Berechnung von Abständen zu Geraden und Ebenen. Einfache Darstellung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen und Methoden- Datei Nr.
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- Heiko Fischer
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1 Vektorgeometrie gaz eifach Teil 6 Abstäde Berechug vo Abstäde zu Gerade ud Ebee Eifache Darstellug der Grudlage: Die wichtigste Aufgabestelluge ud Methode- Datei Nr. 640 Stad 28. Dezember 205 Demo-Text für INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
2 640 Vektorgeometrie gaz eifach 6 Abstadsberechuge 2 Vorwort!!! I diesem Text geht es um Etferugsberechuge zu Ebee ud Gerade. Ma erket aus dem Ihaltsverzeichis, welche Aufgabestelluge durchgesproche werde! Hiweise: Alle Musterbeispiele ud Traiigsaufgabe stehe kompakt och eimal im Text 64 als reie Aufgabesammlug. Die Lösuge ka ma hier achlese- Dazu gibt es i 64 Seitehiweise. Eie weitere Aufgabesammlug mit der Nummer 642 ethält weitere Aufgabe zu de hier (6400) gezeigte Methode ud Theme. Seit Jauar 204 gibt es dazu eie Text mit Lerkarte zum schelle Wiederhole der Fakte ud Methode: Text Demo-Text für
3 640 Vektorgeometrie gaz eifach 6 Abstadsberechuge 3 Ihalt. Abstad eies Puktes vo eier Ebee 4.. Methode: Lotfußpukt mit eier Lotgerade bereche 4 Grudaufgabe 8: Abstad eies Puktes P vo E mit Lotgerade 4.2 Die Hessesche Normalform 5 Etwas Theorie: Vektorschreibweise Methode: Abstad Pukt / Ebee mit der HNF bereche 8 Grudaufgabe 9: Abstad eies Puktes P vo E mit der HNF 9 2 Awedug der HNF für Lotfußpukte ud Spiegelbilder Grudaufgabe 0 3 Abstad eier Gerade vo eier parallele Ebee 4 Grudaufgabe : 4 4 Abstad paralleler Ebee 5 Grudaufgabe 2: 5 5 Geradepukte mit bestimmtem Abstad vo eier Ebee suche 6 Grudaufgabe 3: Welcher Pukt eier zur Ebee icht parallele Gerade hat vo E de Abstad e? 6 6 Abstad eies Puktes vo eier Gerade 6. Grudaufgabe 4: Abstadsbestimmug mittels Lotebee 6.2 Berechug des Lotfußpuktes mit der operative Methode (GA 5) Berechug Pukt Gerade i der x-y-koordiateebee 9 Grudaufgabe 6: Bereche de Abstad vo P zu g. 9. Mit der Lotgerade 9 2. Mit der Hessesche Normalform 9 Abstad paralleler Gerade 20 Grudaufgabe : Welche Abstad habe zwei parallele Gerade? 20 8 Kürzester Abstad widschiefer Gerade (Grudaufgabe 8) 2 8. Methode mit parallele Ebee Operative Methode Methode mit der geschlossee Vektorkette 25 Demo-Text für Traiigsaufgabe 26 Lösuge 29 48
4 640 Vektorgeometrie gaz eifach 6 Abstadsberechuge 4 Abstad eies Puktes vo eier Ebee.. Methode: Lotgerade - Lotfußpukt - Abstadsberechug Grudlage dazu: I der Koordiate- oder Normalegleichug eier Ebee, z. B. 2x 3y 6z 5, stelle die Koeffiziete 2-3 ud -6 die Koordiate eies Normalevektors der Ebee dar. 2 Der Vektor 3 (ud alle seie Vielfache) hat also 6 eie Richtug sekrecht zur Ebee. Ma ka ih daher als Richtugsvektor für eie Lotgerade verwede. Grudaufgabe 8: Beispiel : Gegebe: E: 2x 3y 6z 5 Lösug: Normalevektor: Bereche de Abstad des Puktes P vo E mit der Lotgerade. ud P Lotgerade: 2 2 x r bzw. kurz 2 2r x 3r 4 6r Schitt der Lotgerade mit der Ebee: Ma setzt de Berechugsterm der Lotgerade koordiateweise i die Gleichug der Ebee ei: 2 22r 3 3r 6 4 6r 5. Daraus erhält ma 44r 39r 2436r 5 bzw. 49r 98 also r Berechug des Lotfußpuktes: f F Der Abstad des Puktes P vo ist so groß wie der Betrag des Vektors PF : PF f p Beispiel 2: Gegebe: E: 4x 4y z 36 Lösug: Normalevektor: 4 dp,e PF ud P 2½4½ 3 4 4, Lotgerade: L: 2 4 x 4 r4 3 bzw. Schitt vo Lotgerade ud Ebee: 42 4r 44 4 r r r x 4 4r 3 r Demo-Text für ergibt 8 6r 6 6r 2 49r 36, 8r r 8 r Lotfußpukt: f F Gesuchter Abstad: PF d P,E PF O E L P F
5 640 Vektorgeometrie gaz eifach 6 Abstadsberechuge 5.2 Die Hessesche Normalform Die Koordiategleichug oder Normalegleichug eier Ebee lautet: Beispiele: ax by cz k oder so x x 2 2 x 2 3 k () a Die Koeffiziete bilde eie Normalevektor b bzw. c 2 vo E. 3 Die Hessesche Normalform eier Ebeegleichug etsteht aus der Normalegleichug, idem ma die Gleichug so umformt,. dass rechts 0 steht ud liks das Absolutglied ei egatives Vorzeiche besitzt. 2. durch de Betrag des Normalevektors teilt. Aus () wird da ax by cz k a b c bzw. a) E: 2x 3y 6z 5 2x 3y 6z 5 0 : 2x 3y 6z 5 0 x x 2 2 x 3 3 k mit k > b) E: 4x 4y z 36 4x 4y z 36 0 : x 4y z c) E: 2xx2 2x x x2 2x : 2x x2 2x d) E: xy3x 2 xy3z 2 0 : xy3z Demo-Text für e) E: 2x y 2z 0 : x y 2z 0 3
6 640 Vektorgeometrie gaz eifach 6 Abstadsberechuge 6 Für die Hessesche Normalform gibt es mehrere Vektorschreibweise:. Wir begie mit der Herleitug der Normalegleichug: Eie Ebee ka festgelegt sei durch eie Aufpukt A ud zwei Richtugsvektore u ud v, oder durch eie Aufpukt ud eie zu beide Richtugsvektore orthogoale Vektor, de ma Normalevektor der Ebee et. Die Bedigug dafür, dass ei beliebiger Pukt X i E liegt, ist hier: AX, also AX 0. xa 0 Ausführlicher heißt das xa 0 Das ist bereits eie Form der Normalegleichug: Oder i ausmultiplizierter Form: x a Das ergibt da eie lieare Gleichug: x x 2 2 2x3 k (3) Beispiel: 3 2x 4 6 etspricht 3x2x2 6x3 4 oder 3x 2y 6z 4. Stellt ma eie Normalegleichug auf, bestimmt ma zuerst de Normalevektor ud ka da damit die Gleichug (2) aufstelle. Um k zu bekomme, beötigt ma och eie Pukt (sage wir) A der Ebee. Setzt ma ih ei, da folgt: ak 0 k a. Damit wird aus (2): xa 0 xa 0 bzw. Diese Gleichugsform ist auch für CAS-Recher sehr geeiget. 2. Dividiert ma diese Gleichug durch de Betrag des Normalevektors, also durch, xa da etsteht diese Gleichug: 0 bzw. x k 0 (4) We ma eie Vektor durch seie Betrag teilt, da hat dieser ur och de Betrag : Beispiel: 2 3 hat de Betrag, de es ist: o hat u de Betrag, was ma ja achreche ka: Demo-Text für Die HNF sieht da mit A3 2 so aus: 2x 3y 6z x A bzw. kürzer: X () (2)
7 640 Vektorgeometrie gaz eifach 6 Abstadsberechuge Vektore mit dem Betrag et ma Eiheitsvektore Die Kezeichug hoch 0 soll adeute, dass ei Eiheitsvektor vorliegt. We ma also die Normalegleichug durch de Betrag ihres Normalevektors teilt, da bekommt der eue Normalevektor de Betrag, ist also ei Normale-Eiheits-Vektor. (3) ka ma daher eifach so umschreibe: (5) Merke: O k x 0 d. h. o d ist also der Normale-Eiheits-Vektor (5) ka ma im Aschluss a (3) auch so schreibe: Awedug ud Nutze der HNF O x d 0 xa 0 (5*). Setzt ma die Koordiate eies Puktes i die HNF eier Ebee ei, erhält ma de Abstad des Puktes vo dieser Ebee. Sollte das Ergebis egativ sei, muss ma zur Berechug Betragsstriche verwede. 2. Hat ma darauf geachtet, dass i der HNF das Absolutglied liks ei egatives Vorzeiche hat, da gilt Folgedes: a) Würde ma bei der Abstadsberechug ohe die Betragsstriche ei egatives Ergebis bekomme, da liegt der eigesetzte Pukt auf derselbe Seite wie der Ursprug, im adere Falle auf der etgegegesetzte Seite. b) Der Eiheits-Normale-Vektor zeigt da vom Ursprug auf die Ebee. Mit de i 2. geate Fakte ka ma auf eifache Art Lotfußpukt ud Spiegelbilder a E bereche. Beispiele dazu folge im Aschluss. Spiegeluge werde i eiem adere Text besproche. Demo-Text für
gesucht. Die Lösungen dieser Gleichung, kann man als Punkte der Ebene E deuten. Fragt sich nun, ob der Koeffizientenvektor n 1
Norrmallefforrm derr Ebee ud Absttäde Koorrdi iattegl leichug derr Ebee eu itterrprretti i ierrtt mitt dem Skalarrprroduktt Neu-iterpretatio der Koordiategleichug b c a d E. Gegebe ist die Ebee E durch
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