehung statt, wobei mit den 5 Plättchen wie beschrieben die Gewinnzahl gezogen wird. Die Klasse überlegt sich einen Gewinnplan, der als Plakat überall ausgehängt werden soll (siehe Anlage). b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Käufer eines einzigen Loses, dass er einen Gutschein für ein Buch gewinnt. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Käufer eines einzigen Loses, dass er einen Gutschein für 5 eine Riesenwurst mit Beilage gewinnt (zur Kontrolle: p ). 0 4 Die Schüler planen, ein einzelnes Los für 0,50 zu verkaufen. Material und Druckkosten betragen insgesamt. Die Kugelschreiber sind als Werbegeschenk von einem Elternvertreter gestiftet worden. Eine Riesenwurst mit Beilage kalkulieren die Schüler mit und ein Buch mit 0. d) Berechne, wie viel Geld die Schüler bei ihrer Kalkulation übrig behalten werden, wenn sie alle 00 Lose verkaufen. Bei der staatlichen Lotterie müssen mindestens 50 % der Einnahmen für Gewinne ausgegeben werden. Entscheide, ob das bei der hier betrachteten Lotterie der Fall ist. e) Bestimme, wie viel Geld die Schüler bei ihrer Kalkulation mindestens übrig behalten werden und wie viel höchstens, wenn sie nur 000 Lose verkaufen werden. Hinweis: Gutscheine für nicht vergebene Preise brauchen auch nicht bezahlt zu werden. f) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Käufer eines einzigen Loses, dass er überhaupt etwas gewinnt. 69

70 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Gewinnplan für das große Zahlengewinnspiel Heute 7 Uhr Ziehung der Glückszahl Vergleicht die Glückszahl mit Eurer Losnummer! Die letzte Ziffer ist richtig: Gewinn: Ein Super-Kugelschreiber Die letzten beiden Ziffern sind richtig, aber nicht die ganze Zahl: Gewinn: Gutschein für eine Riesenwurst mit Beilage Die Glückszahl stimmt mit der Losnummer überein: Gewinn: Gutschein für ein wertvolles Buch 70

71 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 4. Spielenachmittag Lösung S. 6 Björn und Eva verbringen den Nachmittag damit, miteinander zu würfeln. Sie verwenden einen normalen Spielwürfel (Laplace-Würfel) mit den Zahlen bis 6. Jeder darf einmal würfeln. Wer die höhere Augenzahl hat, gewinnt. Bei zwei gleichen Zahlen endet das Spiel unentschieden. Zunächst wirft Björn als erster. a) Björn hat eine gewürfelt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er noch gewinnt. Björn hat eine gewürfelt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass nun Eva gewinnt. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Spiel unentschieden ausgeht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Eva eine würfelt und damit gewinnt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Björn eine ungerade Zahl würfelt und damit gewinnt. c) Eva möchte nun unbedingt als erste würfeln. Entscheide, ob ihr dies einen Vorteil bringen würde. d) Die beiden beschließen eine Abwandlung des Spieles: Björn wirft wieder zuerst und dann Eva. Wenn zwei gleiche Zahlen gewürfelt werden, würfelt Eva solange weiter, bis sie eine andere Zahl als Björn hat. Begründe sinnvoll (ohne Rechnung), dass das Spiel fair ist. e) Beide setzen pro Spiel je 0 Cent, und der Gewinner bekommt jeweils den ganzen Einsatz. Nachdem die beiden 50 Runden gespielt haben, ist Eva im Plus: Sie hat einen Überschuss von 40 Cent. Björn beschwert sich: Das kann doch gar nicht sein! Setze dich mit der Behauptung Björns auseinander! 7

72 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 4. Verkehrszählung Lösung S. 64 An einer Hauptstraße wird während mehrerer ganzer Werktage eine Verkehrszählung durchgeführt, bei der ermittelt wird, wie viele Personenkraftwagen in der jeweiligen Stunde vorbeikommen. Dabei werden gleichzeitig die Pkws gezählt, in denen der Fahrer nicht angeschnallt ist. Die Ergebnisse dieser Zählung sind in der folgenden Tabelle und im Diagramm zusammengefasst: Zeitraum Anzahl der Pkws Anzahl nicht angeschnallter Fahrer Zeitraum Anzahl der Pkws Anzahl nicht angeschnallter Fahrer Anzahlen Verkehrszählung Reihe Anzahl der PKWs Anzahl nicht angeschnallter Fahrer Reihe 0 Tageszeit 0 Uhr - Uhr Uhr - Uhr Uhr - Uhr Uhr - 4 Uhr 4 Uhr - 5 Uhr 5 Uhr - 6 Uhr 6 Uhr - 7 Uhr 7 Uhr - 8 Uhr 8 Uhr - 9 Uhr 9 Uhr - 0 Uhr 0 Uhr - Uhr Uhr - Uhr Uhr - Uhr Uhr - 4 Uhr 4 Uhr - 5 Uhr 5 Uhr - 6 Uhr 6 Uhr - 7 Uhr 7 Uhr - 8 Uhr 8 Uhr - 9 Uhr 9 Uhr - 0 Uhr 0 Uhr - Uhr Uhr - Uhr Uhr - Uhr Uhr - 4 Uhr Betrachte die Aussagen a) bis g) über die Verkehrszählung und entscheide, ob sie aufgrund der Daten richtig sind. Begründe jeweils deine Entscheidung. 7

73 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik a) Der Verkehr war am späten Nachmittag am stärksten. b) Während der Nachtstunden von Uhr bis 7 Uhr wurden nicht mehr Autos gezählt als in einer beliebigen Stunde am Nachmittag. c) Je stärker der Verkehr, desto größer ist der Anteil der nicht angeschnallten Fahrer. d) Im Durchschnitt fuhren etwa 500 Pkws in jeder Stunde an den Verkehrszählern vorbei. e) Zu Spitzenzeiten kommt mehr als ein Auto pro Sekunde vorbei. f) Zwischen 5 Uhr und 8 Uhr übersteigt der Anteil der nicht angeschnallten Autofahrer nie 0 %. g) Von 0 bis 4 Uhr ist mehr als ein Viertel der Autofahrer nicht angeschnallt. h) Die örtliche Tageszeitung berichtet mit der Schlagzeile: Nachts fahren die meisten Autofahrer nicht angeschnallt über die Ergebnisse der Verkehrszählung. Diese Schlagzeile enthält verschiedene Interpretationsmöglichkeiten. Setze dich mit zwei dieser Interpretationsmöglichkeiten auseinander. 7

74 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 44. Mensch ärgere dich nicht Lösung S. 66 Die dunkle Spielfigur ist am Zug. Gehe davon aus, dass sie auch beim Werfen einer 6 bewegt wird. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die dunkle Spielfigur beim nächsten Wurf a) in das Haus, d. h. auf die Felder a, b, c oder d, gelangt, b) weder die andere Spielfigur schlägt noch in das Haus gelangt. Beim Spielbeginn braucht man eine Sechs, um eine Figur auf das Startfeld stellen zu können. Hat man keine Figur im Feld, so hat man drei Versuche, um eine Sechs zu würfeln; glückt hier keine Sechs, muss man bis zur nächsten Runde warten. c) Felix hat im ersten Wurf eine Zwei gewürfelt, im zweiten Wurf eine Fünf. Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit er im dritten Wurf eine Sechs würfelt. d) Wenn man Glück hat, kann man in der ersten Runde (also mit höchstens Würfen) seine Figur auf das Startfeld stellen. Beschreibe die Situation durch ein Baumdiagramm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, Glück zu haben. Interpretiere Glück haben mithilfe deines Ergebnisses. e) Felix hat es schon drei Runden lang nicht geschafft, eine Figur einzuwürfeln. Den Tränen nahe sagt er: Das ist so unfair! Das passiert nur in jedem tausendsten Fall, und ausgerechnet bei mir muss das passieren! Entscheide, ob Felix Recht hat. f) Ach was, hab dich doch nicht so! antwortet seine Schwester Miriam. Schau, wir sind vier Spieler, und da muss man schon davon ausgehen, dass einer von ihnen im ersten Durchgang nicht rauskommt. Beurteile Miriams Argumentation und vergleiche sie mit der von Felix. 74

75 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 45. Quader Lösung S. 67 Gerd, Frauke und Martha wollen auf ihrem Schulfest eine Würfelbude aufmachen. Allerdings soll nicht mit einem normalen Würfel, sondern mit einem Quader (siehe Abbildung) geworfen werden. 5 6, cm Mit dem Erlös aus dem Würfelspiel möchten die drei einen Zuschuss für die nächste Klassenreise erwirtschaften. cm, cm a) Bevor sie sich ein schönes Spiel überlegen können, müssen die drei erst einmal wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Zahlen geworfen werden. Deshalb haben sie das Quaderwerfen ausprobiert. Jeder hat 400-mal geworfen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Berechne jeweils die absoluten Gesamthäufigkeiten für die einzelnen geworfenen Zahlen. Berechne auch die relativen Häufigkeiten als Dezimalzahlen auf zwei Stellen nach dem Komma. Gib die relative Häufigkeit als Prozentzahl ohne Nachkommastelle gerundet an Gerd Frauke Martha Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Relative Häufigkeit in Prozent b) Gerd ist noch nicht zufrieden. Er meint: Diese relativen Häufigkeiten können doch noch nicht unsere endgültige Vorhersage darstellen. Ich schlage deshalb vor, die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Vorhersagemöglichkeit zu nehmen: Wahrscheinlichkeit in Prozent Beurteile Gerds Vorschlag, indem du die Gründe für seine Überlegungen darstellst. c) Für ihr Spiel haben sie sich einen Gewinnplan überlegt: Jeder Spieler zahlt einen Einsatz von. Dann wird einmal mit dem Quader geworfen. Wird eine oder eine 5 geworfen, so erhält der Spieler 5 ausbezahlt. Ansonsten wird der Einsatz einbehalten. Können die drei damit rechnen, einen Gewinn zu machen? Begründe durch eine Rechnung. 75

76 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik d) Sie möchten pro Spiel einen durchschnittlichen Gewinn von 0,70 erzielen. Dabei sollen Einsatz und Spielbedingungen gleich bleiben, sie möchten nur die Auszahlungssumme von 5 verändern. Bestimme, welche Auszahlungssumme x zu diesem neuen Durchschnittsgewinn führt. Beurteile dein Ergebnis in Bezug auf die Attraktivität des Spiels. e) Die drei entscheiden sich für die Spielvariante aus Teil c). Frauke behauptet: Wir müssen ein Startkapital von 0 mitbringen. Martha antwortet: Das brauchen wir nicht. Wir machen doch pro Spiel einen Gewinn. Gerd wirft ein: Ich stimme Frauke im Prinzip zu. Nur meine ich, dass wir mit dem Startkapital von 0 nicht auskommen. Entscheide, wer Recht hat, indem du die Wahrscheinlichkeiten für n Auszahlungen hintereinander ( n 0) bestimmst und in deine Argumentation mit einbeziehst. 76

77 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 46. Triebwerke Lösung S. 69 Ein neues Airbusmodell soll 4 Triebwerke haben. Dazu werden neue Triebwerke konstruiert. Der Hersteller der Triebwerke gibt bei regelmäßiger Wartung die Ausfallwahrscheinlichkeit für jedes Triebwerk während eines Langstreckenflugs mit q = 0-5 an. Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe kannst du davon ausgehen, dass die Triebwerke unabhängig voneinander ausfallen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem dieser regelmäßig gewarteten neuen Airbusmodelle während eines Langstreckenfluges kein Triebwerk ausfällt, alle Triebwerke ausfallen, drei Triebwerke ausfallen, mindestens ein Triebwerk ausfällt. Verwende wenn nötig für die Lösungen die Exponentialschreibweise. b) Ein Schüler möchte die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei einem Langstreckenflug des neuen Airbusmodells genau ein Triebwerk ausfällt. Er rechnet. P ("genau ein Triebwerk fällt aus") = 0, 000 0,9999 = 0, , 00 %. Seine Lehrerin stellt fest, dass er bei dieser Berechnung drei Fehler gemacht hat. Gib die Fehler an und korrigiere sie. c) Eine Fluggesellschaft plant 00 der neuen Airbusmodelle zu erwerben. Jedes Flugzeug soll im Durchschnitt jährlich 00 Langstreckenflüge absolvieren. Die Fluggesellschaft verlangt vom Triebwerkhersteller, dass es zu nicht mehr als Triebwerksausfällen im Jahr kommt. Berechne, ob diese Forderung mit den Triebwerken zu erfüllen ist. 77

78 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 47. Dominosteine Lösung S. 70 Anna und Leo haben im Urlaub lange und viel Domino gespielt. Nun möchten sie etwas Abwechslung haben und überlegen, wie sie mithilfe der Dominosteine ein neues Spiel erfinden können. Anna schlägt vor: Wir denken uns eine Regel aus, sodass entweder du gewinnst oder ich. Der Gewinner erhält Spiel-Euro. Bei jedem Spielzug liegen alle Steine umgedreht auf dem Tisch. Ein Stein wird aufgedeckt und der Gewinner festgestellt. Anschließend wird der Stein wieder umgedreht, wir mischen die Steine und das Spiel geht weiter. Ein Dominospiel besteht aus 55 unterschiedlichen Steinen (siehe Abbildung). a) Leo meint: Lass uns die Regel in Abhängigkeit von der Gesamtaugenzahl auf einem Stein aufstellen. Dazu benötigen sie die folgende Tabelle. Bestimme die jeweiligen Anzahlen und trage sie in die Tabelle ein. Gesamtaugenzahl Anzahl der Steine b) Leo schlägt nun die folgende Spielregel vor: Hat der aufgedeckte Stein eine einstellige Augenzahl, gewinne ich. Sonst gewinnst du. Anna ist damit nicht einverstanden: Das Spiel ist nicht fair. Du würdest häufiger gewinnen als ich. Entscheide, ob Anna Recht hat. c) Beurteile, ob mit einer anderen Aufteilung der Steine zwischen Anna und Leo ein faires Spiel möglich ist. 78

79 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik d) Wir müssen den Gewinn verändern meint Anna. Ich schlage vor, dass du 40 Eurocent bekommst, wenn der aufgedeckte Stein eine einstellige Augenzahl hat, anderenfalls bekomme ich 60 Eurocent. Beurteile diesen Vorschlag unter dem Gesichtspunkt eines fairen Spiels. Bestimme, welcher Gewinn oder Verlust für Leo bei 50 Ziehungen zu erwarten ist. e) Anna und Leo haben sich einen neuen Gewinnplan ausgedacht. Diesmal wollen sie die Frage, ob das Spiel fair ist, nicht durch eine Rechnung beantworten, sondern durch die Durchführung von 50 Spielen. Nachdem die beiden 50-mal entsprechend dem neuen Gewinnplan gespielt haben, hat Anna viel mehr Spielgeld als Leo. Damit haben wir gezeigt, dass unser neuer Gewinnplan nicht fair ist, meint Leo. Das finde ich nicht, sagt Anna, wir haben doch nur 50-mal gespielt. Wir hätten viel häufiger spielen müssen, damit sich die Gewinne und Verluste ausgleichen. Entscheide, wer Recht hat. f) Bestimme einen möglichen Gewinnplan für ein faires Spiel. Damit man viele Gewinnpläne entwickeln kann, wird eine Strategie benötigt. Beschreibe eine solche Strategie. 79

80 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 48. Wortlegespiel Lösung S. 7 In einem Wortlegespiel wie z. B. Scrabble werden nur die 6 Großbuchstaben des Alphabets (d.h. kein Ä, Ö, Ü) verwendet. Die Buchstabenplättchen sind wie folgt vorhanden: Buchstabe A E I O U übrige Buchstaben (Konsonanten) Anzahl jeweils 8 a) Zeige, dass es insgesamt 468 Buchstabenplättchen sind. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Buchstabenplättchens mit einem A, keinem B, einem Konsonanten, einem der letzten Buchstaben des Alphabets. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligem Ziehen eines Buchstabenplättchens ohne Zurücklegen drei Vokale gezogen werden, erst ein Vokal, dann ein Konsonant und dann wieder ein Vokal gezogen werden. d) Sarah triumphiert: sie hat viermal gezogen und zwar (in dieser Reihenfolge) die Buchstaben H A U S. Berechne die Wahrscheinlichkeit für diesen Erfolg. e) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, die vier Buchstaben aus d) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen. Vergleiche deine Ergebnisse aus d) und e) miteinander. 80

81 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 49. Pralinenherstellung Lösung S. 7 Die Firma Sprengli ist ein traditionsreicher Hersteller edler Schokoladen und Pralinen. Familie Heinemann kauft immer die Pralinés Top Four, eine Auswahl 0 handgemachter Pralinés der vier beliebtesten Sorten in je gleicher Stückzahl. a) Eine der Sorten enthält eine Alkoholfüllung, welche die kleine Tochter Nicole nicht essen soll. Eines Tages bleibt die Packung unbeaufsichtigt liegen. Nicole öffnet diese heimlich und nimmt sich Pralinen heraus. (Nicole kann dabei die einzelnen Sorten äußerlich nicht unterscheiden.) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den Pralinen keine Praline mit einer Alkoholfüllung befindet. Als der Vater eine leicht verformte Praline findet, ruft er beim Kundenservice von Sprengli an. Dieser teilt mit, dass trotz zahlreicher Kontrollen etwa % aller Pralinen nicht den allerhöchsten Ansprüchen entsprächen. Diese fehlerhaften Pralinen treten rein zufällig und unabhängig voneinander auf. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer Schachtel genau eine fehlerhafte Praline befindet. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer Schachtel zwei oder mehr fehlerhafte Pralinen befinden. (Zur Kontrolle: p ( zwei oder mehr fehlerhafte Pralinen) 0,9 ) Um die Marktposition als Edel-Anbieter zu sichern, schlägt ein Mitarbeiter der PR-Abteilung folgende Garantie vor: Findet ein Kunde in einer Schachtel Pralinés Top Four zwei oder mehr fehlerhafte Pralinen vor, so kann er die Schachtel an den Hersteller einsenden und erhält Jahre lang monatlich eine Schachtel kostenlos zugesandt. d) Begründe, dass eine solche Garantie den Pralinenhersteller in den Ruin treiben würde.überlege dies anhand des Ergebnisses von c) und einer Beispielrechnung mit 00 Schachteln, die verkauft werden. e) Um die Zahl der einwandfrei produzierten Pralinen zu erhöhen, will Sprengli die Qualitätskontrollen verbessern. Als Ziel wird vorgegeben, dass sich langfristig in mindestens 90 % aller Packungen ausschließlich einwandfreie Pralinen befinden. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der dann jede einzelne Praline einwandfrei sein müsste, damit die Vorgabe erfüllt wird. 8

82 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 50. Volksabstimmung Lösung S. 74 Am 9. Mai 005 stimmten die Franzosen über die Verfassung der Europäischen Union ab, am. Juni 005 die Niederländer. Die Ergebnisse sind in folgender Tabelle zu finden: Frankreich Niederlande Zahl der Abstimmungsberechtigten 4,0 Millionen,6 Millionen Abstimmungsbeteiligung 70 % 64 % Anteil der Ja-Stimmen 45, % 8,4 % Anteil der Nein-Stimmen 54,9 % 6,6 % a) Bestimme die Zahl der Franzosen, die sich am Referendum beteiligt haben. b) Zeige, dass in den Niederlanden etwa Bürger mit Ja gestimmt haben. Entscheide: Kann man sagen, dass sich in den Niederlanden die Mehrheit der Bürger gegen die Verfassung entschieden hat? c) Der französische Präsident und der niederländische Premierminister seufzen nach der Abstimmung: Wenn doch nur (jeweils) eine halbe Million mehr zur Abstimmung gegangen wären und mit Ja gestimmt hätten, dann sähe alles anders aus. Entscheide: Stimmt diese Aussage? Im Vorfeld der Abstimmungen gab es in beiden Ländern repräsentative Befragungen der Bürger mit folgenden Ergebnissen: Frankreich Niederlande Zahl der Befragten Ich werde zur Abstimmung gehen Ich werde für die Verfassung stimmen Ich werde gegen die Verfassung stimmen d) Berechne, wie gut die Abstimmungsbeteiligung in den Niederlanden vorhergesagt wurde. e) Auf den ersten Blick widerspricht das Ergebnis der Befragung in Frankreich dem Ergebnis der Abstimmung. Bestimme, wie viele der 40 befragten Wahlwilligen andere Aussage hätten machen müssen, um bei der Befragung denselben Nein -Anteil zu erzielen wie bei der großen Abstimmung. Die Wahlforscher geben zu bedenken: Wir können bei solchen Befragungen, bei denen wir n Personen interviewen, nur einen Sicherheitsbereich angeben. Die Breite dieses Bereichs berechnen wir etwa so: b n. Und deswegen können wir sagen: Unsere Vorhersagen sind nur auf b 00 Prozent genau. f) Bestimme den Wert für b im Falle der Franzosen und entscheide, ob das Ergebnis der Abstimmung noch in diesem Bereich lag. n 8

83 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 5. Führerscheinprüfung Lösung S. 75 In einer Fahrschule wird seit Jahren mit den Fahrschülern probehalber eine Vorprüfung durchgeführt, kurz bevor sie sie zur theoretischen Führerscheinprüfung ins Verkehrsamt gehen. Unabhängig davon, ob sie diese Vorprüfung bestanden haben oder nicht, können sie dann die theoretische Führerscheinprüfung im Verkehrsamt ablegen. Ein Fahrlehrer hat die Ergebnisse der letzten Jahre von über 000 Fahrschülern als Prozentsätze gerundet in einer sogenannten Vierfeldertafel zusammengefasst: Theorieprüfung bestanden Theorieprüfung nicht bestanden Summe Vorprüfung bestanden 76 % 4 % 90 % Vorprüfung nicht bestanden 4 % 6 % 0 % Summe 80 % 0 % 00 % Der Fahrlehrer will diese Tabelle nutzen, um seinen neuen Fahrschülern Anhaltspunkte zu geben für den Fall, dass sie sich weder besser noch schlechter vorbereiten als ihre Vorgänger. a) Man kann diese Daten im Lichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung interpretieren. Gib beispielhaft eine Interpretation des Eintrags 4 % in der ersten Zeile an. ( P) b) Man kann aus den Daten der Tabelle auch ein Baumdiagramm anfertigen (siehe Anlage). Gib in dem Baumdiagramm an den einzelnen Zweigen die Wahrscheinlichkeiten an. (6 P) c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrschüler, der die Vorprüfung besteht, die theoretische Führerscheinprüfung nicht besteht, dass ein Fahrschüler, der die Vorprüfung nicht besteht, die theoretische Führerscheinprüfung trotzdem besteht, dass ein Fahrschüler, der die theoretische Führerscheinprüfung nicht bestanden hat, schon vorher die Vorprüfung nicht bestanden hat. (6 P) d) Ein Fahrschüler, der die theoretische Führerscheinprüfung nicht bestanden hat und sie neu versuchen will, rechnet seinem Fahrlehrer vor: Die Wahrscheinlichkeit, nicht zu bestehen, ist 0,; dann muss die Wahrscheinlichkeit, zweimal nicht zu bestehen, 0, 0, sein, und das sind 0,04, also gerade mal 4 %. Meine Chance, dieses Mal die Prüfung zu bestehen, ist also 96 %! Begründe, dass der Fahrschüler nicht korrekt argumentiert. ( P) e) Zum nächsten Kurs haben sich 5 Fahrschüler neu angemeldet. Die angenommenen Wahrscheinlichkeiten sollen alle unverändert gelten. Bestimme damit die Wahrscheinlichkeit, dass diesmal mindestens ein Fahrschüler die Vorprüfung nicht besteht. Gib auch eine Begründung für deine Rechnung an. (4 P) 8

84 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Anlage zur Aufgabe Führerscheinprüfung Name: Klasse: Tb Vb Tn Tb Vn Tn (Abkürzungen: Vb für Vorprüfung bestanden, Vn für Vorprüfung nicht bestanden, Tb für Theoretische Fahrprüfung bestanden, Tn für Theoretische Fahrprüfung nicht bestanden. 84

85 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 5. Auf dem Jahrmarkt Lösung S. 77 Das Riesenglücksrad Die rote Eins ist die besondere Attraktion des diesjährigen Jahrmarktes. Es besteht aus 6 gleich großen Feldern, die entweder blau oder rot sind und außerdem entweder mit der Zahl oder der Zahl 0 gekennzeichnet sind. Ein Drittel der Felder sind rot, acht der 6 Felder sind mit einer gekennzeichnet. a) Ergänze die folgende Tabelle mit Hilfe der obigen Angaben. 0 gesamt rot blau 6 gesamt b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen ein rotes Feld mit der Zahl 0 erscheint. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zweimaligem Drehen beide Felder blau sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zweimaligem Drehen einmal die 0 und einmal die erscheint. c) Für das Glücksspiel Dreh Die Rote Eins gelten folgende Bedingungen: Einsatz für einmaliges Drehen. Auszahlung für rotes Feld mit : 0 Auszahlung für blaues Feld mit : 6 Auszahlung für rotes Feld mit 0: Auszahlung für blaues Feld mit 0: Am Ende der ersten Jahrmarktwoche wundert sich der Glücksradbesitzer, dass er Verlust gemacht hat. Beurteile, ob dies zu erwarten war. 85

86 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 5. Mit und ohne Brille Lösung S. 78 Die Kleinstädte Fielbrück, Fielhausen und Fielwerder haben Folgendes gemeinsam: I: Ein Drittel der Einwohner ist über 50 Jahre alt. II: Die Hälfte der Einwohner trägt eine Brille. Ein Reporter führt im Auftrag eines bekannten Optikers in den drei Städten eine Befragung durch. In den drei Einwohnermeldeämtern stellt er jeweils folgende Fragen:. Wie viel Prozent der über 50-jährigen in Ihrer Stadt tragen eine Brille?. Wie viel Prozent der Brillenträger in Ihrer Stadt sind über 50 Jahre alt?. Wie viel Prozent der Einwohner Ihrer Stadt sind über 50 Jahre alt und tragen eine Brille? Erstaunlicherweise erklären die drei befragten Beamten zunächst alle dasselbe: Ich beantworte Ihnen nur eine der drei Fragen; die anderen Antworten ergeben sich daraus von selbst. Der Beamte in Fielbrück beantwortet Frage mit: 00 %. Der Beamte in Fielhausen beantwortet Frage mit: 40 %. Der Beamte in Fielwerder beantwortet Frage mit: 5 %. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von drei zufällig ausgesuchten Personen aus Fielbrück genau zwei älter als 50 Jahre sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass vier zufällig ausgesuchte Personen aus Fielhausen alle eine Brille tragen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zehn zufällig ausgesuchten Personen aus Fielwerder mindestens einer eine Brille trägt. b) Ergänze die folgende Tabelle für die 000Einwohner von Fielbrück: älter als 50 Jahre 50 Jahre und jünger Brille keine Brille gesamt gesamt 000 c) Bestimme die in den Fragen ) und ) von den Einwohnermeldeämtern erbetenen Prozentangaben für Fielbrück. d) Ergänze die folgende Tabelle für die Einwohner von Fielhausen: älter als 50 Jahre 50 Jahre und jünger gesamt Brille keine Brille gesamt e) Bestimme die in den Fragen ) und ) erbetenen Prozentangaben für Fielhausen. 86

87 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 54. Teilzeitarbeit Lösung S. 79 Teilzeitarbeit ist ein neues heutzutage stark diskutiertes Problem unserer Gesellschaft. Derzeit sind nur noch 79% aller Berufstätigen vollzeitbeschäftigt. Obwohl mehr Männer als Frauen berufstätig sind (55% der Berufstätigen sind Männer), ist von den Teilzeitbeschäftigten lediglich jeder 7. ein Mann. In einem Zeitungsartikel heißt es: Sechs von sieben berufstätigen Frauen sind teilzeitbeschäftigt. Von den berufstätigen Männern dagegen arbeiten weniger als 0% in Teilzeit. b) Ergänze die folgende Tabelle mit Hilfe der obigen Angaben. vollzeitbeschäftigt Geschlecht w m gesamt teilzeitbeschäftigt % gesamt c) Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, - dass ein zufällig ausgewählter berufstätiger Mann vollzeitbeschäftigt ist, - dass zwei zufällig ausgewählte Teilzeitbeschäftigte beide Frauen sind, - dass zwei zufällig ausgewählte berufstätige Frauen beide teilzeitbeschäftigt sind. d) Beschrifte die Zweige der beiden zur Vierfeldertafel aus a) gehörenden Baumdiagramme mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:: Baumdiagramm : Baumdiagramm : v w w v t m v w m t t m e) Beurteile die beiden im Vortext angegebenen Aussagen des Zeitungsartikels. 87

88 Schriftliche Überprüfung an Gymnasien, Klasse 0, Beispielaufgaben Mathematik Idee der Wahrscheinlichkeit 55. Medikament Lösung S. 80 In einer Kleinstadt wurde unter Berücksichtigung des Geschlechts der Testpersonen die Wirksamkeit eines neuen Medikamentes gegen eine bestimmte Krankheit getestet. Hier das Testergebnis: Medikament wirksam (w) unwirksam (u) gesamt Männer (M) 0,5 0,9 0,70 Frauen (F) 0,8 0, 0,0 gesamt 0,69 0,,00 a) - Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das Medikament bei einem Mann wirkt. - Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das Medikament bei einer Frau wirkt. b) Beschrifte die Zweige der beiden zur oben gegebenen Vierfeldertafel aus a) gehörenden Baumdiagramme mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten: Baumdiagramm : Baumdiagramm : w M M w u F w M F u u F c) Kurz nach Veröffentlichung der Studie stellt sich heraus, dass lediglich Testergebnisse ausgewertet worden waren. Die Daten von 000 Männern waren nicht berücksichtigt worden. Korrigiere die oben gegebene Vierfeldertafel unter der Voraussetzung, dass sich der prozentuale Anteil der Wirksamkeit des Medikamentes bei Männern durch die hinzugekommenen Daten nicht geändert hat. d) Nun wird vermutet, dass bei Frauen schon einer schwächere Dosis des Medikamentes wirksam sein könnte, bei Männern jedoch nicht. Es wird in einer anderen Stadt ein entsprechender Test mit niedrigerer Dosis durchgeführt. Beschreibe, wie sich die Werte a, b, c und d voraussichtlich ändern würden, wenn die Vermutung richtig wäre und begründe diese Änderung. Medikament wirksam (w) unwirksam (u) gesamt Männer (M) a b a+b Frauen (F) c d c+d gesamt a+c b+d a+b+c+d 88

89 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und. Erwartungshorizonte zu den Aufgaben und shinweise. Aufgaben, die ohne Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden.. Beispiel für eine Prüfungsaufgabe. a) 0, = 9 c) b) 5 min =,75 h c) c) d) 4 m = 80 cm a) 5 5 = 6,5 % c) 8 e) ( x) ( + 4x) = 4x + 5x + 6 b) f) u = v + w a) g) 0,4 m b) h) 5 d) i) 7 8 = a) j) n = 8, n = 7 c) k) 8 d) l) 7,5 % c) x m) 9 5x+ x a) n) 0 d) o) 6 c) p) 70 c) 89

90 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0. a) L = 0;; ;5 b) L = { } c) L = { 4;} d) L = { } Der Punkt pro Teilaufgabe wird nur bei vollständiger Lösung gegeben. Auch andere Notationen der Lösung(en) sind zulässig.. a) 5,84 0 km, 0 0 m, 8 7,78 0 km, 9,46 0 km b) = 0 4 c) 0 :50 = 0 km 4. A 6a π ( a) 6a 8 π a 4a ( 9 π) = = = 5. a) b) Wichtig ist, dass die Hauptmerkmale der Gefäße deutlich werden. 4 Insgesamt 4 BWE

91 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und.. Weitere Beispiele für Teilaufgaben zum Prüfungsteil I. Teilbarkeit a) Weil die Vielfachen von in er-schritten aufeinander folgen, muss eine von aufeinander folgenden Zahlen durch teilbar sein. Die Behauptung ist richtig. b) Weil zu aufeinander folgenden Zahlen stets mindestens eine gerade Zahl und eine durch teilbare Zahl gehört, muss das Produkt durch und durch und damit auch durch 6 teilbar sein. Die Behauptung ist richtig. c) = 6; 4 ist nicht Teiler von 6 Die Behauptung ist falsch. Insgesamt 7 BWE 4. Druckerei a) Eine Postkarte kostet bei einer Auflage von Stück 0 Cent, denn = = b) Mit steigender Auflagenzahl sinken die Kosten pro Stück, da die Variable im Nenner des Terms auftritt. c) Die Kosten pro Postkarte müssen auch bei einer sehr großen Auflagenzahl stets noch etwas über 6 Cent liegen, da immer noch etwas Positives dazu addiert wird. Oder z.b In der Formel müsste = 0 gelten. Dies ist nicht möglich. n d) Materialkosten pro Karte oder Mindesteinnahme der Firma pro Karte oder Alle im Kontext der Aufgabe sinnvollen Antworten sind richtig. Insgesamt 7 BWE 4 9

92 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0. Benzinverbrauch a) 5 Liter b) zwischen dem. und. Tanken:,75 Liter pro 00 km. c) Auf der. Teilstrecke zwischen 500 km und 700 km. Dort ist das Gefälle des Graphen am größten, d.h. der Inhalt des Tanks nimmt am stärksten ab. d) ( ) 7 = 5 : 7 = 5 :. Der Benzinverbrauch auf der Gesamtstrecke beträgt 5 Liter pro 00 km. Insgesamt 7 BWE 5 4. Formel Moderne Formel -Wagen können innerhalb von wenigen Sekunden auf ihre Höchstgeschwindigkeit beschleunigen. Nach dem Start beschleunigt der Rennwagen bis zur Höchstgeschwindigkeit. Kurz vor der Kurve () wird abgebremst, um gegen Ende der Kurve wieder auf die auf Höchstgeschwindigkeit zu beschleunigen. Dann fährt der Rennwagen eine längere Strecke geradeaus, um dann vor der nun engeren Kurve () stärker abzubremsen. Nach einer Beschleunigung wiederum auf die Höchstgeschwindigkeit wird der Wagen aufgrund der engsten Kurve () am stärksten abgebremst. In der weiten Kurve (4) kann der Wagen nicht mit seine Höchstgeschwindigkeit fahren. Die Höchstgeschwindigkeit erreicht er erst wieder auf der Zielgeraden. Die Skizze kann natürlich anders aussehen, sie muss jedoch den Sachverhalt sinnvoll wiedergeben; Analoges gilt für die Kommentare, die auch in Stichworten sein dürfen. 5 Insgesamt 7 Punkte 0 5 9

93 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 5. Füllgraphen a/e: gleichmäßige Füllung, deshalb linearer Verlauf des Füllgraphen, b/a: je höher der Füllstand, desto größer der Querschnitt, Füllhöhe wächst langsamer, c/b: bis zum Flaschenhals gleichmäßige Füllung, dann schnellere gleichmäßige Füllung, d/c: erst größer werdender Querschnitt und langsamer steigender Graph, dann kleiner werdender Querschnitt und schneller steigender Graph, am Hals konstant steigender Graph. 4 4 Insgesamt 8 BWE Füllgraphen a) B B B B 4 Pro richtiger Zuordnung Punkt. 4 9

94 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 b) h Hinweis zur Korrektur: Das Prinzip muss erkannt sein; die Befüllung verläuft in den beiden Abschnitten jeweils linear in Abhängigkeit von der Zeit, zunächst schneller (Graph steiler), dann langsamer (Graph flacher). Genauere Angaben sind wegen der fehlenden Bemaßung nicht möglich. t Insgesamt 6 BWE Kegel, Kugel, Zylinder VKegel = π r h= π r r = π r Zylinder 4 VKugel = π r V = π r h= π r r = π r 4 VKegel : VKugel : V Zylinder = : := :: Insgesamt 4 Punkte 94

95 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 8. Radrennfahrer Horizontalentfernung s Die Geschwindigkeit ist zunächst konstant, verringert sich dann durch die Berganfahrt auf eine niedrigere konstante Geschwindigkeit und erhöht sich auf der Hochebene wieder auf die erste konstante Geschwindigkeit. Bei der Talfahrt steigt v an bis zur möglichen Höchstgeschwindigkeit, um nach einer gewissen Fahrtstrecke auf der Ebene auf das anfängliche Niveau zu sinken. Die Skizze kann natürlich anders aussehen. Die Begründung muss aber die wesentlichen Aspekte richtig erfassen. Am Anfang der Skizze sollten beide Möglichkeiten (Anfangsgeschwindigkeit v = 0 oder Fahrer hat schon bei s = 0 eine Geschwindigkeit) akzeptiert werden. 4 Insgesamt BWE 4 9. Der goldene Schnitt a) a b = b a + b a a b b ( + ) = a + ab = b b) a + ab = b b a = ( + 5) a + ab b = 0 a = 0,5b + 0, 5b + b Zulässig ist auch der Nachweis durch Einsetzen des gegebenen Terms. Insgesamt 5 BWE 4 95

96 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 0. Gebläse a) 6 Wege b) Es gibt zwei Fächer E, auf die man jeweils auf 4 Wegen mit gleicher Wahrscheinlichkeit gelangen kann: 4 PE ( ) = 4 0,5 = 0,5. c) P(N) = 0, 4 = 0,006; bei Kugeln würde man 6 im Fach N erwarten. d) P(B) = 6 0, 0,8. Insgesamt 7 BWE 6. Geraden a) f(x) = x + ; g(x) = x + ; h(x) = 4 x ; k(x) =,5 b) z.b. x = Einen Punkt für das Einzeichnen, einen für die Gleichung c) Es handelt sich nicht um den Graphen einer Funktion, da dem x-wert (hier z.b. ) mehr als genau ein (sogar unendlich viele) y-wert zugeordnet wird. Insgesamt 7 BWE 5. Graphen zuordnen a) Funktionsterm x x 4x x + ( ) x x x x Zugeh. Graph ---- G ---- A E F Funktionsterm 4 x 5 x 4 x + x x x Zugeh. Graph D C Funktionsterm x x x + sin x sin 4x cos x Zugeh. Graph ---- H K B 9 96

97 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und Für jede richtige Zuordnung wird Punkt gegeben. Wird ein Buchstabe mehrmals genannt, gibt es keinen Punkt bezüglich dieses Buchstabens (selbst wenn die richtige Lösung dabei ist). Insgesamt 9 BWE 9. Besondere Werte der trigonometrischen Funktionen a) Im gleichseitigen Dreieck haben alle Winkel die Größe 60. Im rechtwinkligen Dreieck ergeben sich 0 aus der Winkelsumme im Dreieck. b) Die Schüler können selbstständig eine Seitenbezeichnung wählen. a sin 0 = a = ; sin 60 = a h = =, denn a a a h = a = a 4 4 Punkte für sin 0, 4 Punkte für sin 60. c) cos 60 = 0,5; da cos α = sin (90 α ) oder direkt aus der Zeichnung. Insgesamt 8 BWE 5 4. Würfel und Münze 4 A: Genau einmal Zahl; P(A) = + =

98 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 B: Mindestens einmal Zahl; P(B) = C: Keinmal Wappen; P(C) = + + = Oder: P(C) = P( B ) = P( B ) = PA+ ( ) =. 4 =. 4 4 Insgesamt 8 BWE 7 5. Martins Glücksspiel a) A: Es wird eine gewürfelt, dann eine helle Kugel gezogen. P(A) = =. 6 9 b) Nur wenn eine helle Kugel gezogen wird, macht Martin Gewinn. Da Martin beim Ziehen einer dunklen Kugel genauso viel Geld ( ) zusätzlich auszahlt, wie der Einsatz beträgt, macht er beim Ziehen einer dunklen Kugel Verlust. B: Es wird eine helle Kugel gezogen. P(B) = + + = 4, d.h. P(B) ist kleiner als 50%. 9 9 Deshalb macht Martin auf lange Sicht Verlust. oder: C: Es wird eine dunkle Kugel gezogen. P(C) = + + = 5, d.h. P(C) ist größer als 50 % Insgesamt 7 BWE 6 6. Berechnung im Dreieck Richtig sind die Ansätze h= b a und b sin β h =. sin 90 98

99 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 7. Schiefe Ebene Graph ist richtig. Die Geschwindigkeit der Kugel nimmt zu. 8. Flächen Die grauen Teilflächen ergänzen sich entweder zu zwei Viertelkreisen bzw. zu einem Halbkreis. Die graue Fläche hat damit einen Flächeninhalt von 4,5 π cm (etwa 4 cm ). In der Angabe des Flächeninhalts kann π stehen bleiben. 9. Graphen Term sin x sin x 5 x 5 x ( x + ) x + Graph E A D Term x + x + x + x + Graph F C B x x 4 0. Interpretation von Graphen Für die richtige Auswahl (Fallschirmspringen) gibt es Punkt, für die ausführliche Begründung 4P. Mögliche Begründungen: i) Der Fallschirmspringer wird zunächst immer schneller, da der Fallschirm noch geschlossen ist. ii) Aufgrund des Luftwiderstands verlangsamt sich der Geschwindigkeitsanstieg. iii) Die größte Geschwindigkeit liegt im Moment des Öffnens des Fallschirms vor. iv) Durch das Öffnen des Fallschirms verringert sich die Geschwindigkeit in kürzester Zeit drastisch. 99

100 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 v) Einige Zeit bewegt sich der Fallschirmspringer nun mit konstanter (vergleichsweise langsamer) Geschwindigkeit. vi) Schließlich landet der Fallschirmspringer und die Geschwindigkeit beträgt jetzt Null. Die Aufgabe kann gleichwertig auch durch Ausschlussargumentation gelöst werden. Wenn 4 der genannten 6 Begründungsmöglichkeiten genannt werden, gibt es damit volle Punktzahl. Die anderen Sportarten sind falsch, bei der Begründung werden aber Punkte vergeben, wenn Teile des Graphen richtig interpretiert wurden. Beispiel: Der Stabhochspringer wird zunächst während der Anlaufzeit immer schneller (P). Höchstens werden jedoch P von 5 P vergeben. 5. Graphen a) f g x h b) 4P insgesamt; P pro Graph, kleinere Fehler oder Ungenauigkeiten beim Zeichnen der Graphen, die aber wesentliche Merkmale der Graphen noch unverfälscht lassen, führen pro Graph zu einem Punkt Abzug. 4 c) h ist die Umkehrfunktion zu f. d) Die Wahrscheinlichkeit beträgt. 7 Richtiger Ansatz mit einem Fehler in der Rechnung führt zu einem Punkt Abzug. 00

101 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und. Aufgaben, die mit Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden. DIN-Formate a) Die Flächeninhalte stehen im Verhältnis : = 8 :. A6 passt 8-mal in A4 (oder ähnliches). b) A6 c) A: = Lagen; A: = 4 Lagen; ; A6: 6 = 64 Lagen. (oder ohne Zweierpotenzen Schritt für Schritt berechnet) d) Seitenlängen eines DIN-A-Blattes: a b 0 0 und a0 b0 000 : Daraus folgt a a a0 840, b 89, Die Seitenlängen eines DIN-A0-Blattes betragen 84 mm bzw. 89 mm. Seitenlängen eines DIN-A4-Blattes: Ein DIN-A4-Blatt passt 4 = 6-mal in ein DIN-A0-Blatt. Dann gilt: a4 0, b 97, Die Seitenlängen eines DIN-A0-Blattes betragen 0 mm bzw. 97 mm. 6 e) Die Flächen der beiden Formate stehen im Verhältnis :, die Seitenlängen im Verhältnis :. Das Kopiergerät muss also auf 0, % eingestellt werden. 4 Insgesamt BWE

102 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0. Autokauf a) jährlich gefahrene Strecke Benzinmotor jährliche Kraftstoffkosten Benzinmotor jährliche Gesamtkosten (Kraftstoffkosten + Festkosten) Dieselmotor jährliche Kraftstoffkosten Dieselmotor jährliche Gesamtkosten (Kraftstoffkosten + Festkosten) km 809,0 00,60 556,50 7, km 68,40 909,80,00 88, km 47, ,00 669, ,0 5 b) Bei einer jährlichen Fahrleistung von km ist ein Diesel um 78,70 billiger. c) Benzinauto: Der Kraftstoffverbrauch bei einem Kilometer ist 6,8 00 0,068 Liter Benzin kosten 0,068,9 = 0,0809, also gilt für die Gesamtkosten f des Neuwagens mit Benzinmotor: f( x) 0, 0809 x 9, 40 Dieselauto: Der Kraftstoffverbrauch bei einem Kilometer ist 5, 00 0,05 Liter Benzin kosten 0, 05,05 = 0, 05565, also gilt für die Gesamtkosten g eines Dieselautos: gx ( ) 0, x 770,80 Liter 0,068 Liter. Liter 0,05 Liter. Jährliche Kilometerleistung, bei der die Gesamtkosten gleich sind: 0, 0809 x 9, 40 0, x 770,80 0,057 x 479,4 x 897,... Ab einer jährlichen Kilometerleistung von etwa km ist das Dieselfahrzeug günstiger. d) Mehrkosten beim Kauf eines Dieselfahrzeugs: = : 78,7,86 Herr Timm muss fast 4 Jahre fahren, um die Mehrkosten beim Kauf seines Dieselfahrzeugs auszugleichen. 0

103 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und e) Die Mehrkosten beim Kauf des Diesels mindern sich um den Mehrerlös beim Wiederverkauf. Damit rentiert sich der Diesel für Herrn Timm schon wesentlich früher. Mit den gegebenen Zahlen gerechnet, erhält man ( ) : 78, 7,5. Schon nach etwa einem Jahr und vier Monaten fährt also Herr Timm mit dem Diesel im Plus. f) 000, , Herr Timm kann nach drei Jahren 998,48 von seinem Sparbuch abheben. Herr Timm muss noch ,48 = 5.5,5 dazulegen. Insgesamt BWE Computergrafik a) Die jeweils außen übrig bleibenden (4 kongruenten) rechtwinkligen Dreiecke liefern mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die nötigen Informationen. x x = + = =. Das erste gedrehte Quadrat hat eine Seitenlänge von m, 44 m. x x = + = =. Das zweite gedrehte Quadrat hat eine Seitenlänge von m. Danach gilt: x = und x x = =. oder gleich allgemein: Die neue Seite x ist jeweils die Hypotenuse in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck mit der Kathetenlänge. s Also gilt: x s s s und damit x s s 0

104 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Für den Verkleinerungsfaktor f gilt somit: f =. 5 b) a b Es gilt: sin α= und cos α= und damit a= x sin α bzw. b= x cos α. x x Mit s a b = + ergibt sich: = sin α+ cos α= ( sin α+ cos α ) s x x x. Löst man diese Gleichung nach x auf, erhält man: x= s. sin α+ cos α Für den Verkleinerungsfaktor f gilt also: f = sin α+ cos α. Für 5 gilt: f = = 0, , %. sin 5 + cos 5 Wenn man 6-mal dreht, muss man auch 6-mal verkleinern, und zwar jedes Mal mit dem eben berechneten Faktor. Weil es ein Verkleinerungsfaktor ist, bedeutet 6-faches Verkleinern Potenzieren des Faktors mit dem Exponenten 6, also: 6 0, 906 0, Der Flächeninhalt des Ausgangsquadrates wird dann mit dem Faktor 0, , 004 verkleinert. Ausgehend von einem Flächeninhalt von 4 m hat das 6. Quadrat einen Flächeninhalt von ungefähr 0,055 m, also ca. 5,5 cm. 4 c) Wir betrachten zwei Tortenstücke des regelmäßigen Fünfecks: Es handelt sich um gleichschenklige Dreiecke, wobei der Winkel am Mittelpunkt der Basis gegenüberliegt und ein Winkelmaß von 60 = 7 hat. Die beiden gleichgroßen Basiswinkel δ haben 5 jeweils ein Winkelmaß von 54 (Winkelsumme im Dreieck ist 80 ). Gleichzeitig erkennt man, dass der Winkel γ zwischen zwei benachbarten Seiten eines regelmäßigen Fünfecks sich jeweils aus zwei dieser Winkel additiv zusammensetzt. Das Winkelmaß von γ beträgt also 08. Hinweis: Wenn die Schülerinnen und Schüler den Term n 80 für die Winkelsumme eines regelmäßigen n-ecks kennen und korrekt anwenden, ist die Lösung auch mit voller Punktzahl zu bewerten. 04

105 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und d) Wir betrachten eines der in der Skizze erkennbaren (kongruenten) Dreiecke und wenden den Sinussatz an: a x = sin α sin 08 b x und ebenso = sin β sin 08. Also: sin α a= x sin 08 und ebenso sin β b= x sin 08. Somit gilt: sin α+ sin β s= a+ b= x. sin 08 Diese Gleichung lösen wir nach x auf und erhalten das gewünschte Ergebnis: sin 08 x= s. sin α+ sin β Für 5 gilt: (Winkelsummensatz im Dreieck) Also sin 08 f = = 0, sin 5 + sin 67 Ab jetzt haben wir den gleichen mathematischen Hintergrund wie im zweiten Teil n von b). Wir müssen also die Ungleichung f 0, nach n auflösen: n f < 0, n lg f < n > lg f n > 9,9... Es sind also 0 Drehungen mit entsprechenden Verkleinerungen nötig, damit der Flächeninhalt des letzten Fünfecks erstmals kleiner als 0 % des Flächeninhalts des Ausgangsfünfecks ist. Bemerkung: Wenn die Lösung empirisch durch Ausprobieren verschiedener Werte von n gefunden wird, ist dieser Weg mit voller Punktzahl zu bewerten. Insgesamt BWE

106 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 4. Fußballfeld a) Kleinstmögliche Fläche: m = m Größtmögliche Fläche: 0 75 m = 8 50 m Die größtmögliche Fläche ist um ca. 9 % größer als die kleinstmögliche Fläche. 4 b) Länge der Strecke BC : Der Abstand des Elfmeterpunkts E zur zum Tor parallelen Strafraumgrenze beträgt: 6,50 m m = 5,50 m. Der Elfmeterpunkt E, der Mittelpunkt von BC und der Punkt B (oder auch C) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: BC 5,50 9,5 BC 9,5 5,50 BC 4, Die Länge der Teilstrecke BC beträgt ca. 4,6 m. Die Länge der Strecke AB ist die Hälfte der Differenz aus Strafraumbreite und der berechneten Länge von BC. Also gilt für die Länge der Strecke AB : 6,5 7, AB,85 Die Länge von der Strafraumecke A zum Beginn des Kreissektors B beträgt ungefähr,9 m. 7 c) M sei der Mittelpunkt der Torlinie. Für die Strecke MD gilt: MD = + 9,5 = 0,5. Die Strecke vom Mittelpunkt der Torlinie M zum Punkt D ist 0,5 m lang. Nach dem Satz von Pythagoras gilt für die Länge der Strecke MB : 4,6 4,6 MB = + 6,5. Also folgt: MB = + 6,5 8, 05. Die Strecke MB ist kürzer als die Strecke MD. Es ist deshalb günstiger, beim Strafstoß am Punkt B zu stehen. Hinweis: Hier ist auch eine Argumentation über Kreisbögen möglich. Der Kreisbogen BC (bezogen auf den Kreis mit dem Mittelpunkt M) ist flacher als der Kreisbogen BC (bezogen auf den Kreis mit dem Mittelpunkt E). 5 06

107 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und d) Torbreite 7, m 7 m 0 m Der Winkel α ergibt sich als Differenz der Winkel α und α. Mit Hilfe der Umkehrung des Tangens erhält man α=α α 7, = arctan arctan 0 0 0,08 Der Schusswinkel beträgt etwa 0. 4 Insgesamt BWE Wassertank a) Oberfläche des zylinderförmigen Teils: O= π r + π rh O, 4 Farbmenge:,4 : 8 =,95 Man braucht ca. 4 l Farbe. 4 b) Überschlag, zum Beispiel: Der zylindrische Teil des Tanks hat ein Volumen von V 4 m, der den Tank umschreibende Zylinder hat ein Volumen von V 8 m. Da sicher V < VTank < V gilt, muss das Tankvolumen also etwa 5 m betragen. c) Berechnung des Volumens Aus bis zur halben Höhe ergibt sich h 0,75 m. V = π 0,5 0, 75 0,96 r 0,5 m (Strahlensatz) und Das Wasservolumen beträgt ca. 0, m³. 5 07

108 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 d) Graph B stellt den Sachverhalt richtig dar. Bei der Begründung muss jeweils der zeitliche Verlauf der Füllhöhe in Beziehung zur Form des Körpers gesetzt werden. Graph A: Zunächst linearer Anstieg, dann Verlauf parallel zur Zeitachse. Der zugehörige Körper ist prismenförmig (z.b. Quader, Zylinder usw.), der nach Zufluss einer gewissen Wassermenge überläuft. Graph C: Ausschließlich linearer Verlauf, der bei der Form des aus Kegel und Zylinder zusammengesetzten Körpers nicht zutreffen kann. Graph D: Zunächst langsame Erhöhung des Flüssigkeitsstandes, zugehöriger Körper verjüngt sich von unten nach oben, Widerspruch zur Form des Wassertanks. Graph E: Graph verläuft zunächst in Rechtskurve mit nachlassendem Anstieg (passt zum unteren Teil des Wassertanks) und anschließend waagerechtem Verlauf und damit Widerspruch zur Form des Wassertanks. Insgesamt BWE 6 5 Quelle: Bearbeitete Version der Aufgabe aus den KMK-Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Abschluss, Dreieck a) Wegen der Gleichschenkligkeit der Dreiecke ABC und DEC haben die vier Winkel α, β, γ und δ alle die Größe = 6. b) Die Dreiecke DEC und ABC sind ähnlich (sie stimmen nämlich in allen Winkeln überein). Ähnliche Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse. DE 8 Da = =, ist auch die Höhe des Dreiecks ABC eineinhalb Mal so lang AB,5 wie die des Dreiecks DEC. Da AD = s hs, ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC das,5² =,5 fache des Flächeninhalts des Dreiecks DEC. Eine direkte Begründung Bei ähnlichen Dreiecken ist das Flächenverhältnis gleich dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Seiten ist ebenso als vollständig anzuerkennen wie der Weg über die explizite Berechnung der beiden Flächeninhalte. 4 08

109 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und c) Für diese Flächenberechnung ist es sinnvoll, die Länge der Höhe h auf der Seite h DE zu bestimmen. Dies geht am einfachsten mit dem Tangens: tanδ =, also 4 h = 4 tan 6. Danach beträgt die Länge der Höhe h ca. 7,85 cm. Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich dann mit AD = DE h zu etwa,4 cm. d) Das Viereck ABED ist ein Trapez, da laut Aufgabenstellung die Seiten AB und ED parallel sind. Das Trapez ist spiegelsymmetrisch (zur Mittelsenkrechten durch AB und ED ), da die Winkel α und β gleich sind. Der Flächeninhalt lässt sich aus den Längen der Parallelenabschnitte und der Höhe gemäß A Tr a + c = h bestimmen. Die Höhe muss dazu noch bestimmt werden. Tr Dazu kann der zu c) entsprechende Ansatz verwendet werden: h = tan 6. Danach ist h Tr etwa,9 cm lang. Tr Damit ist der Flächeninhalt des Trapezes A 9,5 cm². Eleganter (und schneller) ist der Weg zum Flächeninhalt des Trapezes, wenn man aus b) ableitet, dass das Trapez den,5-fachen Flächeninhalt des Dreiecks DEC haben muss, und den in c) ermittelten Wert verwendet: A =,5 A,5,4 = 9,5 (cm ). Tr D Tr 4 e) Hier muss entschieden werden, ob DB länger oder kürzer ist als DC (oder gleich lang). 4 DC erhält man z.b. mit dem Ansatz: cosδ =. DC Danach ist die Strecke DC ca. 8,8 cm lang. Auch ein Ansatz mit dem Satz des Pythagoras mit der bekannten Höhe h und 4 cm als zweiter Kathete führt zum Ziel. Für die Bestimmung von DB kann man z.b. ein Lot auf AB fällen, dessen Länge das bekannte h Tr ist, und dann den Satz des Pythagoras verwenden: DB = 0 + h Tr ² 0, 74. Auch ein Ansatz mit dem Kosinussatz mit AB, AD (halbe Länge von DC!) und α führt zum Ziel. Ersichtlich gilt DB > DC, also liegt C innerhalb von K. Insgesamt BWE 6 09

110 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 7. Flurkarte a) Die Grenze zwischen den Grundstücken (Länge g) ist parallel zu AB (wegen der Gleichheit der angegebenen Winkel). Somit gilt nach dem. Strahlensatz g 75 = g = 8 = AC lässt sich im Dreieck ABC mit dem Kosinussatz ermitteln: AC = AB + BC AB BC cos 4. Danach ist die Strecke AC ca. 85,79 m lang. b) Die Außenzäune haben eine Gesamtlänge von l a = 8 m + 00 m + 85,8 m 6 m = 07,8 m. Dies ergibt Kosten von 07,8 4,5 = 486,5. Kosten für den Innenzaun: 96 9,85 = 945,60. Kosten für die Tore: 66,5 = 5,06. Gesamtkosten: 486,5 + 5, , 60 = 6584,8. 4 c) Wenn man für die Berechnung der Dreiecksflächen die Formel A D = a h verwenden will, so benötigt man eine Höhe. Sinnvollerweise werden die Höhen von C auf die beiden Parallelen gewählt: Für die Höhe h des großen Dreiecks (Grundstücke I + II) ergibt sich mit sin 4 h = und 00 sin h = eine Länge von ca. 66,9 m. Die Grundstücke I + II haben damit zusammen eine Fläche von ca. 4 8 m. Für die Höhe des kleinen Dreiecks (Grundstück I) ergibt sich mit sin 4 h = und 75 sin h = eine Länge von ca. 50,8 m. Das Grundstück I hat damit eine Fläche von ca. 409 m. a (Ebenso können die Dreiecksflächen direkt mit der Formel bestimmt werden.) A = a b sinγ Die Fläche des Grundstücks II ist die Differenz beider Flächen; Grundstück II hat damit eine Fläche von 87,565 m, also ca. 874 m². (Die Fläche des Grundstücks II lässt sich ebenso mit der Trapezflächenformel A Tr a + c = h bestimmen; hierzu ist die Höhe des Trapezes erforderlich, die sich Tr dann wieder als Höhendifferenz oder als Höhe eines End-Teildreiecks errechnen lässt.) 4 D 0

111 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und d) Die Länge der Leitung MC lässt sich mit dem Kosinussatz bestimmen: MC = 00² + 64² cos 4 67, 7. Die Leitung ist also knapp 68 m lang. e) Der Strahl MC teilt AB in zwei gleiche Teile. Da die Grenze zwischen den Grundstücken parallel zu AB verläuft, teilt der Strahl MC auch diese Strecke in gleicher Weise (. Strahlensatz). Sowohl beim Gesamtgrundstück (I + II) als auch beim Grundstück I wird durch die Leitung die verwendete Grundseite halbiert, ohne dass sich die jeweiligen Höhen ändern. Die Flächenformel AD = a ha enthält das Produkt von Grundseite und Höhe. Also haben die Teildreiecke jeweils die Hälfte der Fläche. Da das Trapez die Differenz der beiden Dreiecke bildet, muss die Leitung auch dessen Fläche halbieren. (Die Halbierung der Fläche des Trapezes lässt sich auch mit der Trapezflächenformel begründen, da ja beide parallelen Strecken halbiert werden.) Insgesamt BWE Windpark a) Der Durchmesser der Kreisfläche beträgt 6 m = m. Berechnung des Kreisflächeninhalts: π 6² = 804,47... Der Flächeninhalt des Kreises beträgt ca. 804 m². Vergleichsfläche der Turnhalle: 8 6 m = 648 m. 804, Die vom Windrad überstrichene Kreisfläche ist um ca. 4 % größer als die Fläche der Turnhalle. b) Der Rotor dreht sich in Sekunden -mal. Die Blattspitzen legen dabei folgenden Weg zurück: Umfang = π 6 = 0,06... [m]. In Sekunden legen die Blattspitzen ca. 0 m zurück, pro Sekunde also ca. 67 m, pro Stunde also ca.4 km. Die Blattspitzen drehen sich also mit einer Spitzengeschwindigkeit von mehr als 40 km/h.

112 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 c) Berechnung des dritten Winkels: γ= = 67. Für die Länge der Strecke BC gilt dann: BC 85 = sin 5 sin sin 5 BC = sin 67 BC = 40,64... Die Standorte B und C erfüllen die Bedingung. 4 d) Skizze: Berechnung der Höhe h c des Dreiecks ABC: sin 5 = hc AC hc = sin 5 7 h =,60... c Die Entfernung zwischen den Standorten C und D entspricht der doppelten Länge der Höhe h c :,6 = 44,. Die Entfernung zwischen den Standorten C und D beträgt ca. 44 m. D e) h ) tan 8 = x h= x tan 8 h ) tan = x + 00 h= x+ 00 tan ( ) P. für Skizze Nach Gleichsetzen erhält man ( x ) + 00 tan = x tan 8 ( ) 00 tan = x tan 8 tan 00 tan x = tan 8 tan x = 48,905...

113 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und Für die Höhe h folgt h= x tan 8 = 48,8... Der angepeilte Stahlturm ist ungefähr 48 m hoch. Insgesamt BWE Paranussbaum a) d π= 6 d = 5,09... Der Durchmesser beträgt etwa 5, m. b) Einsetzen in die Volumenformel für den Zylinder ergibt: d V = π 4 V = 875, Wird mit r =,55 m gerechnet, so erhält man V 878,4. 0,8 g cm = 0,8 t m Daraus folgt für die Masse: m m Stamm Stamm = VStamm 0,8 = 700,79... Wird mit V = 878,4 gerechnet, erhält man m = 70,704. Der Stamm wiegt gut 700 t. 4

114 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 c) Ein möglicher Weg geht über die zweimalige Anwendungen des Sinussatzes mit anschließender Anwendung des Kosinussatzes: ) Berechnung von PB im Dreieck PQB : ) Berechnung von PB im Dreieck PQB : ) Berechnung von BB im Dreieck PB B : B Nach dem Winkelsummensatz im Dreieck PQB gilt: γ = = 6. B δ Nun lässt sich die Länge der Strecke PB über den Sinussatz ermitteln: γ PB 00 = sin 49 sin 6 00 sin 49 PB = sin 6 PB = 7,6... Nach dem Winkelsummensatz im Dreieck PQB gilt: P α α β β Q 4 δ = = 5 Berechnung der Strecke PB über den Sinussatz: PB 00 = sin ( ) sin5 00 sin 9 PB =. sin 5 PB = 00, Berechnung der Länge von BB über den Kosinussatz: = + cos α B B PB PB PB PB BB = 87, Die Punkte B und B sind ca. 88 m voneinander entfernt. d) Zunächst muss der Abstand a der Baumstämme bestimmt werden. Die Differenz der Höhen beträgt: 6 m 49 m = m 87,66 m m Damit ergibt sich mit Pythagoras: a = 87,66 a = 87, a 4

115 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und Die Differenz zwischen beiden Abständen beträgt 87,66 m 87,4 m = 0,5 m. Da die Differenz zwischen dem durch das Vorwärtseinschneiden ermittelten Wert und dem tatsächlichen Wert nur ca. 5 cm (also eine Abweichung von weniger als 0, %) beträgt, ist die Methode in diesem Fall gut geeignet, um den Abstand der beiden Bäume zu bestimmen. 5 Insgesamt BWE Designerlampe a) Für das Volumen des Kegels gilt: Kegel V = π r h. Kegel Da die Höhe h des Kegels gleich dem halben Kugelradius R ist, gilt: R h 0,55. Der Kegelradius r lässt sich über den Satz des Pythagoras berechnen: R = r + h r r =, 0,55 = 0,9075 r = 0,95... Für das Kegelvolumen folgt: VKegel = π rkegel h = π 0,9075 0,55 = 0,56... Der Kegel hat ein Volumen von ca. 0,5 m. 5

116 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 b) Das gesuchte Volumen V Gas ergibt sich aus V Gas = V Kugel V Kegel V Kugelabschnitt. Das Volumen der Kugel ist V 4 Kugel R 5,575 m. Zur Berechnung des Volumens des Kugelabschnitts benötigt man die Höhe x des Abschnitts: x = R h = 0,55 m. Für das Volumen folgt mit der angegebenen Formel VKugelabschnitt x, x 0, Damit ergibt sich V Gas = 5,575 m 0,5 m 0,87 m = 4,8 m. Das sind ca Liter. c) Für die Kegelhöhe h gilt: h 0; R. Die Nullstellen des Graphen von V h liegen bei h = 0 und h = R. Im Falle h = 0 (Kegel entartet zu einem Kreis) hat die Lampe die Form einer Halbkugel, im Falle h = R (Kegel entartet zu einer Strecke der Länge R) hat sie die Form einer Kugel. d) Das Volumen des Kegels hängt neben seiner Höhe h auch vom Radius r seiner Grundfläche ab. Dieser lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bestimmen zu h + r = R r = R h oder h + r =, r =, h. Somit folgt für das Volumen des Kegels in Abhängigkeit von seiner Höhe h: V h = π R h h oder ( ) ( ) V( h) = π (, h ) h. Insgesamt BWE 7 4 6

117 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und. -Euro-Münze a) Eine Münze ist durch einen Zylinder modellierbar. Mit V = π r² h, dem halben Durchmesser als Radius und der gegebenen Höhe Zyl ergibt sich V Münze 45,69mm³,5 cm³. Ebenso bestimmt sich das Volumen des Mittelteils zu ca. 57,4 mm³. Also hat das Mittelteil einen Volumenanteil von 57,4 49,96 % 45,69. Der Volumenanteil des Mittelteils beträgt also ziemlich genau 50 %. b) Der Umfang der Münze bestimmt sich mit U= π d zu 80,90 mm. Wenn auf dieser Strecke 50 Kerben liegen, so haben diese einen Abstand von etwa 0, mm (oder, anders formuliert, jeder Millimeter Rand hat drei Kerben). c) m Mit ρ = ergibt sich die durchschnittliche Dichte zu ca. 0,0074 g/mm oder V 7,4 g/cm. Da der Mittelteil praktisch das halbe Volumen aufweist, die Dichte seiner Legierung aber geringer ist, muss die Masse des Mittelteils unter der Hälfte der Gesamtmasse liegen. 5 d) Für jede neu hineingelegte Münze gilt: Das verdrängte Wasser hat das Volumen der Münze. Es bildet einen Quader mit derselben Grundfläche wie der Würfel. Die Höhe dieses Quaders ist die Höhenzunahme h des Wasserspiegels: Münzvolumen 45, 69 h =, 7. Quadergrundfläche 900 Der Wasserspiegel steigt also linear, und zwar mit jeder neuen Münze um ca.,7 mm. Das Gefäß läuft über, wenn der Wasserspiegel um mehr als 5 mm steigt. Bei Münzen steigt der Wasserspiegel um ca. 4 mm. Bei Münzen läuft das Gefäß über. Also: Man kann Münzen hineinlegen, ohne dass das Wasser überläuft. 5 e) Mit jeder neu aufgelegten Münze steigt der Wasserspiegel um ca.,7 mm, der Münzstapel um, mm. Da die Münze um (, mm, 7 mm = ) 0,9 mm dicker ist als der Anstieg des Wasserspiegels pro Münze, reicht der Münzturm mit jeder neuen Münze um eben diese 0,9 mm näher an den Wasserspiegel heran. Bei einer anfänglichen Wasserspiegelhöhe von 0 mm wird diese Differenz bei der. Münze aufgebraucht sein: Münzen haben eine Höhe von 4, mm, (vollständig untergetauchte) Münzen erhöhen den Wasserspiegel von 0 mm auf 4,0 mm. (Streng genommen taucht auch schon die. Münze nicht vollständig unter.) Alle weiteren Münzen landen auf dem Münzenturm, ohne überhaupt ins Wasser zu tauchen: Sie verdrängen kein weiteres Wasser, der Wasserspiegel wird nicht mehr weiter steigen, das Wasser läuft nicht über. 5 Insgesamt Punkte 5 5 7

118 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0. Bogen-Dreiecke a) Der Umfang u besteht aus drei gleichen Bögen mit r = a und dem Bogenwinkel 60. Somit gilt u a. 6 Mit dem gegebenen a ergibt sich für u eine Länge von ca.,4 cm. b) Hier bietet es sich an, die Flächen der drei durch die Bögen geschaffenen Sektoren zu addieren und davon zweimal den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks zu subtrahieren. (Ebenso kann man mit einem Sektor beginnen und die Fläche der zwei fehlenden Möndchen als Differenz von Sektor und gleichseitigem Dreieck bestimmen. Der Rechenaufwand ist auch hier derselbe) Um den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks zu bestimmen, wird dessen Höhe h benötigt. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² = + h², a also h= a. Somit ist der Flächeninhalt AD = a ². 4 Somit gilt für den gesuchten Flächeninhalt: a ABD a a. 6 4 Mit dem gegebenen a ergibt sich der angegebene Wert von 70,477 cm². 4 c) a Die Hilfestellung liefert: r h. Mit h= a ergibt sich r a. a Somit gilt für den Flächeninhalt des Umkreises: AU r. Mit dem gegebenen a ergibt sich für A U ein Flächeninhalt von ca. 04,7 cm. AU Nun gilt mit den gegebenen bzw. errechneten Werten, A. Der Umkreis hat also einen um etwa 49 % größeren Flächeninhalt. (Hinweis: Dieser Wert lässt sich auch durch eine allgemeine Betrachtung erhalten: A U,486 ) A BD BD 4 8

119 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und d) Wichtig ist zunächst die Erkenntnis, dass bei einem Quadrat nicht ein Eckpunkt den beiden anderen (im gleichen Abstand) gegenüberliegt. Möchte man also erhalten, dass ein durchgehender Bogen durch zwei Eckpunkte geht, muss sein Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten der gegenüberliegenden Seite liegen. Die Forderung nach gleichen Bögen bedingt, dass die Lage der gewählten Mittelpunkte bezüglich der Quadratseiten gleich ist. Natürlich gibt es viele solcher Bogen-Vierecke auch der Umkreis ist möglich, denn der Mittelpunkt des Umkreises eines Quadrats liegt auf allen vier Mittelsenkrechten im gleichen Abstand von den Quadratseiten. Besonders nahe liegt die Konstruktion, die als Mittelpunkte der Bögen die Mittelpunkte der Quadratseiten verwendet: Pfadfinderzelt a) Der 7 m lange Teil einer Zeltstange, die Strecke vom Fußpunkt dieser Stange zum Zeltmittelpunkt und die Zelthöhe bilden ein rechtwinkliges Dreieck, auf das man den Satz des Pythagoras anwenden kann: h 49 s. Mit s = 5 ergibt sich: h = 6 49,. Die Höhe des Zeltes beträgt ca. 4,9 m. 4 b) Der Zeltboden besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken jeweils mit der Seitenlänge s = 5 m. Für die Höhe dieser Dreiecke gilt nach dem Satz von Pythagoras: 9

120 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 h s + = s h s = s 4 h = s. Insgesamt ergibt sich für die Bodenfläche folgender Flächeninhalt: s s A( s ) s = 6 =. Mit s = 5 ergibt sich: 5 75 A = = = 64, Der Flächeninhalt des Zeltbodens beträgt ca. 65 m. c) Die Zeltplanen zur Bespannung setzen sich zusammen aus 6 gleichschenkligen Dreiecken mit jeweils der Basislänge s = 5 m und den Schenkeln der Länge 7 m. Wieder mit dem Pythagoras erhält man für jedes dieser Dreiecke als Basishöhe h 49 6, 5 4, 75. B Für die Gesamtfläche der Bespannung ergibt sich 5 4, 75 A B = 6 = 5 4, 75 = 98, Es werden ca. 98 m Zelttuch benötigt. 5 d) Das Zelt ist mathematisch gesehen eine Pyramide (mit sechseckiger Grundfläche). Für das Volumen einer Pyramide gilt die Formel: V Grundfläche Höhe =. Für den umbauten Raum W erhält man mit den Ergebnissen aus a) und b): ( 6) 75 W = = 75 = 06, Das Zelt hat ein Volumen von ca. 06 m. e) Das Volumen des Zeltes wird Null, wenn entweder s = 0 (die Zeltstangen stehen lotrecht in der Mitte das ist praktisch unmöglich) oder h = 0, d.h. s = 7 (die Zeltstangen liegen flach auf dem Boden und kreuzen sich im Mittelpunkt praktisch gesehen ist auch das kein Zelt mehr). Die Nullstellen der Funktion W sind also bei 0 und 7. 0

121 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und Zur Bestimmung des Funktionsterms von W wurde in a), b) und d) schon Vorarbeit geleistet. Wenn aber dort nur mit dem konkreten Wert s = 5 gerechnet wurde, müssen hier die allgemeinen Terme noch dargestellt werden. s 49 s As () hs () W( s) (49 s ) s. Man kann die Nullstellen auch an diesem Term ablesen. Aus der Zeichnung kann man nun schätzen, dass der Maximalwert von W an einer Stelle s m zwischen s = 5 und s = 6 angenommen wird. Deshalb berechnen wir (mit dem TR) die Werte W(5), W(6) und einen Zwischenwert, z.b. W(5,5), und erhalten: W(5) 06 (vgl. d) W(5,5) und W(6). Da der Wert in der Mitte größer als beide Randwerte ist, muss die Maximalstelle in dem betrachteten Intervall [5 ; 6] liegen. Beim Aufbau des Zeltes erhält man also das größte Volumen (von mehr als m ), wenn man für s den (hier nicht genau berechneten) Wert s m zwischen 5 m und 6 m wählt. Andere sinnvolle Vorgehensweisen sind ebenso zulässig. Insgesamt BWE Zeltbau a) Der 6 m lange Teil einer Zeltstange, die 4 m lange Strecke s vom Fußpunkt dieser Stange zum Zeltmittelpunkt und die Zelthöhe bilden ein rechtwinkliges Dreieck, auf das man den Satz des Pythagoras anwenden kann: h( s ) = 6 6 = 4, , 47. Die Höhe des Zeltes beträgt 4,47 m. 5 b) Der Zeltboden besteht aus 5 gleichschenkligen Dreiecken jeweils mit dem 60 Winkel 7 = an der Spitze. 5

122 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Für die halbe Basislänge d gilt: d sin 6 = und damit d = 4 sin 6. 4 Für die Höhe h B gilt: hb cos 6 = und damit h B = 4 cos 6. 4 Für die Fläche eines solchen Dreiecks gilt also: d h A = = d h= 4 sin 6 4 cos 6. Für die Bodenfläche gilt damit: A = 5 4 sin 6 4 cos6 A = 8,04... Insgesamt hat die Bodenfläche also einen Flächeninhalt von etwa 8 m. Ersetzt man in obigen Rechnungen die 4 m durch die Variable s, erhält man die Formel für die Bodenfläche: As ( ) 5 sin6cos6 s. 6 c) Das Zelt ist mathematisch gesehen eine Pyramide (mit fünfeckiger Grundfläche). Für das Volumen einer Pyramide gilt die Formel: Grundfläche Höhe Volumen =. Mit den Ergebnissen aus a) und b) erhält man: 5 sin 6 cos W = = 56, , 7. Das Zelt hat ein Volumen von ca. 56,7 m. 4 d) Die Stehhöhenfläche am Boden ist kongruent zu der Fläche, die entstehen würde, wenn man in,80 m Höhe ein Dach einziehen würde. Die Stehhöhenfläche ist also auch ein regelmäßiges Fünfeck mit einem Radius (Eckenabstand zum Mittelpunkt) s, den man mit Hilfe eines Strahlensatzes berechnen kann (vgl. Skizze neben der Aufgabenstellung): x 8, = 4 h 7, x =. h Außerdem gilt: s' 7, = 4 x = 4. h h kennen wir aus a) : h = 6 6 = 0 und damit

123 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 7, 0 s' = 4 = 4 0, 6 0 =, Nach der allgemeinen Formel aus b) können wir nun den zur Strecke s gehörende Flächeninhalt des Fünfecks ausrechnen: A( s') s', = 5 sin 6 cos 6 =, Das Zelt hat ca.,58 m Bodenfläche mit Stehhöhe. 5 Insgesamt BWE Vom Stern zur Pyramide a) Der Stern hat 4 Symmetrieachsen (jeweils zwei durch gegenüberliegende Spitzenpunkte und zwei durch gegenüberliegende Basispunkte). b) Es gibt mehrere Konstruktionsmöglichkeiten. Zum Beispiel kann eine Konstruktionsbeschreibung aus folgenden Abschnitten aufgebaut sein: Konstruktion des Quadrats ACEG Konstruktion der 4 gleichseitigen Dreiecke auf den Quadratseiten. 4 c) Das Quadrat ACEG ist Grundfläche der Pyramide. Weiterhin sind die zur Bestimmung des Volumen erforderlichen Teile zu benennen: Quadratseite a Dreieckshöhe h D Pyramidenhöhe h P Erstellen des Hilfsdreiecks aus a, h D und h P. h D = V P = a a a a, h P = ( ) ( ) a h a P = (,54 cm). = ( 9,5 cm ).

124 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 d) Angabe einer der beiden Bedingungen: Die Länge der Basishöhe h D des gleichschenkligen Dreiecks muss größer sein als die halbe Seitenlänge des Quadrats: h D > a. Die Länge eines Dreiecksschenkels ist größer als die Hälfte der Diagonalenlänge des Quadrats. e) Das Volumen der Pyramide würde sich bei gleich bleibender Grundfläche dann verdoppeln, wenn sich die Pyramidenhöhe h P verdoppeln würde. a a 5 Da sich (siehe c)) hp = hd² und da hd = 4 a² = a weit mehr als verdoppelt hat, ist das neue h P deutlich mehr als das Doppelte der ursprünglichen Höhe: Das Volumen ist also größer als das doppelte Volumen. (Wenn man die Angaben durchrechnet, so erhält man für die größere Pyramide: a 5 5 a 4 hd = 4 a² = a; hp = a² = a ( 9,5 cm) ein Volumen 4 von V P = a h P 78,0 cm.) Insgesamt BWE 5 5 Quelle: Bearbeitete Version der Aufgabe aus den KMK-Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Abschluss, Achteck a) Aus dem Satz des Pythagoras folgt: a = h + h = h a= h. b) Die beiden Radien r des Inkreises und R des Umkreises lassen sich mit den Winkelfunktionen berechnen: r R Das Achteck wird in acht gleichschenklige Dreiecke zerlegt, deren Zentrumswinkel 45 beträgt. Der Radius r teilt ein solches Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, bei denen R die Hypotenuse darstellt, r die Ankathete zum Winkel,5 a und dessen Gegenkathete. Somit gilt 4

125 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und a tan,5 a tan,5 = =, 07 r r a sin,5 a sin,5 = =,07 R R Für das Verhältnis der beiden Flächeninhalte gilt: A A U I π R² tan,5 = =,76 π r² sin,5. a a c) Die geforderte Begründung kann auf viele Weisen geschehen: Geschickte Zerlegung in Diagonalendreiecke: Die Diagonalen zerlegen das Achteck in acht kongruente und damit flächengleiche Dreiecke. Jedes von ihnen hat ein Achtel der Gesamtfläche. Im schraffierten Gebiet bleiben zwei Dreiecke übrig, die sich längs der senkrecht eingezeichneten Linie durch das Zentrum in je zwei Teildreiecke zerlegen lassen, die sich je wieder zu einem der acht Diagonalendreiecke zusammenlegen lassen. Also ist der Flächeninhalt des schraffierten Rechtecks gleich dem von vier der acht flächengleichen Diagonalendreiecke und damit gleich der Hälfte der Fläche des Achtecks. 7 4 Geschickte Zerlegung in Dreiecke und Quadrate: Bezeichnen wir die Achtecksseite mit a. Die beiden zusätzlichen Senkrechten zerlegen das Achteck in das zentrale Quadrat, dessen Kantenlänge a ist und das vollständig im schraffierten Bereich liegt, vier kongruente Rechtecke, von denen je zwei schraffiert und zwei nicht schraffiert sind, und vier kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenuse jeweils a ist und die alle nicht schraffiert sind. Die vier Dreiecke aber lassen sich zu einem Quadrat mit der Kantenlänge a zusammenlegen. Also haben die vier Dreiecke zusammen denselben Flächeninhalt wie das zentrale Quadrat. Damit ist die Aussage bewiesen. a 5

126 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Zerlegung und Berechnung der Einzelflächen: Anknüpfend an die Betrachtungen von eben kann natürlich auch gerechnet werden: Das zentrale Quadrat hat den Flächeninhalt a². Da a die Diagonale der rechtwinkliggleichschenkligen Dreiecke ist, beträgt deren a Kantenlänge (Anwendung des Satzes des Pythagoras oder Formelwissen). Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke ist a damit F= ( )² = a². 4 Die Rechtecke haben die Seitenlängen a und a F= a = a ². Das gesamte Achteck hat damit den Flächeninhalt F8 = a² + 4 a² + 4 a² = (+ ) a². 4 Die schraffierte Fläche hat einen Inhalt von Fs = a² + a² = ( + ) a², a und damit den Inhalt und dies ist ersichtlich die Hälfte des Inhalts des Achtecks. a Insgesamt BWE Kaffeefilter a) Das Volumen des Kaffeefilters ergibt sich aus der Summe der Volumen des dreiseitigen Prismas und der beiden halben Kreiskegel: Das Volumen des dreiseitigen Prismas lässt sich mit den gegebenen Größen berechnen: VPr = AD h AB. Es ergibt sich V = Pr 9 6 = 4. Die beiden Halbkegel werden zu einem vollständigen Kreiskegel zusammengesetzt. Dessen Höhe ist wieder h, der Radius V = π r² h, d.h. K VK = π 6² 9 9,9. r = BC = 6. Somit ergibt sich mit Der ganze Filter hat also ein Volumen von etwa 66 cm. 4 6

127 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und b) Für die Berechnung der Masse des Filters wird dessen Oberfläche benötigt. Die Oberfläche lässt sich zerlegen in zwei Rechtecke und den Mantel des zusammengesetzten Kreiskegels. Hierbei sind die Mantelhöhe des Kreiskegels und die lange Seite AF der Rechtecke gleich. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich BC AF = + h² = + 9 = 7 0,8. Die Formel für die Mantelfläche des Kreiskegels angewendet auf diese Situation ergibt K A = π BC AF. Damit erhält man die gesamte Oberfläche zu A = π 7, Für einen Filter werden ca. 4 cm Papier benötigt. Da ein Quadratmeter des verwendeten Filterpapiers 50 g wiegt, hat der Filter eine Masse von etwa,67 g. 6 c) Der Kreisbogen BH hat die Länge eines Viertels des Umfangs der Grundfläche des Kreiskegels. Dieser Bogen hat den Radius l. Zwischen Winkel, Radius und Bogenlänge besteht die Beziehung 60 BH ' ' α =. π l Es ergibt sich α 49,9, also ist der Winkel praktisch 50 groß. d) Die Breite der Schachtel ist die im Aufgabenteil b) berechnete Länge AF. Die Länge ergibt sich aus l = sinα,6. Die Schachtel hat also die Mindestmaße von 0,9 cm x,6 cm Stadion a) Die 400-m-Laufbahn besteht aus zwei Geraden mit je 9 m Länge und zwei Halbkreisen mit einem Gesamtumfang von (400 m 9 m) = 4 m. Ein Halbkreis hat damit eine Länge von ca. 07 m. 7

128 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 b) Die Breite des Rasens entspricht dem Kreisdurchmesser der Kurventeile der Laufbahn. Bei einer Länge des Rasenfeldes von 90 m haben die Kurventeile die einen vollen Kreis bilden eine Gesamtlänge von 0 m. Somit ist der Durchmesser dieses Kreises 0 m 70,0m. π Ein Rasen mit einer Breite von 75 m kann also nicht in der Kurve untergebracht werden. (Hinweis: Es kann natürlich auch anders herum argumentiert werden zwei an den Rasen angesetzte Halbkreise hätten zusammen eine Länge von π 75m 5, 6m, was zusammen mit den Geraden mehr als 400 m ergibt.) c) Parallel zur Startbahn ist das Rasenende vom Abwurfkreis aus gemessen in einer Entfernung von 97 m. Keine Gefahr! Wesentlich ist nur die Betrachtung, wenn der Hammer entlang der linken Begrenzungskante quer über den Rasen fliegt: Es entsteht ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge 85 m und einem Winkel von 45, bei dem nach der Länge der Gegenkathete gefragt ist. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: x m x x 85 60,0... Die Gegenkathete hat eine Länge von etwa 60,0 m. Da der Abwurfkreis noch 4 m in die Richtung Gegengerade verschoben ist, landet der Hammer knapp 4 m von der Gegengeraden entfernt, also noch auf dem Rasen. d) Der Innenradius der Außenbahn ist um 7,0 m = 8,4 m größer als der der Innenbahn, also 4,4 m. Damit beträgt die Gesamtlänge des kreisförmigen Teils der 4 m 8,4 m 66,4 m. Außenbahnkurve Das macht gegenüber der Gesamtlänge der Innenbahnkurve von 4 m einen Unterschied von 5,4 m aus, der durch den Vorsprung ausgeglichen werden muss. Dieser Vorsprung bildet den Bogen b8. 8 r 5,4 60 Da b8, ergibt sich 8 70, ,4 Für b4 kann man die analoge Rechnung aufstellen, bei der der Radius der Bahn aber nur um,6 m größer ist als der der Innenbahn. Es ergibt sich 4, ,9 4,0 Der Winkel ist also weniger als halb so groß. 8

129 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und e) Die Frage ist mit dem Satz des Pythagoras entscheidbar. Die Katheten des betrachteten rechtwinkligen Dreiecks sind zum einen die Bahnverlängerung von 7 m, zum anderen der Kurvenradius von 4 m plus die Hälfte einer Bahnbreite, also 4,60 m. Die Hypotenuse hat dann eine Länge von 8,55 m. Das heißt, die Startblöcke für diesen Läufer befinden sich 4,55 m vom Innenrand der Kurvenbahn entfernt (und damit 5,05 m von ihrem Außenrand), also innerhalb der Laufbahn. 4 Insgesamt BWE Rettungsring a) Die Messung ergab: CD, m und AB 0,8 m. Man erkennt daraus, dass CD AB 0,4 m r MA 0, m. 4 4 R MN AB r 0,8 m 0, m m, also R = 0,5 m. 4 b) Einsetzen der Werte von a) in die gegebenen Formeln für den Torus ergibt: V 0,0987 m 00 Liter und O,974 m² m². 4 c) g kg Zunächst: 0, = 0,. cm l kg Der Ring hat eine Masse von etwa 00 l 0, = 0 kg. l Wenn er ganz eintaucht, verdrängt er eine Wassermasse, die fünfmal so groß ist, also etwa 00 kg. Der Ring kann also eine Maximallast von etwa 80 kg tragen, bis er ganz eintaucht, solange die getragene Last sich völlig außerhalb des Wassers befindet. (Sollte die Last teilweise ins Wasser eintauchen, erhöht sich die Tragfähigkeit des Rings um den Auftrieb dieser eingetauchten Teile; man kann also sagen, dass 80 kg die minimale Traglast darstellt.) 4 d) Mit den gleichen Überlegungen wie in b) erhält man: D+ d D d R = und r = 4 4 Setzt man diese Ergebnisse in die Volumenformel für den Torus ein, dann gilt: 9

130 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 π ( D+ d) ( D d) π² V = = ( D² d²) ( D d). Setzt man diese Ergebnisse in die Oberflächenformel für den Torus ein, so ergibt sich: D+ d D d π ² O= 4 π ² = ( D² d²) (Die Aufgabenstellung ermöglich ebenso den Beweis durch Umrechnung der Formeln mit D und d in die Formeln mit R und r.) e) Soll der Schlauch bei D = const sein maximales Volumen haben, so muss d = 0 gelten; der Torus mit dem maximalen Volumen unter allen Tori mit gleichem Außendurchmesser hat also kein inneres Loch. π ² D³ Dann ist Vmax = und damit Vmax 0,08 m³. Insgesamt BWE Partyzelt a) Das Zelt besteht aus einem Würfel und einer aufgesetzten quadratischen Pyramide. Der Würfel hat eine Höhe von 5 m. Die Höhe h der Pyramide kann mit folgender Idee berechnet werden: Ein Eckpunkt des Grundquadrats der Pyramide, der Mittelpunkt der Diagonalen d des Grundquadrats und die Spitze der Pyramide bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse hat die Länge a = 5 m. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: d + h² = a². Die Diagonale des Quadrats hat die Länge d a a a a. Also ergibt sich mit a h a a a a 4,5 die Pyramidenhöhe zu h,56 m. Damit ist die Gesamthöhe tatsächlich etwa 8,56 m, also gut 8,5 m. Hinweis: Die aufgesetzte Pyramide ist die Hälfte eines regelmäßigen Oktaeders. Sollte dies erkannt und ausgenutzt werden, ist dies besonders anzuerkennen. 0

131 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und b) Das Volumen setzt sich aus dem Volumen des Würfels und dem der aufgesetzten Pyramide zusammen: V = a³ + a² h. Mit dem gegebenen a und dem aus dem in a) berechneten Wert für die Pyramidenhöhe h ergibt sich ein Volumen von etwa 54,5 m³. c) Die Umhüllung besteht aus vier Quadraten mit der Kantenlänge a und aus vier gleichseitigen Dreiecken mit der Kantenlänge a. Die Höhe h s eines gleichseitigen Dreiecks bestimmt sich mit dem Satz des Pythagoras zu h s a h a a 4 a. (vergleiche Aufgabenteil a). Somit ergibt sich die nötige gesamte Planenfläche zu A= 4 a² + 4 a hs = (4 + ) a². Mit dem gegebenen a sind das etwa 4, m² und damit weniger als 50 m². 4 d) Erster Weg: Sei M der Mittelpunkt einer vertikalen Stange, S der Spitzenpunkt des Zeltes. Die Strecke MS entspricht der Girlande und bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten M, S und H. H liegt senkrecht unter S in einer Höhe von,5 m, also 6,06 m unterhalb von S. Die Strecke HM hat wieder die Länge d. Mit dem Satz des Pythagoras gilt dann: MS d HS d h,5,5,5,5 6, Die Girlande ist damit etwa 6,99 m lang. 4 Anderer Weg: Sei E ein Eckpunkt der Pyramide. Dann bilden E, S und M ein Dreieck, bei dem der Winkel bei E 5 beträgt und für die Längen der Seiten ES und ME gilt: ES = a und a ME =.

132 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Nach dem Kosinussatz gilt dann: a a 0 MS = a + a cos 5. 4 Eingesetzt und ausgerechnet ergibt sich die Länge der Girlande zu etwa 6,99 m. e) Betrachtet wird das rechtwinklige Dreieck HMS mit dem rechten Winkel in H (H senkrecht unter S). Für die Strecken HS und MH gilt a a a HS h und a MH Der Winkel α bestimmt sich z.b. über den Tangens: HS tanα = MH = + a a a = + α 59, Danach ist der Winkel α knapp 60 groß. Ebenso lässt sich der Winkel aus der Girlandenlänge und der halben Quadratdiagonale mit dem Kosinus und aus der Girlandenlänge und der Strecke MH mit dem Sinus bestimmen. 4 Insgesamt BWE Eishockeypucks Hinweis: Die Maße eines Eishockeypucks werden in der englischen Maßeinheit inch angegeben. Der Durchmesser beträgt damit inch und die Höhe inch. Durch Umrechnung ergeben sich die krummen Zahlenwerte. a) Der Puck hat die Form eines Zylinders. Damit ist das Volumen bestimmbar mit VZyl =π r² h. Die Höhe und der Radius als halber Durchmesser sind in der Aufgabenstellung gegeben. Also: V Puck =π,8²,54 = 5,8.... Das Volumen eines Pucks beträgt tatsächlich ungefähr 6 cm³.

133 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und b) Um die Frage zu beantworten, muss zunächst das Gesamtvolumen der Schachtel bestimmt werden: Die Schachtel ist ein Quader mit quadratischer Grundfläche. Dessen Volumen bestimmt sich mit VS = a² h. Die Seitenlänge des Quadrats entspricht dem doppelten Durchmesser der Pucks; damit ist a = 5,4 cm. Da drei Pucks übereinander liegen, beträgt die Höhe h =,54 cm = 7,6 cm. Innenvolumen der Schachtel: V S = 5,4² 7,6 769,80. Die Schachtel hat ein Innenvolumen von ca. 770 cm. Von diesem Volumen muss das Volumen der Pucks abgezogen werden. Volumen der Pucks: V = V Puck = 89, Das Gesamtvolumen der Pucks beträgt ca. 90 cm. Damit ist das Volumen der Luft VLuft = VPr V 79,8 cm³. Etwa 80 cm³ Luft sind in der Schachtel enthalten. Prozentanteil der Luft: V V Luft Schachtel = 0, Der Luftvolumenanteil der Schachtel beträgt ca.,5 %. Hinweis: Ein anderer Weg ist ebenso denkbar Bestimmung der Querschnittsfläche Bestimmung der von den Pucks bedeckten Fläche Bestimmung der nicht von Pucks bedeckten Anteils an dieser Fläche (entspricht dem Volumenanteil) Berechnung des Luftvolumens aus der nicht von Pucks bedeckten Fläche und der Höhe der Schachtel 7 c) Sei d die Diagonalenlänge der quadratischen Schachtel. Die Kantenlänge der Schachtel ist der doppelte Durchmesser eines Pucks d Puck. d d Dorn Somit gilt: d ² = ( 7,6)² + ( 7,6)², also d = 7, 6 (cm). Der Durchmesser des Dorns ddorn findet sich d Puck auf dieser Diagonalen zweimal wieder zum einen im eingezeichneten Dorn selbst, zum anderen in zwei gleichen symmetrischen Teilen in den Ecken der Schachtel. Somit gilt: d = 7, 6 + ddorn, also umgeformt: 7, 6 = 7, 6 + ddorn d = 7, 6 7, 6 = 7, 6 ( ) d Dorn Dorn ( ) = 7,6 =,56... Also kann der Dorn einen maximalen Durchmesser von etwa,5 cm aufweisen. 4

134 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Es sind natürlich auch andere Lösungsansätze denkbar, z.b. Aufteilung in 4 Quadrate d) Erster Weg über Ausnutzen der Abbildungen: Kreis im Quadrat: π r π r π = = 0, ,5%. r 4r 4 ( ) Der nicht bedeckte Anteil des Quadrats beträgt ca.,5 %. 4 Kreise im Quadrat: 4 π r4 4 π r4 π = = 0, ,5%. 4r 6r 4 ( ) 4 4 Der nicht bedeckte Anteil des Quadrats beträgt ca.,5 %. Analog für neun Kreise im Quadrat: 9 π r9 9 π r9 π = = 0, ,5%. 6r 6r 4 ( ) 9 9 Der nicht bedeckte Anteil des Quadrats beträgt ca.,5 %. n Kreise in Quadrat: n π rn n π rn π = = 0, ,5%. n r 4n r 4 ( ) n n Der nicht bedeckte Anteil des Quadrats beträgt ca.,5 %. Dieser Weg lässt sich auch zu einem einzigen Gedanken verdichten: π Anteil = n² π = 0, 5. n 4 Wenn ausschließlich der allgemeine Nachweis geführt wird, ist die volle Punktzahl zu erteilen. Insgesamt BWE 5 6. Ballschachtel a) Das regelmäßige Sechseck hat die Kantenlänge s = 9 cm. Ein regelmäßiges Sechseck ist aus sechs gleichseitigen Dreiecken aufgebaut. Der gesuchte Radius ist die Höhe dieser Dreiecke. Diese Höhe lässt sich über die Anwendung des Satzes des Pythagoras berechnen: r = s² s, also 4

135 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und r = 9 9 = 8 0, 5 = 60,75 7,794. Die Bälle haben tatsächlich einen Radius von etwa 7,8 cm. Die direkte Verwendung der Formel der Höhe h in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge s ist selbstverständlich auch zugelassen: h = = 4,5 7, 794. D s 4 b) Die Gesamtfläche besteht aus sechs Rechtecken und zwei regelmäßigen Sechsecken. Für die Rechtecke ist noch die Höhe zu bestimmen. Sie beträgt drei Balldurchmesser plus 6 cm Styropor-Dicke, also h= 6 r+ 6 = 6 60, ,77. Ein Sechseck lässt sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammensetzen, deren Kantenlänge s und deren Höhe das bereits berechnete (oder übernommene) r ist. Damit ist die Gesamtfläche A= 6 s h+ 6 s r = 6 s ( h+ r). Die Gesamtfläche hat damit etwa 70 cm². 4 c) Das Volumen der drei Bälle ist das Volumen dreier Kugeln mit dem Radius r = 60, 75 cm 7,8 cm : VB 4 = π r³ ( ) = 4 π 60, 75 = 5 950, ,69 Das Volumen der Schachtel ist das Volumen eines Sechseckprismas mit bekannter Höhe und Grundfläche: V Pr = 6 s r h = 04, ( ) = , , Das Volumen der Schachtel beträgt ca. 04,65 cm. 5950,69 Der Volumenanteil der Bälle ist damit 0, ,6 % 04,65. 5 d) Die lange Seite des Kartons hat eine Länge von 4r in ihrer Richtung berühren sich gerade zwei Bälle. Die kurze Seite ist die Diagonale eines Sechsecks und hat damit die Länge s. Da r = s, ergibt sich für das Verhältnis Länge der kurzen Seite : Länge der s langen Seite =, wie gefordert. 4 s 5

136 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 e) Die Antwort lautet: Nein. Die Oberfläche steigt zwar linear mit der Zahl der Bälle, ist aber nicht zur Zahl der Bälle proportional. Der Grund hierfür liegt darin, dass bei jeder Anzahl von Bällen also auch bei null Bällen Grund- und Deckfläche und die beiden Streifen an den Seitenwänden, hinter denen das Styropor liegt, vorhanden sind. Der Teil der Seitenflächen, hinter dem die Bälle untergebracht sind, steigt allerdings proportional zur Zahl der Bälle. Insgesamt BWE 6 4. Meteorit a) Am Anfang handelte es sich um eine Kugel mit dem Radius r 0 = 4 m. 4 Mit VK = π r³ ergibt sich das Volumen zu V 0 68 m³. Mit der gegebenen Dichteformel ergibt sich die Masse zu m0 858t. b) Die beobachtbare Bahn bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 40 km und (75 km 8 km =) 57 km. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich die Bahnlänge zu ca. 69,6 km. c) Der zeitliche Verlauf des Radius ist laut Aufgabenstellung eine lineare Funktion. Beginnend bei r 0 = 4 m, verringert er sich pro Sekunde um 0,5 m. (Die Funktionsgleichung ist also rt ( ) = 4 0,5 t.) Das zugehörige Diagramm: d) Pro Hundertstelsekunde reduziert sich der Radius um (0,5 m / 00 = ) 5 mm. Also ist r = 5mm. Mit den gegebenen Formeln für das Volumen der Kugelschale und für die Dichte ergibt sich m= ρ 4 π r² r = 00 4π 4² 0,005 kg 0 kg. Nach zwei Sekunden hat sich der Radius auf m verringert. Der Massenverlust ist deswegen nur noch m = 00 4π ² 0,005 kg 80 kg. 6

137 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und e) Die geforderte Begründung ist die Verallgemeinerung der Beobachtung und Rechnung aus d): Da im Lauf der Zeit der Radius (linear) sinkt, sinkt bei konstantem r die Oberfläche quadratisch und damit auch der Massenverlust der ja mit dem Quadrat des Radius geht in gleicher Weise. 4 Für das Volumen Vt () gilt: Vt () = π r() t, und da rt ( ) = 4 0,5 t, ergibt sich die angegebene Formel. (Der zweite Term ist lediglich eine Ausmultiplizierung des Binoms.) (Hinweis: Wie man sieht, sinkt das Volumen mit der. Potenz der Zeit. Den Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Verlauf des Volumenverlusts der Volumenveränderung und des Volumens zu klären, ist nicht Ziel dieser Aufgabe.) Insgesamt BWE Das neue Rosenbeet a) Die Fläche der beiden kleinen Dreiecke beträgt jeweils 4,5 m², die der beiden großen jeweils 4,5 m². Das ist leicht ersichtlich, wenn man die jeweils gegenüberliegenden Dreiecke zu einem Quadrat zusammenfügt. Der Inhalt der restlichen Rasenfläche beträgt also 58 m². Die Fläche des Rosenbeets ergibt sich aus der Subtraktion des Inhalts der restlichen Rasenfläche von der Quadratfläche zu 4 m². Denkbar ist auch eine Berechnung der Rechteckseiten mittels des Satzes von Pythagoras, woraus sich die Rechteckfläche direkt bestimmen lässt. b) x liegt zwischen 0 und 0. Je zwei gegenüberliegende Rasendreiecke lassen sich zu je einem Quadrat zusammensetzen; diese Quadrate haben die Flächen x² bzw. (0 x)². Diese Flächen müssen von der Gesamtfläche von 00 m² subtrahiert werden: Ax ( ) = 00 x² (0 x)² = x² + 0 x, wie angegeben. Der Graph dieser Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren eine Nullstelle bei Null liegt

138 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 c) Durch Symmetrieüberlegungen, Kenntnis der Koordinaten des Scheitels einer Parabel, Anwendung von Verschiebungen oder durch die Anwendung der Scheitelpunktsform Ax ( ) = ( x 5)² + 50 ergibt sich das Maximum für x = 5. Die maximale Fläche ist dann A (5) = 50. Bei x = 5 ist (0 x) = 5, also sind die vier Rasendreiecke kongruent und die vier Rechteckseiten damit gleich lang. d) Je zwei gegenüberliegende kongruente rechtwinklige Dreiecke ergeben ein Rechteck mit den Kantenlängen x und 0 x. Somit ist die Fläche für das verbleibende Rosenbeet AQ ( x) = 00 x (0 x) = x² 0x+ 00, wie angegeben. Einsetzen liefert A(5) = A Q (5) = 50, für x = 5 sind die Werte also gleich groß (was nicht wundern sollte, denn es handelt sich um dieselbe Figur!) e) Hier ist die quadratische Gleichung 70 = x² 0x+ 00 zu lösen. Die Lösungen sind x = und x = 5 0 (natürlich müssen beide Lösungen zusammen 0 ergeben!). Genähert sind das x 8,6 und x,84. Der geforderte Nachweis lässt sich auf etliche Weisen beibringen, z.b. durch den direkten Nachweis, dass Ax ( ) A( x) : Die Differenz A( x) Ax ( ) ist gleich Q Q AQ ( x) Ax ( ) = 4 x² 40x+ 00 = 4( x² 0 x) + 00 = 4( x 5)² 0 Eine andere Vorgehensweise könnte die Betrachtung der Graphen sein. Der Graph von A Q ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitel bei x = 5. Am Scheitel muss A Q den minimalen Wert haben, also liegt der Graph von A Q überall sonst über dem Graphen von A. Auch eine geometrische Argumentation ist möglich. Insgesamt BWE 6 4 8

139 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 5. Pachoms Weg a) Skizze von Pachoms Weg; der Streckenzug umrandet ein Trapez mit rechten Winkeln in B und in C. km x 8 km 8 km b) Berechnung des 4. Teilweges über den Satz des Pythagoras: x = = 0 Gesamtlänge von Pachoms Wanderweg: 8 km + 8 km + km + 0 km = 48 km. c) Flächeninhalt des umwanderten Landes: d) Rechtecke mit dem Umfang 48 km: 8 + A = 8 = 0 (km ). Umfang in km a + b = 48 a b A in km Flächeninhaltsfunktion: A= a b b = 4 a A= a ( 4 a ) = 4a a. A in km a in km 9

140 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Das Quadrat mit der Seitenlänge km hat den gleichen Umfang wie Pachoms Wanderweg, mit 44 km aber eine wesentlich größere Fläche. e) Rechtecke mit dem Flächeninhalt 0 km : A in km a b = 0 a in km b in km ,57 U in km , 4 Umfangslängenfunktion: U = a + b b = 0 a U = a + 0 a = a + 40 Grafische Darstellung: a U in km a in km Von allen Rechtecken mit dem Flächeninhalt 0 km gibt es offensichtlich eines mit geringstem Umfang. Seine Seitenlängen a und b liegen jeweils zwischen 0 km und km. Eine genauere Prüfung ergibt: Das Quadrat mit der Seitenlänge 0 km 0,954 km hat von allen Rechtecken mit dem Flächeninhalt den geringsten Umfang, nämlich U = 4 0 km 4,88 km. Das sind mehr als 4 km weniger, als Pachom auf seiner Wanderung zurückgelegt hat. Insgesamt BWE

141 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 6. Jeans a) Gesucht sind die Parameter a und b in der Gleichung der Preis-Absatz-Funktion mit der Gleichung px ( ) = a x+ b. Höchstpreis bei x = 0: p (0) = 00. Also gilt b = 00. Sättingungsmenge bei x = 8 000, d.h. p (8000) = 0. Daraus folgt: 0 = 8000 a + 00 a =. 80 Die Gleichung der Preisfunktion lautet px ( ) = x b) Die Gleichung der Erlösfunktion E lautet E( x) x p( x) x = = x+ 00 = x + 00x c) Preis p x / d) Ex ( ) = x + 00x= x x

142 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Nullstellen der Parabel: x = 0 bzw. x+ 00 = 0 x= Wegen der Symmetrieeigenschaften liegt das Maximum genau in der Mitte, also bei x = E(9000) 9000 = = Bei Produktion und Verkauf von Jeanshosen ist der Erlös mit maximal. e) Fixkosten: Produktionsabhängige Kosten: / Hose. K( x) = x / f) Zu berechnen sind die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen von E und K. x x+ = x + x x 68x x = 0 + = x, = 60 ± x = 509,7... x = 070,... 4

143 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und Bis zu einer Produktion von 509 Hosen bzw. ab einer Produktion von 0 70 Hosen sind die Kosten höher als der Erlös. 4 g) Gx ( ) = Ex ( ) Kx ( ) ( ) = x + x x+ 80 = x + x Zur Berechnung des Gewinnmaximums sind die Koordinaten des Scheitelpunktes zu ermitteln. Die Parabel mit der Gleichung y x x = hat ihr Maximum an 80 der gleichen Stelle wie die Parabel mit der Gleichung Es gilt: y x 68x x ( x 40) = + = = y x 68x Die Funktion hat die Nullstellen 0 bzw. 40. Das Maximum dieser Funktion und damit auch von G liegt bei x = 6 0. Der Maximalgewinn G (60) beträgt im Monat. Grafische Darstellung (im Aufgabentext nicht gefordert): / Summe 4

144 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 7. Abbau eines Wirkstoffes a) Bemerkung: Rechnungen sind sowohl in Milligramm als auch in Gramm möglich. Maßeinheiten müssen erst beim Ergebnis (z.b. Antwortsatz) angegeben werden. 5 % vom g = 50 mg, 5 % von 50 mg = 7,5 mg. Es gelangen 7,5 mg des Wirkstoffes in den Körper. b) t Die allgemeine Gleichung lautet: ft () ca. Da es sich um einen Abbauprozess handelt, ist 0 a, a p% 0, 5 0, 75. Der Anfangswert ist c f(0) 7,5, also f( t) 7,5 0,75 t, t in Tagen. f () 7,5 0, 75 7,8. Nach drei Tagen sind noch etwa 7,4 mg des Wirkstoffes im Körper vorhanden. Bemerkung: Es kann auch Tag für Tag die noch vorhandene Menge des Wirkstoffes berechnet werden. Dies sind 4 % der Ausgangsmenge. 4 4 c) Nach einem Tag: 7,5 0,75,5. Nach zwei Tagen:,5 7,50, 75,969. Nach drei Tagen:,969 7,50, 75 0,5. Nach drei Tagen befinden sich schon 0,5 mg des Wirkstoffes im Körper. Alternativ: 7,5 (0,75 0,75 0,75) 0, 4. Weitere Alternative: f() f() f() 0,4. 8 d) Zu lösen ist folgende Gleichung: x 0,75 x,5 x 0, 5 x,5 x 5,5. 7,5 0, 75 x. Die Wirkstoffmenge im Blut vor der Einnahme der neuen Tablette beträgt jeden Morgen 5,5 mg. Ein alternativer Ansatz ist: x 7,50, 5 7,5. Er führt zum demselben Ergebnis und soll gleichermaßen bewertet werden. Bemerkung: Die Fortsetzung der Rechnungen aus c) ist möglich, aber umständlich. 4 Insgesamt BWE

145 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 8. Medikamente a) Die Gleichung erfüllt f(0) = 4. Die Konzentration soll pro Stunde um 5 % sinken, es bleiben also 95 % noch vorhanden, also f( x ) = 4 0,95 x mit x für die Zeit in Stunden und f(x) für die Konzentration im mg pro Liter Blut. Nach Stunde: f () = 4 0,95 =,8. Nach 4 Stunden: 4 f (4) = 4 0,95, 6. Nach Stunden: f () = 4 0,95,6. Die Konzentration beträgt nach einer Stunde noch,8 mg, nach 4 Stunden etwa,6 mg und nach zwölf Stunden etwa,6 mg pro Liter. b) Konzentration nach 0 Minuten: 0 Minuten sind genau Stunde, daher ist f ( ) = 4 0,95,9. Nach zwanzig Minuten müsste die Konzentration,9 mg pro Liter betragen. c) Zu lösen ist folgende Ungleichung: x 4 0,95 < 0, x 0,95 < 0, 05 x lg 0,95 < lg 0,05 lg 0,05 x > lg 0,95 x > 58, Nach etwa 58 Stunden und 4 Minuten ist die Unverträglichkeitsgrenze unterschritten. 4 d) Funktionsgleichung für linearen Abbau: Der Term wird gebildet aus Bestand Abnahmerate mal Zeit: gx ( ) = 4 0,x. Exponentielles negatives Wachstum: Die Abnahme (pro Stunde) geschieht proportional zum Bestand: Je kleiner die Konzentration im Blut, desto weniger verringern sich die Werte in mg/l. Theoretisch wird die Substanz nie ganz abgebaut, weil die Exponentialfunktion f niemals Null werden kann. Lineares negatives Wachstum: Die Abnahme geschieht immer um den gleichen Betrag pro Stunde. Das hat auch zur Folge, dass in diesem Modell die Substanz vollständig abgebaut wird, im Beispiel ist dieser Zustand nach 0 Stunden erreicht. 45

146 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 e) Funktionsgleichung für exponentiellen Abbau nach P: h(,5) = a =,5, also steht a schon fest. h,5 (),5 b 0, = =. Damit ergibt sich für b: b 9,5 0, =, 5 9,5 0, b =, 5 b = 0, ,875. Damit ist hx ( ),5 0,875 x,5 =. Interpretation der berechneten Parameter: a =,5 ist der Bestand zum Zeitpunkt,5, der pro Stunde um ca.,5 % ( b 0,5 ) abgebaut wird. Zeichnung wird nicht erwartet. Hier ist g ab P ersetzt durch h. 4 y P(,5,5) f(x) ( ) = 4 A0,95 x x f x = h(x) =? x Insgesamt BWE

147 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 9. Lastkahn a) y 4 x Einzutragende Punkte: N(0 0): Nullpunkt: Spitze des Förderbandes. P(,5,75): Mittelpunkt der Laderaumöffnung Funktionsgleichung: - f ( x) f = ax, mit (,5) = a,5 =, 75-4 a = = 0,44 5 Also ergibt sich: f( x) = 0,44 x -6 Wertetabelle für f: (0,5 0,) ( 0,44) (,5 0,99) (,76) (,96) (4 7,04) -8 Sei g die Ersatzfunktion mit gx ( ) = 0,47 x (Graph gestrichelt) (0,5 0,) ( 0,47) (,5,06) (,88) ( 4,) (4 7,5) 5 4 b) Nach dem Satz des Pythagoras gilt für den Abstand d: d =,5 +, 75 =,85, 7 Der Abstand beträgt etwa,7 m. c) Der Abstand der Oberkante des Lastkahns zum Förderband beträgt jetzt,75 m + 4 m = 6,75 m. Die Öffnung des Laderaums beginnt wegen des linken Abstandes von m also bei der x-koordinate und endet bei + = 4. Lösungsweg : x-koordinate des Strahls in 6,75m Tiefe: 6,75 = 0,44 x x 5,4. Da x im betrachteten Ausschnitt 0 ist, folgt x,9. Es klappt also eben noch. Mit der Ersatzfunktion ergibt sich analog x,79. Hier ist der Strahl nicht ganz so nah am Rand. Lösungsweg : Tiefe des Strahls bei x = 4,0 (rechter Rand der Laderaumöffnung): f(4,0) 7.04 Das Schiff könnte sogar noch etwas tiefer liegen g(4,0) 7,5 Das Schiff könnte hier ebenso tiefer liegen. 6 47

148 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 d) Verschiebung des Förderbandes und Ermittlung der zugehörigen Funktionsgleichung: Wurde in c) Lösungsweg verwendet, so ist die tatsächliche x-koordinate des Kiesstrahls in 6,75 m Tiefe berechnet. Die Differenz zur gewünschten x-koordinate,5 ist dann die Verschiebung:,9,5 =,4. Das Förderband muss also um etwa,4 m nach links verschoben werden, damit der Strahl wieder durch die Mitte der Laderaumöffnung hinein fällt. Die gesuchte, geänderte Parabelgleichung lautet: h(x) = 0,44 (x +,4) Wurde in c) ein andere Lösungsweg beschritten, kann man die Funktionsgleichung und damit die Verschiebung auch über den Ansatz h(x) = 0,44 (x + b) und h(,5) = 6,75 bestimmen: 5,4 = (,5 + b),9,5 + b (da b > 0 sein muss). Es folgt b,4. Mit der Ersatzfunktion ergibt sich analog h (x) = 0,47 (x +,). Interpretation: Die Oberseite des Förderbandes verläuft in 75 cm Höhe über dem Boden. Der Boden hat also die y-koordinate 0,75. Doch h(0) 0,86, wenn man um,4 m verschiebt bzw. h(0) 0,88, wenn man um den genaueren Wert von,47 m verschiebt. Das bedeutet, dass an der Kante der Ladestation der Kies auf den Boden fällt statt ins Schiff. Eine derartige Verschiebung ist also nicht sinnvoll. Zu diesem Schluss gelang man auch, wenn man denjenigen x-wert berechnet, der einer Höhe von 0,75 m entspricht. Der Ansatz 0,75 = 0,44 ( x +,4) liefert den x-wert 0,09, d.h. der Kies fällt auf den Boden. Mit h (0) 0,79 kann ebenso argumentiert werden. 5 Insgesamt BWE Laichplätze a) 000 0,97 75,. Ungefähr 75 Fische erreichen die Laichplätze. b) x 0,97 < 0,85 x log 0,97 < log 0,85 log 0,85 x > log 0,97 x > 5, Also sind nach 6 Gefahrenstufen erstmals weniger als 85 % der ursprünglichen Fischzahl unterwegs. Oder: Nach 5 Gefahrenstufen: Nach 6 Gefahrenstufen: 5 0,97 = 0, > 0, ,97 = 0,8... < 0,85.

149 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 5 5 ( ) c) ( ) 000 0, , ,97 64,56 ; also ungefähr 64 Fische. Etwa 6,4 % der Lachse erreichen ihr Ziel. d) () a) Doppelt so viele Fische am Anfang: ungefähr 40 Fische am Ende (doppelt so viele Fische am Ziel). 5 5 ( ) c) ( ) 000 0, , ,97 979,86 ; also ungefähr 980 Fische. () a) Anteil: 980 0,49 49 % 000 = Anzahl fast viermal so groß; Anteil fast doppelt so viel ,94 506,; also ungefähr 506 Fische (mehr als die Hälfte) 5 5 ( ) c) ( ) 000 0, , ,94 98,8 ; also ungefähr 98 Fische 98 Anteil: 0,098 9,8 % 000 =. Anzahl weniger als die Hälfte; Anteil etwas weniger als ein Drittel. e) 4 5 (( ) ) ( 5 ) ,8 0, , ,97 9,. ( ) 000 0, , ,8 8,. Die Zahl der Fische, die ihr Ziel erreichen, ist größer, wenn die letzte Gefahrenstelle eine Verlustrate von 0 % bewirkt. Insgesamt BWE 6 5. Algen x x a) 5 Sorte A: y =, Sorte B: y = 7 I I III Zeichnung auf der nächsten Seite. x b) Sorte A: ( ) x x y = =,60. Bei Sorte A beträgt der Wachstumsfaktor ungefähr,60 pro Tag, das ist eine tägliche Zunahme von 6,0%. x 5 5 Sorte B: ( ) y = 7 = 7 7,49 x x Bei Sorte B beträgt der Wachstumsfaktor ungefähr,49 pro Tag, das ist eine tägliche Zunahme von 4,9 %. 49

150 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Grafische Darstellung zu a): y I I III x c) Aus der Zeichnung ergibt sich, dass das Wachstum nach etwa 9 Tagen gleich groß ist. x x 5 = 7 lg + lg = lg 7 + lg x x 5 lg + x lg = lg 7 + x lg 5 lg 7 lg lg 7 lg x = = 9,7 lg lg 5 Die Flächen sind nach etwas über 9 Tagen gleich groß. 5 d) 5 A = , Der Teich ist ungefähr 780 m groß. Insgesamt BWE

151 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und. 4 C a) f (570) = 0,5 = 0,5 = 50% f (500) = 0,5 0, 49 5% b) c) x 0,5 0,5 570 = x 570 Ötzi starb vor etwa 5 50 Jahren. lg 0,5 = lg 0,5 x = 548, d) Altersbestimmung: 9 ( ) = f (45) = 0,5 = 0, 675 = 67,5% In Tutanchamuns Mumie waren noch ca. 67,5 % des ursprünglichen C4-Anteils vorhanden. e) Der noch vorhandene Anteil an C4 ist 0,97 0, 064 5,. x 570 Es gilt 0, 064 = 0,5 x 80. Die Höhlenmalereien sind danach etwa 000 Jahre alt. Insgesamt BWE 6 4 5

152 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0. Gefahr aus dem Weltall a) Aus der Zeichnung abgelesen: 0 Minuten f( x ) = x x in Einheiten von 0 min ( ) x x wx = = 8 x in Einheiten von Stunden 5 w (5) = 8 = 768 Nach 5 Stunden beträgt die Länge des Wurms 768 mm oder ca.,77 m. b) km 9 km ,08 0 s h v = =. 9 s (h) =,08 0 km = km. s( Tag), 0 9 km 0 = h =,59 km = km. h c) Das Funksignal breitet sich linear aus; das Wurmwachstum hingegen verläuft exponentiell. d) 0 6,59 0 km =,59 0 mm 6,59 0 = 8 x lg, x = lg 8 x 8,7 Nach etwas mehr als 8 Stunden (bzw. Stunden nach Absenden des Warnsignals) hat der Wurm die Erde mit seinem Vorderteil erreicht. e) Das Funksignal braucht 4 Stunden, um die Erde zu erreichen, d.h. es erreicht die Erde erst 9 Stunden nach Beginn der Katastrophe. Es kommt damit zu spät auf der Erde an. Insgesamt BWE Stuntman a) w= v h g 00 4 =,6 9,8 7,74 Die Flugweite beträgt ca. 7,74 m. 5

153 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und b) h w 00 w= v v= = 56,6. g h g 9,8 Ein Fahrzeug müsste eine Geschwindigkeit von mindestens 56,6 m s bzw. km 56,8 beim Absprung besitzen, was für einen normalen Pkw unmöglich ist. h c) w v h w h h g w g v g v = = = = 8,. Die Absprunghöhe müsste mindestens 8, m betragen, damit ein Fahrzeug bei einer Geschwindigkeit von 40 km eine Flugweite von über 50 m erreicht. h d) () Veränderung der Flugweite bei doppelter Geschwindigkeit und gleich bleibender Absprunghöhe: w= v h g w ist proportional zu v. Eine Verdopplung der Geschwindigkeit bewirkt eine Verdoppelung der Flugweite. h h () w= v = v g g w ist proportional zu h. Wird die Höhe verdoppelt, wächst die Flugweite um den Faktor, sie verdoppelt sich also nicht. Erst bei einer Vervierfachung der Höhe verdoppelt sich die Flugweite. 4 Insgesamt BWE Brücken a) Zeichnung z.b. so: y A 40 m B,5 m,5 m x A( 0,5) und B(0,5) b) Gleichung () ist richtig. Eine Begründung ist nicht gefordert. 5

154 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 c) Aus Symmetriegründen müssen lediglich Einzellängen berechnet werden, da jede Seillänge viermal auftritt. Für die Gesamtlänge der Seile gilt also 4 ( f ( 5) + f ( 0) + f ( 5) ) = 4 ( 0, 785 +,5 + 7, 05) = 4 0,975 = 4, 75. Bei korrekter Auswahl in Aufgabenteil b) ergeben sich damit 4,75 m. Falls in Aufgabenteil b) die falsche Auswahl () getroffen und damit folgerichtig weitergerechnet wurde, ist dies zwar einerseits als korrekt zu beurteilen, wegen des dann geringeren Rechenaufwands in Aufgabenteil c) aber mit zwei Punkten Abzug zu werten. Im Falle der falschen Auswahlen () oder (4) in Aufgabenteil b) und folgerichtigem Weiterarbeiten in Aufgabenteil c) ist wegen des dann vergleichbaren Rechenaufwands in diesem Aufgabenteil die volle Punktzahl zu geben. 4 d) Da eine Fahrbahnseite nach den Angaben aus der Abbildung 5 m breit ist, ergibt sich die maximale Durchfahrtshöhe zu f (5) m = 4 m. Eine Fahrzeughöhe von,9 m bedeutet, dass bis zur maximalen Durchfahrtshöhe noch 0,8 m fehlen. Es ist also die Gleichung 0,8 = 0,6x² zu lösen. Die negative der beiden Lösungen ist irrelevant, da das Fahrzeug auf der rechten Fahrbahnhälfte fahren muss. Das Fahrzeug darf also maximal,5 m breit sein. 4 e) c = 45. Zur Berechnung von a können die Koordinaten des Punktes P (50/0) genutzt werden: 0 = a = 500a a = 5 a = 00 Die Gleichung des Brückenbogens lautet damit y = x f) Die Fußpunkte der beiden Pfeiler lassen sich durch die Nullstellen der Parabel beschreiben: x + 45 = 0 00 x = 4500 x = ± 67,08... Entfernung der Pfeilerfußpunkte: 67,08... = 4,6... Die Fußpunkte der Pfeiler sind etwa 4 m voneinander entfernt. Insgesamt BWE

155 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 6. Flächeninhalt eines Rechtecks a) Für das Rechteck OBCD ergibt sich: A OBCD = 5,5 = und für das Rechteck OEFG: A OEFG = 8,5 = 0. Der Flächeninhalt des Rechtecks OBCD beträgt cm, der des Rechtecks OEFG 0 cm. b) gx ( ) = 0,5x+ 6,5 c) gx ( ) = 0,5x+ 6,5. Eine Möglichkeit ist, x = in die Funktionsgleichung einzusetzen. g( ) = 0,5 ( ) + 6,5= + 6,5= 7,5. Also liegt der Punkt ( 7,5) auf der Geraden g. Andere Argumentation: Der Punkt (0 6,5) liegt auf der Geraden. Zwei Einheiten links davon ist wegen der Steigung von 0,5 der Funktionswert dort um eine Einheit höher, also liegt ( 7,5) auf der Geraden. Ersatzlösung: h(x) = 0,5 x + 5,5. h( ) = 0,5 ( ) + 5,5= + 5,5= 6,5 7,5. Der Punkt ( 7,5) liegt nicht auf der Geraden h. Bei richtiger Bearbeitung der Ersatzlösung wird Punkt gegeben. d) A( x) = x g( x) = x ( 0,5x+ 6,5) = 0,5x + 6,5x e) Es gibt mehrere Lösungswege: Drei werden hier dargestellt.. Lösungsweg: Berechnen der Nullstellen der quadratischen Funktion und anschließend Bestimmung der x-koordinate des Scheitelpunktes durch Symmetrieüberlegungen: Ax ( ) = 0,5x + 6,5 x= x ( 0,5x+ 6,5) Ax ( ) = 0 bedeutet x= 0 oder 0,5x+ 6,5 = 0. Also: Ax ( ) = 0 bedeutet x= 0 oder x=. Die x-koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen, d. h. der Scheitelpunkt liegt bei x = 6,5. Eingesetzt in A ergibt sich: A (6,5) = 0,5 6,5 + 6,5 6,5 =,5 + 4, 5 =,5. Also ist (6,5,5) der Scheitelpunkt von A. Das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt hat die Längen 6,5 cm und,5 cm. Der Flächeninhalt beträgt danach,5 cm. 5. Lösungsweg: Die Scheitelpunktsform kann mit der quadratischen Ergänzung bestimmt werden: Ax ( ) = 0,5 ( x 6,5) +,5. Die Scheitelpunktkoordinaten lassen sich nun ablesen: S(6,5,5). 55

156 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0. Lösungsweg: Als Lösungsweg kann das Probieren mit Hilfe einer Wertetabelle akzeptiert werden, wenn genügend Werte, auch in der Umgebung von x = 6,5 berechnet werden. Ersatzlösung mit A(x) = 0,5 x + 5,5 x. Ax ( ) = 0,5x + 5,5 x= x ( 0,5x+ 5,5). Nullstellen von A: x= 0 oder x=. Scheitelpunkt der Parabel von A liegt bei x = 5,5. A (5,5) = 0,5 5,5 + 5,5 5,5 = 5,5 + 0, 5 = 5,5. f) Die Funktion f ( x) = ax + b (a 0) hat die Nullstelle x0. Das Rechteck (s. Abbildung) mit den Seitenlängen x und f(x) mit f ( x) = ax + b (a < 0 und b > 0) hat den Flächeninhalt Ax ( ) x f( x). Wegen f ( x) = ax + b gilt Ax ( ) xa x b b a Der Graph der Funktion A ist eine Parabel mit den Nullstellen 0 und b a. Wegen der Symmetrieeigenschaft von Parabeln quadratischer Funktionen liegt das Maximum der Funktion A in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen und damit an der Stelle xmax b a x Nullstelle 4 y x Insgesamt BWE

157 Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0 Erwartungshorizonte und 7. Rechteck im Trapez a) Flächeninhalt des Trapezes: Es gibt verschiedene Lösungswege. A = = 7 (cm ). b) Es gibt verschiedene Lösungswege. P liegt auf der Geraden durch C und D. Diese hat die Gleichung f(x) =,5x + 5. Der Punkt P hat die y-koordinate f() =,5 + 5 =, also: P( ). Flächeninhalt des Rechtecks: A R = = 4 (cm ). 4 c) Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Koordinaten des Punktes P. A R = x y = x (,5x + 5) d) A R = x y = x (,5x + 5) =,5x + 5x. Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Maximum des Flächeninhalts zu berechnen, z.b.:. über die Nullstellen der Parabel: Die Gleichung x (,5x + 5) = 0 hat die Nullstellen 0 und 0. Aus Symmetriegründen liegt das gesuchte Maximum an der Stelle x = 5. Das Maximum selbst beträgt A max = 5 (, ) = 7,5.. durch Scheitelpunktberechnung: A R =,5x + 5x A R =,5(x 0x + 5) + 7,5 A R =,5(x 5) + 7,5 Scheitelpunkt S (5 7,5). Die Lage des gesuchten Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt wird durch den Punkt P (5, ) = P (5 7,5) beschrieben. Der maximale Flächeninhalt beträgt 7,5 cm. e) Die geforderte Gerade hat die Gleichung px ( ) = x. Zum Nachweis des Senkrechtstehens der Geraden. Mit Geradensteigungen: Die Steigung von p ist m =. p Die Steigung der Geraden durch C und D ist, wie schon bekannt, m =. Das Produkt dieser Steigungen ist ( ), also sind die Geraden senkrecht zueinander. (Sollte dieser Sachverhalt nicht bekannt sein, so kann mit den zugehörigen Steigungsdreiecken argumentiert werden.) CD 57

158 Erwartungshorizonte und Schriftliche Überprüfung Mathematik an Gymnasien, Klasse 0. mit dem Dreieck AP S D: Das Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn (Satz des Pythagoras!) S S AD = AP + P D gilt. S S Mit AD = 5, AP = 69, 08 und P D = 55, 769 ergibt sich das gewünschte Resultat. Insgesamt BWE Quelle: Bearbeitete Version der Aufgabe aus den KMK-Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Abschluss, Lohnerhöhung a) Lohnerhöhungen in Abhängigkeit vom Lohn: Lohn A B C b) Berechnen der Lohnerhöhung in % und Erstellen der Tabelle und Grafik (berechnete Werte auf eine Stelle gerundet): Lohn A % 6 % 4 % %,4 % %,7 %,5 % B 7 % 4,5 %,7 %,% %,8 %,7 %,6 % C % % % % % % % % c) Je nach dem, was zum Ausdruck gebracht werden soll, gilt eine der beiden 5 58