Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I
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- Caroline Schreiber
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1 Michael Buhlmann Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I Einleitung: Eine gebrochen rationale Funktion (Polynom) f: D f -> R (mit maximaler Definitionsbereich D f) ist vom Typ: a x + a x n n 1 n n 1 = m m 1 bm x + bm 1x a x + a b x + b (für natürliche Zahlen m, n und reelle Koeffizienten a 0,, a n, b 0,, b m; a n, b m 0). Gebrochen rationale Funktion sind Brüche von ganz rationalen Funktionen. Für die Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion f(x) folgt: Zentrale Punkte der Kurvendiskussion n n 1 an x + an 1x a1x + a Funktion: = m m 1 b x + b x b x + b m m a = b n m ( x x ( x x ) k1 N1 kl P1) ( x x ( x x ) k2 N 2 k 2 ) l P... R ( x)... R I. (Maximaler) Definitionsbereich, senkrechte Asymptoten (Polstellen), Nullstellen: m m 1 a) Nenner = 0 -> bm x + bm 1 x b1 x + b0 = 0 -> x P1, x P2, -> D f = R\{x P1, x P2, } (Definitionsbereich) n n 1 b) Zähler = 0 -> an x + an 1 x a1x + a0 = 0 -> x N1, x N2, c) Auswertung: Stimmt eine Nennernullstelle x P mit einer Zählernullstelle x N überein, so kann der Funktionsterm f(x) um den Faktor (x-x p ) l = (x-x N ) k (l=k) zu f*(x) gekürzt werden; ist die Vielfachheit der Nennernullstelle echt größer k, so liegt bei x P eine senkrechte Asymptote vor; ist die Vielfachheit der Nennernullstelle kleiner gleich k, so liegt bei x P eine Lücke mit Lückenwert f*(x P ) vor. Ansonsten liegen bei x P1, x P2, senkrechte Asymptoten mit Linearfaktor (x-x p ) l vor, und zwar mit Vorzeichenwechsel bei ungeradem l (mit Vorzeichenwechsel bei senkrechter Asymptote x P mit f(x)->- (x->x P, x<x P ) und f(x)-> (x->x P, x>x P ) oder mit f(x)-> (x->x P, x<x P ) und f(x)->- (x->x P, x>x P )), ohne Vorzeichenwechsel bei geradem l (ohne Vorzeichenwechsel bei senkrechter Asymptote x P mit f(x)->- (x->x P, x<x P ) und f(x)->- (x->x P, x>x P ) oder mit f(x)-> (x->x P, x<x P ) und f(x)-> (x->x P, x>x P )). Ansonsten liegen weiter bei x N1, x N2, Nullstellen mit Linearfaktor (x-x p ) k vor, und zwar mit Vorzeichenwechsel bei ungeradem k, ohne Vorzeichenwechsel bei geradem k (Hoch-, Tiefpunkt). II. Waagerechte Asymptote: Für x -> ± gilt: -> 0 falls n < m n n 1 an x + an 1x a1x + a0 a n = -> falls n = m m m 1 bm x + bm 1x b1 x + b0 bm -> ± falls n > m III. Ableitungen (nach Quotientenregel; zuvor (wenn möglich) Funktionsterm f(x) zu f*(x) kürzen; bei Ableitungen gleiche Faktoren in allen Summanden des Bruchs kürzen; zu beachten sind Vorgehensweisen zum leichteren Ableiten, d.h.: Vermeidung der Quotientenregel bei konstantem Zähler und Anwendung der Kettenregel, Vermeidung der Quotientenregel z.b. bei gebrochen rationalen Funktionen mit Nenner als Potenz x n und Anwendung der Potenzregel) IV. Hochpunkte, Tiefpunkte (relative Extrema; Gleichung f (x) = 0 lösen, Lösungen in f (x) einsetzen): a) f (x) = 0 -> x 1, x 2, b) f (x 1 ) < 0 -> H(x 1 f(x 1 )) oder f (x 1 ) > 0 -> T(x 1 f(x 1 )); f (x 2 ) < 0 -> H(x 2 f(x 2 )) oder f (x 2 ) > 0 -> T(x 2 f(x 2 )); V. Wendepunkte (Gleichung f (x) = 0 lösen, Lösungen in f (x) einsetzen): a) f (x) = 0 -> x 1, x 2, b) f (x 1 ) 0 -> W(x 1 f(x 1 )); f (x 2 ) 0 -> W(x 2 f(x 2 )); Va. Sattelpunkte x 0 liegen vor, wenn (nach IV. und V.) gilt: f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) 0 -> S(x 0 f(x 0 )) Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen 1 2 ( x) Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 1
2 Zusätzliche Punkte der Kurvendiskussion VI. Monotonie (steigende [wachsende], fallende Monotonie [nach I., IV.]; bei Hoch- und Tiefpunkten sowie senkrechten Asymptoten x 1, x 2,, x n mit x 1 < x 2 < < x n, x 0 als Stelle im jeweiligen Monotonieintervall): Monotonieintervall (-, x 1 ): f(x) monoton steigend (x 1 als Hochpunkt, x 1 als Polstelle mit f(x)-> (x->x 1, x<x 1 ), f (x 0 )>0) oder monoton fallend (x 1 als Tiefpunkt, x 1 als Polstelle mit f(x)->- (x->x 1, x>x 1 ), f (x 0 )<0); Monotonieintervall (x 1, x 2 ): f(x) monoton fallend (x 1 als Hochpunkt, x 2 als Tiefpunkt, x 1 als Polstelle mit f(x)-> (x->x 1, x>x 1 ), x 2 als Polstelle mit f(x)-> (x->x 2, x<x 2 ), f (x 0 )<0) oder monoton steigend (x 1 als Tiefpunkt, x 2 als Hochpunkt, x 2 als Polstelle mit f(x)->- (x->x 2, x<x 2 ), f (x 0 )>0); Monotonieintervall (x n, ): f(x) monoton fallend (x n als Hochpunkt, x n als Polstelle mit f(x)-> (x->x n, x>x n ), f (x 0 )<0) oder monoton steigend (x n als Tiefpunkt, x n als Polstelle mit f(x)->- (x->x n, x>x n ), f (x 0 )>0) VII. Krümmung (Links-, Rechtskrümmung, Konvexität, Konkavität [nach I., V.]; bei Wendepunkten sowie senkrechten Asymptoten x 1, x 2,, x n mit x 1 < x 2 < < x n, x 0 als Stelle im jeweiligen Krümmungsintervall): Krümmungsintervall (-, x 1 ): f(x) links gekrümmt (bei Tiefpunkt im Intervall, x 1 als Polstelle mit f(x)-> (x->x 1, x<x 1 ), f (x 0 )>0) oder rechts gekrümmt (bei Hochpunkt im Intervall, x 1 als Polstelle mit f(x)->- (x->x 1, x<x 1 ), f (x 0 )>0); Krümmungsintervall (x 1, x 2 ): f(x) rechts gekrümmt (bei Hochpunkt im Intervall, x 1 als Polstelle mit f(x)->- (x->x 1, x>x 1 ), x 2 als Polstelle mit f(x)->- (x->x 2, x<x 2 ), f (x 0 )<0) oder links gekrümmt (bei Tiefpunkt im Intervall, x 1 als Polstelle mit f(x)-> (x->x 1, x>x 1 ), x 2 als Polstelle mit f(x)-> (x->x 2, x<x 2 ), f (x 0 )>0); Krümmungsintervall (x n, ): f(x) rechts gekrümmt (bei Hochpunkt im Intervall, x n als Polstelle mit f(x)->- (x->x n, x>x n ), f (x 0 )<0) oder links gekrümmt (bei Tiefpunkt im Intervall, x n als Polstelle mit f(x)-> (x->x n, x>x n ), f (x 0 )>0); VIII. Symmetrie: a) Achsensymmetrie (zur y-achse; für gerade Funktionen): f(-x) = f(x) oder: Zähler gerade, Nenner gerade -> f(x) gerade Zähler ungerade, Nenner ungerade -> f(x) gerade b) Punktsymmetrie (zum Ursprung; für ungerade Funktionen): f(-x) = -f(x) oder: Zähler gerade, Nenner ungerade -> f(x) ungerade Zähler ungerade, Nenner gerade -> f(x) ungerade c) f(x) achsensymmetrisch -> f (x) punktsymmetrisch -> f (x) achsensymmetrisch usw. f(x) punktsymmetrisch -> f (x) achsensymmetrisch -> f (x) punktsymmetrisch usw. Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen Aufgabe 1: Untersuche die Funktion 4 = 2 x 0 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 0 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 2
3 Nullstelle N(2 0) D f = R\{0} x = 0 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> -2; x->+ => f(x) -> -2 mit: y = -2 als waagerechter Asymptote Punktsymmetrie zum Punkt Z(0-2) als Schnittpunkt der Asymptoten Aufgabe 2: Untersuche die Funktion 1 = x Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 3
4 Nullstelle N( ) 0 -Infinity 0 Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Nullstelle N( ) D f = R\{0} x = 0 als senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 9; x->+ => f(x) -> 9 mit: y = 9 als waagerechter Asymptote Achsensymmetrie zur y-achse Aufgabe 3: Untersuche die Funktion = 4x 10 2x + 3 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 4
5 -1.5 -Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Schnittpunkt S y(0-3.33) Nullstelle N(2.5 0) D f = R\{-1,5} x = -1,5 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 2; x->+ => f(x) -> 2 mit: y = 2 als waagerechter Asymptote Aufgabe 4: Untersuche die Funktion Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 5
6 x = x Wendepunkt W( ) Schnittpunkt S y(0 0) = Tiefpunkt T(0 0) 3 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 3 2 D f = R\{3} x = 3 als senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 1; x->+ => f(x) -> 1 mit: y = 1 als waagerechter Asymptote Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 6
7 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 7
8 Aufgabe 5: Untersuche die Funktion 5 2 = 2 x + x Wendepunkt W( ) Tiefpunkt T(-5-0.2) Nullstelle N(-2.5 0) 0 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 0 D f = R\{0} x = 0 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 8
9 x->- => f(x) -> 0; x->+ => f(x) -> 0 mit: y = 0 (x-achse) als waagerechter Asymptote Aufgabe 6: Untersuche die Funktion = x 2 4x x 0 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Nullstelle N(1 0) Tiefpunkt T( ) Wendepunkt W( ) Nullstelle N(3 0) Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 9
10 D f = R\{0} x = 0 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 0; x->+ => f(x) -> 0 mit: y = 0 (x-achse) als waagerechter Asymptote Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 10
11 Aufgabe 7: Untersuche die Funktion 20 = x Wendepunkt W( ) Schnittpunkt S y(0 5) = Hochpunkt H(0 5) Wendepunkt W( ) Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 11
12 D f = R x->- => f(x) -> 0; x->+ => f(x) -> 0 mit: y = 0 (x-achse) als waagerechter Asymptote Achsensymmetrie zur y-achse Aufgabe 8: Untersuche die Funktion 4x = x 2 9 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 12
13 Infinity -Infinity Hochpunkt H( ) -3 -Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Nullstelle N(0 0) = Schnittpunkt S y(0 0) = Wendepunkt W(0 0) 3 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 3 D f = R\{-3; 3} x = -3 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel, x = 3 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 0; x->+ => f(x) -> 0 mit: y = 0 (x-achse) als waagerechter Asymptote Punktsymmetrie zum Ursprung O(0 0) Aufgabe 9: Untersuche die Funktion = ( x 2)( x + 1) x( x + 4) Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 13
14 4 -Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Wendepunkt W( ) Nullstelle N(-1 0) 0 -Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Nullstelle N(2 0) D f = R\{-4; 0} x = -4 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel, x = 0 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 1; x->+ => f(x) -> 1 mit: y = 1 als waagerechter Asymptote Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 14
15 Aufgabe 10: Untersuche die Funktion = 10 5 x + 2 ( x 4) 2-2 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Schnittpunkt S y(0 4.69) Wendepunkt W( ) Nullstelle N(2.5 0) 4 -Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 4 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 15
16 Nullstelle N(6 0) D f = R\{-2; 4} x = -2 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel, x = 4 als senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 0; x->+ => f(x) -> 0 mit: y = 0 (x-achse) als waagerechte Asymptote Aufgabe 11: Untersuche die Funktion = 2 ( x + 1) 2 x ( x 2) 2 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 16
17 -3 -Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Nullstelle N(0 0) = Schnittpunkt S y(0 0) = Hochpunkt H(0 0) 1 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Wendepunkt W( ) Nullstelle N(4 0) 6 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 6 D f = R\{-1; 2} x = -1 als senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel, x = 2 als senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 0; x->+ => f(x) -> 0 mit: y = 0 (x-achse) als waagerechter Asymptote Aufgabe 12: Untersuche die Funktion Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 17
18 = 2 5x ( x 4) ( x + 3)( x 1)( x 6) -1 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Schnittpunkt S y(0 2) Wendepunkt W( ) Nullstelle N(0.83 0) 2 -Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 2 D f = R\{-3; 1; 6} Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 18
19 x = -3 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel, x = 1 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel, x = 6 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 5; x->+ => f(x) -> 5 mit: y = 5 als waagerechter Asymptote Aufgabe 13: Untersuche die Funktion 3 x + 8 = x Nullstelle N(-2 0) Wendepunkt W( ) Schnittpunkt S y(0-8) = Wendepunkt W(0-8) = Sattelpunkt W S(0-8) 1 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 1 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 19
20 D f = R\{1} x = 1 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 1; x->+ => f(x) -> 1 mit: y = 1 als waagerechter Asymptote Aufgabe 14: Untersuche die Funktion x = 3 x x -2 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Tiefpunkt T(-1 2) 0 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 0 Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 20
21 Hochpunkt H(1-2) 2 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = 2 D f = R\{-2; 0; 2} x = -2 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel, x = 0 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel, x = 2 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 0; x->+ => f(x) -> 0 mit: y = 0 (x-achse) als waagerechter Asymptote Punktsymmetrie zum Ursprung O[0 0) Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 21
22 Aufgabe 15: Untersuche die Funktion f 4 x x) = x + 32 ( 5-2 Infinity Infinity Senkrechte Asymptote/Pol x = Nullstelle N(0 0) = Schnittpunkt S y(0 0) = Tiefpunkt T(0 0) Wendepunkt W( ) Hochpunkt H( ) Wendepunkt W( ) Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 22
23 D f = R\{-2} x = -2 als senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel x->- => f(x) -> 0; x->+ => f(x) -> 0 mit: y = 0 (x-achse) als waagerechter Asymptote / / Mathematik-Aufgabenpool: Kurvendiskussion ganz rationaler Funktionen I / Aufgaben Michael Buhlmann, Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I 23
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