Physik für Biologen und Zahnmediziner
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- Britta Koch
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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum 3: Funktionen und Ableitungen Dr. Daniel Bick 26. Oktober 2016 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
2 Hinweise zur Klausur Es darf keine eigene Formelsammlung verwendet werden. Die Klausur enthält eine Seite mit relevanten Formeln. Multiple Choice: Nur die Antwort zählt, der Lösungsweg spielt keine Rolle für die Bewertung. Taschenrechner dürfen uneingeschränkt benutzt werden. Allerdings ist es nicht erlaubt, Informationen zu möglichen Klausuraufgaben zu speichern. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
3 Inhalt 1 Wiederholung 2 Exponentialfunktionen 3 Logarithmen 4 Differentiation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
4 Übersicht 1 Wiederholung 2 Exponentialfunktionen 3 Logarithmen 4 Differentiation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
5 Sinus- und Cosinus-Funktion π 5π 6 7π 6 2π 3 sin(ϕ) π 2 4π 3 3π 2 y ϕ π 3 cos(ϕ) 5π 3 π 6 11π 6 0 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
6 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π 2 = 90 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) 0 π 2 π 3π 2 2π ( cos(ϕ) = sin ϕ + π ) ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
7 Allgemeine Sinus-Funktion und Periode f(x) = A sin (c ϕ + ϕ 0 ) Normaler Sinus hat die Periode P = 2π Allgemeine Sinus-Funktion mit Periode P : ( ) 2π f(x) = A sin P ϕ + ϕ 0 Also c = 2π P bzw.: P = 2π c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
8 Übersicht 1 Wiederholung 2 Exponentialfunktionen 3 Logarithmen 4 Differentiation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
9 Größenordnungen Potenz Name Zeichen Potenz Name Zeichen Yotta Y 10 1 Dezi d Zetta Z 10 2 Zenti c Exa E 10 3 Milli m Peta P 10 6 Mikro µ Tera T 10 9 Nano n 10 9 Giga G Piko p 10 6 Mega M Femto f 10 3 Kilo k Atto a 10 2 Hekto h Zepto z 10 1 Deka da Yocto y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
10 Beispiele Größenordnungen Längen Weltall m Galaxis m Sonnensystem m Erde 10 7 m Mensch 10 0 m DNA 10 7 m Atom m Atomkern m Proton m Astronomie, Astrophysik Biologie, Biophysik, Medizin Atom- und Kernphysik Chemie Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
11 Beispiele Größenordnungen Zeiten Lebensdauer des Higgs-Bosons s Schwingungsperiode von sichtbarem Licht s Laufzeit des Lichts durch das Auge (3 cm) s Taktzeit eines Pentiumprozessors 10 9 s Blitz beim Fotoapparat 10 5 s Nervenleitung (1 m) 10 2 s Kürzeste Reaktionszeit s Konzentrationszeit s Studiendauer 1, s Lebensdauer eines Menschen s Unsere Milchstraße s Alter des Universums (15 Mrd Jahre) s Mittlere Lebensdauer eines Protons > s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
12 Beispiele Größenordnungen Gewicht Elektron kg Proton kg Aminosäure kg Hämoglobin kg Virus kg Salzkorn 10 8 kg Menschliches Haar 10 6 kg DIN A6 Blatt 10 3 kg Mensch 10 2 kg Großer LKW 10 4 kg Pyramide kg Sonne kg Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
13 Exponentialfunktion mit verschiedener Basis x e x 2 x x-achse ist Asymptote Schneidet immer bei y = 1 y 4 2 Eulersche Zahl e 2, x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
14 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c y e x e 0,69x e 2,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
15 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x 0) y e x e 0,69x e 2,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
16 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c 4 2 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
17 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c Negative b: exponentiell fallend (e x = 1/e x ) 4 2 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
18 Übersicht Exponentialfunktionen f(x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis Negative b exponentiell fallend Verschiebung entlang der x-achse :x 0 Verschiebung entlang der y-achse :c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
19 Beispiele: Exponentielles Wachstum Vermehrung von Bakterien Findet durch Zellteilung statt Im Mittel feste Periode Beispiel: Generationszeit von T G = 10 Minuten Teilungen Bakterien Zeit B(t) = B 0 2 t/t G Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
20 Wachstum von Bakterien Ideale Wachstumskurve einer statischen Bakterienkultur Quelle Wachstum Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
21 Beispiel: Radioaktiver Zerfall von Cäsium N(t) = N 0 e t τ 1 Zerfall von 137 Cs N/N Cs hat Halbwertszeit T 1/2 = 30,17 a Üblicher: Lebensdauer τ t [Jahre] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
22 Beispiel: Strahlenbelastung Radioaktiver Zerfall Strahlenbelastung Quelle: I radiation, Fukushima Prefecture 2, March-April 2011.png Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
23 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasand ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle Beispiel: Laden einen Kondensators, y 0.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
24 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasand ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle Beispiel: Laden einen Kondensators, y 0.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
25 Beispiel: Laden eines Kondensators Q(t) = Q S (1 e t τ ) Q S Q [C] t [ns] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
26 Übersicht 1 Wiederholung 2 Exponentialfunktionen 3 Logarithmen 4 Differentiation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
27 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? 10 x = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
28 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? 10 x = f(x) = 10 x x 0, , ,01-2 0, Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
29 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? f(x) = 10 x x 0, , ,01-2 0, x = x = 4 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
30 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? 10 x = x = 4 x f(x) = log 10 x 0, , ,01-2 0, y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
31 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? x f(x) = log 10 x 0, , ,01-2 0, y 10 x = x = 4 x = log 10 (10000) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
32 Logarithmus 10 x = x = log 10 (10000) = 4 x = 4: Anzahl der Nullen log 10 steht für Logarithmus zur Basis 10 Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit gleicher Basis Wächst extrem langsam Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
33 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > 0 Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
34 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > 0 Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Besondere Basen: 10: log 10 b = lg b e: log e b = ln b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
35 Logarithmus mit unterschiedlicher Basis y a = 10 a = e a = x y-achse ist Asymptote Schneidet x-achse bei x = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
36 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 10 Es sei A = 10 n und B = 10 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 10 lg(a) und B = 10 lg(b) Multiplikation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
37 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 10 Es sei A = 10 n und B = 10 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 10 lg(a) und B = 10 lg(b) Multiplikation A B = 10 n 10 m = 10 n+m = 10 lg(a)+lg(b) lg(a B) = lg(10 lg(a)+lg(b) ) = lg(a) + lg(b) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
38 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation log b (A B) = log b (A) + log b (B) Division Potenz Wurzel log b (A/B) = log b (A) log b (B) log b (A m ) = m log b (A) log b ( m A) = log b (A)/m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
39 Beispiel log 2 (10 x) log 2 (40) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
40 Beispiel log 2 (10 x) log 2 (40) = log 2 ( 10 x 40 ) = log 2 ( x 4 ) = log 2 ( x 2 2 ) = log 2 (x 2 2 ) = log 2 (x) + log 2 (2 2 ) = log 2 (x) 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
41 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
42 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 10 lg(a) = A = e ln(a) ln(10 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(10) = ln(a) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
43 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 10 lg(a) = A = e ln(a) ln(10 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(10) = ln(a) Allgemein log b (x) = log b (g) log g (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
44 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x 0) e x e 0,69x e 2,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
45 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x 0) 10 8 e x e 0,69x e 2,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y x Um von einer beliebigen Basis B auf die Basis e zu kommen: B x = e ln(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
46 Logarithmisch geteilte Achsen Z.B. für die y-achse Trage jeden Messwert y an der Stelle lg(y) auf. 1 lg(1) = 0 10 lg(10) = lg(100) = 2 2 lg(2) 0,3 5 lg(5) 0,7 2 1 lg(x) nur für positive x Darstellung nur für positive y-werte möglich 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
47 Beschriftung logarithmisch geteilter Achsen Verschiedene Beschriftungen möglich ,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
48 Einfach-logarithmisches Papier logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
49 Einfach-logarithmisches Papier x 2 2 logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
50 Einfach-logarithmisches Papier e x 2 x logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
51 Logarithmische Graphen y x Beispiel 10 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade lg(y) y = 10 c x lg(y) = c x x Steigung = c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
52 Logarithmische Graphen y x Beispiel 10 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade Steigung = c lg(b) lg(y) y = 10 c x lg(y) = c x y = B c x lg(y) = c x lg(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
53 Logarithmische x-achse 10 y x Logarithmische Zusammenhänge y = log b (x n ) = log b (10) lg(x n ) = log b (10) n lg(x) Steigung: n log b (10) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
54 Logarithmische x-achse y = ln(x 2 ) y = lg(x) Logarithmische Zusammenhänge y x y = log b (x n ) = log b (10) lg(x n ) = log b (10) n lg(x) Steigung: n log b (10) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
55 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
56 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
57 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = 0 bei x = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
58 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) y = x 2 y = 5 x Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = 0 bei x = y = 3 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
59 Beispiel Allometrie Messen und Vergleichen von Beziehungen zwischen der Körpergröße von Lebewesen und deren Verhältnis zu verschiedensten biologischen Größen Klassische Allometrieformel Quelle: y = a x b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
60 Übersicht 1 Wiederholung 2 Exponentialfunktionen 3 Logarithmen 4 Differentiation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
61 Diffentation Beispiel: Auto mit konstanter Geschwindigkeit v Verhältnis aus zurückgelegtem Weg s und dafür benötigter Zeit t immer gleich v = s t Um die Geschwindigkeit zu messen, reicht es Zeit und Ort an einem Startpunkt P 0 und an einem Stopppunkt P 1 zu bestimmen. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
62 Weg-Zeit-Diagramm konstante Bewegung s [m] s s 1 s 0 P 0 P 1 P 0 : Startpunkt der Messung t 0 Startzeit, s 0 Startort P 1 : Stopppunkt der Messung t 1 Stoppzeit, s 1 Stopport Geschwindigkeit konstant v ist Steigung der Geraden t 0 t t 1 t [s] Geschwindigkeit v = s t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
63 Weg-Zeit-Diagramm Beschleunigte Bewegung s [m] s s 1 s 0 P 0 P 1 Geschwindigkeit nicht konstant, v abhängig von t Steigungsdreieck gibt eine gemittelte Geschwindigkeit v Für eine genauere Messung muss t 1 näher an t 0 rücken t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
64 Weg-Zeit-Diagramm Beschleunigte Bewegung s [m] s s 1 s 0 P 0 P 1 Geschwindigkeit nicht konstant, v abhängig von t Steigungsdreieck gibt eine gemittelte Geschwindigkeit v Für eine genauere Messung muss t 1 näher an t 0 rücken t 0 t t 1 t [s] t muss so klein gewählt werden, dass die Geschwindigkeitsänderung während t vernachlässigbar klein wird. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
65 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] s 1 P 1 Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 s t 0 s 0 P 0 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
66 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 s s 1 s 0 P 0 P 1 t 0 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
67 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 s s 1 s 0 P 0 P 1 t 0 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
68 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 s s 1 s 0 P 0 P 1 t 0 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
69 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 t 0 s s 1 0 P 0 P 1 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
70 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 t 0 s s 0 P 0 P 1 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
71 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 t 0 s s 0 P 0 Tangente an die Kurve bei P 0 t 0 t t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
72 Differentialquotient Mathematisch kann man t unendlich klein werden lassen s v(t 0 ) = lim t 0 t = ds dt t0 Die Steigung der Kurve im Punkt P ist die Tangente an die Kurve in diesem Punkt. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
73 Ableitung Die Ableitung an einem Punkt P der Funktion f(x) gibt die Steigung der Tangente an f(x) im Punkt P an. Mathematisch definiert durch den Differentialquotienten df(x) dx Im Differentialquotienten sind die Differenzen infinitesimal klein. Man schreibt: = dy dx f (x) = y y = lim x 0 x = dy dx = d dx f(x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
74 Beispiel f(x) = x 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
75 Beispiel f(x) = x 2 f(x) = x 2 f y (x) = lim x 0 x y f(x + x) f(x) = x x = (x + x)2 x 2 x = x2 + 2x x + x 2 x 2 x 2x x + x2 = x = 2x + x y lim x 0 x = lim (2x + x) = 2x x 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
76 Wichtige Funktionen und ihre Ableitungen f(x) y = f (x) c 0 x n n x n 1 sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) e x e x ln(x) 1 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 26. Oktober / 55
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