Randomisierte Algorithmen und probabilistische Analyse
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- Arwed Lehmann
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1 Randomisierte Algorithmen und probabilistische Analyse S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 1 / 29
2 Inhalt 1 Randomisierte Algorithmen 2 Probabilistische Analyse S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 2 / 29
3 Inhalt Randomisierte Algorithmen Quicksort 1 Randomisierte Algorithmen Quicksort Allgemeines Randomized-Quicksort Weitere Anwendungen 2 Probabilistische Analyse S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 3 / 29
4 Randomisierte Algorithmen Quicksort Quicksort - kurze Wiederholung Ausgangssituation: Wähle als Pivotelement p das letzte Element: Pivot S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 4 / 29
5 Randomisierte Algorithmen Quicksort Quicksort - kurze Wiederholung Tausche alle Elemente < p nach links, alle p nach rechts: Pivot Rufe Quicksort rekursiv für die Teilarrays links und rechts von p auf: Pivot Pivot S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 5 / 29
6 Eigenschaften Randomisierte Algorithmen Quicksort Average-Case Laufzeit: Θ(n log(n)) Worst-Case Laufzeit: Θ(n 2 ), beispielsweise bei bereits sortiertem Input. Problem: Die Laufzeit von Quicksort ist abhängig von der Form des Inputs. Wie kann man das vermeiden? Lösung: Randomisierte Algorithmen! S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 6 / 29
7 Inhalt Randomisierte Algorithmen Allgemeines 1 Randomisierte Algorithmen Quicksort Allgemeines Randomized-Quicksort Weitere Anwendungen 2 Probabilistische Analyse S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 7 / 29
8 Randomisierte Algorithmen Allgemeines Randomisierte Algorithmen Was sind randomisierte Algorithmen? zufällige Auswahl des nächsten Schrittes bei gleicher Eingabe unterschiedliche Laufzeit Laufzeit und Korrektheit nur mit gewisser Wahrscheinlichkeit bestimmbar S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 8 / 29
9 Randomisierte Algorithmen Allgemeines Motivation für randomisierte Algorithmen Einfacher Effizienter leichter zu Implementieren Praktische Sicht S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 9 / 29
10 Randomisierte Algorithmen Algorithmustypen Allgemeines Las-Vegas-Algorithmen immer korrekt können auch versagen Monte-Carlo-Algorithmen nicht immer korrekt Fehlerarten: Zweiseitige Fehler Einseitige Fehler S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 10 / 29
11 Techniken Randomisierte Algorithmen Allgemeines Überfluss an Zeugen (abundance of witnesses) Vereitelung gegnerischer Angriffe Fingerabdruck und Hashing Zufallsstichproben (random sampling) S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 11 / 29
12 Inhalt Randomisierte Algorithmen Randomized-Quicksort 1 Randomisierte Algorithmen Quicksort Allgemeines Randomized-Quicksort Weitere Anwendungen 2 Probabilistische Analyse S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 12 / 29
13 Eigenschaften Randomisierte Algorithmen Randomized-Quicksort Las-Vegas-Algorithmus wählt Pivotelement zufällig macht gegnerische Angriffe unmöglich! Wiederum gilt: Average-Case Laufzeit: Θ(n log(n)) Worst-Case Laufzeit: Θ(n 2 ) S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 13 / 29
14 Randomisierte Algorithmen Der große Unterschied Randomized-Quicksort Laufzeit hängt vom Zufall ab und nicht vom Input! Wahrscheinlichkeit für Worst-Case im Randomized Quicksort: 2 n 1 n! S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 14 / 29
15 Inhalt Randomisierte Algorithmen Weitere Anwendungen 1 Randomisierte Algorithmen Quicksort Allgemeines Randomized-Quicksort Weitere Anwendungen 2 Probabilistische Analyse S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 15 / 29
16 Randomisierte Algorithmen Miller-Rabin-Test Weitere Anwendungen Monte-Carlo-Algorithmus Eingabe: Ungerade natürliche Zahl p Ausgabe: p ist Prim oder p ist Zusammengesetzt Wahrscheinlichkeit für ein falsches Ergebnis ist 1 4, in den allermeisten Fällen deutlich geringer. S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 16 / 29
17 Randomisierte Algorithmen Weitere Anwendungen Miller-Rabin-Test - Pseudocode 1 f i n d e u ungerade und k 1, s o d a s s p 1 = u 2 k ; 2 wä h l e a z u f ä l l i g aus {2,..., p 2} ; 3 s e t z e b = a u mod p ; 4 5 wenn b == 1 oder b == p 1 6 r e t u r n " Prim " ; 7 8 r e p e a t k 1 mal 9 b = b 2 mod p 10 wenn b == p 1 11 r e t u r n " Prim " ; 12 wenn b == 1 13 r e t u r n " Zusammengesetzt " ; r e t u r n " Zusammengesetzt " ; S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 17 / 29
18 Einsatzbereiche Randomisierte Algorithmen Weitere Anwendungen Sortieren & Suchen in Datenstrukturen Randomisierte Graphalgorithmen: Minimum-Cut, Shortest Path, minimale Spannbäume Pattern-Matching und viele mehr. S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 18 / 29
19 Inhalt Probabilistische Analyse Limits worst-case Analyse 1 Randomisierte Algorithmen 2 Probabilistische Analyse Limits worst-case Analyse Einführung Wahrscheinlichkeitstheorie Analyse Quicksort - Idee S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 19 / 29
20 Probabilistische Analyse Limit: Theorie vs. Realität Limits worst-case Analyse worst-case Komplexität schlecht Performance in Realität durchaus gut z.b Rucksackproblem worst-case Input äußerst selten Verhalten bei "typischem" Input interessant "typischer Input" anwendungsabhängig Lösung: Wahrscheinlichkeitstheorie um das Verhalten zu analysieren S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 20 / 29
21 Inhalt Probabilistische Analyse Einführung 1 Randomisierte Algorithmen 2 Probabilistische Analyse Limits worst-case Analyse Einführung Wahrscheinlichkeitstheorie Analyse Quicksort - Idee S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 21 / 29
22 Probabilistische Analyse Probabilistische Analyse Einführung Wahrscheinlichkeitsverteilung über Inputmenge Erwartungswerte werden gebildet Voraussetzung: Kenntnisse/Annahmen über Verteilung S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 22 / 29
23 Probabilistische Analyse Wahrscheinlichkeitstheorie Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsraum S Menge von Elementarereignissen Ereignis A Teilmenge eines Wahrscheinlichkeitsraumes Zufallsvariable X Funktion X : S R Indikatorvariable (nur 0 oder 1) Wahrscheinlichkeitsverteilung Pr[ ] ordnet jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 23 / 29
24 Probabilistische Analyse Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben Erwartungswert E[ ] für Zufallsvariable Gewichtete Durchschnittswert von X Allgemein: E[X ] = x S x Pr[X = x] Indikator: E[X ] = Pr[X = 1] S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 24 / 29
25 Probabilistische Analyse Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben Tail Distribution Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert weit ab vom Erwartungswert annimmt loose und tight Bounds Markov s Ungleichung (X nicht negativ) a > 0. Pr[X a] E[X ] a S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 25 / 29
26 Inhalt Probabilistische Analyse Analyse Quicksort - Idee 1 Randomisierte Algorithmen 2 Probabilistische Analyse Limits worst-case Analyse Einführung Wahrscheinlichkeitstheorie Analyse Quicksort - Idee S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 26 / 29
27 Probabilistische Analyse Quicksort Analyse - Idee Analyse Quicksort - Idee Input-Elemente aus uniformer Verteilung Erwartete Anzahl der Vergleiche X : 2n ln n X als Summe von X ij (Indikator) X ij = 1, wenn zwei Elemente verglichen werden Pr[X ij = 1] = 2 i j + 1 Betrachte E[X ] als Summe E[X ij ] Harmonische Reihe S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 27 / 29
28 Quellen Probabilistische Analyse Analyse Quicksort - Idee T. Ottmann, P. Widmayer: Algorithmen und Datenstrukturen, 2011, Springer-Verlag P. Gamper, Randomisierte Primzahlentests, 2007, rwth Aachen T. Worsch, Skript der VO Randomisierte Algorithmen 2015/16, Universität Karlsruhe Carnegie Mellon School of Computer Science, Lecture 3 - Probabilistic Analysis and Randomized Quicksort Dr. H. Röglin, Skript der VO Probabilistic Analysis of Algorithms, Universität Bonn, 2016 S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 28 / 29
29 Probabilistische Analyse Analyse Quicksort - Idee Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! S.Seidl, M.Nening, T.Niederleuthner 29 / 29
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